精品解析：2025年四川省达州市渠县东安雄才学校中考二模数学试题

渠县东安雄才学校2025年春季第二次模拟考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果零下记作，那么表示（） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 3. 下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校举办演讲比赛，评分规则是：10名评委为同一位选手评分，去掉1个最高分和1个最低分后得到8个有效评分，这8个有效评分与10个原始评分相比，一定不发生变化的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 5. 如图，中，，，是边上的中线，平分交于点E，交于点F．则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12 7. 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四边都是相等的四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 9. 如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接 ．G为上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：① ；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为 ， ；⑤当时，函数 有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 已知，，则的值为___． 12. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是_________． 13. 如图，在矩形中，点F是上一点，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，再以点C为圆心，长为半径画弧，使得弧 与恰好相切于点H，与交于点G．若，则图中阴影部分的面积为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边， 分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数（）的图象与边交于点E，若将 沿翻折后，点C恰好落在 上的点M处，则k的值为_____． 15. 如图，在矩形中， ，，F是对角线上的动点，连接 ，将直线 绕点F顺时针旋转使，且过B作，连接，则最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某学校举办的歌唱比赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由8名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评委打分：85 90 92 92 87 86 93 96 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 91 88 90 91 90 乙 89 90 90 90 90 丙 88 92 88 92 k （1）根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分数据的众数为___________，学生评委打分数据的中位数在第___________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为___________； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如上表．若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是___________，表中k（k为整数）的值为___________． 18. 如图，在中，、、． （1）是关于轴的对称图形，则点的对称点的坐标是_____； （2）将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点的坐标是_____； （3）与是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，写出对称轴解析式_____． 19. 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时（图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好（图3），运动过程中绳子总长不变．（参考数据：） （1）求的长； （2）求杂技演员从点走到点，下降的高度． 20. 如图，在中，，为延长线上一点，且，． （1）尺规作图：作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若的直径为6，求的长． 21. 如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点． （1）写出图中任意一组相等的角：___________； （2）求证：； （3）若，求图中阴影部分的面积． 22. 某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． （1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示） （2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ （3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 23. 【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式 【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数． 和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线． 在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______． 【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解． （2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由． 【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示． （3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集． 24. 如图1，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且过点． （1）求抛物线表达式； （2）如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作 轴，交直线于点E，交x轴于点F，连接，若时，求点P的坐标； （3）如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值． 25. 如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、． （1）猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ； （2）探究：直线与垂直时，求线段的长； （3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县东安雄才学校2025年春季第二次模拟考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将“3240万”转换为数字32400000，再根据科学记数法规则表示即可． 【详解】解：∵3240万， ∴， 故选C． 2. 中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果零下记作，那么表示（） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，了解正负数是表示意义相反的量是解题的关键．根据正负数表示意义相反的量即可求解． 【详解】解：∵零下记作， ∴表示零上， 故选：A． 3. 下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的展开图．熟记常见的几何体的展开图，是解题的关键． 【详解】解：A、不能围成一个棱柱，不符合题意； B、能围成一个圆柱；不符合题意； C、能围成一个棱柱，符合题意； D、由正方体展开图得，不能围成棱柱；不符合题意； 故选：C． 4. 某校举办演讲比赛，评分规则是：10名评委为同一位选手评分，去掉1个最高分和1个最低分后得到8个有效评分，这8个有效评分与10个原始评分相比，一定不发生变化的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可． 【详解】解：∵10个数的中位数是中间两个数的平均数， ∴去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：A． 5. 如图，中，，，是边上的中线，平分交于点E，交于点F．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，由三线合一可得，则，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ，是边上的中线， ， ， ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，三线合一，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 7. 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题列出分式方程，设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四边都是相等的四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论． 【详解】A、四边都相等的四边形是菱形，故错误； B、矩形的对角线相等，故错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确， 故选D． 【点睛】熟练掌握特殊平行四边形的各自特点，矩形对角线相等，邻边垂直．菱形对角线垂直且平分对角，邻边相等．同时具备矩形和菱形的四边形是正方形． 9. 如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理；证明，则可得，证明，可得，设，则，利用解直角三角形和勾股定理即可得到和，即可解答，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， 则， ， ， ， 故选：A． 10. 抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：① ；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为 ， ；⑤当时，函数 有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得 ， ，故①正确；根据抛物线过点 ，可得 ，从而得到，进而得，故②正确；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得当 时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，可得到，故③错误；对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，得到方程的两根为 ， ，故④正确；根据二次函数的性质可得当时，函数 有最大值，再由直线经过点 ，可得，从而得到，进而得到，故⑤错误，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴， ∴ ， ∴ ，故①正确； ∵抛物线过点 ， ∴ ， ∵ ， ∴，即， ∵ ， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当 时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为， ∵， ∴，故③错误； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两根为，故④正确； ， ∵ ， ∴当时，函数 有最大值， ∵直线经过点 ， ∴ ，即， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴当时，函数 有最大值，故⑤错误； ∴正确的有3个． 故选：B 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 已知，，则的值为___． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式求解即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：22． 12. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根，熟练掌握一元二次根的判别式是解题关键．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，点F是上一点，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，再以点C为圆心，长为半径画弧，使得弧 与恰好相切于点H，与交于点G．若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的性质、勾股定理、解直角三角形、扇形的面积公式等知识．连接，由题意，结合勾股定理和解直角三角形求得，,，利用圆的切线性质得到 ，解直角三角形的，利用求得即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意，，，，， ∴，, ∴， ∵弧 与恰好相切于点H， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边， 分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数（）的图象与边交于点E，若将 沿翻折后，点C恰好落在 上的点M处，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边长及反比例函数图象上点的坐标特征． 作交OB于点G，利用．求出 ， ，表示出，，，利用相似的性质求出，再利用勾股定理即可求出k的值． 【详解】解：作交 于点G， ∵矩形 的对角线．． ∴ ， ，即， ∵E，F分别在，上，且在反比例函数上， ∴，， ∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 又∵， 即，解得：． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中， ，，F是对角线上的动点，连接，将直线绕点F顺时针旋转使，且过B作，连接，则最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，四点共圆．如图，过点B作于点H，连接．由，推出E，B，F，H四点共圆，证明定值，推出点E在射线 上运动，当时，的值最小，求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点B作于点H，连接， ∵， ∴E，B，F，H四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴定值， ∴点E在射线 上运动， ∴当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ，， ∴ ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【点睛】点睛片段 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，分式的混合运算，乘法公式，化简求值等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则和运算顺序． （1）利用绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法运算法则进行运算即可； （2）利用分式的混合运算法则，先对代数式进行化简，然后再求值． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ， 当时，代入上式得： 原式 17. 某学校举办的歌唱比赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由8名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评委打分：85 90 92 92 87 86 93 96 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 91 88 90 91 90 乙 89 90 90 90 90 丙 88 92 88 92 k （1）根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分数据的众数为___________，学生评委打分数据的中位数在第___________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为___________； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如上表．若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是___________，表中k（k为整数）的值为___________． 【答案】（1）①92，4；②90 （2）甲，90 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差： （1）①根据众数和中位数的确定方法进行求解即可；②利用平均数的公式进行计算即可； （2）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 解：① 从教师评委打分的情况看，92分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为92， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分布直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：92，4； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：90，92，92，87，86，93， 平均数为：， 故答案为：90； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， ， ， 解得， 当时，， 此时，， ， 乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意； 当时，， 此时，， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲， 故答案为：甲，90． 18. 如图，在中，、、． （1）是关于轴的对称图形，则点的对称点的坐标是_____； （2）将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点的坐标是_____； （3）与是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，写出对称轴解析式_____． 【答案】（1） （2） （3）是， 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称，旋转，一次函数等知识，解题的关键是结合图形进行求坐标，利用待定系数法求解析式． （1）根据轴对称的性质和关于轴对称的点的坐标即可求出点的坐标； （2）利用网格将图形逆时针绕点逆时针旋转即可得到点的坐标； （3）连接与对应点的线段，线段的垂直平分线即为对称轴解析式． 【小问1详解】 解：由图可知，点的对称点的坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图可知，点的对应点的坐标是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图可知，对称轴经过点和点 假设对称轴的解析式为 将两个点的坐标代入解析式得： 解得 ∴对称轴的解析式为： 故答案为：． 19. 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时（图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好（图3），运动过程中绳子总长不变．（参考数据：） （1）求的长； （2）求杂技演员从点走到点，下降的高度． 【答案】（1）的长约为 （2）下降的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）过点F作，垂足为I，先利用（1）的结论和线段中点的定义可得 ，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ， 的长约为 ； 【小问2详解】 过点F作，垂足为I， ∵点F为钢丝中点，， ， 在中， ， ， 在中，， ， ， ∴下降的高度 约为 20. 如图，在中，，为延长线上一点，且，． （1）尺规作图：作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若的直径为6，求的长． 【答案】（1） 如图所示， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可知为外角圆的直径，作出的垂直平分线即可得到圆心O，再以为半径画圆即可； （2）先证明，从而得到，根据，得到，设，则，列式求出x的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，， 为的直径， ． ， ． ， ． 设，则． ，即，解得． 的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂直平分线的作法，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 21. 如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点． （1）写出图中任意一组相等的角：___________； （2）求证：； （3）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 证明：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，解直角三角形，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明 ， （2）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明 ，得到； （3）根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：（ ）（答案不唯一）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， ， ， ． 22. 某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． （1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示） （2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ （3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 【答案】（1） （2）销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元 （3）0.8 【解析】 【分析】（1）根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”列出函数关系式即可； （2）根据，销量×每件利润=总利润，列式，配方，利用二次函数最值求法得出答案； （3）根据“该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套”得到x的范围，根据题意列式，找到当 时，w有最大值，即可求解． 本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质，是解题关键． 【小问1详解】 解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套， ∴日销售量为，即， 故答案为：， 【小问2详解】 解：由题意，∵日销售量为， ∴销售该文具的日利润为， ∵， ∴当 时，w取最大值，最大值为2250． 答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元． 【小问3详解】 解：由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套， ∴， ∴， 又此时日销量利润， ∴对称轴为直线． ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当 时，w有最大值， ∴， ∴． 23. 【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式 【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数． 和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线． 在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______． 【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解． （2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由． 【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示． （3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集． 【答案】（1）；，[类比探究] ； （2）函数图象如图所示，解集为或 ，理由：从函数角度看，解不等式 相当于求双曲线在直线 上方的点的横坐标的取值范围． 由图象可知， 与 的交点分别为和，因此解集为或 ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键． （1）观察图象解答即可； （2）画出函数的图象，观察图象解答即可； （3）观察图象解答即可． 【详解】解：[问题探究] （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为，所以的解为． 故答案为：，0＜x＜1； [类比探究] 受此启发，小蒙尝试解不等式 ，经过分析，小蒙发现需要借助函数和函数 的图象来求解． 故答案为： ； （2）略 （3）在图3中画出的图象， 由图象可知，该不等式组的解集是 ． 24. 如图1，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且过点． （1）求抛物线表达式； （2）如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作 轴，交直线于点E，交x轴于点F，连接，若时，求点P的坐标； （3）如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）P点坐标为或 （3）30 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设点的坐标为，则：，分点在直线上方和点在直线下方，两种情况进行讨论求解即可； （3）构造一个以 为斜边的等腰直角，如图，延长 交轴于点，交轴于点，连接，把转化为，求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：二次函数 图象与轴交于点， ． 二次函数 图象经过点，即：过点， ∴， ． 故二次函数的表达式为． 【小问2详解】 当，解得：， ， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， 直线表达式为 ． 设点的坐标为， ． ①如图1，当点在直线上方时， ， ， ， ， ，解得 ， ． ②如图2，当点在直线下方时， ， ， ， ，解得， 点P在y轴的左侧， ， ， 综上所述，P点坐标为或． 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ，顶点， ， 构造一个以 为斜边的等腰直角，如图，延长 交轴于点，交轴于点，连接，则：，， ∴点在直线上运动，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， 当三点共线时，取得最小值，即取得最小值， 又∵点在直线上运动， ∴当时，取得最小值， 此时 为等腰直角三角形， ∴， 的最小值为． 的最小值为30． 25. 如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、． （1）猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ； （2）探究：直线与垂直时，求线段的长； （3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，相似比为，可以看做绕点B逆时针旋转 后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是 ； （2）证明，得到，分点在线段上和点在线段延长线上两类讨论，分别求出长，即可求出； （3）延长到G使得 ，连接，，则 为等腰直角三角形，求出，证明，根据三角形三边关系求出取值范围，问题得解． 【小问1详解】 解：由题意得，， 都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，可以看作绕点B逆时针旋转 后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是 ； 【小问2详解】 解：∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形， ∴，，， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴当 时，、、三点在一直线上时， 在 中，∵， ∴， 如图2，当点在线段上时， ， ∴； 如图3，当点在线段延长线上时， ， ∴． 综上所述，当 时，线段的长为或； 【小问3详解】 解：延长到G使得 ，连接，， 则 为等腰直角三角形， ∴， ∵M为中点，F为 中点， ∴ 为 的中位线， ∴， 在 中，∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $