精品解析：2025年辽宁省大连市西岗区中考一模数学试卷

阶段调研试卷九年级数学 2025年4月 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念, 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列有理数中，比小的数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，熟练掌握有理数大小比较法则是解题的关键． 根据有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，两全负数，绝对值大的反而小，求解即可． 【详解】解：∵， ∴比小的数是， 故选：D． 3. 如图所示放置茶杯，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据俯视图的定义，即可得出答案，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形是解题的关键． 【详解】如图所示的正三棱柱的俯视图是： ， 故选：D． 4. 如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 在3月21日举行的2025大连市高品质家具博览会上，全市30多个家具厂商积极布展，交易总金额达5320万元．将53200000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 故选：C 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可． 【详解】A．，故本选项原说法不符合题意； B．，故本选项原说法不合题意； C．，故本选项原说法不合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7. 盒中装有4只白球和5只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查概率的求法，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：根据题意可得：盒中装有4只白球和5只黑球，共9个， 任意摸出1个，摸到白球的概率是． 故选：D． 8. 如图，在ABCD中，ECD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE ∴△DEF∽△BAF ∴ ∵， ∴DE：AB=2：5 ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 9. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系. 设雀每只两，燕每只两，根据五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重，找到等量关系即可列出方程组. 【详解】∵雀每只两，燕每只两， 依题意可得 故选A 10. 已知菱形的周长是，面积为，则较长的对角线的长是（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，，设，求出，再由勾股定理求出，利用完全平方公式得到，，进而求出，解方程组即可解答． 【详解】解：如图， ∵菱形的周长是，面积为， ∴，， 设， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， 两式相加：， ∴， 则较长的对角线的长是， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解： 或， ， 故答案为：， 12. 如果点是点关于原点的对称点，那么等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．根据关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵点是点关于原点对称点， ∴， 故答案为：． 13. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加_____即可（只需添加一个条件）． 【答案】∠ADE＝∠C 【解析】 【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题． 【详解】∵∠A是公共角， 如果∠ADE=∠C， ∴△ADE∽△ABC， 故答案为∠ADE=∠C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①有两组角对应相等的三角形相似，②三边对应成比例的两个三角形相似，③两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 14. 如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在C处知，在E处测得，，仪器高度，这棵树的高度为__________． 【答案】米 【解析】 【分析】根据直角三角形的边角间关系，可用含的代数式表示出、，由于，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：由题意，四边形、四边形、四边形均为矩形， 、均为直角三角形， 所以米，米． 在中，， 即， 在中，， 即， 又， ， 即， ， （米）， 故答案为：米． 【点睛】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键． 15. 已知，如图，平分的内角，平分的外角，若，且测得，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由平分的内角，平分的外角，证明，如图，在上截取，连接，证明，证明，，可得，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：设，平分的内角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵平分的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简及二次根式的减法，分式的混合运算． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂，化简绝对值，二次根式，再进行加减运算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式   ；                                        （2）原式                                    ． 17. 列方程解应用题 八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 【答案】骑车学生的速度为 【解析】 【分析】设骑车学生的速度为，根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，以及他们同时到达，列出方程进行计算即可． 【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，由题意，得： ， 解的：， 经检验，是原方程的解． 答：骑车学生的速度为． 【点睛】本题考查分式方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出分式方程． 18. 好好学数学吧．据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下： 年龄范围（岁） 人数（人） 25 11 10 （1）填空：的值 ；该小组共统计了 名数学家的年龄； （2）调查的数学家样本中，哪个年龄范围的长寿数学家最多，人数是多少； （3）请预估《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96－97岁的人数． 【答案】（1）， （2）长寿数学家年龄在岁的人数最多，人数为人 （3）《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数估计有242人 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和统计表，从扇形统计图和统计表中获取正确信息，进行正确计算是解题的关键． （1）利用年龄范围为的人数为10人，对应的百分比为，求出总的统计人数，然后求出m的值即可； （2）由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在岁的占的百分比最大，即可得出答案； （3）用乘以小组共统计了100名数学家的年龄中在岁的百分比，即可求出结果． 【小问1详解】 解：∵年龄范围为的人数为10人，对应的百分比为， ∴总的统计人数为：（人）， ∴； 【小问2详解】 解：由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在岁的占的百分比最大，即长寿数学家年龄在岁的人数最多， 人数为：（人）． 【小问3详解】 解：（人）， 答：《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数估计有242人． 19. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 【答案】（1）2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为 （2）此次价格的下降率最多是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，200元经过两年下降后的价格为，由此列出方程，求解方程即得答案； （2）设此次价格的下降率为m，根据题中的数量关系列出不等式，求解不等式即得答案． 【小问1详解】 设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得，， 解得，（舍去）， 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； 【小问2详解】 设此次价格的下降率为m， 根据题意得， 解得， 答：此次价格的下降率最多是． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点B（，n）．连接OB，若S△AOB=1． （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）直接写出不等式组 的解集． 【答案】(1) y=y=x+；(2) 0＜x＜ ． 【解析】 【分析】（1）由S△AOB=1与OA=1，即可求得A与B的坐标，则可利用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的关系式； （2）根据图象可得在第一象限且反比例函数的函数值大于一次函数的函数值部分． 【详解】解：（1）由题意得OA=1． ∵S△AOB=1，∴×1×n=1，解得：n=2，∴B点坐标为（，2），代入y=得：m=1， ∴反比例函数关系式为y=； ∵一次函数的图象过点A、B，把A、B点坐标代入y=kx+b得： ，解得：， ∴一次函数的关系式为y=x+； （2）由图象可知，不等式组的解集为：0＜x＜． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的知识．注意待定系数法与数形结合思想的应用． 21. 如图，已知，中，，以为圆心，长为半径的圆交于，交于，为上一点，连接，若． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等边对等角结合直角三角形两锐角互余即可证明； （2）利用勾股定理先求出，过点A作于点H，利用三角形等面积法求出，解直角三角形求出，再利用勾股定理求出，即可解答． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 过点A作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，掌握切线的判定定理成为解题的关键． 22. 课堂上，刘老师与学生进行如下习题训练，让学生从中体会由于点的移动导致几何形的变化，进而引发几何结论千变万化的魅力，来吧，体验吧． 已知，中，，，，为上一动点，连接，作，且使． （1）当点D运动到时，如图（一），求的长； （2）如图（二），当D为中点时，求的长； （3）如图（三），M为中点，N为中点， ①判断与的位置关系，并证明； ②当D从点B运动到点C时，直接写出点N经过的路径长． 【答案】（1） （2） （3）①，证明见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，等边对等角等等，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）由直角三角形的性质得到，证明，得到，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）连接，由直角三角形的性质可得，由相似三角形的性质可得，则，，再证明，得到，则，据此可证明；②当点D与点C重合时，点N与点重合，可得B、A、E三点共线；证明，求出，则，证明，得到；当点D与点B重合时，点N与点M重合，当点D与点C重合时，点N与点重合，则点N的运动轨迹即为线段，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，，，为中点， ∴， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：①，证明如下； 如图所示，连接， ∵，为中点，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当点D与点C重合时，点N与点重合，则， ∴， ∴B、A、E三点共线， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴点N在直线上运动， ∵当点D与点B重合时，点N与点M重合，当点D与点C重合时，点N与点重合， ∴点N的运动轨迹即为线段， ∴当从点运动到点时，直接写出点经过的路径长为． 23. 已知，抛物线交x轴于、，交y轴于，若或，那么就称二次函数为“和协二次函数”． （1）判断函数是否为“和协二次函数” （填“是”或“否”）； （2）若是“和协二次函数”，求值； （3）已知“和协二次函数”交轴于、（在的左边）交轴于，顶点为． ①如图（1），在直线上方的抛物线上有、两点，是否存在这样的点，使总是大于，若存在，求点坐标，若不存在请说明理由； ②如图（2），逆时针旋转，使其恰好经过抛物线的顶点，沿射线方向平移抛物线，得到新抛物线，其顶点为，两抛物线交于点，若，求平移的距离． 【答案】（1）是 （2）或 （3）①，② 【解析】 【分析】（1）先求解二次函数与坐标轴的交点坐标，再根据新定义的含义可得答案； （2）先求解二次函数与坐标轴的交点坐标，再根据新定义的含义建立方程求解可得答案； （3）①说明不重合，当总是大于，的面积最大，过作的平行线，设为，可得，此时，再进一步求解即可；②求解，直线为，设；过作轴的平行线，交轴于，过作轴的平行线，与过作轴的平行线的交点为，可得平移后的抛物线为，求解，证明，可得，解得：，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴函数是“和协二次函数”； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴； ∴，， ∵是“和协二次函数”， 当时， 当时， ∴， 解得：，经检验符合题意； 当时， 当时， ∴， 解得：；经检验符合题意； 小问3详解】 解：①存在，理由如下： ∵在直线上方抛物线上有、两点， ∴不重合， 当总是大于， ∴的面积最大， 如图， ∵“和协二次函数”交轴于、（在的左边）交轴于，顶点为． 同理可得：，，， 设直线为：， ∴， 解得：， ∴直线为， 过作的平行线，设为， ∴，即， 此时， 解得：， ∴，， ∴，， ∴； ②∵， ∴， ∴设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， 设；过作轴的平行线，交轴于，过作轴的平行线，与过作轴的平行线的交点为， ∴平移后的抛物线为， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验是原方程的根， ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是新定义的含义，求解二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与图形面积，二次函数的平移，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段调研试卷九年级数学 2025年4月 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列有理数中，比小的数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 如图所示放置茶杯，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在3月21日举行的2025大连市高品质家具博览会上，全市30多个家具厂商积极布展，交易总金额达5320万元．将53200000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 盒中装有4只白球和5只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 9. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 已知菱形的周长是，面积为，则较长的对角线的长是（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程根是______． 12. 如果点是点关于原点的对称点，那么等于______． 13. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加_____即可（只需添加一个条件）． 14. 如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在C处知，在E处测得，，仪器高度，这棵树的高度为__________． 15. 已知，如图，平分的内角，平分的外角，若，且测得，，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. （1）计算： （2）计算： 17. 列方程解应用题 八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 18. 好好学数学吧．据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下： 年龄范围（岁） 人数（人） 25 11 10 （1）填空：的值 ；该小组共统计了 名数学家的年龄； （2）调查的数学家样本中，哪个年龄范围的长寿数学家最多，人数是多少； （3）请预估《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96－97岁的人数． 19. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点B（，n）．连接OB，若S△AOB=1． （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）直接写出不等式组 的解集． 21. 如图，已知，中，，以为圆心，长为半径的圆交于，交于，为上一点，连接，若． （1）求证：为的切线； （2）若，，求长． 22. 课堂上，刘老师与学生进行如下习题训练，让学生从中体会由于点的移动导致几何形的变化，进而引发几何结论千变万化的魅力，来吧，体验吧． 已知，中，，，，为上一动点，连接，作，且使． （1）当点D运动到时，如图（一），求长； （2）如图（二），当D为中点时，求的长； （3）如图（三），M为中点，N为中点， ①判断与的位置关系，并证明； ②当D从点B运动到点C时，直接写出点N经过的路径长． 23. 已知，抛物线交x轴于、，交y轴于，若或，那么就称二次函数为“和协二次函数”． （1）判断函数是否为“和协二次函数” （填“是”或“否”）； （2）若是“和协二次函数”，求值； （3）已知“和协二次函数”交轴于、（在的左边）交轴于，顶点为． ①如图（1），在直线上方的抛物线上有、两点，是否存在这样的点，使总是大于，若存在，求点坐标，若不存在请说明理由； ②如图（2），逆时针旋转，使其恰好经过抛物线顶点，沿射线方向平移抛物线，得到新抛物线，其顶点为，两抛物线交于点，若，求平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $