专题12.5 二次根式的加减（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题12.5 二次根式的加减（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 【要点提示】 　　（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； 　　（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.（合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似） 【要点提示】 　　（1）根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 【知识点2】二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其 中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 【要点提示】 （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　（1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 　　（3）合并同类二次根式. 【知识点3】二次根式的混合运算 　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 【要点提示】 　　（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； 　　（2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； 　　（3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【考点一】概念理解 【题型1】同类二次根式........................................................2 【题型2】分母有理化..........................................................4 【考点二】二次根式的加减运算 【题型3】二次根式的加减运算..................................................6 【题型4】二次根式的混合运算..................................................8 【考点三】二次根式的化简求值 【题型5】已知字母的值,化简求值..............................................11 【题型6】已知条件式,化简求值................................................14 【考点四】二次根式的大小比较与应用 【题型7】比较二次根式的大小.................................................16 【题型8】二次根式的应用.....................................................18 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型9】直通中考...........................................................20 【题型10】拓展延伸..........................................................22 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带两颗“★”难度系数0.65，三颗“★”难度系数0.4，四颗“★”难度系数0.15. 【考点一】概念理解 【题型1】同类二次根式 【例1】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）下列各式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式）是解此题的关键． 根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 解：A、不能与合并，故本选项不符合题意； B、不能与合并，故本选项不符合题意； C、，不能与合并，故本选项不符合题意； D、，所以能与合并，故本选项符合题意， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，最简二次根式与为同类二次根式，列出方程组，进行求解即可． 解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与为同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：1，1 【变式2】（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式． （1）求出a的值； （2）若，化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式： （1）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此得到，则； （2）根据（1）所求得到，据此化简二次根式即可得到答案． 解：（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 【题型2】分母有理化 【例2】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，，则a，b之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式四则运算，熟练掌握利用分母有理化进行化简是关键． 根据分母有理化将a化简，再计算，，的值，，即可得出答案． 解：∵， ∴A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． ★【变式1】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）化简： ． 【答案】9 【分析】本题考查二次根式分母有理化，以及二次根式的运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据二次根式分母有理化方法化简各项，再结合二次根式的运算法则求解，即可解题． 解： ． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据分式混合运算法则进行化简，然后把代入求解即可． 解： ， 当时， 原式 ． 【考点二】二次根式的加减运算 【题型3】二次根式的加减运算 【例3】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （3）利用乘方的意义、二次根式的性质、绝对值的代数意义以及立方根定义计算即可求出答案． 解：（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）计算； （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】此题考查的是二次根式的加减混合运算，负整数指数幂，零指数幂，乘方，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得解； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得解； （3）先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得解； （4）根据负整数指数幂，零指数幂，乘方计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ★【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2） （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的化简： （1）—（4）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型4】二次根式的混合运算 【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零次幂、负整数指数幂、化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分别化为最简二次根式，再运算加减法，即可作答． （2）先运算平方差公式得，再除法运算，然后合并同类二次根式，即可作答． （3）先化简绝对值以及负整数指数幂运算，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （4）先化简零次幂、负整数指数幂、再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 解：（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式1】（22-23八年级下·全国·单元测试）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先将二次根式化简，再进行二次根式的加减运算. （2）直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案． （3）先进行二次根式的除法运算，然后化简即可； （4）按照二次根式的混合运算的顺序先乘方，再乘除，最后加减进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． ★【变式2】（22-23九年级上·重庆·阶段练习）计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）首先根据二次根式的加减法法则计算即可； （2）首先根据二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）首先根据二次根式的乘法法则计算即可； （4）根据二次根式的乘除法法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则． 【考点三】二次根式的化简求值 【题型5】已知字母的值,化简求值 【例5】（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求代数式的值． 【答案】95 【分析】本题主要考查了分母有理化、代数式求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 通过分母有理化可得、，进而得到，然后将原式化为，最后整体代入计算即可． 解：， ， ， ． 【变式1】（22-23八年级下·福建龙岩·期中）在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． ． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分子、分母都乘以，化简得结果； （2）表示数的分子、分母都乘以，化简后代入代数式里，计算得结果． 解：（1）原式 ； （2） ． ． 原式 ． 【点拨】本题考查了二次根式的运算，掌握分母有理化和二次根式的运算法则是解决本题的关键． ★【变式2】（21-22八年级上·上海·阶段练习）已知非零实数a，b满足，求代数式的值． 【答案】3 【分析】利用因式分解将已知化为，得出，然后代入所求代数式即可得解． 解：非零实数a，b满足， 由题意可知， ， ， ， ， ， ． 【点拨】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、因式分解以及分式的性质是解答此题的关键． 【题型6】已知条件式,化简求值 【例6】（21-22八年级下·重庆沙坪坝·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将原式中二次根式化为最简二次根式再合并，根据二次根式被开方数为非负数的性质分别求出、，最后代入计算即可． 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 原式 当，时， 原式 ． 【点拨】本题考查的是二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式有意义的条件．解题的关键是能熟练把二次根式化为最简二次根式． 【变式1】（20-21九年级上·全国·课后作业）化简求值 已知y，求的值． 【答案】4，2 【分析】先利用二次根式有意义的条件确定x， y，再利用完全平方公式把展开合并，然后把x、y的值代入计算即可． 解：根据题意得1﹣4x≥0且4x﹣1≥0， ∴x， y， ∴原式=2x+2y﹣（2x﹣2y） =4 =4 =4 =2． 【点拨】本题考查了二次根式的化简求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． ★【变式2】（22-23八年级上·广东深圳·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简 （2）若， ①求的值； ②直接写出代数式的值___________． 【答案】（1）5；（2）①5，②0 【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值；②将式子整理成，再代入，即可求解． 解：（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 故答案为：0 【点拨】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键． 【考点四】二次根式的大小比较与应用 【题型7】比较二次根式的大小 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，实数大小比较，先两边平方，然后再进行比较即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 解：两数平方，得，． 因为， 所以． 【变式1】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）比较大小： （选填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出两个数的平方，再比较即可． 解：，， ， ， 故答案为：． ★【变式2】（21-22七年级下·江西抚州·阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为再结合从而可得答案． 解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点拨】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 【题型8】二次根式的应用 【例8】（24-25八年级上·北京顺义·期中）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”． 思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看． 【答案】李大爷这块菜地的面积为 【分析】本题考查了二次根式的应用，将题目中的已知量代入到海伦公式里面进行计算即可．解题的关键是正确的代入公式并进行计算． 解：， ． ． 李大爷这块菜地的面积为 【变式1】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，，，，点为边的中点，点E在边上，且，则的长为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、二次根式的应用，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．先根据含30度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据等腰三角形的判定即可得． 解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． ★【变式2】（24-25八年级下·山东德州·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ． 【答案】 【分析】①；②；③，得到，列式计算即可． 本题考查了二次根式中规律探索，实数的计算，熟练掌握规律探索是解题的关键． 解：①； ②； ③， 故， 故 ， 故答案为：． 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型9】直通中考 【例1】（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 【例2】（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出x的值后，将代入即可求解． 解：原式， ， ， ， 当时， 原式， ． 【点拨】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键． 【题型10】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查多重二次根式化简，先配方，再根据化简即可． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． ★★【例2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.5 二次根式的加减（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 【要点提示】 　　（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； 　　（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.（合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似） 【要点提示】 　　（1）根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 【知识点2】二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其 中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 【要点提示】 （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　（1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 　　（3）合并同类二次根式. 【知识点3】二次根式的混合运算 　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 【要点提示】 　　（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； 　　（2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； 　　（3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【考点一】概念理解 【题型1】同类二次根式........................................................2 【题型2】分母有理化..........................................................3 【考点二】二次根式的加减运算 【题型3】二次根式的加减运算..................................................3 【题型4】二次根式的混合运算..................................................4 【考点三】二次根式的化简求值 【题型5】已知字母的值,化简求值...............................................4 【题型6】已知条件式,化简求值.................................................5 【考点四】二次根式的大小比较与应用 【题型7】比较二次根式的大小..................................................5 【题型8】二次根式的应用......................................................6 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型9】直通中考............................................................7 【题型10】拓展延伸...........................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念理解 【题型1】同类二次根式 【例1】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）下列各式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【变式2】（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式． （1）求出a的值； （2）若，化简． 【题型2】分母有理化 【例2】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，，则a，b之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）化简： ． ★【变式2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【考点二】二次根式的加减运算 【题型3】二次根式的加减运算 【例3】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）计算 （1）； （2）； （3）． 【变式1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）计算； （1） （2） （3） （4） ★【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2） （3）； （4）． 【题型4】二次根式的混合运算 【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【变式1】（22-23八年级下·全国·单元测试）计算： （1） （2） （3） （4） ★【变式2】（22-23九年级上·重庆·阶段练习）计算 （1） （2） （3） （4） 【考点三】二次根式的化简求值 【题型5】已知字母的值,化简求值 【例5】（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求代数式的值． 【变式1】（22-23八年级下·福建龙岩·期中）在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． ． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． ★【变式2】（21-22八年级上·上海·阶段练习）已知非零实数a，b满足，求代数式的值． 【题型6】已知条件式,化简求值 【例6】（21-22八年级下·重庆沙坪坝·期中）先化简再求值：，其中． 【变式1】（20-21九年级上·全国·课后作业）化简求值 已知y，求的值． ★【变式2】（22-23八年级上·广东深圳·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简 （2）若， ①求的值； ②直接写出代数式的值___________． 【考点四】二次根式的大小比较与应用 【题型7】比较二次根式的大小 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）比较与的大小． 【变式1】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）比较大小： （选填“”“”或“”）． 【变式2】（21-22七年级下·江西抚州·阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型8】二次根式的应用 【例8】（24-25八年级上·北京顺义·期中）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”． 思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看． 【变式1】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，，，，点为边的中点，点E在边上，且，则的长为（   ） A．2 B． C． D．3 ★【变式2】（24-25八年级下·山东德州·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ． 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型9】直通中考 【例1】（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【题型10】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）化简： ． ★★【例2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$