精品解析：2025年河南省南阳市淅川县中考一模数学试题

2025年春期九年级第一次模拟测试 数学试卷 注意事项： 1．本题卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 3月12日是我国植树节．全国绿化委员会办公室发布《2022年中国国土绿化状况公报》显示，在2022年中全国完成造林383万公顷．将数据383万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 河洛大鼓，俗称“说书”，是河南传统地方曲种之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．如图是河洛大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（　　） A. 3 B. C. D. 3 6. 淅川是南水北调渠首，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到淅川旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D. 不能确定 8. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点，点E为AB的中点，连接OE，若，，则BD的长度为（ ） A. B. 6 C. D. 3 9. 如图，是的内接三角形，是的直径，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，为对角线，一动点从出发，沿着路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使有意义，则的取值范围是______． 12. 不等式组的解集是，请写出一个符合条件的的值_________． 13. 某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数是__________． 14. 如图，数学兴趣小组把一个边长为5的正方形纸片放在平面直角坐标系中，使点与点重合，与轴正半轴交于点，调整正方形纸片的位置，使恰好是的中点，接下来把正方形纸片沿轴向左平移，当点落在轴上时，点的坐标为_________． 15. 如图，在矩形中，，，取的中点E，将线段绕点A旋转得到线段，在旋转过程中，当时，______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小华家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小华的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分），如下表： 续航里程（分） 百公里加速（分） 智能化水平（分） 甲款汽车 82 90 100 乙款汽车 80 100 90 两款汽车的综合得分按如图（扇形图）所示的权重计算． 同时小华的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（满分10分），并整理、描述、分析如下： a．网友评价得分（满分10分）： 甲：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10 乙：4 5 6 7 7 7 8 8 9 9 b．网友评价得分统计表： 平均数 中位数 方差 甲款汽车 7 m 乙款汽车 7 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 m = ； （2）由表中成绩和扇形图所示权重已算得甲款车的总评成绩为89分，请计算乙款车的总评成绩； （3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小华的爸爸应选择购买哪款汽车?请说明理由． 18. 直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围； （3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 19. 如图，内接于，为的直径，直线与相切于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中的直线交劣弧于点，交弦于点，交直线于点． ①求证：； ②若，，则_________． 20. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，， 21. 随着新能源汽车发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． （1）求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ （2）经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 22. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部4米．如图1，桥孔与水面交于A、B两点，以点A为坐标原点，所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请求出此抛物线对应的二次函数表达式； （2）因降暴雨水位上升米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为，宽为（横截面如图2），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由． 23. 综合与实践课上，同学们以“矩形折叠”为主题开展数学活动． （1）如图1，将矩形纸片沿过点A 的直线折叠，使点 B落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为 ． （2）如图2，矩形纸片的边长，用图1中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点 D 的直线折叠纸片，使点 C落在上的点 处，折痕为．则 ， ． （3）如图3，矩形纸片的长为，宽为，用图1的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点 F（不与点重合），沿折叠，点 C的对应点为延长交直线于点 G． ①判断与数量关系，并证明； ②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期九年级第一次模拟测试 数学试卷 注意事项： 1．本题卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 2. 3月12日是我国植树节．全国绿化委员会办公室发布《2022年中国国土绿化状况公报》显示，在2022年中全国完成造林383万公顷．将数据383万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：383万． 故选：C． 3. 河洛大鼓，俗称“说书”，是河南传统地方曲种之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．如图是河洛大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，可得选项B的图形， 故选：B 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 5. 计算的结果是（　　） A. 3 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算．根据乘法的定义：m个3 相加表示为 ，根据乘方的定义： n 个4相乘表示为，由此求解即可． 【详解】解：m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为， 故的结果是． 故选：A． 6. 淅川是南水北调渠首，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到淅川旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点B的情况有1种， ∴甲、乙两人同时选择景点的概率为， 故选：A． 7. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解答本题的关键．计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点，点E为AB的中点，连接OE，若，，则BD的长度为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理求出AD，再在Rt△AOD中，解直角三角形求出OD即可． 【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60° ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ADO=∠CDO=30° ∵AE=EB，BO=OD ∴AD=2OE=6 在Rt△AOD中 ∵AD=6，∠AOD=90°，∠ADO=30° ∴OD=， ∴BD=2OD=． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，结合三角形知识点，包括中位线定理、等边三角形定理和直角三角形的性质． 9. 如图，是的内接三角形，是的直径，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，直角三角形的性质，勾股定理．根据直角三角形的性质结合勾股定理求得，根据图中阴影部分的面积为列式计算即可求解． 【详解】解：连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故选：C． 10. 如图，矩形中，为对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，即，然后求解即可，解题的关键是正确理解分式有意义的条件． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12. 不等式组的解集是，请写出一个符合条件的的值_________． 【答案】3 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了不等式组以及不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式组的解集． 根据不等式组的解集即可求出答案． 【详解】解：不等式组， 由①得：， ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：3 （答案不唯一）． 13. 某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解此题的关键．根据众数的定义即可得出答案． 【详解】解：由统计图可知，该班40名同学一周参加体育锻炼时间出现次数最多的是9小时， 故众数是9， 故答案为：9． 14. 如图，数学兴趣小组把一个边长为5的正方形纸片放在平面直角坐标系中，使点与点重合，与轴正半轴交于点，调整正方形纸片的位置，使恰好是的中点，接下来把正方形纸片沿轴向左平移，当点落在轴上时，点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形在坐标系中位置变化以及解直角三角形的应用．通过计算正方形各点的坐标变化，利用解直角三角形求解点的坐标． 【详解】解：由题意可知，，， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示， ， ，， ， ，， ， ， 即 ， 故点的坐标为，向左平移的距离为 平移后点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，取的中点E，将线段绕点A旋转得到线段，在旋转过程中，当时，______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形． 由旋转可得，又，可得．分两种情况讨论：①若点在矩形的内部，过点作于点F，根据矩形的性质可求得，从而在中，通过解直角三角形得到，进而得到，因此根据勾股定理在中，即可求解．②若点在矩形的外部，同①即可求解． 【详解】∵点E是的中点， ∴， ∴由旋转可得 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①如图，若点在矩形的内部， ∵在矩形中，， ∴， 过点作于点F， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴在中，． ②如图，若点在矩形的外部， 过点作于点F， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴在中，． 综上所述，或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，涉及立方根，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别化简计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算； （2）先进行括号内分式减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小华家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小华的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分），如下表： 续航里程（分） 百公里加速（分） 智能化水平（分） 甲款汽车 82 90 100 乙款汽车 80 100 90 两款汽车综合得分按如图（扇形图）所示的权重计算． 同时小华的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（满分10分），并整理、描述、分析如下： a．网友评价得分（满分10分）： 甲：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10 乙：4 5 6 7 7 7 8 8 9 9 b．网友评价得分统计表： 平均数 中位数 方差 甲款汽车 7 m 乙款汽车 7 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 m = ； （2）由表中成绩和扇形图所示权重已算得甲款车的总评成绩为89分，请计算乙款车的总评成绩； （3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小华的爸爸应选择购买哪款汽车?请说明理由． 【答案】（1） （2）87分 （3）乙车，见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数，平均数，根据统计数据作决策．熟练掌握定义，计算公式是解题的关键． （1）根据中位数的定义，得，计算即可． （2）根据加权平均数的计算方法求解即可． （3）从中位数，方差等，比较即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，得数据排序如下：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10， 中位数是第5个数据，第6个数据的平均数即， 故答案为：． 【小问2详解】 解：乙车的平均数是：（分）． 【小问3详解】 解：∵乙车的中位数大于甲车，乙车的方差小于甲车，更稳定，从安全角度思考， ∴我推荐乙车． 18. 直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围； （3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键． （1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答； （2）根据函数图像确定不等式的解集即可； （3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，， 点坐标为，点坐标为， 把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得： ， 一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象可知，当时，或． 【小问3详解】 解：把时代入中，得， 点坐标为，即， ． 19. 如图，内接于，为的直径，直线与相切于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中的直线交劣弧于点，交弦于点，交直线于点． ①求证：； ②若，，则_________． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图线段垂直平分线的步骤即可作图； （2）①连接，由圆周角定理和圆的切线的性质得到，再由互余关系，等边对等角即可证明； ②先求出，，然后导角证明，则，求出，再由即可求解． 【小问1详解】 解：直线即为所作： 【小问2详解】 证明：①连接， ∵为直径，直线是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，，， ∴，， 由作图知，而，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，尺规作图---线段的垂直平分线等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，， 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21. 随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． （1）求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ （2）经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】（1）购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； 【小问2详解】 解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 22. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部4米．如图1，桥孔与水面交于A、B两点，以点A为坐标原点，所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请求出此抛物线对应的二次函数表达式； （2）因降暴雨水位上升米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为，宽为（横截面如图2），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）． （1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）代入求出x值，再求出可通过船的最大宽度，将其与比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可知，该抛物线顶点坐标为 设抛物线函数关系式为， 把代入，得， ， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 水位上升后船顶部距原来水面高： 把代入得， ， ， ∴此时对应的桥孔宽度为． ， ∴暴雨后这艘船不能从这座拱桥下通过． 23. 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图1，将矩形纸片沿过点A 的直线折叠，使点 B落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为 ． （2）如图2，矩形纸片的边长，用图1中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点 D 的直线折叠纸片，使点 C落在上的点 处，折痕为．则 ， ． （3）如图3，矩形纸片长为，宽为，用图1的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点 F（不与点重合），沿折叠，点 C的对应点为延长交直线于点 G． ①判断与数量关系，并证明； ②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2） （3）①，证明见解析；②或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）先推出，根据矩形的性质推出，即可求出,由矩形，即可求出； （3）①由矩形性质得，推出，由折叠可知，，由此推出，即可推出； ②分两种情况：若过中点，即G为中点；若过中点M，连接，根据矩形的性质及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ，， 由折叠性质可得：，， 四边形是正方形， 故答案为正方形． 【小问2详解】 由（1）知四边形为正方形， ， ∵， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠，点C落点处， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴在中，，即， ∴, ∴, ∵矩形， ∴， ∴, ∵，， ∴， 故答案为； 【小问3详解】 ① ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴； ②∵四边形是矩形， ∴， 由（1）知四边形，均为正方形， ∴， 由折叠得，，, 若过中点，即G为中点， ∴， ∴, 在中，, ∴； 若过中点M，连接， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， 即， 综上，的长为或． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$