精品解析：福建省莆田市莆田锦江中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

莆田锦江中学2024-2025学年下学期期中考试卷 高一数学 一、单选题 1. 已知复数满足示，则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对化简计算求出复数，从而可求出其共轭复数 【详解】由题意可知，， 则其共轭复数为， 故选：B． 2. 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法运算，整理其为标准式，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】， 其在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求解即可. 【详解】由， 所以. 故选：A. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的坐标，然后由可得列方程可求得. 【详解】∵，， ∴. ∵， ∴， ∴. 即，则. 故选：B 5. 已知平面四边形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形中的（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则结合勾股定理即可求解. 【详解】根据斜二测画法规则，，且，则， 故选：C． 6. 设是三条直线，是三个平面，若，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则异面 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】对于选项A，若，，则与平行、相交或异面，所以A错误； 对于选项B，若，，，则与可能相交，平行，异面，所以B错误； 对于选项C，因为，，，所以且，所以，所以C正确； 对于选项D，若，，则与可能相交，如三棱柱的三个侧面，所以D错误． 故选：C． 7. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出圆台上下底面半径，圆台的高，代入圆台的体积计算公式即可求解. 【详解】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得， ，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示： 图中，， 过点向作垂线，垂足为，则， 所以圆台的高， 则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得： ， 故选：. 8. 记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案. 【详解】由，得， 所以， 即， 则由正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 又，所以，因为， 所以由余弦定理得，即. 由题可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9. 已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（    ）. A. 复数的虚部为 B. C. D. 复数满足，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据虚部的概念分析判断；对于B：根据虚数单位的性质运算求解；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的几何意义结合圆的性质分析判断. 【详解】对于选项A：复数的虚部为，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：例如，则，此时，故C错误； 对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为， 因为，即，其中为坐标原点，可知点在标准单位圆上， 可得， 所以的最大值为，故D正确； 故选：BD. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 B. 向量，能作为平面内的一组基底 C. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 若非零向量，满足：，则与的夹角为 【答案】AD 【解析】 【分析】把平方，由数量积的运算与性质判断A，确定是否共线判断B，根据投影向量的定义求出投影向量判断C，根据向量的加减法法则（作出相应的图形）判断D． 【详解】A．由得，即， 所以，是非零向量，因此它们共线且反向，A正确； B．由于，它们共线，不能作为平面内的一组基底，B错误； C．向量在向量上的投影是，与向量同向的单位向量为， 因此所求投影向量为，C错误； D．如图，，，作平行四边形， 则，， 由得是等边三角形，四边形是菱形， 所以，D正确； 故选：AD． 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为4 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，当为中点时，利用中位线的性质可证得，再证得线面平行；对于B，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于C，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可. 【详解】 对于A，当为中点时，由中位线可得， 因为平面，平面，所以平面.故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 又因为，所以截面为梯形，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12. 已知向量、满足，，，则与的夹角等于______ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算、定义可计算出，结合平面向量夹角的取值范围可得出的值. 【详解】因为， 可得， 因为，故，即与的夹角为. 故答案为：. 13. 若复数为纯虚数，则实数_______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及纯虚数的概念求解. 【详解】由为纯虚数， 可得且，解得. 故答案为：5 14. 某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解得，，进而得到的面积，再根据全等性质与表面积的计算公式求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 故该模型的表面积为． 故答案为： 四、解答题 15. 已知复数. （1）计算复数，并求； （2）若复数满足，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先对复数化简，然后求复数的模； （2）对等式左边化简，再由复数相等的条件列方程组可求出实数的值 【小问1详解】 因为 所以. 【小问2详解】 由，得 ， ， ， 所以，解得. 16. 在中，分别是角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将边化角，利用三角恒等变换以及三角形内角关系，即可求出结果； （2）利用余弦定理推得，结合题设条件即可求出结果. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得 ∴ ∵，∴，∴， 又∵，∴. 【小问2详解】 由余弦定理，， ∴，解得， 由可得，代入上式可得， 解得：或（此时，不合题意，舍去） 所以，. 17. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1）证明：如图：连接BD，设，连接OM， AI ∵在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面. （2）证明：如图：连接，NB， AI 为的中点，为的中点， ，又， ∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 由（1）知平面，，平面，平面， ∴平面平面. 【解析】 【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行. （2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解. (2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. 【小问2详解】 因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 19. 如图，是圆柱的直径且是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）若是的中点，点E在线段上，求的最小值． 【答案】（1）； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式和体积公式直接计算可得； （2）分析点C到的最大距离，结合三棱锥的体积公式可得； （3）将绕着旋转到使在的反向延长线上，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 圆柱的底面半径，高， 圆柱的侧面积， 圆柱的体积. 【小问2详解】 三棱锥的高，底面三角形中，， 则当点C到的最大值等于底面圆的半径1， 所以三棱锥体积的最大值. 【小问3详解】 将绕着旋转到使在的反向延长线上， ，， ， ， ， 即的最小值为等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田锦江中学2024-2025学年下学期期中考试卷 高一数学 一、单选题 1. 已知复数满足示，则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知平面四边形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形中的（ ） A. B. C. 3 D. 2 6. 设是三条直线，是三个平面，若，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则异面 C. 若，，，则 D. 若，，则 7. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（    ）. A. 复数的虚部为 B. C. D. 复数满足，则的最大值为 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 B. 向量，能作为平面内的一组基底 C. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 若非零向量，满足：，则与的夹角为 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为4 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题 12. 已知向量、满足，，，则与的夹角等于______ 13. 若复数为纯虚数，则实数_______. 14. 某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为___________． 四、解答题 15. 已知复数. （1）计算复数，并求； （2）若复数满足，求实数的值. 16. 在中，分别是角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的值. 17. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 18. 如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值. 19. 如图，是圆柱的直径且是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）若是的中点，点E在线段上，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $