贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

高二联考数学 注意事项： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 中 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册6.1到 7.3。 敏 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 矩 题目要求的 1.随机变量：的分布列是 螂 1 2 3 P 长 号 。 则p= ☒ A号 B号 c号 n音 都 2.从4名女同学和3名男同学中各选1人来主持某次主题班会，则不同的选法有 A.12种 B.7种 C.4种 D.3种 招 3.若随机变量X满足D(X)=9,则σ(2X十3)= A.3 B.6 C.9 D.36 前 4函数fx)=x+上的图象在点(-1，f(-1D)处的切线方程为 A.x-2y-3=0 B.2x+y+4=0 C.2x+y=0 D.2x-y=0 5.已知随机事件A,B满足P(A)=号，P(AB)=言，则P(BA)= A.18 B.7 C.4 1 0.18 6.(5x-g)” 的展开式中x3的系数为 郭 A.-C8×5×8 B.C55×8 C.C×5×83 D.-C×55×8 【高二数学第1页（共4页）】 ·B1· 7.9205除以80的余数为 A.3 B.6 C.9 D.18 8.一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单 位长度，其中在点(1,1)的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次 能移动到点(3,3)的不同走法有 A.8种 B.10种 C.12种 D.16种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知Sm是等差数列{an}(n∈N“)的前n项和，且So>0,a。<0,则下列说法正确的是 A.{a.}的公差d<0 B.a4十as+a6<0 C.Su>0 D.S5≥S 10.若函数f(x)= -3ar2+8x-1有极值，则a的取值可能是 A.-2 B.-1 C.1 D.2 11.从0,1,2,3,4,5中任选4个不同的数字组成一个四位数，则下列说法正确的是 A.这样的四位数有300个 B.若这个四位数是偶数，则这样的四位数有156个 C.若0,1被选中，且0,1不相邻，则这样的四位数有72个 D.若这个四位数的个位、十位和百位上的数字之和为偶数，则这样的四位数有144个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知P(A)=0.3,P(B)=0.6,且事件A与B相互独立，则P(AUB)=▲ 13.若(2+x)1=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)",则ag=▲，a1+ a2十…十a1m=.(结果用数字表达) 14.某校举办奥运知识竞赛，比赛的题目包括“奥运会历史”“中国历届奥运会成绩”两个板块，每 个板块4个题目，每位参加比赛的同学从两个板块中各随机抽取2题回答，累计至少答对3 题者获得奖品一份.已知甲同学能正确回答“奥运会历史”板块中的2题，能正确回答“中国 2 历届奥运会成绩”板块中每题的概率均为？，且回答每题相互独立，则甲同学获得一份奖品 的概率为 【高二数学第2页（共4页）】 ·B1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 某俱乐部安排3名女生和4名男生组成一支队伍参加羽毛球团体赛，每人只参加一个项目. (1)若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，求不同的安排方法种数； (2)若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，求不同的安 排方法种数； (3)若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数. 16.(15分) 将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所 取球的最大号码. (1)求X的分布列： (2)求X>5的概率. 17.(15分) 已知{an}为等差数列，{bn}是公比为3的等比数列，且a3=b2,a,=b: (1)证明：a1=b1. (2)若a1=1,求数列{a,bn}的前n项和S,. 【高二数学第3页（共4页）】 ·B1· 18.(17分) 数据显示，中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶 段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国A1大模型用户， 统计他们的年龄（都在[15,65]内），按照[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]分组， 得到如下的频率分布直方图. (1)估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数， (2)为了进一步了解用户在工作中使用AI大模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方 式，从年龄在[25,45)内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公 司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼： ①求至少有1名年龄在[25,35)内的用户获得幸运大礼的概率； ②记年龄在[35,45)内的用户中获得幸运大礼的人数为X,求X的分布列和期望. 0.040 频率/组距 0.030 学 0.015 0.010 学 0.005 0152535455565年龄/岁 $ 19.(17分) 已知函数f(x)=aln(x十1)十x一1. (1)若∫(x)在(1，十∞)上单调递增，求a的取值范围： 烟 (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)在(-2,7）上有2个零点，求a的取值范围. 【高二数学第4页（共4页）】 ·B1· 高二联考数学参考答案 1.C由号++名=1，解得p=2 3 2.A依题意，不同的选法有4×3=12种. 3.B因为D(X)=9,所以D(2X+3)=4D(X)=36,故6(2X+3)=/D(2X+3)=6. 4D因为了)=3-之，所以f（一1)=2.因为(-1)=一2，所以切线方程为y+2= 2(x+1),即2x一y=0. 1 P(AB)6 7 5.D因为P(B1A) P(A) -所以PBA=1-PB1A是 7 6A(5x-' 的展开式的通项T,+1=C5(5.x)”-'(一8x1)=C5r(一8)x-r,令9一2r =3,得r=3,所以x3的系数为C×5×(-8)3=一C×55×8. 7.C因为92025=9X81o12=9×(80+1)1o12=9(C9o12801012+C1280om+C号12801o0+…+ C8l80+C8)=9(C9o2801o12+C1o1280111+C号o1280110+…+C880)+9,所以92o5除以 80的余数为9. 8.A蚂蚁移动6次到点(3,3)，有C=20种走法，其中会经过点(1,1)的走法有C2C=12种， 所以蚂蚁移动6次能移动到点(3,3)的不同走法有20一12=8种. 9.AD S1o= 10a+an)=5(a十a)>0,即a十a>0,因为a6<0,所以as>0,故{a,}的公 2 差d<0,A正确：a4十a5十a6=3a>0,B错误；S1=1la6<0,C错误；因为当n≤5时，am> 0,当n>5时，am<0,所以S5≥Sn,D正确. 10.ADfx)-号r-6ar+8,依题意可得△=36a-1×号×8>0，解得a<-1或a>1. 11.ABD对于A,这样的四位数有5A=300个，A正确. 对于B,若个位上的数字是0，则这样的四位数有A=60个：若个位上的数字不是0，则这样 的四位数有2×4×A?=96个.故这样的四位数有156个，B正确。 对于C,这样的四位数有AC2C2-48个，C错误。 对于D,若个位、十位和百位上的数字都是偶数，则这样的四位数有3A=18个 若个位、十位和百位上的数字是一个偶数和两个奇数，当这个偶数是0时，这样的四位数有 3CA=54个：当这个偶数不是0时，这样的四位数有2C号C2A=72个.故这样的四位数有 144个，D正确. 【高二数学·参考答案第1页（共4页）】 ·B1- 12.0.72因为事件A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.18,所以P(AUB)= P(A)+P(B)-P(AB)=0.72. 13.1:2047令x=-1,得a。=(2-1)"=1.令x=0,得a0十a1+a2十…十a1=21=20M8, 所以a1+a2+…十a11=2047. 1.号 记甲答对“奥运历史”板块的题目数为X,答对“中国历届奥运会成绩”板块的题目数为 Y,甲同学获得一份奖品为事件A, 则P(A)=P(X=1)P(Y=2)+P(X=2)P(Y=1)+P(X=2)PY=2), 故P(A)= 器×)+得××号×号+×)- 15.解：(1)不同的安排方法种数为AA=720.…4分 (2)不同的安排方法种数为CCC2=36. …8分 (3)不同的安排方法种数为CCC号=630.……13分 5P(X-)-CIC 16.解：1)由题意可得P(X=3》=9- 3 C56 …3分 P(X=5)= CC 3 C P(X-6)= CC 5 C 28' …6分 CC%15 CC号3 P(X=7)= C 56P(X=8)= C 8 …9分 故X的分布列为 X 3 4 5 6 7 8 P 3 3 15 3 56 28 28 56 8 12分 (2)由(1)知X>5的概率为P(X-6)+P(X=7)+P(X=8)= ++--器 …15分 17.(1)证明：设{an}的公差为d.由ag=b2,可得a1十2d=3b1,…1分 由ag=b3,可得a1十8l=9b1,…2分 两式相减可得6b1=6d,即b1=d,…4分 将b1=d代人3b1=a1十2l,可得a1=b1,…6分 (2)解：因为a1=1,所以d=1,4m=1十(n一1)X1=n,…8分 bw=1X3w-1=3w-.…10分 故abn=n×3"-1,则Sn=1×3°+2×3+…十n×3"-1,① 【高二数学·参考答案第2页（共4页）】 ·B1· ①×3得3S.=1×3+2×32+…+n×3",② ①-②得-2S.=1+3+3++3"-1-n×3 12分 =1-3” 1-3 n×3”=3”-1 2 一nX3", 故s。=(2m-1)X3+1 …15分 18.解：(1)A1大模型的用户年龄在[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]内的频率分别 为0.1.0.3.0.4,0.15,0.05，所以A1大模型用户年龄的第60百分位数在[35,45)内.… …3分 设AI大模型用户年龄的第60百分位数为x, 则(x-35)×0.04=0.2,解得x=40, 所以估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40.…6分 (2)由分层抽样可知，抽取的7名用户中年龄在[25,35)内和[35,45)内的分别有3人和 4人…7分 ①记至少有1名年龄在[25,35)内的用户获得幸运大礼为事件A, 则P(A)=1 C131 C污，所以至少有1名年龄在[25,35)内的用户获得幸运大礼的概率为 1 5 …10分 ②X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)= 35,P(X-1D=CC_12 81 C351 13分 P(X=2)= CC 18 4 C 16分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 1 8 35 35 3 12,36+12_12 E(X)=0+35+35+5-7 …17分 19.解：1)依题意得f(x)=车十10对x∈(1，十∞)恒成立…1分 即a≥一x一1对x∈（们，十0∞）恒成立，…2分 所以a≥一2，即a的取值范围是[一2，十o∞). …4分 (2)f(x)的定义域为（一1，十o∞），… 5分 f'(x)=x+a+1 x+1 【高二数学·参考答案第3页（共4页）】 ·B1- 当a≥0时，f'(x)>0,f(x)在（一1，十o∞）上单调递增.…6分 当a<0时，令f(x)<0,得-1<x<-a-1,令f(x)>0,得x>-a-1, 则f(x)在（一1，一a一1）上单调递减，在（一a一1，十o∞）上单凋递增.…8分 (3)当a≥0时，f(x)在(-，7）上单调递增，则f(x)在(-27）上至多有1个零点， 则以之0不符合题意。…9分 当a<0时，要使得/)在(-号，)上有2个零点则-号-。1<，即-8<a<一 …10分 r(-)=ah3>o… 且fq)=3aln2+6>0, …13分 f(-a-1)=aln(-a)-a-2<0, 设函数g(a)=aln(-a)-a-2,-8<a<-之 则g'(a)=ln(一a),所以g(a)在(-8，-1)上单调递增，在(-1，-）上单调递减， 所以g(a)mx=g(-1)=-1<0.…15分 13 aln2>0. 由aln2+2>0,得a∈(-n22n2 23 …17分 【高二数学·参考答案第4页（共4页）】 ·B1-