专题12.1 二次根式（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题12.1 二次根式（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的概念 一般地，式子叫做二次根式. 【特别注意】（1）若这个条件不成立，则 不是二次根式； （2）是一个重要的非负数，即； ≥0. 【知识点2】二次根式的几个重要公式 （1）, （2） ； 【特别注意】. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【题型1】二次根式有意义的条件...............................................1 【题型2】求二次根式的值.....................................................3 【题型3】求二次根式中的参数.................................................4 【题型4】利用二次根式的性质化简.............................................6 【题型5】复合二次根式的化简.................................................7 【题型6】中考链接...........................................................9 【题型7】拓展延伸..........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】二次根式有意义的条件 ★【例1】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． （1）求a，b的值； （2）求第三边c的长． 【答案】（1），；（2）或5 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、勾股定理，分类讨论是解答的关键． （1）根据二次根式有意义的条件求得a值，进而求得b值； （2）分为斜边和c为斜边两种情况，利用勾股定理求解即可． 解：（1）解：由题意，得且， ∴且，则， 将代入，得， ∴； （2）解：∵a，b是一直角三角形的两边长， ∴若为斜边，则； 若c为斜边，则， 综上，第三边c的长为或5． ★【变式1】（2025·山东青岛·一模）若实数，满足，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求出，，得出函数的解析式为，即可得出函数图象经过第一、二、三象限，求解即可． 解：实数，满足， 即， ，， ，， 函数的解析式为， 此函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． ★【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期中）若，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可． 解：∵有意义， ∴，解得：， ， ， ， ， 故答案为：2025． 【题型2】求二次根式的值 ★【例2】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 解：， ， 解得， ． ★【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． ★【变式2】（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 【题型3】求二次根式中的参数 ★【例3】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知、、满足． （1）求 、、 的值； （2）判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【答案】（1），，；（2）以 、、为三角形的三边长能构成三角形，这个三角形是直角三角形 【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 解：（1）解：， ， ，，， 解得：，，； （2），，，且， ， 以 、、为三角形的三边长能构成三角形； ， 这个三角形是直角三角形． 【点拨】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用相关知识． ★【变式1】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 解：， ， ，即，解得， 故选：C． ★【变式2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点拨】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 【题型4】利用二次根式的性质化简 ★【例4】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）若实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的位置关系，二次根式的性质，绝对值的性质，根据数轴可知，再根据二次根式的性质及绝对值的性质即可解答．掌握二次根式的性质及绝对值的性质是解题的关键． 解：由数轴可知， ． ★【变式1】（24-25八年级下·湖北随州·期中）实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的化简以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则以及数轴进行化简即可． 解：由题意可知，，， 故， 故． 故选：D． ★【变式2】（24-25八年级下·江西南昌·期中）式子化简的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查算术平方根和绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 解：， ． 故答案为：． 【题型5】复合二次根式的化简 ★【例5】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． （1）填上适当的数：｜__________｜__________； （2）当时，化简． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 解：（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． ★【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． ★【变式2】（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 解： ； 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 【题型6】中考链接 【例1】（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解． 解：根据题意得，， 解得， 在数轴上表示如下：    故选：C． 【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键． ★【例2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 【题型7】拓展延伸 ★★【例1】（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 解：将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ， ， ，，， ，，， ． 故答案为：． ★★【例2】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足 （1）求A、B两点的坐标： （2）如图②，将线段向下平移3个单位得线段，点是线段上任意一点，探究m与n的数量关系； （3）如图③，E是线段上一点，将点E向右平移4个单位，到点F，，若三角形的面积为15，求E点坐标． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】该题主要考查了平移的性质，绝对值和二次根式的非负性，坐标与图形，解题的关键是数形结合． （1）根据绝对值和二次根式的非负性求解即可； （2）根据平移性质可得，根据列式即可求解； （3）连接，根据平移性质可得，设点，根据，得到．根据，得，故得，即可求出． 解：（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：连接， 根据平移性质可得， ∵点，， ∴， 化简得：． （3）解：连接， 根据平移性质可得， 设点， 则， ∴， 化简得：． ， ∴， 化简得：， 故， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.1 二次根式（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的概念 一般地，式子叫做二次根式. 【特别注意】（1）若这个条件不成立，则 不是二次根式； （2）是一个重要的非负数，即； ≥0. 【知识点2】二次根式的几个重要公式 （1）, （2） ； 【特别注意】. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【题型1】二次根式有意义的条件...............................................1 【题型2】求二次根式的值.....................................................2 【题型3】求二次根式中的参数.................................................2 【题型4】利用二次根式的性质化简.............................................2 【题型5】复合二次根式的化简.................................................3 【题型6】中考链接...........................................................3 【题型7】拓展延伸...........................................................3 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“”难度系数0.65，“”难度系数0.4，“”难度系数0.15. 【题型1】二次根式有意义的条件 【例1】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． （1）求a，b的值； （2）求第三边c的长． 【变式1】（2025·山东青岛·一模）若实数，满足，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期中）若，则的值为 ． 【题型2】求二次根式的值 【例2】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为 ． 【题型3】求二次根式中的参数 【例3】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知、、满足． （1）求 、、 的值； （2）判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【变式1】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【变式2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【题型4】利用二次根式的性质化简 【例4】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）若实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 【变式1】（24-25八年级下·湖北随州·期中）实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江西南昌·期中）式子化简的结果为 ． 【题型5】复合二次根式的化简 【例5】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． （1）填上适当的数：｜__________｜__________； （2）当时，化简． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【变式2】（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【题型6】中考链接 【例1】（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（    ） A．   B．   C．   D．   【例2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【题型7】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 【例2】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足 （1）求A、B两点的坐标： （2）如图②，将线段向下平移3个单位得线段，点是线段上任意一点，探究m与n的数量关系； （3）如图③，E是线段上一点，将点E向右平移4个单位，到点F，，若三角形的面积为15，求E点坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$