专题11.2 反比例函数的图象与性质（3大知识点4大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.2 反比例函数的图象与性质（3大知识点4大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的图象 1.反比例函数图象的画法（描点法） （1）列表； （2）描点； （3）连线. 2.图象的特点 （1）反比例函数的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 【特别提示】 双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点）又是轴对称图形（对猕轴是直线：y=x或直线y=-x）； 实际问题中反比例函数的图象，受目变量取值范围的限制，有时只是第一象限内的一支或其中一部分。 【知识点2】反比例函数的性质 y＝ （k为常数，） 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X 一、三（x，y同号）[ 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小. 在每个象限内，y随x的增大而增大. 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【特别提示】在描述反比例函数的噌减性时,必须指明在每一个家限内”.因为当k0（k0）时,整个函数不是y随x的增大而减小（增大）而是函数在每一个象限内,y随x的增大而减小（增大）,所以笼统地说对于函数当成y随x的增大而减小是错误的. 【知识点3】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.如图①和②，|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 【特别提示】 （1）已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （2）越大，双曲线离原点越远. （3）求k的常用方法:①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；②设点法列方程求k值:化斜为直，把相似转化为坐标关系. 题型目录 【考点一】反比例函数的图象 【题型1】判断反比例函数的图象.................................................3 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式.......................................4 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围.....................................5 【题型4】判断反比例函数所在的象限.............................................5 【考点二】反比例函数的性质 【题型5】反比例函数的对称性...................................................6 【题型6】判断反比例函数的增减性...............................................6 【题型7】由反比例函数的增减性求参数...........................................7 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小.................................7 【考点三】比例系数k的几何意义 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积...........................................7 【题型10】由图形面积求比例系数................................................8 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型11】直通中考............................................................9 【题型12】拓展延伸...........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【反比例函数的图象】 【题型1】判断反比例函数的图象 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个长方形的面积为6，长为x，宽为y （1）y与x之间的函数关系式为_________； （2）列表如下： x … 1 2 3 4 6 … y … 6 3 m 1 … 直接写出上面表格中m的值：_________，并在图中画出该函数的图象； （3）在（2）的条件下，若点与点是该图象上的两点，试比较b和c的大小． 【变式1】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是 ． 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式 【例2】（2025·贵州·模拟预测）如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）判断，，是否在反比例函数的图象上． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围 【例3】（22-23八年级下·四川眉山·阶段练习）反比例函数和一次函数的图象如图所示，化简：．    【变式1】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·四川成都·模拟预测）使关于x的分式方程的解为非负数，且使反比例函数的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数的和 ． 【题型4】判断反比例函数所在的象限 【例4】（2025·广西来宾·一模）反比例函数的图象一定经过（    ） A．一二象限 B．一三象限 C．二三象限 D．二四象限 【变式1】（24-25九年级上·河北保定·期末）反比例函数中，当时，，点在此反比例函数图象上，则n的值为（   ） A． B． C．8 D． 【变式2】（2023·浙江杭州·一模）已知点，在反比例函数图象上． （1）若，则 ． （2）若，，则当自变量时，函数y的取值范围是 ． 【反比例函数的性质】 【题型5】反比例函数的对称性 【例5】（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． （1）图1中，作点关于点的对称点； （2）图2中，若点，请作出直线． 【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西·模拟预测）若直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，则的值为 ． 【题型6】判断反比例函数的增减性 【例6】（24-25九年级上·山东滨州·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是6． （1）当时，求反比例函数的值； （2）当时，求反比例函数的取值范围． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 【变式2】（2025·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ． 【题型7】由反比例函数的增减性求参数 【例7】（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知反比例函数（k为常数，）． （1）若点在这个函数的图象上，则k的值为_______． （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． （3）若，试判断点，是否在这个函数的图象上． 【变式1】（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）反比例函数具有：当时，随的增大而减小的性质，写出一个满足条件的常数的值是 ． 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小 【例8】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，均在反比例函数的图象上，若，请写出，的大小关系． 【变式1】（2025·天津西青·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东淄博·一模）若点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为 ． 【比例系数k的几何意义】 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积 【例9】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积． 【变式1】（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D．3 【变式2】（2025·甘肃定西·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在轴上，，两点分别在反比例函数与的图象上，若，则的值为 ． 【题型10】由图形面积求比例系数 【例10】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图点A在反比例函数的图象上，是直角三角形，边在x轴上， ，直线与反比例函数的图象交于A、D两点，平移直线使此直线经过点B，与y轴交于F点． （1）若，，求直线的解析式 （2）连接，如果直线交线段于点E，且点E恰为的中点，的面积为8，求k的值 【变式1】（24-25九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图像经过顶点A，若，，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【变式2】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴、点分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ． 【中考链接与拓展延伸】 【题型11】直通中考 【例1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． （1）求的值； （2）利用图像直接写出时的取值范围； （3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【例2】（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． （1）当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； （2）当时，______（用含n的代数式表示）． 【题型12】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 【例2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.2 反比例函数的图象与性质（3大知识点4大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的图象 1.反比例函数图象的画法（描点法） （1）列表； （2）描点； （3）连线. 2.图象的特点 （1）反比例函数的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 【特别提示】 双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点）又是轴对称图形（对猕轴是直线：y=x或直线y=-x）； 实际问题中反比例函数的图象，受目变量取值范围的限制，有时只是第一象限内的一支或其中一部分。 【知识点2】反比例函数的性质 y＝ （k为常数，） 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X 一、三（x，y同号）[ 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小. 在每个象限内，y随x的增大而增大. 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【特别提示】在描述反比例函数的噌减性时,必须指明在每一个家限内”.因为当k0（k0）时,整个函数不是y随x的增大而减小（增大）而是函数在每一个象限内,y随x的增大而减小（增大）,所以笼统地说对于函数当成y随x的增大而减小是错误的. 【知识点3】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.如图①和②，|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 【特别提示】 （1）已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （2）越大，双曲线离原点越远. （3）求k的常用方法:①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；②设点法列方程求k值:化斜为直，把相似转化为坐标关系. 题型目录 【考点一】反比例函数的图象 【题型1】判断反比例函数的图象.................................................3 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式.......................................5 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围.....................................8 【题型4】判断反比例函数所在的象限.............................................9 【考点二】反比例函数的性质 【题型5】反比例函数的对称性..................................................11 【题型6】判断反比例函数的增减性..............................................13 【题型7】由反比例函数的增减性求参数..........................................15 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小................................16 【考点三】比例系数k的几何意义 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积..........................................18 【题型10】由图形面积求比例系数...............................................21 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型11】直通中考...........................................................26 【题型12】拓展延伸...........................................................29 第二部分【题型展示与方法点拨】 【反比例函数的图象】 【题型1】判断反比例函数的图象 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个长方形的面积为6，长为x，宽为y （1）y与x之间的函数关系式为_________； （2）列表如下： x … 1 2 3 4 6 … y … 6 3 m 1 … 直接写出上面表格中m的值：_________，并在图中画出该函数的图象； （3）在（2）的条件下，若点与点是该图象上的两点，试比较b和c的大小． 【答案】（1）；（2）2，画图见分析；（3） 【分析】本题考查的是列反比例函数解析式，画反比例函数图象，利用反比例函数的性质解决问题； （1）根据长方形的面积公式可得函数解析式； （2）把代入可得，再根据表格信息描点画图即可； （3）由图象可知，y随着x的增大而减小，结合图象进一步可得答案． 解：（1）解：∵一个长方形的面积为6，长为x，宽为y， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴画出函数图象如图所示． （3）解：由图象可知，y随着x的增大而减小． 而点与点是该图象上的两点，， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，正比例函数图象与性质．解题的关键是先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据正比例函数的性质进行解答． 分别根据反比例函数及正比例函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 解：当时， ∴反比例函数的图象在一、三象限， ， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，故A，C选项错误； 当，则， ∴反比例函数在二四象限，正比例函数经过一、三象限，故B选项正确，D选项错误， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，难度不大，关键是结合函数图象解答较为简单．根据正比例函数及反比例函数的性质作答即可． 解：直线中，，图像过一、三象限， 函数的图象与直线没有交点， 函数的图像必须位于二、四象限， ， ． 故答案为：． 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式 【例2】（2025·贵州·模拟预测）如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）判断，，是否在反比例函数的图象上． 【答案】（1）；（2）点A不在该反比例函数图象上，点B，C在该反比例函数图象上 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，判断点是否在反比例函数图象上，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出点P的坐标． （1）用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特点，逐个进行判断即可． 解：（1）解：根据题意，得点． 设， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴不在该反比例函数图象上； ∵， ∴在该反比例函数图象上； ∵， ∴在该反比例函数图象上． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，掌握函数图象在哪个象限内与相关参数的关系是解题的关键． 先判断出一次函数与反比例函数的图象在哪个象限内，再判断出k、b的大小即可． 解：∵一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上． ∴. ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 综上所述， ． 故选C． 【变式2】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围 【例3】（22-23八年级下·四川眉山·阶段练习）反比例函数和一次函数的图象如图所示，化简：．    【答案】 【分析】先由反比例和一次函数图像确定和的取值范围，再根据范围进行化简即可． 解：由图像可得：，， ∴，，∴，， 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的图像与系数的关系，去绝对值号去二次根号，注意符号变化是解决问题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解，即可解题． 解： 反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得， 故选：D． 【变式2】（2023·四川成都·模拟预测）使关于x的分式方程的解为非负数，且使反比例函数的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数的和 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，反比例函数的图象和性质；先解分式方程，根据方程的解的情况，结合分式的分母不为0，求出的取值范围，进而求出整数的值． 解：解，得：， ∵式方程的解为非负数，且， ∴，且， ∴且， ∵反比例函数的图象经过一，三象限， ∴， ∴， ∴满足条件的整数为：， ∴； 故答案为：1． 【题型4】判断反比例函数所在的象限 【例4】（2025·广西来宾·一模）反比例函数的图象一定经过（    ） A．一二象限 B．一三象限 C．二三象限 D．二四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质与图象．对于反比例函数，当，反比例函数图象在一、三象限；当，反比例函数图象在第二、四象限内． 解：反比例函数中， 则反比例函数的图象一定经过一三象限， 故选：B 【变式1】（24-25九年级上·河北保定·期末）反比例函数中，当时，，点在此反比例函数图象上，则n的值为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数的性质得出，再把点代入反比例函数解析式即可． 解：∵反比例函数中，当时，， ∴反比例函数图象在一三象限，且当时，， ∴，则 将代入， ∴， 故选：A． 【变式2】（2023·浙江杭州·一模）已知点，在反比例函数图象上． （1）若，则 ． （2）若，，则当自变量时，函数y的取值范围是 ． 【答案】 /0.5 或 【分析】（1）根据在反比例函数上的点可得，即可求解； （2）根据已知条件，结合（1）的结论可得，，进而根据反比例函数图象的性质即可求解． 解：（1）∵点，在反比例函数图象上． ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴，则 ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵反比例函数的图象在第一，三象限，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，即时，或 或 故答案为：或． 【点拨】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【反比例函数的性质】 【题型5】反比例函数的对称性 【例5】（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． （1）图1中，作点关于点的对称点； （2）图2中，若点，请作出直线． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查反比例函数的对称性，无刻度直尺作图，掌握反比例函数的中心对称性解题即可． （1）连接并延长交反比例函数于点，则点即为所作； （2）连接并延长交反比例函数于点，然后连接交双曲线于点，然后作点关于原点的对称点C，再过点A、C作直线，则直线即为所作． 解：（1）解：如图，点即为所作； （2）解：如图直线即为所作； 【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质，掌握其性质是解决此题的关键． 已知两函数的图象分别关于坐标原点对称，则点A与点B的坐标关于原点对称． 解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点A与点B的坐标关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 【变式2】（2025·陕西·模拟预测）若直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数是中心对称图形，可得，，可将化简为，再结合反比例函数图象上的坐标特征求解即可． 解：直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、， 和关于原点中心对称，， ，， ． 故答案为：6． 【题型6】判断反比例函数的增减性 【例6】（24-25九年级上·山东滨州·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是6． （1）当时，求反比例函数的值； （2）当时，求反比例函数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及反比例函数的性质，注意当时，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小． （1）首先把代入直线的解析式，求得交点坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，最后把代入求解即可； （2）首先求得当和时的值，然后根据反比例函数的性质求解． 解：（1）解：对于，当 时，， 故由题意知反比例函数 的图象经过点， 将 代入 得， 反比例函数的解析式为， 当时，， 即当时，反比例函数的值为． （2）解：对于，当时，；时，； 又由知，当时，随的增大而减小， 当时，反比例函数的取值范围是． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 解：A、反比例函数图象关于原点对称，故选项不符合题意； B、C、∵， ∴图象在二、四象限， ∴当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意，C选项符合题意； D、当时，需分情况讨论： 当，， 当时，， ∴当时，不一定小于，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题意判断出该反比例函数的增减性，进而即可求解． 根据，，得y随x的增大而减小，得函数图象在第三象限，即得的取值范围． 解：∵点都在反比例函数的图象上，且，， ∴时，y随x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 【题型7】由反比例函数的增减性求参数 【例7】（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知反比例函数（k为常数，）． （1）若点在这个函数的图象上，则k的值为_______． （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． （3）若，试判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】（1）5；（2）；（3）点B在，点C不在，见分析 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． （1）直接把点代入反比例函数解析式中，求出k的值即可； （2）根据函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大可得，解得k的取值范围； （3）当时，求出反比例函数的解析式，把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证． 解：（1）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得； 故答案为：5； （2）解：函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大， ， 解得． （3）解：当时，该反比例函数的解析式为． 将点代入，得，满足反比例函数解析式， 点B在函数图象上． 将点代入，得，不满足反比例函数解析式， 点C不在函数图象上． 【变式1】（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．解题的关键是掌握反比例函数的性质：（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大． 解：∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得：， ∴的取值可能为． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）反比例函数具有：当时，随的增大而减小的性质，写出一个满足条件的常数的值是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数的性质求出的范围，即可求解． 解：当时，反比例函数中随的增大而减小， ， 解得：， 常数的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小 【例8】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，均在反比例函数的图象上，若，请写出，的大小关系． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数的图象和性质． 把点的坐标代入中，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，即可得到反比例函数的解析式； 根据，可得：反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大，  根据，可得． 解：（1）解：反比例函数的图象经过点， ， ， 解得：，                    反比例函数的解析式为；       （2）解：， 在每一象限内，随的增大而增大，                点，均在反比例函数的图象上，且， ． 【变式1】（2025·天津西青·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． 分别把各点代入反比例函数的解析式，求出，，的值，再比较出其大小即可． 解：点，，都在反比例函数的图象上， 则，，； 则； 故答案为：D 【变式2】（2025·山东淄博·一模）若点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，判断出反比例函数所在的象限，再判断函数值大小即可． 解：∵， ∴的图象过一，三象限， ∵点和点在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴； 故答案为：． 【比例系数k的几何意义】 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积 【例9】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积与的关系：即可判断，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 解：延长交轴于， 轴， 垂直于轴，即， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为1， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为3， 矩形的面积为． 【变式1】（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的平移，反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义；先求解反比例函数为：，正比例函数为，直线为，，再进一步求解即可． 解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴，， 解得：， ∴反比例函数为：，正比例函数为， ∵将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点， ∴，即，一次函数为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴， 如图，过作轴于，作轴于，过作轴于， ∴五边形的面积为， ∴四边形的面积为； 故选：B． 【变式2】（2025·甘肃定西·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在轴上，，两点分别在反比例函数与的图象上，若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，平行四边形的性质，连接，设交x轴于E，如图，利用平行四边形的性质得垂直x轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到和，所以，然后根据平行四边形的面积公式可得到的面积，即可求出k的值． 解：连接，设交x轴于E，如图 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴垂直于x轴， ∴，， ∴， ∵的面积． ∴， 解得， 故答案为：3． 【题型10】由图形面积求比例系数 【例10】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图点A在反比例函数的图象上，是直角三角形，边在x轴上， ，直线与反比例函数的图象交于A、D两点，平移直线使此直线经过点B，与y轴交于F点． （1）若，，求直线的解析式 （2）连接，如果直线交线段于点E，且点E恰为的中点，的面积为8，求k的值 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，的几何意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入求出，，再把代入，求出，结合平移性质得直线的解析式为，再代入进行求解即可． （2）先过点A作轴，过点C作，证明四边形为矩形，然后运用点E恰为的中点，得出三点共线，运用面积关系以及的面积为8，进行列式计算，即可作答． 解：（1）解：∵，，，点A在反比例函数的图象上， ∴反比例函数，， 则把代入，得， 解得， 则，， ∵直线与反比例函数的图象交于A、D两点， ∴把代入， 得， ∴， 则， ∵平移直线使此直线经过点B，与y轴交于F点． ∴设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 即直线的解析式为． （2）解：过点A作轴，过点C作，如图所示： ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点E恰为的中点，四边形为矩形， ∴，三点共线， 同理得四边形为矩形， ∴， ∵的面积为8， ∴ 故， 则， 即， 则k的值为． 【变式1】（24-25九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图像经过顶点A，若，，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及反比例函数k的几何意义． 过点A作轴于点C，根据等腰三角形的性质以及反比例函数k的几何意义，可得，即可求解． 解：如图所示，过点A作轴于点C，   ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴、点分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接，利用平行线间的距离相等，即可求得，利用反比例函数系数的几何意义得出，，即可得出即 ，与构成方程组，解方程组即可求解，明确是解题的关键． 解：连接， ∵的顶点在轴上，垂直于轴， ∴轴， ∴， ∵点分别在函数和的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵， 得，即 ， 故答案为：． 【中考链接与拓展延伸】 【题型11】直通中考 【例1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． （1）求的值； （2）利用图像直接写出时的取值范围； （3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）或；（3）8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 解：（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 【例2】（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． （1）当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； （2）当时，______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）；；；；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 解：（1）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． 【题型12】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解． 解：如图，过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点横坐标为， ∵点为反比例函数的图象一点， ∴， ∴反比例函数图象为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【例2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象及性质，将函数变形为，因此该函数图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，根据由函数的图象逐项判断即可． 解：∵函数可变形为， ∴函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， ∵函数的图象的对称中心为原点， ∴函数的图象的对称中心为，故A选项错误； ∵由图可知，函数在时，不存在连续的增减性， ∴函数的图象在时，不存在连续的增减性，故B选项错误； ∵由图象可知，函数图象在时，有最低点，即存在最小值， ∵， 即当时，由最小值，为2， ∴函数在时，有最小值，为， ∴函数在时，由最小值，为，故C选项正确； ∵由函数与函数，可得， 即， 解得，， ∴二次函数的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D选项错误． 故选：C 1 学科网（北京）股份有限公司 $$