专题11.1 反比例函数（4大知识点3大考点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.1 反比例函数（4大知识点3大考点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 【知识点2】反比例函数的三种形式 （1）；（2）；（3） 【知识点3】反比例与反比例函数的关系 （1）如果,那么与两个量成反比例关系,这里的和既可以代表单项式,也可以代表多项式;当,只代表一次单项式时,,这两个量才成反比例函数关系 （2）成反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数中的两个变量必成反比例关系. （3）反比例函数中有自变量和函数的区分,而反比例关系中的两个变量没有这种区分. 【知识点4】待定系数法求反比例函数解析式 1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法,由于在反比例函数中只有一个待定系数,因此只需要一对,的对应值或图象上一个点的坐标,即可求出的值,从而确定其解析式。 2用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤： （1） 设：根据题意，设反比例函数的解析式为； （2） 代：把,的对应值代入中，得到关于的方程； （3） 解：解方程，求出常数； （4） 写：把的值代入反比例函数解析式中即可写出表达式。 题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系............................................2 【题型2】根据定义判断是否是反比例函数........................................3 【题型3】根据反比例函数定义求参数............................................3 【考点二】运算与化简娴熟精通 【题型4】求反比例函数值......................................................4 【题型5】求反比例函数自变量取值范围..........................................4 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型6】直通中考............................................................4 【题型7】拓展延伸............................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基本概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系 【例1】（24-25七年级上·全国·期中）2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 （1）该隧道全长多少米? （2）挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? （3）用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【变式1】（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21九年级上·广东江门·期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】由表中数据可得，，从而可得y关于x的函数表达式． 解：由表中数据可得，， ∴y关于x的函数表达式为． 故答案为： 【点拨】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键． 【题型2】根据定义判断是否是反比例函数 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某养鱼专业户准备挖一个面积为的矩形鱼塘，若该矩形鱼塘的长为、宽为．那么y是x的函数吗？是反比例函数吗？ 【变式1】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 【题型3】根据反比例函数定义求参数 【例3】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点两个不同的点和，若，则的值为 ． 【考点二】运算与化简娴熟精通 【题型4】求反比例函数值 【例4】（2025·广东广州·模拟预测）已知 （1）化简； （2）若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值． 【变式1】（2024·浙江温州·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则 ． 【题型5】求反比例函数自变量取值范围 【例5】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（） A． B． C． D． 【变式2】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型6】直通中考 【例1】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则a的值为 ． 【题型7】拓展延伸 【例1】（2025·河北·模拟预测）“已知，求代数式的值．”其中两个“”部分给出的是x，y，e，d满足的条件．在题目中的已知条件下，求出的这个代数式的值的正确答案是．下列选项中不能得到正确答案的是（    ） A．x，y互为倒数，c，d互为相反数 B．， C．点在双曲线上，点在直线上 D．， 【例2】（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.1 反比例函数（4大知识点3大考点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 【知识点2】反比例函数的三种形式 （1）；（2）；（3） 【知识点3】反比例与反比例函数的关系 （1）如果,那么与两个量成反比例关系,这里的和既可以代表单项式,也可以代表多项式;当,只代表一次单项式时,,这两个量才成反比例函数关系 （2）成反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数中的两个变量必成反比例关系. （3）反比例函数中有自变量和函数的区分,而反比例关系中的两个变量没有这种区分. 【知识点4】待定系数法求反比例函数解析式 1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法,由于在反比例函数中只有一个待定系数,因此只需要一对,的对应值或图象上一个点的坐标,即可求出的值,从而确定其解析式。 2用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤： （1） 设：根据题意，设反比例函数的解析式为； （2） 代：把,的对应值代入中，得到关于的方程； （3） 解：解方程，求出常数； （4） 写：把的值代入反比例函数解析式中即可写出表达式。 题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系............................................2 【题型2】根据定义判断是否是反比例函数........................................3 【题型3】根据反比例函数定义求参数............................................5 【考点二】运算与化简娴熟精通 【题型4】求反比例函数值......................................................6 【题型5】求反比例函数自变量取值范围..........................................8 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型6】直通中考............................................................9 【题型7】拓展延伸...........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基本概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系 【例1】（24-25七年级上·全国·期中）2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 （1）该隧道全长多少米? （2）挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? （3）用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【答案】（1）15000（米）；（2）挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小；（3），与成反比例关系 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，反比例函数，利用表格中的数量关系得到函数关系式是解题的关键； （1）利用表格中的数据解答即可； （2）观察表格中的数解答即可； （3）利用（1）和（2）的结论解答即可． （1）解：该隧道全长（米）； （2）解：挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小； （3）解：，则，与成反比例关系． 【变式1】（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列反比例函数解析式，根据等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，可以得到，即可得到函数解析式．正确进行计算是解题关键． 解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为， ， 与之间的函数关系式为． 故选：C． 【变式2】（20-21九年级上·广东江门·期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】由表中数据可得，，从而可得y关于x的函数表达式． 解：由表中数据可得，， ∴y关于x的函数表达式为． 故答案为： 【点拨】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键． 【题型2】根据定义判断是否是反比例函数 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某养鱼专业户准备挖一个面积为的矩形鱼塘，若该矩形鱼塘的长为、宽为．那么y是x的函数吗？是反比例函数吗？ 【答案】是的函数，是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据矩形面积公式可得，变形并结合反比例函数的定义判断即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 解：由题意，得，即． 所以是的函数，是反比例函数． 【变式1】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如（其中且k为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 解：由得，，故反比例函数有：①③⑥； 故选：B． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 【答案】 ①③④ ② 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别．熟练掌握反比例函数定义是解题的关键．x，y相乘为一个常数，或者形如（）的函数为反比例函数，不属于上述两个形式的函数不是反比例函数． 根据反比例函数定义逐一判断即得． 解：①∵， ∴，是反比例函数； ②不是反比例函数； ③是反比例函数； ④符是反比例函数． 故答案为①③④；②． 【题型3】根据反比例函数定义求参数 【例3】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据定义列式计算即可． 解：因为是关于x的反比例函数， 所以， 所以， 所以． 【变式1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的解析式为，其中，因为函数是反比例函数，从而得到，，解方程和不等式求出的值即可． 解：函数是反比例函数， ，， 由， 可得：， 由， 可得：， 的值为． 故选：A ． 【变式2】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点两个不同的点和，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得或，即可求解． 解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴，， 又∵， ∴或 ∴（不合题意，舍去）或 即的值为． 故答案为：． 【考点二】运算与化简娴熟精通 【题型4】求反比例函数值 【例4】（2025·广东广州·模拟预测）已知 （1）化简； （2）若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的运算，反比例函数的性质等知识，解题的关键是： （1）根据同分母相加减的运算法则计算即可； （2）根据反比例函数的性质求出，根据两点间距离公式求出，然后根据完全平方公式求解即可。 解：（1）解： ； （2）解：∵点为反比例函数上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即. 【变式1】（2024·浙江温州·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，将点，，分别代入即可求得的值，就可以判断，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 解： ∵点，，在反比例函数的图象上， ， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 解： 解：函数的图象经过点和，，， ，， ． 故答案为：0． 【题型5】求反比例函数自变量取值范围 【例5】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 解：证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．将代入即可求出的值，再根据解答即可． 解：反比例函数的图象经过点， A．，故A不正确，不符合题意； B．，故B不正确，不符合题意； C．，故C正确，符合题意 D．，故D不正确，不符合题意 故选：C． 【变式2】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型6】直通中考 【例1】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 解：当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】将点的坐标代入函数解析式即可． 解：将代入得： ， 解得：， 故答案为：2． 【点拨】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数值求自变量是解题的关键． 【题型7】拓展延伸 【例1】（2025·河北·模拟预测）“已知，求代数式的值．”其中两个“”部分给出的是x，y，e，d满足的条件．在题目中的已知条件下，求出的这个代数式的值的正确答案是．下列选项中不能得到正确答案的是（    ） A．x，y互为倒数，c，d互为相反数 B．， C．点在双曲线上，点在直线上 D．， 【答案】C 【分析】此题考查了代数式求值．熟练掌握相反数的概念，倒数的概念，函数性质，整体代入求代数式求值，是解题的关键． 根据相反数的概念，倒数的概念，函数性质，整体代入求代数式求值，逐一判断即得． 解：A. ∵x，y互为倒数，c，d互为相反数，∴； B. ∵，，∴； C. ∵点在双曲线上，点在直线上，∴； D. ∵，，∴． 故选：C． 【例2】（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了在反比例函数图象上的点坐标的特征，找规律，找出点坐标的规律是解题的关键．分别写出前三个回形的点坐标，找出规律，得到第个回形4个点的规律，分别是，，，，然后找出第2024个点在第几个回形的第几个点即可算出答案． 解：由题意可知，反比例函数图象上点坐标为，观察图象，可以发现： 第1个回形有2个点，， 第2个回形有4个点，分别是，，， 第3个回形有4个点，分别是，，， 第个回形有4个点，分别是，，， 那么第2024个点在第507个回形的第2个点，那么点坐标为 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$