3.3 方差和标准差 教学设计-2024-2025学年浙教版数学八年级下册

《方差和标准差》教学设计 《3.3方差和标准差》教学设计 课型 新授课 教学内容分析 方差和标准差是“浙教版八年级数学（下）”第三章第三节的内容.本节课的主要内容是理解方差、标准差的概念,带领学生经历标准差的公式的产生过程,要求学生会求一组数据的方差和标准差，并会用它们表示数据的离散程度.方差是一种描述数据波动情况的指标，它衡量的是观测值与平均数之间的偏离程度，而标准差则更直观地反映了数据在平均值附近的集中程度，它可以用来判断数据的分散程度和标准化程度，是统计学中最基本的概念之一，被广泛应用于各个领域，有助于发展学生的数据观念、应用意识、运算能力等，在教材中有着非常重要的地位和作用. 学习者分析 学生在本章已经学习了平均数、众数和中位数，在七年级下册学习了数据与统计图表，知道收集数据、整理数据和分析数据，且学生具备一定的独立思考、合作探究、归纳概括的能力，这些都有利于学生探究方差和标准差.“方差越大，数据的波动越大，越不稳定”对于部分学生可能难以理解，是教学中的一个难点，教师在教学时要注意引导学生思考，从方差公式的结构上进行分析，结合图象帮助学生理解.同时教师在教学过程中要注意面向全体学生，发挥学生的主体作用，让学生积极参与进来. 教学目标 1.了解方差,标准差的概念 2.熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用 3.能通过实例学会用样本方差分析数据的稳定性 4.提高分析问题、解决问题的能力，增强数学应用意识 5.通过数据的整理与分析、计算，体会统计的数学思想，发展数据观念和运算能力 教学重点 方差、标准差的概念、计算及其运用 教学难点 理解方程如何表示数据的离散程度 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：情境导入 教师活动1： 教师提问：如果要选拔射击手参加射击比赛，应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？ 学生活动1： 学生认真思考，合作交流，举手回答问题，表达自己的想法 活动意图说明：通过具体问题情境引入新课有利于调动学生思维的积极性，激发学生学习动机，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，能够培养学生的应用意识. 环节二：探究新知 甲、乙两人的测试成绩统计如下： (1)分别算出甲、乙两人的平均成绩. 教师讲授： 解：(1)=8 =8 (2)根据这两人的成绩,在图中画出折线统计图. 教师讲授： (3)现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛,你认为挑选哪一位比较适宜?为什么? 思考：甲、乙两人谁的射击成绩偏离平均数较大？ 教师讲授：甲、乙两人的平均成绩相同,但是甲每次的射击成绩都接近平均数8,而乙每次的射击成绩偏离平均数较大. 思考：根据甲、乙两人射击成绩的折线统计图，谁的成绩更稳定？ 教师讲授：根据折线统计图可看出甲偏离平均数的波动程度更小，甲的成绩更稳定. 教师讲授：在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标. 现在我们来计算甲、乙两人每次射击成绩与平均成绩的偏差的平方和. 甲:(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2=2; 乙:(10-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(6-8)2+(8-8)2=16. 你发现了什么? 教师讲授：容易看出，上述各偏差的平方和的大小还与射击的次数有关.所以我们可进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性. 教师讲授：一般地,各数据与平均数的差的平方的平均数 S2= ]叫做这组数据的方差. 方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 想一想：如果直接计算甲、乙每次射击成绩与平均数的偏差的和,结果如何? 教师讲授：甲:7-8+8-8+8-8+8-8+9-8=0; 乙:10-8+6-8+10-8+6-8+8-8=0. 因为正负偏差相互抵消，它们的和等于零，不能体现数据的波动情况 教师提问：你能写出（3）的解答过程吗？ 解：(3)=0.4 ]=3.2 在平均数相同的情况下， < , ∴甲的射击成绩比乙稳定， ∴从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，挑选甲比较适宜 学生完成习题，计算甲、乙两人的平均成绩，举手回答问题 学生认真听讲 学生自主完成，画折线统计图，举手展示 学生认真观察图象 学生认真思考，合作交流，举手回答问题 学生认真听讲 学生计算甲、乙两人每次射击成绩与平均成绩的偏差的平方和. 学生认真听讲 学生认真听讲，了解方差的概念 学生认真思考，进行计算 学生认真听讲 学生完成作答，举手展示答案 活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。 环节三：例题精讲 教师活动3： 例 为了考察甲、乙两块地小麦的长势,分别从中抽出10株苗,测得 甲:12，13，14，15，10，16，13，11，15，11; 乙:11，16，17，14，13，19， 6，8，10，16. 哪块地小麦长得比较整齐? 解： (12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)= 13(cm); (11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)= 13(cm). 3.6 (cm2); 因为< ,所以甲这块地的小麦长得比较整齐. 一般地,一组数据的方差的算术平方根 S=称为这组数据的标准差. 上例中,两个标准差分别是:S甲= ≈1.90(cm);S乙= ≈3.97(cm). 做一做：数据-2,-1,0,3,5的方差是　　　　 ，标准差是　　　　 (精确到0.01). 答案：6.8,2.61 学生活动3： 学生读题，认真思考，完成习题，举手回答问题 学生认真听讲 学生认真听讲，了解标准差的概念 学生进行计算，举手回答问题 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节四：课堂小结 教师活动4： 教师提问：求方差的步骤是什么？ 教师讲授： 1.均：求数据的平均数 2.差：求各数据与平均数的差 3.方：求各个差的平方 4.再均：求所得各平方数的平均数 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.数据1，2，3，4，5的标准差是(　　) A.10 B.2 C. D. 2.某校有甲、乙两个合唱队，两队队员的平均身高都为160cm，标准差分别是S甲、S乙，且S甲＞S乙，则两个队的队员的身高较整齐的是（　　） A．甲队 B．两队一样整齐 C．乙队 D．不能确定 3.设S是数据x1,x2,…,xn的标准差，S1是x1﹣2.5,x2﹣2.5,…xn﹣2.5的标准差，则有( ) A．S=S1 B．S1=S﹣2.5 C．S1=（S﹣2.5）2 D．S1=选做题： 1.已知一组数据的方差计算公式是S2=[(8-)2+(8-)2+(9-)2+(11-)2] ,下列关于这组数据的说法错误的是(　　) A.平均数是9　 B.中位数是8.5 C.方差是2　 D.众数是8 2.某射击队从甲、乙、丙、丁四位选手中选拔一人参加市级比赛，在选拔赛中，每人射击10次，计算他们成绩的平均数（环）分别是8.2，8.0，8.2，8.0，方差分别为2.0，1.8，1.5，1.6，则最合适的人选是( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3.小林五天来在某平台收到的关注人数如下表所示: 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 1 3 4 5 1 则这五天关注人数的标准差是(　　) A.2.56　B.0 　C.1.6　 D.0.8 【综合拓展类作业】 小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛,班主任对这两名同学进行了6次测试,测试成绩折线统计图如图所示. 根据图中信息,解答下列问题: (1)要评价两名同学成绩的平均水平,你选择什么统计量?求这个统计量. (2)求小聪成绩的方差. (3)现求得小明成绩的方差为3,根据折线统计图及上面两小题的计算,你认为哪名同学的成绩较好?请简述理由. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.一组数据：1，3，2，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差为(  ) A.   2     B.  4     C.    D.  ﹣2 2.顶呱呱学习小组5名同学某次数学成绩如图所示,拿到试卷后,小刚发现自己的成绩少加了10分,老师加回分数后,下列说法正确的是(　　) A.小刚加分后的成绩位于组内中等水平 B.小组平均分增加2分 C.小组的成绩稳定性增加,方差变大 D.该小组成绩不存在中位数 3.有15名学生参加学校举办的“最强大脑”智力竞赛,比赛结束后根据每个学生的成绩计算平均数、中位数、众数、方差,若去掉一个最高分,一个最低分,则一定不会发生变化的是(　　) A.平均数　B.中位数 C.众数　D.方差 【综合拓展类作业】 在八次数学测试中，甲、乙两人的成绩如下： 甲：89，93，88，91，94，90，88，87 乙：92，90，85，93，95，86，87，92 请你从下列角度比较两人成绩的情况，并说明理由： (1)根据平均数来判断两人的成绩谁优谁次； (2)根据众数来判断两人的成绩谁优谁次； (3)根据中位数来判断两人的成绩谁优谁次； (4)根据方差来判断两人的成绩谁更稳定. 教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过情境导入激发学生学习的兴趣。安排学生探索新知，观察思考，从而获得数学活动经验，直观感知知识。本设计例题习题安排恰当，缺点是题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生。另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整教学方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$