精品解析：2025年安徽省芜湖市南陵县中考二模数学试题

南陵县2025年初中学业水平模拟考试数学（试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3.请务必在“答题卷”上答卷，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数中是负数的是（ ） A. B. -5 C. D. 2. 在年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ．如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成形状，，在上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，是的直径，弦交于点G．连接，若，，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 新课标要求“中小学生要学煮饭炖汤、种菜养禽、维修家电……”为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成统计图如图所示（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 9. 在正五边形中，连接对角线，其中相交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿的路径运动，同时点从出发，以相同的速度沿的路径运动，当点运动到点时，，两点停止运动，过点作，过点作，设点运动的时间为，四边形与重叠的面积为，则与之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集为______ 12. 若关于的一元二次方程有实数根．则实数的取值范围是_______． 13. 如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为____． 14. 在中，，，E是的中点，D是上的一点，以为对称轴作的对称，且保持在的上方． （1）如图1，当点F落在上时，则的长为____； （2）如图2，连接、，当平分时，＝___． 三、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分） 15 计算：． 16. 如图，小颖同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以为基本图形，绘制平面图形，请根据下列要求解答问题． （1）绕点A逆时针旋转______度得到； （2）在图中画出将关于点A中心对称后得到的． （3）在以点A为原点，以所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中，若点，请写出它的对称点的坐标为______． 四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分） 17. 数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． （1）求点D到地平线的距离； （2）求大树高度．（参考数据：，，） 18. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 五、（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图是蜂巢的局部图片(由大小相同的正六边形组成)，嘉嘉借助这个图片设计了一道数学题，请解答这道题． 在第1行两个正六边形内填上数字3、，规定在图案中，下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．如第2行第1个：；第2行第2个：． （1）填空： _______， _________． （2）求的值． （3）按照此规律，请直接用含n的式子表示第n行第2个数字，并判断这个数字能否为．若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 20. 如图，在中，，三条边，，及边上的高分别记为，，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出，，，这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 六、（本大题共12分） 21. 2024年11月7日，首届世界古典学大会在北京雁栖湖国际会展中心开幕．大会主题为“古典文明与现代世界”，作为这场盛会的发起者，中国不仅是为了汇聚更多学者研究古典学，更是向世界推介“和而不同”的大国智慧．为传承国学经典，弘扬传统文化，某学校开展了“品古典文学之美，悟中华文化之魂”经典阅读活动，学生根据自己的爱好从以下四本书中选择其中一本进行阅读：A．《诗经》B．《楚辞》C．《西游记》D．《红楼梦》，为更好的了解学生选择阅读书目情况，通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查，根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查学生总人数为_____人，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B所对应的圆心角度数是_____； （3）9年级3班选派甲、乙两位同学参加全校经典阅读汇报活动，请用画树状图或者列表法，求甲、乙两位同学选择同一种经典书籍进行汇报的概率． 七、（本大题共12分） 22. 【问题背景】如图1，在矩形中，点M，N分别在边，上，且，连接，点P在上，连接并延长至点Q，使，连接． 【尝试初探】求证：； 【深入探究】若，，点P为中点，连接，，求证：； 【拓展延伸】如图2，在正方形中，点P为对角线上一点，连接并延长至点Q，使，连接，若，求的值（用含n的代数式表示） 八、（本大题共14分） 23. 图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，点A在y轴上，且．滑道为抛物线：的一部分，在点处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，轴于点G．滑道与滑道可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点． （1）求抛物线和的函数表达式； （2）当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离； （3）点M为上的一点，求点M到和到x轴的距离之和（图中）的最大值及此时点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南陵县2025年初中学业水平模拟考试数学（试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3.请务必在“答题卷”上答卷，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数中是负数的是（ ） A. B. -5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对各数进行化简再根据小于0的数是负数，可得答案． 【详解】解: 解：A、=3是正数，故A错误； B、-5是负数，故B正确； C、=2是正数，故C错误； D、是正数，故D错误 故选：B． 【点睛】本题考查了正负数的概念,掌握小于0的数是负数是解题的关键. 2. 在年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，有理数的除法，熟练掌握大数的科学记数法的表示方法是解题的关键．先求得前三日平均每天的票房为元，再利用科学记数法表示． 【详解】解：亿， 前三日平均每天的票房为（元）， ， 故选：C． 3. 秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从上面看到的是俯视图，可得答案． 【详解】从上面看到是， 故选：B； 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ．如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成形状，，在上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，过点D作交于点F，根据题意可得，，因此，最后由三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】过点D作交于点F， 入射角等于反射角， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， 故选：B． 6. 将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像的平移规律和用待定系数法求一次函数表达式，求出平移前经过的点是解题的关键．已知平移后的直线过点，根据一次函数图像的平移规律，即可得出平移后解析式为，将代入中即可求出k的值． 【详解】解：直线向下平移6个单位后，新直线解析式为， ∵新直线经过点， ∴， 解得． 故选：D． 7. 如图，是的直径，弦交于点G．连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，圆周角所对的弦是直径，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据圆周角定理得到，，结合，得到，最后根据三角形的外角计算的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 新课标要求“中小学生要学煮饭炖汤、种菜养禽、维修家电……”为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成统计图如图所示（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的定义，熟练掌握以上定义是解题的关键．分别根据平均数，中位数，众数，方差的定义，结合统计图的信息逐项判断能否计算得到即可． 【详解】解：根据统计图可知，每周平均家务劳动的时间3小时人数为5人，4小时人数为12人，不确定5小时和6小时的人数，所以平均数和方差无法计算； 因为随机抽查30名学生，可知5小时和6小时的总人数，所以无法确定众数；而中位数为第15和16的平均值，所以中位数为； 故选：B． 9. 在正五边形中，连接对角线，其中相交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正五边形的性质，菱形的判定与性质，首先由正五边形的性质可得，，，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形为菱形，得，即，由菱形的性质和勾股定理得出，即可得到，可证明，即可得出，由正五边形内角和得到，结合菱形的性质得到，． 【详解】解：是正五边形， ，，， 四边形为菱形， ， ，故A选项正确； ， ，故B选项正确； ， ， ，故C选项正确； ， ，， ，故D选项不正确， 故选：D． 10. 如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿的路径运动，同时点从出发，以相同的速度沿的路径运动，当点运动到点时，，两点停止运动，过点作，过点作，设点运动的时间为，四边形与重叠的面积为，则与之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得出，求得点在上时，，当时，如图所示，设交于点，交于点，求得的关系式，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 当点落在上时，如图所示，过点作于点， ∵， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴当时， 当时，如图所示，设交于点，交于点， ∵， ∴ ∴ ∵在中，，，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ， 综上所述，当时，，抛物线开口向上，当，，抛物线开口向下， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，数形结合是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的解法．根据题意，先去分母，然后移项解出即可． 【详解】解：去分母，得 移项，得 解得． 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有实数根．则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式，掌握根的判别式，求不等式的解集的方法是解题的关键． 根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根；再根据不等式的性质求解即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，即， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、反比例函数的性质，设，，则，结合反比例函数的性质求出，即可得出，从而可得，，即可得解． 【详解】解：设， ∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴矩形的面积为， 故答案为：． 14. 在中，，，E是的中点，D是上的一点，以为对称轴作的对称，且保持在的上方． （1）如图1，当点F落在上时，则的长为____； （2）如图2，连接、，当平分时，＝___． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，根据题意得点D为的中点，推出是的中位线，，由等面积法求出即可； （2）延长交于点G，证明是的斜边上的中线得,证明得,利用相似三角形的性质求出，再证明，从而,然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解. 【详解】解：（1）连接， 在中，，， ， 点F落在上，与关于对称， ，， 点D为的中点， E是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交于点G， 与关于对称， ,， ∴垂直平分， ∴， ∵平分, ∴是的斜边上的中线， ∴, 由折叠的性质可知，， ∴， 由三角形外角的性质，得， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴. ∵， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵E是的中点， ∴, . 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线的应用，对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 16. 如图，小颖同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以为基本图形，绘制平面图形，请根据下列要求解答问题． （1）绕点A逆时针旋转______度得到； （2）在图中画出将关于点A中心对称后得到的． （3）在以点A为原点，以所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中，若点，请写出它的对称点的坐标为______． 【答案】（1）90 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转的性质，三角形的面积的计算，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质结合图形即可得到结论； （2）根据旋转的性质作出图形即可； （3）根据中心对称的性质以及点的位置即可得到结论． 【小问1详解】 解：绕点逆时针旋转90度得到； 故答案为：90； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； ； 【小问3详解】 解：如图所示，点， 则点的坐标为． 故答案为：． 四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分） 17. 数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． （1）求点D到地平线的距离； （2）求大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1）点到地平线的距离为4米 （2）大树的高度是20米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键． （1）过点D作于点H，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （2）过点D作于点G，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米然后利用仰角，俯角及正切即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则， 由题意知：米，斜面的坡比为， ， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， ， ，即米， 点到地平线的距离为4米； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点，设米， 由（1）得：米， 米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， 在中，， ， ，经检验：是原方程的解， （米）， 答：大树的高度是20米． 18. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解 【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩． 由题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 五、（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图是蜂巢的局部图片(由大小相同的正六边形组成)，嘉嘉借助这个图片设计了一道数学题，请解答这道题． 在第1行两个正六边形内填上数字3、，规定在图案中，下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．如第2行第1个：；第2行第2个：． （1）填空： _______， _________． （2）求的值． （3）按照此规律，请直接用含n的式子表示第n行第2个数字，并判断这个数字能否为．若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）1； （2）14 （3）；能；9 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．进行列式计算，即可作答． （2）同理分别计算出，再代入，进行计算，即可作答． （3）找出规律：第n行第2个数字为，根据进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，，； 故答案为：1； 【小问2详解】 解：依题意，； ； ∴； 【小问3详解】 解：第1行第2个数字为 第2行第2个数字为 第3行第2个数字为 以此类推 第n行第2个数字为 这个数字能19 令，解得， 故n 的值为9 20. 如图，在中，，三条边，，及边上的高分别记为，，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出，，，这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等积法即可得证； （2）利用勾股定理，结合（1）中结论即可得证； （3）连接并延长，交于点，连接，圆周角定理，得到，进而得到，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵三条边，，及边上的高分别记为，，，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵在中，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，证明如下： 连接并延长，交于点，连接，则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 六、（本大题共12分） 21. 2024年11月7日，首届世界古典学大会在北京雁栖湖国际会展中心开幕．大会主题为“古典文明与现代世界”，作为这场盛会的发起者，中国不仅是为了汇聚更多学者研究古典学，更是向世界推介“和而不同”的大国智慧．为传承国学经典，弘扬传统文化，某学校开展了“品古典文学之美，悟中华文化之魂”经典阅读活动，学生根据自己的爱好从以下四本书中选择其中一本进行阅读：A．《诗经》B．《楚辞》C．《西游记》D．《红楼梦》，为更好的了解学生选择阅读书目情况，通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查，根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为_____人，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B所对应的圆心角度数是_____； （3）9年级3班选派甲、乙两位同学参加全校经典阅读汇报活动，请用画树状图或者列表法，求甲、乙两位同学选择同一种经典书籍进行汇报的概率． 【答案】（1）100，见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列树状图或列表法进行求概率，条形统计图与扇形统计图，求圆心角，画条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用类别的人数除以其的占比，求出总人数，再运用减法求出类别的人数，即可作答． （2）直接运用B类别的占比乘，进行计算，即可作答． （3）先画出树状图，得出等可能结果共有16种，满足条件的等可能结果有4种，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（人）， ∴学校此次被调查的学生总人数为100人． ∴（人）， 补全条形图如图所示： 故答案为：100， 【小问2详解】 解：依题意， 因此B所对应的圆心角度数是； 故答案：； 【小问3详解】 解：依题意，画树状图如下： 由树状图可知，出现的等可能结果共有16种， 即，，，，，，，，，，，，，，，，这些结果出现的可能性相等． 其中甲、乙同学选择同一种经典书籍（记为事件）的等可能结果有4种， 分别为，，，， ∴． 七、（本大题共12分） 22. 【问题背景】如图1，在矩形中，点M，N分别在边，上，且，连接，点P在上，连接并延长至点Q，使，连接． 【尝试初探】求证：； 【深入探究】若，，点P为中点，连接，，求证：； 【拓展延伸】如图2，在正方形中，点P为对角线上一点，连接并延长至点Q，使，连接，若，求的值（用含n的代数式表示） 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可； （2）连接,证是正方形，得垂直平分，在证明是平行四边形，利用平行四边形的性质判定即可； 在矩形中； （3）过Q作交的延长线于M，于N，连接，结合题意用勾股定理逆定理证是直角三角形，然后借助和相似三角形解决． 【详解】（1）由题意可知在与中， ， ， ， ， ； （2）如图：连接， 在矩形中， ， ， 是正方形， P为中点， 垂直平分，， ， 由和可知， ， ， ， ， 是平行四边形， ， ； （3）过Q作交的延长线于M，于N，连接， 在正方形中， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ，， , ， ， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理的逆定理；三角形相似的证明和性质的应用是解题的关键． 八、（本大题共14分） 23. 图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，点A在y轴上，且．滑道为抛物线：的一部分，在点处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，轴于点G．滑道与滑道可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点． （1）求抛物线和的函数表达式； （2）当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离； （3）点M为上的一点，求点M到和到x轴的距离之和（图中）的最大值及此时点M的坐标． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为，的函数表达式为 （2）或 （3）和长度之和的最大值为4．此时M的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． （1）待定系数法求出滑道和 解析式即可； （2）先求出直线的解析式，再分析时在各段函数上的对应值，最后计算各点到点的水平距离即可； （3）设，则，，整理出关于的函数解析式，分析判断最值即可得到点坐标． 【小问1详解】 解：滑道； 的顶点为点， 即， 点到点的水平距离为2， 将代入， 点． 点与点关于直线对称， 点． 滑道 与滑道 是形状完全相同、开口方向相反的抛物线， 可设抛物线 的函数表达式为． 将点，分别代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为． 将，代入 得： ，解得， 直线的函数表达式为． 点为抛物线 的顶点， 抛物线 不存在 的点． 当 时，，． ， 解得， 根据图像可知， 综上所述， 时，过山车到出发点的水平距离为：或； 【小问3详解】 解：设，则，， ， 点为上一点， ，且值随的增大而增大， 当时，， 当时，和长度之和的最大值为4． 此时的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$