精品解析：江苏省无锡市经开区2025年中考一模考试数学试题(1)

2025年春学期九年级第一次适应性练习试卷 数学 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 2的相反数为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 函数中自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为10 B. 平均数为10 C. 方差为2 D. 中位数为9 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于 ，的二元一次方程的解，则 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果一个正多边形的每一个内角是，那么这个正多边形的边数为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 8. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，， ，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座 绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（ ） A. B. C. 9 D. 10 10. 定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（ ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1个空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 计算：______． 12. 无锡2024年GDP约为亿元，同比增长5.8%．其中用科学记数法表示为______． 13. 请写一个函数表达式，使其图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小：______． 14. “等边对等角”的逆命题是________________________________． 15. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 16. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 17. 如图1． 中，， ，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形 （不重叠、无缝隙），若，则的长为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，与射线 以及轴的正半轴始终相切，过点作的切线，切点为，则______，切线长 的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）因式分解：； （2）化简：． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 21. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，且， ．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 22. 2025年春晚，无锡凭借“吴依软语声声慢，小桥流水处处景．”迅速火遍了整个华夏大地．“春晚流量”辐射了无锡的旅游市场，打卡无锡出镜地成为热点．小明和小红也打算利用假期去逛逛，他们拿出四张明信片分别是拈花湾（记为A）、鼋头渚（记为B）、清名桥（记为C）、惠山古镇（记为D），放入箱中搅匀后从箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，每张明信片的背面形状、颜色、大小均相同． （1）小明选择去清名桥的概率为______； （2）求小明和小红正好选择同一个景点的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 为提高学生的网络认知，筹备“工业互联网”研学活动，请专家作主题报告． 【收集数据】为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发调查问卷． “工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷 请选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项）． A．数字孪生□B．人工智能□C．应用5G□D．工业机器人□E．区块链□ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）求扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数； 【做出决策】请合理安排报告，补全活动日程表 （3）学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D的报告学生各有多少？ （4）在确保听取报告的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排B，D两场报告，补全此次活动日程表． “工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） E A C ① ② 设备检修暂停使用 24. 如图，已知 ， ． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ①作 的高 ，垂足为D； ②在 上求作点E，使． （2）在（1）的条件下，当，时，则 的长为______．（如需画草图，请使用图2） 25. 《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本） 26. 如图， 是 的直径，点C、点D在 上，连接 、 并延长交于点E，过点D作 的切线交 于F，当时， （1）求证：； （2）若，，求 的长． 27. 二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，连接 ，在该图像上有一点P，连接 ， ．设P点的横坐标为． （1）若， ①求该二次函数的表达式； ②m为何值时，的面积取得最大值？ （2）连接交y轴于点E，直线 交y轴于点F，求证：是定值． 28. 四边形，是完全相同的两个矩形，按照如图1所示，放置在平面直角坐标系中，，将矩形绕着点O顺时针旋转． （1）如图2，当 与 相交于点G，若时，求的度数； （2）当点D恰好落在上时， 与y轴交于点K，求的值； （3）当 所在的直线恰好经过 的中点M，连接 ， ， ，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期九年级第一次适应性练习试卷 数学 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 2的相反数为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：2的相反数为． 2. 函数中自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查自变量的取值范围，掌握被开方数大于等于0是解题关键． 3. 学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为10 B. 平均数为10 C. 方差为2 D. 中位数为9 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数，平均数，方差，中位数的定义分别判断，即可得到答案． 【详解】解：A、10出现2次，出现次数最多，故众数是10，该项正确； B、 ，故该项错误； C、方差为，故该项错误； D、中位数为10，故该项错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，正确理解各定义及计算公式是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，二次根式的性质，整式的加减，有理数的除法，解答即可． 【详解】解：A. ， 本选项不符合题意； B. ， 本选项不符合题意； C. ， 本选项不符合题意； D. ， 本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】完全平方公式，二次根式的性质，整式的加减，有理数的除法，掌握公式和性质是解题的关键． 5. 若是关于 ，的二元一次方程的解，则 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知识，理解二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入关于 ，的二元一次方程，可得关于 的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：将代入关于 ，的二元一次方程， 可得，解得 ． 故选：B． 6. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如果一个正多边形的每一个内角是，那么这个正多边形的边数为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和为 ；求出正多边形的每一个外角，根据外角和为 ，即可求得边数． 【详解】解： 正多边形的每一个内角是， 正多边形的每一个外角是， 正多边形的边数为； 故选：B． 8. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程和实际应用，设甲经过x天后与乙相遇，根据题意列出方程即可，解题关键是读懂题意，根据数量关系列出方程． 【详解】解：设甲经过x天后与乙相遇， 根据题意得：， 故选D． 9. 随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，， ，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（ ） A. B. C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以G为原点，点G所在水平直线为 轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点 的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为 ，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以G为原点，点G所在水平直线为 轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， 则点 的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵，， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当时， ∴旋转前与水平方向夹角为 ， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∴， 故答案为：A． 10. 定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（ ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 根据反比例函数的性质即可判断①，根据一次函数的性质求出函数的最大值即可判断②；由题意可知：，再由，即可求 的取值范围，即可判断③；根据对称轴方程和“顶峰”值为 3 ，分类讨论时和时，列方程求解，即可判断④． 【详解】解：函数无最大值，不是“顶峰”函数，故①错误； 在中， ∵，∴随 值的增大而增大， 当 时，有最大值， 即函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1，故②正确； ∵随 值的增大而减小， 当时，， ∵“巅峰”值是 ， ， ∵函数的最小值不超过， ， ， ， ， ， ∴ 的取值范围为：，故③正确； ∵的对称轴是直线， 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：（舍去）或 ； 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：，符合题意． 综上所述： 的值为或 0，故④错误． ∴正确的是②③， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1个空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 计算：______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据计算即可． 本题考查了零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：4． 12. 无锡2024年GDP约为亿元，同比增长5.8%．其中用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 13. 请写一个函数表达式，使其图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小：______． 【答案】答案不唯一， 【解析】 【分析】设函数为一次函数且为，根据函数值随自变量的增大而减小，得到，由此选择解答即可． 本题考查了答案不唯一型考题，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：由图象经过点，设函数为一次函数且为， 根据函数值随自变量的增大而减小，得到， 故． 故答案为：． 14. “等边对等角”的逆命题是________________________________． 【答案】等角对等边 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题． 【详解】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边； 故答案为：等角对等边． 15. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为， ∴底面周长， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 16. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 【答案】24 【解析】 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入已知对角线长度计算即可得到结果． 【详解】解： 菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积 ． 17. 如图1． 中，， ，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形 （不重叠、无缝隙），若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意， ， ，菱形 ，， 设，， ，，， 由，得即，根据勾股定理，故，过点D作于点Q，根据题意，得，设，则，，故，解答即可． 【详解】解：根据题意， ， ，菱形 ，， 设，， ，，， 由，得即， 根据勾股定理，得， 故， 解得（舍去）， 故 ， 过点D作于点Q， 根据题意，得， 设， 则，， 故， 解得， 故（舍去）， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解方程，三角函数的应用，拼图的几何意义，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，与射线以及轴的正半轴始终相切，过点作的切线，切点为 ，则______，切线长 的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过两点间距离公式求出的长度．求出的解析式为．设点，利用等积法求出点P在直线 上，根据切线的性质和勾股定理得到的二次函数表达式，再根据二次函数求最值进行解答即可． 【详解】解： 在平面直角坐标系中，，， ． 设与轴相切于点 ，射线 交于点D，作轴于点F，则四边形是矩形，连接， ∵与射线以及轴的正半轴始终相切， ∴轴， 设射线的解析式为， 把代入得 ， ， 射线的解析式为． 设点，则， ∴， ∵ ∴ 整理得， ， 即点P在直线 上， 连接， ∵过点作的切线，切点为 ， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值， 即当时，切线长 的最小值为， 故答案为：5， 【点睛】本题考查了两点间距离公式，切线的性质，勾股定理，一次函数解析式的求法，二次函数最值的求法，求出圆心所在直线解析式是关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）因式分解：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式2，再运用平方差公式分解即可； （2）以为最简公分母，通分化简即可． 本题考查了因式分解，通分，熟练掌握通分和因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，熟知解一元二次方程的方法和解不等式组的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 21. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，且， ．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ， （2） 证明：由（1）得， ，， ∴ 即 ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法． （1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得 ，再结合已知条件并根据全等三角形判定（边角边），得； （2）根据（1）得，由全等三角形的性质得，，进一步根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 2025年春晚，无锡凭借“吴依软语声声慢，小桥流水处处景．”迅速火遍了整个华夏大地．“春晚流量”辐射了无锡的旅游市场，打卡无锡出镜地成为热点．小明和小红也打算利用假期去逛逛，他们拿出四张明信片分别是拈花湾（记为A）、鼋头渚（记为B）、清名桥（记为C）、惠山古镇（记为D），放入箱中搅匀后从箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，每张明信片的背面形状、颜色、大小均相同． （1）小明选择去清名桥的概率为______； （2）求小明和小红正好选择同一个景点的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件 或 的结果数目，求出概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出选择同一个景点的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：小明选择去清名桥的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图分析如下： 共有16种等可能的结果数，小明和小红都选择去相同地点旅游有4种等可能的结果数， 所以小明和小红都选择去相同地点旅游的概率是． 23. 为提高学生的网络认知，筹备“工业互联网”研学活动，请专家作主题报告． 【收集数据】为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发调查问卷． “工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷 请选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项）． A．数字孪生□B．人工智能□C．应用5G□D．工业机器人□E．区块链□ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）求扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数； 【做出决策】请合理安排报告，补全活动日程表 （3）学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D的报告学生各有多少？ （4）在确保听取报告的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排B，D两场报告，补全此次活动日程表． “工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） E A C ① ② 设备检修暂停使用 【答案】（1）40人， 补全条形图如图： （2） （3）90人和180人 （4）由（3）知：聆听B报告学生有90人，聆听D报告学生180人，故安排如下： “工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） E A C B D 设备检修暂停使用 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用选择A的学生人数除以所占的比例求出调查的总人数，进而求出选择D的学生人数补全条形图即可； （2）用360度乘以选择E的学生人数所占的比例进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可； （4）根据人数进行合理安排填表即可。 【详解】解：（1）本次调查所抽取的学生人数为：（人）； 选择D的学生人数为：，补全条形图如图： （2）领域“E”对应扇形的圆心角的度数为：； （3）选择聆听B报告学生有：（人）； 选择聆听D报告学生有：（人）； （4）由（3）知：聆听B报告学生有90人，聆听D报告学生180人，故安排如下： “工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） E A C B D 设备检修暂停使用 24. 如图，已知 ，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ①作 的高 ，垂足为D； ②在 上求作点E，使． （2）在（1）的条件下，当，时，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） ①以C为圆心，以与有两个交点的长为半径画弧，分别以交点为圆心，以大于两交点之间的距离为半径画弧，二弧交于一点，过交点，点C作直线与交于点D， 则 即为所求； ②作的垂直平分线，交于点F，以F为圆心， 为半径作，交 于点E，连接 则， 故点E即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）①以C为圆心，以与 有两个交点的为半径，与相交，分别以交点为圆心，以大于两交点之间的距离为半径画弧，二弧交于一点，过交点，点C作直线与交于点D，解答即可； ②以为直径，交 于点E，连接，则． （2）根据，得到，证明，得到，设，则，根据勾股定理，整理，得，解得（舍去），解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 为三角形的高，为直径，，， ∴，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∵ 为三角形的高，为直径，，， ∴，， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线的基本作图，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握作图，性质和定理是解题的关键． 25. 《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本） 【答案】（1）（，且 是整数）； （2）该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，实际问题与二次函数，正确列出二次函数解析式是解题的关键． （1）设，将，代入，得，解方程组即可求出 与 的值，进而得出与 之间的函数关系式； （2）根据“每日利润每张电影票售价 每天售出的电影票数量 每天的运营成本”得出二次函数解析式，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设， 将，代入，得： ， 解得：， （，且 是整数）； 【小问2详解】 解：设每场的获利为元， 根据题意，得： ， 抛物线开口向下， 又，且 是整数， 时，取得最大值，， 答：该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元． 26. 如图，是 的直径，点C、点D在 上，连接、 并延长交于点E，过点D作 的切线交 于F，当时， （1）求证： ； （2）若，，求 的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵过点D作 的切线交 于F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质与判定、圆周角的性质及三角函数，熟练掌握切线的性质、等腰三角形的性质与判定、圆周角的性质及三角函数是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后可知，则有，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵是 的直径， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，连接 ，在该图像上有一点P，连接 ， ．设P点的横坐标为． （1）若， ①求该二次函数的表达式； ②m为何值时，的面积取得最大值？ （2）连接交y轴于点E，直线 交y轴于点F，求证：是定值． 【答案】（1）①②，的面积取得最大值6； （2） 证明：∵二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C， ∴，， 过点 作轴于 ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， 即是定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数表达式求解，三角形面积最值以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用交点式设二次函数表达式，通过作辅助线求三角形面积，利用相似三角形性质证明线段比例定值． （1）①利用二次函数与 轴交点坐标设出交点式，再代入 点坐标求出表达式； ②过点 作轴交 于点 ，用含的式子表示出的面积，再根据二次函数性质求最值； （2）过点 作轴于 ，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来证明是定值． 【小问1详解】 解：①已知二次函数图像与 轴交于点，设二次函数表达式为， 在抛物线上，把代入得： ，即，解得． 二次函数表达式为． ②过点 作轴交 于点 ， 设直线 表达式为，把代入得 ，将代入得，解得， 直线 表达式为， 点横坐标为，则，． ， ， 即， 对于二次函数，对称轴为， 当时，的面积取得最大值； 【小问2详解】 略 28. 四边形，是完全相同的两个矩形，按照如图1所示，放置在平面直角坐标系中，，将矩形绕着点O顺时针旋转． （1）如图2，当与 相交于点G，若时，求的度数； （2）当点D恰好落在上时，与y轴交于点K，求的值； （3）当所在的直线恰好经过的中点M，连接，， ，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，，于是得到，过点O作于点G，得到，于是，得到，即得到； （2）证明，得到，故，解得，故； （3）当直线经过点M时，设与x轴的交点为N，则，过点F作于点Q，过点D作于点P，则，，计算一次面积；当点M在线段上时，延长与x轴的交点为T，则，过点F作于点W，过点A作于点R，再证明，得，于是计算即可． 【小问1详解】 解：∵四边形，是完全相同的两个矩形， ， ∴，， ， 根据题意，得，， ∴， 过点O作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故； 【小问3详解】 解：如图，当直线经过点M时， ∵四边形，是完全相同的两个矩形， ， ∴，， ，， 设与x轴的交点为N， 则， ∴， ∵的中点M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点F作于点Q，过点D作于点P， ∴，， ∴ ； 如图，当点M在线段上时， ∵四边形，是完全相同的两个矩形， ， ∴，， ，， 延长与x轴的交点为T， 则， ∴， ∵的中点M， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点F作于点W，过点A作于点R， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $