专题12.8 二次根式（2大知识点5大考点14类题型）（全章知识点梳理与题型分类专题）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题12.8 二次根式（2大知识点5大考点14类题型）（全章知识点梳理与题型分类专题） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【要点提示】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【要点提示】（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【要点提示】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【要点提示】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 【知识点二】二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【要点提示】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【要点提示】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 考点与题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】二次根式...............................................................3 【题型2】最简二次根式...........................................................4 【题型3】同类二次根式...........................................................4 【题型4】分母有理化.............................................................4 【考点二】性质条分缕析 【题型5】利用二次根式的性质化简.................................................5 【题型6】复合二次根式的化简.....................................................5 【题型7】利用二次根式性质比较大小...............................................6 【考点三】运算娴熟精通 【题型8】二次根式乘除运算.......................................................6 【题型9】二次根式加减运算.......................................................7 【题型10】二次根式加减乘除混合运算..............................................7 【题型11】二次根式混合运算化简求值..............................................8 【考点四】二次根式的应用 【题型12】二次根式的应用........................................................8 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型13】二次根式加减乘除混合运算..............................................9 【题型14】二次根式混合运算化简求值..............................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前“”难度系数0.65，“”难度系数0.4，“”难度系数0.15. 【考点一】夯实基本概念 【题型1】二次根式 【例1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则（    ） A．a B． C． D． 【变式1】（2025·安徽淮北·二模）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式2】（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）已知，的立方根是2，c的一个平方根是． （1）求a、b、c的值； （2）求的算术平方根． 【题型2】最简二次根式 【例2】（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【变式1】（24-25八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【变式2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）在同一平面坐标系中，点，点，那么点A与点B之间的距离是 ． 【题型3】同类二次根式 【例3】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）小文和小博同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就减去球上的数；若摸到灰色球，就加上球上的数． （1）如图1，若小文摸到图示两个小球，请计算出结果； （2）如图2，若小博摸到图示四个小球，最后的计算结果能和合并吗？说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·北京·专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么 ． 【题型4】分母有理化 【例4】（24-25九年级下·广东深圳·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，，则a，b之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）不等式的解集是 ． 【考点二】性质条分缕析 【题型5】利用二次根式的性质化简 【例5】（24-25八年级下·江西南昌·期中）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【学习新知，类比求解】解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】运用上面的方法解下列方程： （1）；         （2）． 【变式1】（24-25八年级下·湖北随州·期中）实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期中）若，则的值为 ． 【题型6】复合二次根式的化简 【例6】（21-22八年级下·山东济宁·期中）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： （1）在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【变式1】（22-23九年级下·重庆·自主招生）将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【题型7】利用二次根式性质比较大小 【例7】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） （1）题干中的四个空依次填 ， ， ， ． （2）参考上面的方法，比较和的大小． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【考点三】运算娴熟精通 【题型8】二次根式乘除运算 【例8】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）计算 （1）； （2）； （3）． 【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知，则a等于（　　）． A．2 B． C．4 D． 【变式2】（22-23八年级下·山东聊城·期中）计算的结果是 ． 【题型9】二次根式加减运算 【例9】（21-22八年级下·江苏无锡·阶段练习）计算 （1） （2） 【变式1】（21-22八年级上·全国·课后作业）若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据运算法则计算即可． 解：原式 ， 故答案为：． 【题型10】二次根式加减乘除混合运算 【例10】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算下列各题． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【变式2】（22-23八年级下·全国·单元测试）计算： （1） （2） （3） （4） 【题型11】二次根式混合运算化简求值 【例11】（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求代数式的值． 【变式1】（21-22八年级下·重庆沙坪坝·期中）先化简再求值：，其中． 【变式2】（20-21八年级下·湖北荆门·期中）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求值． 【考点四】二次根式的应用 【题型12】二次根式的应用 【例12】（23-24八年级下·河南驻马店·期末） 我们学习发现∶ 当时， 有 当且仅当时取等号． （1）求当时， 的最小值； （2）如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要多少m． 【变式1】（21-22八年级下·河北廊坊·阶段练习）如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22八年级上·陕西西安·期中）已知，，为三个正数，当代数式取最小值时 ． 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型13】链接中考 【例1】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 【题型14】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（   ） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得； ④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，有如下操作： （1）分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点M，N； （2）直线交，于点D，E； （3）以点A为圆心，任意长为半径画弧交，于点G，H； （4）分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，在的内部交于点P； （5）射线交直线于点Q，交于点F．现有以下结论： ①若，，则； ②点D为中点； ③若，，则的面积是的面积的2倍； ④若，，，的面积为，则的长为1． 其中正确的结论序号是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.8 二次根式（2大知识点5大考点14类题型）（全章知识点梳理与题型分类专题） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【要点提示】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【要点提示】（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【要点提示】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【要点提示】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 【知识点二】二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【要点提示】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【要点提示】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 考点与题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】二次根式...............................................................3 【题型2】最简二次根式...........................................................5 【题型3】同类二次根式...........................................................6 【题型4】分母有理化.............................................................7 【考点二】性质条分缕析 【题型5】利用二次根式的性质化简.................................................9 【题型6】复合二次根式的化简....................................................11 【题型7】利用二次根式性质比较大小..............................................13 【考点三】运算娴熟精通 【题型8】二次根式乘除运算......................................................15 【题型9】二次根式加减运算......................................................16 【题型10】二次根式加减乘除混合运算.............................................18 【题型11】二次根式混合运算化简求值.............................................20 【考点四】二次根式的应用 【题型12】二次根式的应用.......................................................22 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型13】二次根式加减乘除混合运算.............................................24 【题型14】二次根式混合运算化简求值.............................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点一】夯实基本概念 ★【题型1】二次根式 【例1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则（    ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，由图象判断代数式的正负，再化简即可，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． 解：由图象可得当时，， 当时，， ， 故选：A． 【变式1】（2025·安徽淮北·二模）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不为零的条件进行解题即可． 解：若分式在实数范围内有意义， 则， 解得，且． 故答案为：且． ★【变式2】（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）已知，的立方根是2，c的一个平方根是． （1）求a、b、c的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），，；（2）5 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得，由立方根的含义可得，由c的一个平方根是可得，从而可得答案； （2）先计算，再进一步可得答案． 解：（1）解： ， ，， ∴， 的立方根是2， ， ， c的一个平方根是， ； （2）解：，， ， 的算术平方根是5． 【点拨】本题考查的是平方根，算术平方根，立方根的含义，二次根式有意义的条件，不等式组的解法；掌握以上基础知识是解本题的关键． 【题型2】最简二次根式 ★【例2】（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点拨】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． ★【变式1】（24-25八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判定即可． 解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； （a为正整数）是最简二次根式； 故选C． 【变式2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）在同一平面坐标系中，点，点，那么点A与点B之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点距离计算公式，同一坐标系下点和点的距离为，据此求解即可． 解：∵在同一平面坐标系中，点，点， ∴， 故答案为：． 【题型3】同类二次根式 ★【例3】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）小文和小博同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就减去球上的数；若摸到灰色球，就加上球上的数． （1）如图1，若小文摸到图示两个小球，请计算出结果； （2）如图2，若小博摸到图示四个小球，最后的计算结果能和合并吗？说明理由． 【答案】（1）；（2）最后的计算结果能和合并，理由见分析 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，同类二次根式，利用二次根式的性质化简，正确化简是解题的关键． （1）直接计算即可； （2）先计算，再化简，判断是否为同类二次根式即可． 解：（1）解：由题意得，； （2）解：最后的计算结果能和合并，理由如下： 由题意得，， 而， ∵与是同类二次根式，故能合并， ∴最后的计算结果能和合并． 【变式1】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是最简二次根式且与可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可． 解：∵是最简二次根式且与可以合并， ∴，解得：， 故选：． 【变式2】（2024八年级上·北京·专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了最简二次根式、同类二次根式、一元一次方程等知识，理解并掌握最简二次根式和同类二次根式的定义和性质是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 解：∵两个最简二次根式与能合并， ∴两个最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：4． 【题型4】分母有理化 ★【例4】（24-25九年级下·广东深圳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算括号内的加法，再计算分式的除法，最后化为最简形式，然后将代入化简后的式子进行计算即可．掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键．也考查了分母有理化． 解： ， 当时，原式． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，，则a，b之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式四则运算，熟练掌握利用分母有理化进行化简是关键． 根据分母有理化将a化简，再计算，，的值，，即可得出答案． 解：∵， ∴A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，分母有理化，熟练掌握解题步骤和运算法则是解题的关键． 根据解一元一次不等式的方法和步骤即可求解． 解： ， 故答案为：． 【考点二】性质条分缕析 【题型5】利用二次根式的性质化简 ★【例5】（24-25八年级下·江西南昌·期中）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【学习新知，类比求解】解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】运用上面的方法解下列方程： （1）；         （2）． 【答案】，7，7；（1）；（2）无解 【分析】学习新知，类比求解：根据题意补充完整即可； （1）移项得，，根据原题提供的方法进行求解即可； （2）移项得，，根据原题提供的方法进行求解即可． 解：学习新知，类比求解：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 答案为：，7，7 ； 学会转化，解决问题： （1）， 解：移项得，， 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）， 移项， 去根号，两边同时平方得方程， 解这个方程，得， 经检验，不是是原方程的解．原方程无解． ★【变式1】（24-25八年级下·湖北随州·期中）实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的化简以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则以及数轴进行化简即可． 解：由题意可知，，， 故， 故． 故选：D． ★【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期中）若，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可． 解：∵有意义， ∴，解得：， ， ， ， ， 故答案为：2025． 【题型6】复合二次根式的化简 ★【例6】（21-22八年级下·山东济宁·期中）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： （1）在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】（1）④，；（2） 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 解：（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． ★【变式1】（22-23九年级下·重庆·自主招生）将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． ★【变式2】（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 解： ； 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 【题型7】利用二次根式性质比较大小 ★【例7】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） （1）题干中的四个空依次填 ， ， ， ． （2）参考上面的方法，比较和的大小． 【答案】（1），7，，；（2），过程见分析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键． （1）根据完全平方式计算，与比较大小，即可求解， （2）根据完全平方式分别计算和，比较大小，即可求解． 解：（1）解：∵，， 且， ∴， ∴， 故答案为：，7，，； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴ ∴． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可． 解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【考点三】运算娴熟精通 【题型8】二次根式乘除运算 【例8】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （3）利用乘方的意义、二次根式的性质、绝对值的代数意义以及立方根定义计算即可求出答案． 解：（1）解： ； （2） ； （3） ． ★【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知，则a等于（　　）． A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式化简即可． 解：由题意知， ∵， ∴，即． 故选：A． 【变式2】（22-23八年级下·山东聊城·期中）计算的结果是 ． 【答案】0 【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 解：原式 ． 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 【题型9】二次根式加减运算 【例9】（21-22八年级下·江苏无锡·阶段练习）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先将根号下的带分数化成假分数，然后跟号外与跟号外相乘，根号内与根号内相乘即可； （2）先将根号进行化简，然后跟号外与跟号外相乘除，根号内与根号内相乘除即可； 解：（1）解：原式= = = （2）解：原式= = = 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算法则． 【变式1】（21-22八年级上·全国·课后作业）若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高． 解：直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h）的乘积，即， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据运算法则计算即可． 解：原式 ， 故答案为：． 【题型10】二次根式加减乘除混合运算 ★【例10】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算下列各题． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）6；（4） 【分析】本题考查根式的混合运算，平方差公式运算，完全平方公式运算： （1）直接根据展开求解即可得到答案； （2）直接根据展开求解即可得到答案； （3）根据展开，结合根式的性质求解即可得到答案； （4）根据展开，结合根式的性质求解即可得到答案； 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． ★【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零次幂、负整数指数幂、化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分别化为最简二次根式，再运算加减法，即可作答． （2）先运算平方差公式得，再除法运算，然后合并同类二次根式，即可作答． （3）先化简绝对值以及负整数指数幂运算，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （4）先化简零次幂、负整数指数幂、再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 解：（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． ★【变式2】（22-23八年级下·全国·单元测试）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先将二次根式化简，再进行二次根式的加减运算. （2）直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案． （3）先进行二次根式的除法运算，然后化简即可； （4）按照二次根式的混合运算的顺序先乘方，再乘除，最后加减进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． 【题型11】二次根式混合运算化简求值 ★【例11】（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求代数式的值． 【答案】95 【分析】本题主要考查了分母有理化、代数式求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 通过分母有理化可得、，进而得到，然后将原式化为，最后整体代入计算即可． 解：， ， ， ． 【变式1】（21-22八年级下·重庆沙坪坝·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将原式中二次根式化为最简二次根式再合并，根据二次根式被开方数为非负数的性质分别求出、，最后代入计算即可． 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 原式 当，时， 原式 ． 【点拨】本题考查的是二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式有意义的条件．解题的关键是能熟练把二次根式化为最简二次根式． ★【变式2】（20-21八年级下·湖北荆门·期中）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求值． 【答案】（1）；（2）11 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案． （2）先由x与y的值计算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy计算可得． 解：（1）原式 ， 当时，原式． （2）∵，， ∴， ， 原式＝x2﹣2xy+y2+xy ＝（x﹣y）2+xy ＝（2）2﹣1 ＝12﹣1 ＝11． 【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式． 【考点四】二次根式的应用 【题型12】二次根式的应用 ★【例12】（23-24八年级下·河南驻马店·期末） 我们学习发现∶ 当时， 有 当且仅当时取等号． （1）求当时， 的最小值； （2）如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要多少m． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查了配方法的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． （1）利用题目中的结论进行计算即可得出答案； （2）设花圃的长为米，宽为米，需要篱笆的长度为米，利用题目中的公式即可求得最小值． 解：（1）， ， 的最小值为2； （2）设花圃的长为米，宽为米，则，，， 根据题目的结论可得：， 篱笆至少需要． 【变式1】（21-22八年级下·河北廊坊·阶段练习）如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质化简计算即可．　 解：由三角形的面积公式可得所求高为： 故选B． 【点拨】本题考查二次根式的综合应用，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【变式2】（21-22八年级上·陕西西安·期中）已知，，为三个正数，当代数式取最小值时 ． 【答案】/ 【分析】根据题意得，再根据非负数的性质得，，，求出、、的值，代入计算即可． 解：∵代数式取最小值， ∴代数式， ∴，，， 解得：，，， ∵a，，为三个正数， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的应用、非负数的性质，掌握这二个知识点的综合应用，其中根据题意列出等式是解题关键． 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型13】链接中考 ★【例1】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． ★【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 分情况讨论： ①如图所示，过点B作，垂足为点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ②如图所示，当点D运动到点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 【题型14】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（   ） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得； ④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键． 直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 当时，，故结论①正确； ②， 当，则 当则．故结论②正确； ③， 当时，， 当时，，故结论③错误； ④， ， 当时，， ， ， 有无数和满足等式，故结论④错误． 综上所述：正确结论有①②，共2个， 故选：B． ★★【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，有如下操作： （1）分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点M，N； （2）直线交，于点D，E； （3）以点A为圆心，任意长为半径画弧交，于点G，H； （4）分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，在的内部交于点P； （5）射线交直线于点Q，交于点F．现有以下结论： ①若，，则； ②点D为中点； ③若，，则的面积是的面积的2倍； ④若，，，的面积为，则的长为1． 其中正确的结论序号是 ． 【答案】 【分析】由三角形的内角和定理可判断故①符合题意；连接，如图，证明，结合当为的中点，则，可得，可得，可判断②不符合题意；设到的距离为，到的距离为，证明，可得，可判断③符合题意；求解，可得，可判断④符合题意； 解：∵，， ∴，故①符合题意； 连接，如图， 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 当为的中点，则， ∴， ∴， ∴， 与题干条件矛盾，故②不符合题意； 设到的距离为，到的距离为， ∵平分， ∴， ∴， ∴的面积是的面积的2倍；故③符合题意； ∵，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴；故④符合题意； 综上可知：正确， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是角平分线，线段的垂直平分线的作图，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，等腰三角形的性质，理解作图含义是解本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$