第4章 因式分解（思维导图+知识梳理+易错点拨+9大考点讲练+优选真题难度分层练 共47题）-2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末培优知识讲练【2024新教材】

2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第4章 因式分解 （思维导图+知识梳理+易错点拨+9大考点讲练+优选真题难度分层练 共47题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：因式分解的基本概念 2 知识点梳理02：因式分解的基本方法 2 知识点梳理03：因式分解的步骤与注意事项 3 知识点梳理04：典型例题解析 3 知识点梳理05：综合应用 4 易错考点点拨汇总 4 易错知识点01：混淆因式分解与整式乘法 4 易错知识点02：提公因式法的常见错误 4 易错知识点03：公式法的典型错误 4 易错知识点04：分组分解法的易错点 5 期末真题考点汇编讲练 5 期末考向一：因式分解的意义 5 重点考点讲练01：判断是否是因式分解 5 期末考向二：提取公因式法 5 重点考点讲练02：公因式 5 重点考点讲练03：提公因式法分解因式 6 重点考点讲练04：添括号 6 期末考向三：用乘法公式分解因式 6 重点考点讲练05：判断能否用公式法分解因式 6 重点考点讲练06：平方差公式分解因式 6 重点考点讲练07：完全平方公式分解因式 7 重点考点讲练08：综合运用公式法分解因式 7 重点考点讲练09：综合提公因式和公式法分解因式 8 优选真题难度分层练 9 中档题—夯实基础能力 9 压轴题—强化解题技能 10 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：因式分解的基本概念 1. 定义：将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，称为因式分解（分解因式）。 关键要求：结果必须是乘积形式，且每个因式均为整式（不可再分解）[1][2]。 与整式乘法的关系：互为逆运算。例如，(x+2)(x−1)=x²+x−2是整式乘法，而x²+x−2=(x+2)(x−1) 是因式分解。 2. 学习意义 简化复杂计算（如代数式求值、分式运算）； 为后续解一元二次方程、函数分析等奠定基础。 知识点梳理02：因式分解的基本方法 1.提公因式法 公因式的定义：多项式各项共有的因式（系数取最大公约数，字母取最低次幂）。 示例：6a²b+9ab²=3ab(2a+3b) 步骤： ① 确定公因式； ② 提取公因式，剩余部分作为另一个因式。 易错点： 漏提系数或字母（如4x²+8x=4x(x+2)，而非2x(2x+4)； 未处理负号（如−x²+xy=−x(x−y) 2.公式法 利用乘法公式的逆运算分解： 平方差公式：a²−b²=(a+b)(a−b) 示例：9x²−16=(3x+4)(3x−4) 完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)2 示例：x²+6x+9=(x+3)²（需验证中间项是否为两倍首尾乘积）[1][3][5]。 易错点： 误用公式（如将x²+4分解为(x+2)² 忽略系数（如4x²−9=(2x+3)(2x−3) 知识点梳理03：因式分解的步骤与注意事项 1. 分解步骤： ①先提公因式：无论是否明显，优先提取所有公因式； ②观察剩余项：若为两项用平方差，若为三项用完全平方公式； ③检查彻底性：确保每个因式不可再分解。 知识点梳理04：典型例题解析 1. 提公因式法： 12xy²−8x²y=4xy(3y−2x) 关键：公因式为4xy ，剩余因式通过原式除以公因式得到。 2. 平方差公式： 25m²−n²=(5m+n)(5m−n) 关键：将25m²和n²分别看作(5m)²和n² 3. 完全平方公式： x²−4x+4=(x−2)² 验证：中间项-4x是2×x×(−2) ，符合公式结构。 知识点梳理05：综合应用 1. 简化计算： 示例：计算101²−99² ，用平方差公式分解为(101+99)(101−99)=200×2=400 2. 解方程： 示例：解方程x²+5x=0 ，因式分解为x(x+5)=0，解得 x = 0 或 x = -5 [4]。 易错知识点01：混淆因式分解与整式乘法 1. 错误表现： 将因式分解结果重新展开成多项式，误认为是分解过程 示例：将(x+2)(x−3)写成x²−x−6，误以为是因式分解，实则为整式乘法 2. 纠正方法： 明确因式分解是“和→积”的变形，整式乘法是“积→和”的变形，两者互为逆运算。 易错知识点02：提公因式法的常见错误 1. 漏提公因式： 错误：6x²y+9xy²=3x(2xy+3y²)（漏提字母y和系数 3） 正确：6x²y+9xy²=3xy(2x+3y) （系数取最大公约数，字母取最低次幂）36。 2. 符号处理错误： 错误：分解−a²+ab 时写成a(−a+b) 正确：提取负号并调整符号，−a²+ab=−a(a−b) 易错知识点03：公式法的典型错误 1. 误用平方差公式： 错误：将x²+4x²+4分解为(x+2)²（需两项符号相反）。 正确：x²+4 x²+ 4无法在实数范围内分解，若为x²−4，则分解为(x+2)(x−2)。 2. 完全平方公式条件不符： 错误：分解x²+4x+9为(x+3)²（中间项应为6x）。 正确：若为x²+6x+9，则分解为(x+3)² 易错知识点04：分组分解法的易错点 1. 分组不合理： 错误：分解 ax + ay + bx + by 时分成(ax+ay)+(bx+by)，但未提取公因式后继续分解。 正确：分组后提取局部公因式，a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)。 2. 分解不彻底： 错误：分解x4−1为(x²+1)(x²−1)后停止。 正确：需二次分解为(x²+1)(x+1)(x−1) 期末考向一：因式分解的意义 重点考点讲练01：判断是否是因式分解 【母题精讲】（22-23七年级下·陕西宝鸡·期末）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【训练1】（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【训练2】（21-22八年级上·河北唐山·期末）下列各式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（    ） A． B． C． D． 期末考向二：提取公因式法 重点考点讲练02：公因式 【母题精讲】（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（22-23七年级下·江苏淮安·期末）多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【训练2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）多项式的公因式是 ． 重点考点讲练03：提公因式法分解因式 【母题精讲】（21-22七年级下·黑龙江绥化·期末）分解因式 ． 【训练1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）若，，则 ． 【训练2】（22-23七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： ． 重点考点讲练04：添括号 【母题精讲】（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若，则的值为 ． 【训练1】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）如果代数式的值是3，则的值是 ． 【训练2】（22-23七年级下·四川眉山·开学考试）下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 期末考向三：用乘法公式分解因式 重点考点讲练05：判断能否用公式法分解因式 【母题精讲】（22-23七年级下·湖南益阳·期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【训练1】（21-22七年级下·浙江丽水·期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【训练2】（21-22七年级下·山东聊城·期末）下列各多项式中，能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练06：平方差公式分解因式 【母题精讲】（23-24七年级下·安徽安庆·期末）因式分解： ． 【训练1】（21-22七年级下·浙江·期末）因式分解或解方程组： (1)； (2)． 【训练2】（22-23七年级下·山东菏泽·期末）（1）因式分解：； （2）解方程组：． 重点考点讲练07：完全平方公式分解因式 【母题精讲】（23-24七年级下·江苏淮安·期末）分解因式： ． 【训练1】（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【训练2】（22-23七年级下·广西贺州·期末）分解因式： (1)． (2)． 重点考点讲练08：综合运用公式法分解因式 【母题精讲】（21-22八年级下·山东济南·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法例如： ． 拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法例如： (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： （分组分解法）； （拆项法）； (2)已知：，，为的三条边，，求的周长． 【训练1】（22-23七年级下·江苏南京·期末）分解因式： (1) ； (2)． 【训练2】（22-23七年级下·广西贵港·期末）【阅读理解】：对于形如的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解了．我们可以添上一项1，使它与构成一个完全平方式，然后再减去1，这样整个多项式的值不变，即， 像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 【初步运用】请用上述方法把因式分解： 【拓展应用】已知三角形ABC的三边分别为a，b，c，且满足，求三角形ABC的周长． 重点考点讲练09：综合提公因式和公式法分解因式 【母题精讲】（24-25七年级下·全国·期末）分解因式： (1) ； (2)． 【训练1】（21-22八年级下·宁夏银川·期末）把下列各式因式分解． (1) ； (2)． 【训练2】（21-22七年级下·广西百色·期末）把多项式因式分解的最后结果是（　　） A． B． C． D． 中档题—夯实基础能力 1．（22-23七年级上·上海闵行·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）下列式子从左到右变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解： ． 5．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足，则的值为 ． 6．（20-21七年级下·江苏南京·期末）分解因式： ． 7．（22-23七年级下·山东聊城·期末）因式分解： (1)； (2)． 8．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．    (1)求整式M，P； (2)将整式P因式分解． 9．（22-23七年级下·河北唐山·期末）（1）请观察下列各式，能用完全平方公式因式分解的是______（填序号），并把你选出的多项式分解因式． ①        ②            ③        ④ （2）根据对完全平方公式特征的理解；请给添上一个单项式，使得到的多项式能用完全平方公式分解因式．这个单项式可以为______（写出所有情况）． 10．（22-23七年级下·北京石景山·期末）已知：，，求代数式的值． 压轴题—强化解题技能 11．（21-22七年级下·山东菏泽·期末）把多项式因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（21-22七年级下·广西桂林·期末）下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级上·山东威海·期末）因式分解： ． 15．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）已知，则代数式的值为 ． 16．（22-23七年级下·四川成都·期末）将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数 ． 17．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）因式分解：． 18．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）已知，，求的值． 19．（22-23七年级下·江西吉安·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值． 解：； 因为不论取何值，总是非负数，即； 所以； 所以当时，有最小值，最小值是1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：____________________； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)如上图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为，试比较与的大小，并说明理由． 20．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）， (1)该同学第二步到第三步运用______进行因式分解； (2)该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第4章 因式分解 （思维导图+知识梳理+易错点拨+9大考点讲练+优选真题难度分层练 共47题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：因式分解的基本概念 2 知识点梳理02：因式分解的基本方法 2 知识点梳理03：因式分解的步骤与注意事项 3 知识点梳理04：典型例题解析 3 知识点梳理05：综合应用 4 易错考点点拨汇总 4 易错知识点01：混淆因式分解与整式乘法 4 易错知识点02：提公因式法的常见错误 4 易错知识点03：公式法的典型错误 4 易错知识点04：分组分解法的易错点 5 期末真题考点汇编讲练 5 期末考向一：因式分解的意义 5 重点考点讲练01：判断是否是因式分解 5 期末考向二：提取公因式法 6 重点考点讲练02：公因式 6 重点考点讲练03：提公因式法分解因式 7 重点考点讲练04：添括号 8 期末考向三：用乘法公式分解因式 9 重点考点讲练05：判断能否用公式法分解因式 9 重点考点讲练06：平方差公式分解因式 10 重点考点讲练07：完全平方公式分解因式 11 重点考点讲练08：综合运用公式法分解因式 12 重点考点讲练09：综合提公因式和公式法分解因式 14 优选真题难度分层练 16 中档题—夯实基础能力 16 压轴题—强化解题技能 20 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：因式分解的基本概念 1. 定义：将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，称为因式分解（分解因式）。 关键要求：结果必须是乘积形式，且每个因式均为整式（不可再分解）[1][2]。 与整式乘法的关系：互为逆运算。例如，(x+2)(x−1)=x²+x−2是整式乘法，而x²+x−2=(x+2)(x−1) 是因式分解。 2. 学习意义 简化复杂计算（如代数式求值、分式运算）； 为后续解一元二次方程、函数分析等奠定基础。 知识点梳理02：因式分解的基本方法 1.提公因式法 公因式的定义：多项式各项共有的因式（系数取最大公约数，字母取最低次幂）。 示例：6a²b+9ab²=3ab(2a+3b) 步骤： ① 确定公因式； ② 提取公因式，剩余部分作为另一个因式。 易错点： 漏提系数或字母（如4x²+8x=4x(x+2)，而非2x(2x+4)； 未处理负号（如−x²+xy=−x(x−y) 2.公式法 利用乘法公式的逆运算分解： 平方差公式：a²−b²=(a+b)(a−b) 示例：9x²−16=(3x+4)(3x−4) 完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)2 示例：x²+6x+9=(x+3)²（需验证中间项是否为两倍首尾乘积）[1][3][5]。 易错点： 误用公式（如将x²+4分解为(x+2)² 忽略系数（如4x²−9=(2x+3)(2x−3) 知识点梳理03：因式分解的步骤与注意事项 1. 分解步骤： ①先提公因式：无论是否明显，优先提取所有公因式； ②观察剩余项：若为两项用平方差，若为三项用完全平方公式； ③检查彻底性：确保每个因式不可再分解。 知识点梳理04：典型例题解析 1. 提公因式法： 12xy²−8x²y=4xy(3y−2x) 关键：公因式为4xy ，剩余因式通过原式除以公因式得到。 2. 平方差公式： 25m²−n²=(5m+n)(5m−n) 关键：将25m²和n²分别看作(5m)²和n² 3. 完全平方公式： x²−4x+4=(x−2)² 验证：中间项-4x是2×x×(−2) ，符合公式结构。 知识点梳理05：综合应用 1. 简化计算： 示例：计算101²−99² ，用平方差公式分解为(101+99)(101−99)=200×2=400 2. 解方程： 示例：解方程x²+5x=0 ，因式分解为x(x+5)=0，解得 x = 0 或 x = -5 [4]。 易错知识点01：混淆因式分解与整式乘法 1. 错误表现： 将因式分解结果重新展开成多项式，误认为是分解过程 示例：将(x+2)(x−3)写成x²−x−6，误以为是因式分解，实则为整式乘法 2. 纠正方法： 明确因式分解是“和→积”的变形，整式乘法是“积→和”的变形，两者互为逆运算。 易错知识点02：提公因式法的常见错误 1. 漏提公因式： 错误：6x²y+9xy²=3x(2xy+3y²)（漏提字母y和系数 3） 正确：6x²y+9xy²=3xy(2x+3y) （系数取最大公约数，字母取最低次幂）36。 2. 符号处理错误： 错误：分解−a²+ab 时写成a(−a+b) 正确：提取负号并调整符号，−a²+ab=−a(a−b) 易错知识点03：公式法的典型错误 1. 误用平方差公式： 错误：将x²+4x²+4分解为(x+2)²（需两项符号相反）。 正确：x²+4 x²+ 4无法在实数范围内分解，若为x²−4，则分解为(x+2)(x−2)。 2. 完全平方公式条件不符： 错误：分解x²+4x+9为(x+3)²（中间项应为6x）。 正确：若为x²+6x+9，则分解为(x+3)² 易错知识点04：分组分解法的易错点 1. 分组不合理： 错误：分解 ax + ay + bx + by 时分成(ax+ay)+(bx+by)，但未提取公因式后继续分解。 正确：分组后提取局部公因式，a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)。 2. 分解不彻底： 错误：分解x4−1为(x²+1)(x²−1)后停止。 正确：需二次分解为(x²+1)(x+1)(x−1) 期末考向一：因式分解的意义 重点考点讲练01：判断是否是因式分解 【母题精讲】（22-23七年级下·陕西宝鸡·期末）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【规范解答】解：A、，故该选项符合题意； B、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式（含有分式），不是因式分解，故此选项不符合题意； D、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：A． 【训练1】（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【规范解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 【训练2】（21-22八年级上·河北唐山·期末）下列各式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据因式分解的定义得出即可． 【规范解答】解：A、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； B、，从左到右的变形是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、，原式从左到右的变形错误，故本选项不符合题意； D、两边不相等，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：A 期末考向二：提取公因式法 重点考点讲练02：公因式 【母题精讲】（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可． 【规范解答】解：单项式与的公因式是． 故选：C． 【训练1】（22-23七年级下·江苏淮安·期末）多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出公因式． 【规范解答】解： 多项式分解因式时，应提取的公因式 故选：D 【训练2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）多项式的公因式是 ． 【答案】 【思路点拨】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出公因式的即可． 【规范解答】解：∵各项系数6、3的最大公约数是3，各项都含有的字母是x与y,x的最低指数是2，y的最低指数是2， ∴该多项式的公因式为：． 故答案为：． 重点考点讲练03：提公因式法分解因式 【母题精讲】（21-22七年级下·黑龙江绥化·期末）分解因式 ． 【答案】 【思路点拨】原式提取公因式分解即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【训练1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】先将所求式子因式分解，再代值求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【训练2】（22-23七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】直接找出最大公因式，进而提取公因式得出答案． 【规范解答】解：． 故答案为：． 重点考点讲练04：添括号 【母题精讲】（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查代数式的求值问题，关键是把条件等式变形，整体代入． 【规范解答】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【训练1】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）如果代数式的值是3，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了代数式求值，添括号，先根据题意得到，再由，把整体代入求解即可． 【规范解答】解：∵代数式的值是3， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【训练2】（22-23七年级下·四川眉山·开学考试）下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据去括号和添括号法则进行判断即可． 【规范解答】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 期末考向三：用乘法公式分解因式 重点考点讲练05：判断能否用公式法分解因式 【母题精讲】（22-23七年级下·湖南益阳·期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据完全平方公式以及平方差公式的特征，逐项分析判断即可求解． 【规范解答】解：A. ，不是完全平方公式，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，不是完全平方公式也不符和平方差公式，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，是完全平方公式，故该选项正确，符合题意；     D. ，不能用完全平方公式或平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【训练1】（21-22七年级下·浙江丽水·期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【训练2】（21-22七年级下·山东聊城·期末）下列各多项式中，能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】直接利用平方差公式或完全平方公式分解因式进而得出答案． 【规范解答】解：A、不能因式分解，故本选项不符合题意； B、不能因式分解，故本选项不符合题意； C、不能因式分解，故本选项不符合题意； D、能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D 重点考点讲练06：平方差公式分解因式 【母题精讲】（23-24七年级下·安徽安庆·期末）因式分解： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【规范解答】解：原式； 故答案为：． 【训练1】（21-22七年级下·浙江·期末）因式分解或解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了因式分解和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握因式分解和解二元一次方程组的方法． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【规范解答】（1） ； （2） 整理得， 得， 解得 将代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 【训练2】（22-23七年级下·山东菏泽·期末）（1）因式分解：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】（1）根据完全平方差公式因式分解即可得到答案； （2）根据二元一次方程组的解法直接求解即可得到答案． 【规范解答】解：（1） ； （2）， 由①②得， 将代入①得， 原方程组的解为． 重点考点讲练07：完全平方公式分解因式 【母题精讲】（23-24七年级下·江苏淮安·期末）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 【训练1】（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【思路点拨】本题考查了因式分解，代数式求值，根据已知可得，根据完全平方公式因式分解代数式，进而代入即可求解． 【规范解答】解：∵ ∴，则， ∴， 故选：A． 【训练2】（22-23七年级下·广西贺州·期末）分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）根据利用完全平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式可得，再根据平方差公式即可解答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 重点考点讲练08：综合运用公式法分解因式 【母题精讲】（21-22八年级下·山东济南·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法例如： ． 拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法例如： (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： （分组分解法）； （拆项法）； (2)已知：，，为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)； (2)的周长为 【思路点拨】本题主要考查公式法因式分解： （1）将组成为分解即可． 将拆项为分解即可； （2）分组拆项配成完全平方式的和形式，利用非负性计算即可． 【规范解答】（1） （2）， ． ． ，，． ． 的周长为． 【训练1】（22-23七年级下·江苏南京·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）原式利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 【训练2】（22-23七年级下·广西贵港·期末）【阅读理解】：对于形如的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解了．我们可以添上一项1，使它与构成一个完全平方式，然后再减去1，这样整个多项式的值不变，即， 像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 【初步运用】请用上述方法把因式分解： 【拓展应用】已知三角形ABC的三边分别为a，b，c，且满足，求三角形ABC的周长． 【答案】【初步运用】；【拓展应用】 【思路点拨】初步运用：把先加16，再减16，先用完全平方公式，再用平方差公式分解即可； 拓展应用：先移项，然后用配方法分解因式即可． 【规范解答】解：初步运用： 拓展应用： ，， 三角形ABC的周长为： 重点考点讲练09：综合提公因式和公式法分解因式 【母题精讲】（24-25七年级下·全国·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先提取公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可； （2）根据平方差公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 【训练1】（21-22八年级下·宁夏银川·期末）把下列各式因式分解． (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）先提公因式x，再利用完全平方公式即可进行因式分解； （2）先提公因式，再利用平方差公式即可进行因式分解． 本题考查因式分解，涉及提公因式、完全平方公式、平方差公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【训练2】（21-22七年级下·广西百色·期末）把多项式因式分解的最后结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案即可．正确运用公式法分解因式是解题关键． 【规范解答】解： ． 故选：D． 中档题—夯实基础能力 1．（22-23七年级上·上海闵行·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【规范解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【规范解答】A、，从左到右的变形是因式分解，故此选项符合题意； B、，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，从左到右的变形，是乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）下列式子从左到右变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】把一个多项式化为几个整式积的形式，叫做因式分解，根据定义逐项判断即得答案. 【规范解答】解：A、，是因式分解； B、，是整式的乘法，不是因式分解； C、，不是因式分解； D、，是整式的乘法，不是因式分解； 故选：A. 4．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查提取公因式法因式分解，利用提取公因式法因式分解即可． 【规范解答】解： 故答案为：． 5．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，偶次方的非负性，代数式的值，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键．把原式化为，再利用非负数的性质求得，，从而可得答案． 【规范解答】， ， ， ，， ，， ， 故答案为：． 6．（20-21七年级下·江苏南京·期末）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查公式法因式分解．根据完全平方公式：，把原式化成二项式平方即可． 【规范解答】解：； 故答案为：． 7．（22-23七年级下·山东聊城·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解 【规范解答】（1） （2） 8．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．    (1)求整式M，P； (2)将整式P因式分解． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】（1）根据题意可得，移项化简可得M的值，再由，可得P的值； （2）算出P的值，先提取公因数，再用公式法即可因式分解． 【规范解答】（1）解：由题意可知，， 解得：， ， ∴； （2）由（1）可知，． 9．（22-23七年级下·河北唐山·期末）（1）请观察下列各式，能用完全平方公式因式分解的是______（填序号），并把你选出的多项式分解因式． ①        ②            ③        ④ （2）根据对完全平方公式特征的理解；请给添上一个单项式，使得到的多项式能用完全平方公式分解因式．这个单项式可以为______（写出所有情况）． 【答案】（1）①④；（2）， 【思路点拨】（1）根据完全平方公式处理； （2）添项，配成完全平方式处理． 【规范解答】解：（1）①④ （2）   ，       ； 故可添单项为：，． 10．（22-23七年级下·北京石景山·期末）已知：，，求代数式的值． 【答案】 【思路点拨】先分解因式得到，再根据式子的值即可解答． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故答案为； 压轴题—强化解题技能 11．（21-22七年级下·山东菏泽·期末）把多项式因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】先提公因式-3a，再运用完全平方公式分解即可． 【规范解答】解：原式=-3a(-x+) =， 故选：D． 12．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】通过查看等式左右两边是否相等，即可判断因式分解正确与否． 【规范解答】A项：右边= 左边，错误； B项：左边等于右边，正确，故为本题答案； C项：右边= 左边，错误； D项：右边= 左边，错误； 故本题答案为：B． 13．（21-22七年级下·广西桂林·期末）下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据因式分解的定义去判断即可． 【规范解答】解：A、因为是单项式乘以多项式， 不是因式分解， 故A不符合题意； B、因为不是因式乘积的形式， 不是因式分解， 故B不符合题意； C、因为是因式分解， 故C符合题意； D、因为不是因式乘积的形式， 不是因式分解， 故D不符合题意； 故选C． 14．（22-23九年级上·山东威海·期末）因式分解： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． 先提取公因式x，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【规范解答】解：． 故答案为． 15．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】先根据平方差公式分解因式，再整体代入，即可求出答案． 【规范解答】解：， ， 故答案为：． 16．（22-23七年级下·四川成都·期末）将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数 ． 【答案】 【思路点拨】把变为，整理成，利用完全平方公式进行因式分解得到即可得到答案；把变为，整理成，利用完全平方公式进行因式分解得到，即可得到答案． 【规范解答】解： ； ， ∵， ∴， 故答案为：；． 17．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）因式分解：． 【答案】 【思路点拨】先根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【规范解答】解： ． 18．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）已知，，求的值． 【答案】3 【思路点拨】先提公因式，再按照完全平方公式分解因式，再把，代入求值即可得到答案． 【规范解答】解：原式 ， ∵，， ∴原式 ． 19．（22-23七年级下·江西吉安·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值． 解：； 因为不论取何值，总是非负数，即； 所以； 所以当时，有最小值，最小值是1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：____________________； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)如上图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2，4； (2)；； (3)；理由见解析． 【思路点拨】（1）直接利用完全平方公式可得答案； （2）由 ，结合非负数的性质可得答案； （3）由 ，再结合非负数的性质可得答案． 【规范解答】（1）解：； 答案为：2，4； （2） ． 当时，取最小值，最小值为； （3）解：．理由如下： ，， ， ， ， ， ． 20．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）， (1)该同学第二步到第三步运用______进行因式分解； (2)该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)完全平方公式 (2)否； (3) 【思路点拨】（1）根据因式分解的方法解答即可； （2）用完全平方公式继续分解； （3）根据题目所提供的方法分解即可． 【规范解答】（1）该同学第二步到第三步运用完全平方公式进行因式分解． 故答案为：完全平方公式 （2）没有完成因式分解， ； （3）设， 则原式 ． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$