第2章 二元一次方程组（思维导图+知识梳理+易错点拨+19大考点讲练+优选真题难度分层练 共77题）-2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末培优知识讲练【2024新教材】

2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第2章 二元一次方程组 （思维导图+知识梳理+易错点拨+19大考点讲练+优选真题难度分层练 共77题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 3 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 4 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 5 知识点梳理04：三元一次方程组 6 易错考点点拨汇总 7 易错知识点01：概念理解偏差 7 易错知识点02：解法操作失误 7 易错知识点03：解的验证疏漏 8 易错知识点04：参数题型处理不当 8 易错知识点05：应用题建模错误 8 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 8 易错知识点07：符号处理与变形错误 8 易错知识点08：特殊题型应对策略 9 期末真题考点汇编讲练 9 期末考向一：二元一次方程 9 重点考点讲练01：二元一次方程的解 9 期末考向二：二元一次方程组和它的解 10 重点考点讲练02：已知二元一次方程组的解求参数 10 期末考向三：解二元一次方程组 12 重点考点讲练03：代入消元法 12 重点考点讲练04：加减消元法 14 重点考点讲练05：二元一次方程组的特殊解法 16 重点考点讲练06：构造二元一次方程组求解 17 重点考点讲练07：已知二元一次方程组的解的情况求参数 20 期末考向四：二元一次方程组的应用 22 重点考点讲练08：分配问题(二元一次方程组的应用) 22 重点考点讲练09：图表信息题(二元一次方程组的应用) 23 重点考点讲练10：行程问题(二元一次方程组的应用) 26 重点考点讲练11：工程问题(二元一次方程组的应用) 27 重点考点讲练12：几何问题(二元一次方程组的应用) 30 重点考点讲练13：方案问题(二元一次方程组的应用) 32 重点考点讲练14：数字问题(二元一次方程组的应用) 36 重点考点讲练15：年龄问题(二元一次方程组的应用) 39 重点考点讲练16：销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 40 重点考点讲练17：和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 43 重点考点讲练18：古代问题(二元一次方程组的应用) 46 重点考点讲练19：其他问题(二元一次方程组的应用) 48 优选真题难度分层练 50 中档题—夯实基础能力 50 压轴题—强化解题技能 55 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点梳理04：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 易错知识点01：概念理解偏差 易错点1：混淆方程与方程组 错误表现：将单个二元一次方程误认为方程组，或忽略“两个一次方程组合”这一条件 正确认知：方程组必须包含两个独立的二元一次方程，且两方程需用大括号联立表示（如{x+y=5; 2x-y=1}） 易错点2：忽略定义中的限制条件 典型错误：认为方程xy=3或1/x + y=2是二元一次方程 键点：二元一次方程需满足：①整式方程；②含两个未知数；③未知数最高次数为1 易错知识点02：解法操作失误 代入法常见错误 1. 代入不彻底：仅替换一个未知数后未继续代入原方程 示例：解{y=2x; 3x+y=10}时，代入后应为3x+2x=10，而非保留y 2. 符号处理错误：代入含负号的表达式时漏写括号 加减法典型错误 1. 未对齐系数直接加减：未将两方程同一未知数系数调整为相等或相反数 示例：解{2x+3y=11; 3x-2y=4}时，应先分别乘系数使x或y的系数相同/相反 2. 加减方向混淆：系数相反时用“加”，相同时用“减” 易错知识点03：解的验证疏漏 易错表现： 求出解后未代入所有原方程验证 将非整数解误判为无解 示例：解{x+y=3; 2x+2y=6}得无穷解时，需说明两方程实为同一方程 易错知识点04：参数题型处理不当 易错类型： 1. 忽略系数不为零条件：如已知方程(m-2)x + y=5是二元一次方程，需保证m-2≠0，即m≠2 2. 同解方程问题：已知两方程组同解时，未先解其中一个方程组再代入另一个求参数 例题：若{x+y=3; ax+by=4}与{x-y=1; bx+ay=5}同解，需先求x=2,y=1再代入求a,b 易错知识点05：应用题建模错误 易错表现： 1. 设元不当：未用两个不同字母表示两个未知量（如设“男生x人，女生(50-x)人”导致方程退化为一元一次） 2. 等量关系遗漏：应用题中含两个独立条件却只列出一个方程 示例：鸡兔同笼问题需同时满足“头数总和”与“脚数总和” 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 易错点： 1. 消元目标不明确：未优先消去系数较简单的未知数 2. 步骤跳步导致错误：三元转二元时，未保留中间方程组直接求解 正确步骤： ① 消去同一未知数得两个新二元方程； ② 解新方程组后再回代45 易错知识点07：符号处理与变形错误 常见错误： 1. 移项时符号错误：如将-2x + y = 4移项得y = 2x +4（正确应为y=2x+4） 2. 去括号漏乘系数：解3(x-2y) = 2y+1时误展开为3x-2y = 2y+1（正确应为3x-6y=2y+1） 易错知识点08：特殊题型应对策略 易错题型1：系数轮换问题 示例：解{ax+by=c; bx+ay=d}时未利用对称性简化计算 技巧：两式相加得(a+b)(x+y)=c+d，两式相减得(a-b)(x-y)=c-d 易错题型2：错解问题 题目：甲解方程组{ax+by=2; cx-7y=8}时误抄c得解x=3,y=2，乙未抄错得解x=-2,y=2，求正确值 策略：甲的错解满足第一个方程，乙的正确解满足所有方程，联立求a,b,c 期末考向一：二元一次方程 重点考点讲练01：二元一次方程的解 【母题精讲】（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是方程的一个解，则的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路点拨】把方程的解代入得，从而确定，整体代入计算即可． 【规范解答】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 【训练1】（22-23七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）若是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】将代入方程，得到，整体代入代数式求值即可． 【规范解答】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴ ． 故答案为：3． 【训练2】（22-23七年级下·重庆·期末）两个两位数p和q，将p的十位上的数字和个位上的数字分别放置于q的十位数字与个位之间和个位数字的右边，将q的十位上的数字和个位上的数字分别放置于p的十位数字与个位之间和个位数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为．按此规则，计算 ；若，，（，，m，n均为自然数），当，，时，则的最大值为 ． 【答案】 309 12 【思路点拨】根据定义代入计算可得和二元一次方程，解得，的整数解，可求的值． 【规范解答】解：，； 当，，， 则，，， ， ， ， ，，， ，，， ，，， 综上所述，的最大值为12， 故答案为：309，12． 期末考向二：二元一次方程组和它的解 重点考点讲练02：已知二元一次方程组的解求参数 【母题精讲】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）已知是方程组的解，那么的值为多少？ 【答案】1 【思路点拨】本题考查方程组的解，根据方程组的解满足方程代入得到新方程组，求出a、b的值，再代入所求代数式即可得到答案． 【规范解答】解：将代入原方程组得， ， 即：， 由得：，∴; 将代入②得：， 解得：， ∴ ∴． 【训练1】（23-24八年级上·河南郑州·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2022 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的解，将原方程组中的两个方程相加可得，即，再将代入计算即可． 【规范解答】解：， 得，， 即， 又∵， ∴， 解得． 故答案为：2022． 【训练2】（22-23七年级下·河南洛阳·期末）已知关于的方程组，解是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【思路点拨】把代入方程组得到关于的方程组求得的值，代入代数式即可得到结论． 【规范解答】解：把代入方程组， 可得， 解得， 则． 故选：A． 期末考向三：解二元一次方程组 重点考点讲练03：代入消元法 【母题精讲】（23-24八年级上·四川成都·期末）(1)解方程组：； (2)解方程组：． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的代入消元法和加减消元法是解决本题的关键． （1）利用代入消元法求解方程组比较简便； （2）先化简方程组中的第二个方程，再利用加减消元法求解即可． 【规范解答】（1）， 把②代入①，得， 整理，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 原方程组的解为． （2）， 由②得③， ①③，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 原方程组的解为． 【训练1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）把方程改写成含x的式子表示y的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的变形，把x看作已知数求出y即可． 【规范解答】解： ， ， ， 故选：B． 【训练2】（21-22七年级下·河北石家庄·期末）李宁在解二元一次方程组时，发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请求出二元一次方程组的解； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题的标准答案显示，互为相反数．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）①＋②得出，求出，再代入①求出即可； （2）把代入求出，再求出，再根据方程组解的定义可得答案． 【规范解答】（1）解：当时，方程组为， ①＋②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2）设， ∵，互为相反数， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， ∴方程组的解是， ∴， 解得：， ∴原题中“”是． 重点考点讲练04：加减消元法 【母题精讲】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）解方程（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解一元一次方程及二元一次方程组，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键． （1）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可． 【规范解答】（1）解：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程组整理得， ①②得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 故原方程组的解为． 【训练1】（24-25七年级下·全国·期末）（1）计算：；     （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，二元一次方程组的求解，立方根的求解，乘方的运算，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）先运算乘方，化简绝对值，立方根，再从左往右以此计算即可； （2）利用加减消元的方法进行求解即可． 【规范解答】解：（1）原式； （2） ，得， 解得． 把代入①，得， 解得， 该方程组的解为． 【训练2】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的解及其解法、解一元一次方程，先利用加减消元法解方程组得到，再根据解方程即可． 【规范解答】解：， 由得， 代入①中，得， ∴该方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得． 重点考点讲练05：二元一次方程组的特殊解法 【母题精讲】（22-23七年级下·云南昆明·期末）已知满足方程组，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将原方程组中的两个方程相加得到，即，再整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【规范解答】解：将方程组中的两个方程相加得，， 即， ∴， 故答案为：． 【训练1】（21-22七年级下·湖北咸宁·期末）选择适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了方程组的解法，根据题目特点选择适当的方法是解题的关键． （1）设，原方程组变形为，求解，再还原解答即可． （2）先加再整体消元解答即可． 【规范解答】（1）设， 原方程组变形为， 解得， ， 解得． （2）， 由得， ∴， 解得． 【训练2】（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如果关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【思路点拨】将第二个方程组变形为，对照第一个方程组知和相当于第一个方程组中的和，据此求解即可． 【规范解答】解：将方程组变形为：， 根据题意可得：， 解得：， 关于的二元一次方程组的解是：， 故答案为：． 重点考点讲练06：构造二元一次方程组求解 【母题精讲】（23-24七年级上·全国·期末）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的知识点是：互为相反数的两个数的和为0；如果两个非负数的和为0，那么每一个数都为0，根据相反数及非负数的性质列出方程，求出x、y的值，再代入即可． 【规范解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【训练1】（22-23七年级下·新疆省直辖县级单位·期末）在等式中，当时，；当时，．则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路点拨】将两组的值代入可得一个关于的方程组，解方程组即可得． 【规范解答】解：由题意得：，即， 解得， 故选：A． 【训练2】（22-23七年级下·福建龙岩·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点，，的横坐标x值与纵坐标y值的有序实数对，都是方程的解，则称，，三点共线．（如：点的横坐标与纵坐标的有序实数对为是方程的解．） (1)已知方程，判断A、B、C、D四个点中哪三个点共线？ ，，，．请写出判断过程． (2)已知方程， ①对于任意实数a的值该方程总有一个固定的解，请求出固定的解： ②以①的解中x值为点M的横坐标，y值为点M的纵坐标，若点，与点M三点共线，求a与t的值． 【答案】(1)A，B，D三点共线，见解析 (2)①；②， 【思路点拨】（1）根据共线的条件判断即可； （2）①法一：任取a的2个值代入，得到2个关于x、y的方程，联立求解即可； 法二：去括号，合并关于a的同类项，令a的系数等于零求解即可； ②将3个点的坐标分别代入，然后解方程组即可． 【规范解答】（1）对于，；   对于，；      对于，；     对于，． ∴A，B，D三点共线； （2）①法一：因为a为任意实数，不妨取和， 当时得， 当时得， 联立，   解得．      所以固定的解为． 法二：得， 即． 因为对于任意实数a的值该方程总有一个固定的解， 所以，   解得．    所以固定的解为．         ②由①得，因为，与点M三点共线，所以，得，     解得． 所以，． 重点考点讲练07：已知二元一次方程组的解的情况求参数 【母题精讲】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A．6 B．1 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是熟知方程组无解的含义．由第二个方程可得，将此式代入第一个方程可以得到一个关于解的方程，当分母为零时原方程组无解，即可得的值． 【规范解答】解：原方程组， 由（2）式得，代入（1）式得： ， 解得，当时原方程组无解，． 故选：D 【训练1】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二元一次方程组计算，一元一次方程计算．根据题意利用二元一次方程组将用分别表示出来，再代入中计算关于的一元一次方程即可得到本题答案． 【规范解答】解：∵， ∴得：， ∴得：， ∵， ∴，整理得：，即：． 【训练2】（22-23七年级下·江苏·单元测试）阅读理解：在数学课上，王老师遇到下面问题：已知x，y满足方程组，求的值？ 小芳：把方程组解出来，再求的值． 小强：把两个方程直接相加得方程两边同时除以4解得． 王老师对两位同学的讲解进行点评：指出“小强”同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用． 请你参考小芳或小强同学的做法，解决下面的问题． (1)已知关于x、y的方程组的解满足，求a的值． (2)运用“整体思想”解答：若方程组的解是，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）利用，可求出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值； （2）将代入原方程组，可求出，再将其代入中，即可求出结论． 【规范解答】（1）解： 得，， 又 ， ， 解得：， 的值为； （2）解：将代入原方程组得：， 整理得：， ． 期末考向四：二元一次方程组的应用 重点考点讲练08：分配问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级上·广西贺州·期末）某校预计安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，求该校七年级男寄宿生有多少人？预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有多少间？ 【答案】该校七年级男寄宿生有394人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有65间 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，设该校七年级男寄宿生有x人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间，根据“若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设该校七年级男寄宿生有x人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间， 根据题意得：， 解得：． 答：该校七年级男寄宿生有394人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有65间． 【训练1】（23-24八年级上·河南郑州·期末）某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 【答案】(1)每个A型车有45个座位，B型车有60个座位 (2)需租用A型车4辆，B型车2辆 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解； （2）设需租A型车m辆，B型车n辆，可得，再利用正整数解的含义可得答案． 【规范解答】（1）解：设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位， 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）设需租A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴． 答：需租用A型车4辆，B型车2辆． 【训练2】（22-23七年级下·山东聊城·期末）某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【答案】C 【思路点拨】根据两台印刷机完成该任务共需和资料计划印制10000份，即可列出二元一次方程组． 【规范解答】解：∵两台印刷机完成该任务共需， ∴可列方程； ∵资料计划印制10000份， ∴可列方程， ∴甲和乙列的方程组都正确， 故选：C． 重点考点讲练09：图表信息题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（23-24七年级上·广西河池·期末）宋代数学家杨辉称幻方为纵横图，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉在他的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．则的值是 ． 5 n 1 m 【答案】2 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题是解题的关键．由每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出方程可求解． 【规范解答】解：由题意可得：， ， 故答案为：2． 【训练1】（22-23七年级下·辽宁鞍山·期末）中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某中药材种植基地欲将一批吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 6 10 12 运费（元/辆） 540 700 720 (1)若全部中药材仅用乙、丙两种车型一次性运完，需支付运费元，问乙、丙两种车型各需多少辆？ (2)若该基地打算用甲、乙、丙三种车型共辆同时参与运送，每辆车均满载且一次性运完所有中药材，你能分别求出参与运送的三种车型的辆数吗？（甲、乙、丙三种车型均要参与运送） 【答案】(1)乙种车型需辆．丙种车型需辆 (2)参与运送的有甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆 【思路点拨】（1）设乙种车型需辆，丙种车型需辆，根据共150吨及运费元，列出二元一次方程组求解即可得出答案； （2）设甲车有辆，乙车有辆．则丙车有辆，根据一共吨列出方程，根据均为正整数，分别求出符合题意的，，的值即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设乙种车型需辆，丙种车型需辆， 根据题意得 解得 答：乙种车型需辆，丙种车型需辆． （2）解：设甲车有辆，乙车有辆．则丙车有辆， 由题意得， 即 ， 因为均为正整数， 所以时； 时，； 时，； 时，； 答：参与运送的有甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆． 【训练2】（22-23七年级下·广西河池·期末）根据图中提供的信息，若在左图中同时置入小球、大球共10个，水的总深度恰好为，则需要同时置入的小球、大球分别是 个． 【答案】6，4 【思路点拨】设置入小球x个，大球y个，根据要使水面上升到和图中信息列出方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：设置入小球x个，大球y个，把圆柱的底面积看成， 则一个小球的体积为：，一个大球的体积为：， 由题意可得：， 解得：， 答：如果要使水面上升到，应放入大球4个，小球6个； 故答案为：6，4． 重点考点讲练10：行程问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；已知甲比乙跑得慢，甲、乙二人每分各跑多少圈？ 【答案】乙每分跑圈，甲每分跑圈； 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，设乙每分跑圈，甲每分跑圈，根据如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；列出二元一次方程组，解方程组即可； 【规范解答】解：设乙每分跑圈，甲每分跑圈， 由题意得：， 解得：， 答：乙每分跑圈，甲每分跑圈． 【训练1】（22-23七年级下·湖南株洲·期末）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为千米，超过千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”；乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过千米后，每千米的车费是多少元？ 【答案】这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，设这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元，根据“乘车千米，付了元；乘车千米，付了元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【规范解答】解：设这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元， 由题意得：， 解得：， 答：这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元． 【训练2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）小明每天骑自行车从家到学校，要经过一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时，平路每小时，下坡每小时，那么从家到学校需分钟，从学校到家需要分钟．设坡路长，平路长，依题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据上坡用的时间与平路用的时间等于小明从家到学校所用的时间，和下坡用的时间与平路用的时间等于小明从学校到家所用的时间，列出方程组解决问题即可． 【规范解答】解：设坡路长，平路长， 上坡用的时间与平路用的时间等于小明从家到学校所用的时间， ， 下坡用的时间与平路用的时间等于小明从学校到家所用的时间， ， 故方程组为， 故选：． 重点考点讲练11：工程问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（23-24八年级上·江西九江·期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成． (1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________； (2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 【答案】(1)甲队修路的天数；乙队修路的天数；； (2)乙队修建了8天 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）根据方程组等式的意义进行判断即可； （2）依题意得，，计算求解可得，然后根据乙队修建的天数，计算求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，x表示甲队修路的天数，y表示乙队修路的天数；该方程组中△处的数应是，□处的数应是， 故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数；；； （2）解：依题意得，， 解得，， ∴乙队修建的天数（天）． 答：乙队修建了8天． 【训练1】（22-23七年级下·浙江金华·期末）东阳江是东阳的母亲河．为打造东阳江风光带，现有一段长米的河道整治任务，原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天．已知工程队每天整治米，工程队每天整治米，根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组： 甲：     乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：未知数分别表示______．     乙：未知数分别表示______． (2)补全甲、乙两名同学所列的方程组． (3)若工程队完成原计划河道整治任务后，工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务，问工程队现在每天需整治多少米河道？ 【答案】(1)①表示工程队的工作时间；②表示工程队工作时间；③表示工程队的工作量；④表示工程队的工作量． (2)；． (3) 【思路点拨】（1）根据题意及二元一次方程组可知表示工程队的工作时间，表示工程队工作时间，表示工程队的工作量，表示工程队的工作量； （2）根据工程队完成原计划河道整治任务可知工程队的完成的任务为米进而即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴表示工程队的工作时间，表示工程队的工作时间， 故答案为：表示工程队的工作时间，表示工程队工作时间； ∵， ∴表示工程队的工作量，表示工程队的工作量， 故答案为：表示工程队的工作量，表示工程队的工作量； （2）解：设工程队的工作时间为天，工程队的工作时间为天， ∵原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天，河道总长为米， ∴， 设工程队的工作量为米，工程队的工作量为米， ∵两个工程队的工作总量为米，两队的工作时间为天， ∴， （3）解：设工程队的工作时间为天，工程队的工作时间为天， ∵原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天，河道总长为米， ∴， 解得：， ∵工程队完成原计划河道整治任务， ∴工程队的完成的任务为（米）， ∵河道整治总任务为（米） ∴剩下的任务为（米）, ∵工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务， ∴完成任务的时间为天， ∴工程队现在每天需整治的天数为（米）， 答：工程队现在每天需整治米河道． 【训练2】（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）甲、乙两个工程队共同为某贫困村修建了米的村路，甲队单独修建一段时间后，乙队再继续单独修建，共用天完成任务．已知甲队每天修建米，乙队每天修建米．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)张红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数表示的是 ，未知数表示的是 ； (2)李芳同学设甲队修建了天，乙队修建了天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【答案】(1)甲工程队共修建的米数，乙工程队共修建的米数 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【思路点拨】（1）根据方程组中的等量关系结合题意，即可求解； （2）设甲队修建了天，乙队修建了天，根据题意，建立方程组，解方程组即可求解． 【规范解答】（1）甲工程队共修建的米数，乙工程队共修建的米数 （2）根据题意得：， 解得，． 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 重点考点讲练12：几何问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）列二元一次方程组解决问题：据统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是，如图所示，现要把一块长200米宽70米的长方形土地（），分为两块小长方形土地，上方小长方形种植甲种作物，下方小长方形种植乙种作物，怎样设计和的长度，使得甲、乙两种作物的总产量的比是？ 【答案】米，米 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设甲种作物种植x平方米，乙种作物种植y平方米，根据题意，列出二元一次方程组，解二元一次方程组，进而根据矩形的面积公式进行求解即可． 【规范解答】解：设甲种作物种植x平方米，乙种作物种植y平方米， 由题意得：， 解得：， 长方形土地的长为200米， （米），（米）， 当米，米时，使得甲、乙两种作物的总产量的比是． 【训练1】（20-21七年级下·浙江绍兴·期末）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是 ．    【答案】 【思路点拨】设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积． 【规范解答】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解之得， ∴小长方形的长、宽分别为，， ∴， 故答案为：． 【训练2】（22-23七年级下·河南南阳·期中）图（一）所示的这种拼图我们小时候可能都玩过．已知有若干片相同的拼图，且拼图依相同方向排列时可紧密拼成一行．如图（二）所示，当4片拼图紧密拼成一行时长度为19cm；如图（三）所示，当10片拼图紧密拼成一行时长度为46cm，则12片这样的拼图紧密拼成一行时长度为 cm．      【答案】55 【思路点拨】如图，设一个拼图的长度为cm，根据图二和图三的总长度列出方程组进行求解即可． 【规范解答】解：如图，设一个拼图的长度为cm，    由题意，得：，解得：， ∴12片这样的拼图紧密拼成一行时长度为cm； 故答案为：55． 重点考点讲练13：方案问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（24-25七年级上·湖南永州·期末）某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 型货车辆数 型货车辆数 累计运货量 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨． (2)有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆． (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【思路点拨】（1）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意列出二元一次方程组即可得解； （2）结合两型号车的运量列出，再由，都是正整数进行方案设计即可； （3）根据（2）中的三个方案，分别计算，比较后即可得解． 【规范解答】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，，解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨． （2）解：由（1）得，， ， ，都是正整数， 或或， 有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆． （3）解：型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， 方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ， 最省钱的租车方案是方案三，租车费用是元． 答：租型车辆，型车辆最省钱，最少租车费为元． 【训练1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某旅行社拟寒假期间推出研学游活动，原定收费标准为200元/人，现预售期间推出优惠方案如下： 人数m 折扣 九五折 八五折 七五折 已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人，经核算，若两校分别组团共需花费46000元，若两校联合组团只需花费39000元． (1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？ (2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？ 【答案】(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人； (2)甲校报名参加旅游的学生有170人，乙校报名参加旅游的学生有90人． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算． （1）按原定收费标准估算人数，利用两所学校报名参加旅游的学生人数两校分别组团所花费用，可估算出两所学校报名参加旅游的学生人数，由该值大于200，即可得出结论； （2）设甲校报名参加旅游的学生有人，乙校报名参加旅游的学生有人，分及两种情况考虑，根据“两校分别组团共需花费46000元，两校联合组团只需花费39000元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人，理由如下： 按原定收费标准估算人数：（人）， ， 两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人； （2）解：设甲校报名参加旅游的学生有人，乙校报名参加旅游的学生有人， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：甲校报名参加旅游的学生有170人，乙校报名参加旅游的学生有90人． 【训练2】（23-24七年级上·福建莆田·期末）某社区出资100元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本6元，B种每本5元，C种每本4元，其中A种图书只能买5或6本（三种图书都要买），此次采购的方案有 种． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．当购买5本种图书时，设购买本种图书，本种图书，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出当购买5本种图书时，有3种采购方案；当购买6本种图书时，设购买本种图书，本种图书，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出当购买6本种图书时，有3种采购方案，进而可得出此次采购的方案有6种． 【规范解答】解：当购买5本种图书时，设购买本种图书，本种图书， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 当购买5本种图书时，有3种采购方案； 当购买6本种图书时，设购买本种图书，本种图书， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 当购买6本种图书时，有3种采购方案． 此次采购的方案有（种． 故答案为：6 重点考点讲练14：数字问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级上·湖南娄底·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字，，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是同一个值，则的值是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【思路点拨】由，，可知每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是0，如图1，由，解得，，解得，，解得，，解得，，解得，如图2，由题意知，，整理得，，，整理得，，联立，解得，然后求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是0， 如图1，    ∵，解得， ∵，解得， ∵，解得， ∵，解得， ∵，解得， ∴如图2，    由题意知，，整理得，， ，整理得，， ∴，解得， ∴， 故选：A． 【训练1】（22-23七年级下·江苏扬州·期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是 ． 【答案】26 【思路点拨】设出门时看到的步数的十位数字为x，个位数字为y，根据从出门到小区门口共走了586步，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为一位正整数，即可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【规范解答】设出门时看到的步数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意得：， ∴. 又∵x,y均为一位正整数， ∴， ∴， 即出门时看到的步数是． 故答案为：． 【训练2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“勾股和数”． 例如：，，是“勾股和数”； 又如：，，，不是“勾股和数”． (1)判断、是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”； (3)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当是整数，且时，求出所有满足条件的． 【答案】(1)不是“勾股和数”，是“勾股和数”；理由见解析 (2)、、等（答案不唯一） (3)或 【思路点拨】（1）根据“勾股和数”的定义直接判断即可； （2）根据定义写出符合题意的“勾股和数”即可； （3）由题意可知，且，由是整数可得，再由的值即可得出的值． 【规范解答】（1）解：不是“勾股和数”，是“勾股和数”； 理由：，，不是“勾股和数”； ，是“勾股和数”； （2）如：、、， ，， 此题中没有出现过的“勾股和数”有、、（答案不唯一） （3）为“勾股和数”， ， ， 为整数， ， ， ， ， ， ，解得，此时， ，解得，此时； 综上，的值为或． 重点考点讲练15：年龄问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级下·湖南常德·期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁． 【答案】29 【思路点拨】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄−学生今年的年龄=学生今年的年龄；老师42岁−老师今年的年龄=老师今年的年龄−学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答． 【规范解答】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁， 由题意得：， 解得：， 故数学老师今年的年龄是29岁， 故答案为：29． 【训练1】（21-22七年级下·陕西宝鸡·期末）六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大 岁． 【答案】12 【思路点拨】设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意列出二元一次方程组并求解即可计算甲比乙大多少岁． 【规范解答】解：设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意， 可得，解得， ∴甲比乙大24-12=12岁． 故答案为：12． 【训练2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【思路点拨】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 重点考点讲练16：销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． (1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定第二次购买A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A种品牌足球售价比第一次购买提高了4元，B种品牌足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校第二次购买A、B两种品牌足球的总费用是第一次购买足球总费用的，求第二次学校购买A种品牌足球多少个 【答案】(1)A、B两品牌足球每个分别为50元、80元； (2)学校第二次购买A种品牌的足球25个 【思路点拨】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设购买B品牌足球m个，则购买A品牌足球个，根据“A种品牌足球售价比第一次购买提高了4元，B种品牌足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校第二次购买A、B两种品牌足球的总费用是第一次购买足球总费用的”可得出关于m的一元一方程，解出m，由此即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元， 由题意得： 解得， 答：A、B两品牌足球每个分别为50元，80元； （2）解：设第二次购买A种品牌足球m个，则B种品牌足球个， 根据题意得 解得， 答：学校第二次购买A种品牌的足球25个． 【训练1】（22-23七年级下·福建厦门·期末）学期即将结束，为了表彰优秀，班主任王老师用元钱购买奖品，若以支钢笔和本笔记本为一份奖品，则可买份奖品；若以支钢笔和本笔记本为一份奖品，则可以买份奖品，设钢笔单价为元支，笔记本单价为元本． (1)请用的代数式表示； (2)当时，求：钢笔和笔记本价格各是多少？ (3)若王老师用元钱恰好能买份同样的奖品，可以选择支钢笔和本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求出所有可能的，值． 【答案】(1) (2)钢笔单价为元支，笔记本单价为元本 (3)，， 【思路点拨】本题中的相等关系是“以支钢笔和本笔记本为一份奖品，则可买份奖品”和“以支钢笔和本笔记本为一份奖品，则可以买份奖品”，列方程组求解即可； 由题意列方程组解答即可． 设可以选择支钢笔和本笔记本作为一份奖品．列方程，解出后分情况讨论． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 化简得：， ． （2）解：由题意得， 解得， 答：钢笔单价为元支，笔记本单价为元本． （3）解：由题意得：，把代入得：， 解得此方程的正整数解为，，． 【训练2】（22-23七年级下·四川广元·期末）位于广元市朝天区的朝天古城有着悠久的历史，距今已有2000多年，因其独特的民俗文化，吸引了众多游客前来观光．为了抓住商机，某商店决定购进A，B两种纪念品，已知购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，共需要2000元；购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，共需要1050元． (1)购进A，B两种纪念品每件各需要多少元？ (2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中每种纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？ 【答案】(1)购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元 (2)商店共有4种进货方案 【思路点拨】（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元．根据：购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，共需要2000元；购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，共需要1050元，即可列出关于x、y的方程组，解方程组即可求解； （2）设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，根据题意可得关于a、b的二元一次方程，再结合题意讨论该方程的正整数解即可． 【规范解答】（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元． 根据题意，得解得 答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元． （2）设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，正好用完4000元． 根据题意，得，化简，得，即． ∵a，b均为不小于12的整数， ∴①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 答：该商店共有4种进货方案． 重点考点讲练17：和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（20-21七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 【答案】(1)1650 (2)①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，再由，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与咖啡总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【规范解答】（1）解：设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， （元）， 故答案为：1650； （2）解：①①设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元； ②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 即此次按原价采购的咖啡有6箱， 故答案为：6． 【训练1】（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)A型车3吨，B型车4吨 (2)A型车6辆，B型车2辆或A型车2辆，B型车5辆 (3)A型2辆，B型5辆，需要800元，费用为800元 【思路点拨】（1）根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可； （2）由（1）及题意理解出：，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案； （3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，分别求出租车费用即可． 【规范解答】（1）解：设A型车可运x吨，B型车可运y吨 ， 解得：， 答：A型车一次可运货3吨，B型车一次可运货4吨． （2）解：由（1）知 A型车一次可运货3吨，B型车一次可运货4吨， 根据题意得：， 解得：或 答：物流公司租车方案有方案一：A型车6辆，B型车2辆，方案二：A型车2辆，B型车5辆； （3）解：由（2）知：方案一的租车费用：（元）， 方案二的租车费用：（元）， ， 答：最省钱的租车方案是A型2辆，B型5辆，需要800元． 【训练2】（22-23七年级下·江苏苏州·期末）已知：用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用2辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨，某物流公司现有31吨货物，现计划用、型车载运货物，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若型车每辆需租金50元/次，型车每辆需租金60元/次．请选出最省钱车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨 (2)有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车1辆；方案二：A型车5辆，B型车4辆；方案三：A型车1辆，B型车7辆． (3)最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为470元 【思路点拨】（1）根据“用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用2辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨”，列方程组求解即可； （2）设租A型车a辆，B型车b辆，则，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案； （3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金50元/次，B型车每辆需租金60元/次，分别求出租车费用比较即可． 【规范解答】（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨， 依题意列方程组得： ， 解方程组，得：， 答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨． （2）解：设租A型车a辆，B型车b辆， 则， ∵a、b都是正整数， ∴或或 答：有3种租车方案： 方案一：A型车9辆，B型车1辆； 方案二：A型车5辆，B型车4辆； 方案三：A型车1辆，B型车7辆． （3）∵A型车每辆需租金50元/次，B型车每辆需租金60元/次， ∴方案一需租金：（元） 方案二需租金：（元） 方案三需租金：（元） ∵ ∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为470元． 重点考点讲练18：古代问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住：如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确的列方程组是解题的关键．如果一间客房住7人，那么有6人无房可住，则；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，则；进而可列二元一次方程组． 【规范解答】解：由题意知，如果一间客房住7人，那么有6人无房可住，则； 如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，则； 依题意得，关于x、y的二元一次方程组为， 故选：D． 【训练1】（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？” (1)请你列方程组求出大、小和尚各多少人； (2)重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可担两篮子砖，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？ 【答案】(1)有个大和尚，个小和尚 (2) 【思路点拨】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目中的数量关系，掌握消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）设有大和尚，有个小和尚，根据个和尚分个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚人吃一个，列方程组求解； （2）先求得大小和尚们一起运送一趟，可以运砖块，然后用10万除以即可求解． 【规范解答】（1）解：设有大和尚，有个小和尚，根据题意得， 解得： 答：有个大和尚，个小和尚． （2）解：依题意，大小和尚们一起运送一趟，可以运砖 （块）， ， ∴大小和尚们一起至少需要运送趟才能满足工地需要． 【训练2】（22-23七年级下·吉林松原·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，乙说得甲九只，两家之数相当，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，问：甲乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，可列方程组为 ． 【答案】 【思路点拨】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【规范解答】解：设甲有羊x只，乙有羊y只． ∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． 联立两方程组成方程组． 故答案为：． 重点考点讲练19：其他问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（23-24七年级上·广西贺州·期末）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式，当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费，已知王阿姨家六月份用水量为，缴纳水费29元，七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费元． (1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ (2)某户某月缴纳水费为元时，用水量为多少？ 【答案】(1)该市一级水费的单价为元，二级水费的单价为元 (2)当缴纳水费为元，时，用水量为 【思路点拨】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程（组），是解题的关键． （1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解； （2）先判断水量超过，设用水量为，列出方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，依题意， 得： 解得： 答：该市一级水费的单价为元，二级水费的单价为元 （2）∵（元），． ∴用水量超过． 设用水量为，依题意，得： ， 解得： 答：当缴纳水费为元，时，用水量为． 【训练1】（21-22七年级下·辽宁大连·期末）新冠肺炎防疫工作中，某公司租用、两种型号的车给某市各区配送防疫物资．已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．则辆型车与辆型车装满货物一次可运货多少吨？ 【答案】辆型车与辆型车装满货物一次可运货吨 【思路点拨】设辆型车和辆型车装满货物一次可分别运货，吨，根据用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨列出一元二次方程组进行求解即可． 【规范解答】解：设辆型车和辆型车装满货物一次可分别运货，吨， 由题意得：， 由①，得：③， 把③代入②，得：， 把代入③，得：， 此方程组的解为， ∴（吨）． 答：辆型车与辆型车装满货物一次可运货吨． 【训练2】（2023·海南·中考真题）2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功．为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元．问甲、乙两种型号客车各租多少辆？ 【答案】甲型号客车租辆，乙型号客车租辆 【思路点拨】设甲型号客车租辆，乙型号客车租辆，根据题意列二元一次方程组求解，即可得到答案． 【规范解答】解：设甲型号客车租辆，乙型号客车租辆， 由题意得：， 解得：， 答：甲型号客车租辆，乙型号客车租辆． 中档题—夯实基础能力 1．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）“辉煌九秩，筑梦百年”，在某中学建校90周年之际，八年级学生王小明制作了一批手工艺品送给母校作纪念，每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知材料可制作10个礼盒或50张礼卡，现有材料，并且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套．设用材料制作礼盒，材料制作礼卡，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了列二元一次方程组，根据材料总量为，配套数量：每个工艺品需1个礼盒和3张礼卡．每平方米材料可制作10个礼盒或50张礼卡，列出二元一次方程组，即可求解． 【规范解答】解：设用材料制作礼盒，材料制作礼卡，则可列方程组为 故选：C． 2．（24-25七年级上·广西贵港·期末）已知方程组，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了解二元一次方程组．利用加减消元法两个方程相加，再利用整体法求解即可． 【规范解答】解：， ①+②得：， 两边同时除以4得：， 故选：B． 3．（23-24九年级下·重庆万州·阶段练习）古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【规范解答】解：设共有人，辆车， 由题意可得，， 故选：． 4．（22-23七年级下·四川巴中·期末）已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】得出，再方程两边都除以即可．本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 【规范解答】解：， ，得， 除以，得． 故答案为：． 5．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）二元一次方程的正整数解是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查二元一次方程的解，将，，代入二元一次方程即可求得答案． 【规范解答】当时，可得 解得 ． 所以，为二元一次方程的一个解，且为正整数解． 当时，同理可得为二元一次方程的一个解，且为正整数解． 当时，同理可得为二元一次方程的一个解，但不是正整数解． 综上所述，二元一次方程的正整数解为或． 故答案为：或． 6．（23-24八年级上·四川成都·期末）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两“金”；2头牛、3只羊共12两“金”，每头牛、每只羊各多少两“金”？设1头牛x两“金”，1只羊y两“金”，则可列方程组为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．根据“5头牛、2只羊共19两“金”；2头牛、3只羊共12两“金””，可以列出相应的方程组，本题得以解决． 【规范解答】解：根据题意，得． 故答案为：． 7．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）用方程组解决问题： 某校初一（1）班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，捐款情况如下表： 捐款/元 2 5 10 15 人数 5 10 问：捐5元和10元的人数各是多少？ 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．设捐5元有x人，捐10元有y人，根据捐款钱数和人数分别列方程组成方程组求解即可． 【规范解答】设捐5元有x人，捐10元有y人， 由题意得：， 解得． 答：捐5元和10元的人数分别是2人和13人． 8．（22-23七年级下·江苏南通·期末）（1）计算：； （2）解方程组． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． （1）首先计算乘方、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【规范解答】解：（1） ． （2）， ，可得， 解得， 把代入，可得， 解得， 原方程组的解是． 9．（23-24八年级上·海南海口·期末）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆，2辆电动汽车； (2)所抽调的熟练工的人数为人． 【思路点拨】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，根据关键语句：①1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，②名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车，列出方程组即可； （2）设需熟练工m名，根据题意可得等量关系n名新工人一年安装的电动汽车数名熟练工一年安装的电动汽车数辆，根据等量关系列出方程即可． 【规范解答】（1）解：每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车， 根据题意可列方程，， 解得． 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车； （2）解：设需熟练工m名， 依题意有：， 整理得：． 所抽调的熟练工的人数为人． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）某水果零售商店在水蜜桃销售季节分两批次从批发市场共购进水蜜桃80箱，已知第一、二次进货价分别为每箱60元、50元，且第二次比第一次多付款700元． (1)求第一、二次各购进水蜜桃多少箱； (2)若商店对这80箱水蜜桃先按每箱80元销售了45箱，其余的每箱打八折销售，求该商店销售完全部水蜜桃所获得的利润．（注：按整箱出售，利润﹣销售总收入﹣进货总成本） 【答案】(1)第一、二次各购进水蜜桃30和50箱； (2)利润为1540元 【思路点拨】本题考查的是二元一次方程的应用，混合运算的实际应用，理解题意确定相等关系是解本题的关键； （1）设第一、二次各购进水蜜桃a箱和b箱，利用“共购进水蜜桃80箱，已知第一、二次进货价分别为每箱60元、50元，且第二次比第一次多付款700元”，再建立方程求解即可； （2）把打折前与打折后的利润相加即可． 【规范解答】（1）解：设第一、二次各购进水蜜桃a箱和b箱，由题意可得， ， 解得，， 答：第一、二次各购进水蜜桃30和50箱； （2）该商店销售完全部水蜜桃所获得的利润为： （元）， 答：利润为1540元． 压轴题—强化解题技能 11．（22-23七年级下·重庆·期末）某种仪器由2个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件60个或者加工B部件50个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设安排x个人生产A部件，y个人生产B部件，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，审清题意、找出等量关系是解题的关键． 本题的等量关系有“生产A部件的人数十生产B部件的人数=72”和“每天生产的A部件个数×2=生产的B部件个数”列出方程组即可． 【规范解答】解：设安排x个人生产A部件，y个人生产B部件， 由题意可得：． 故选：D． 12．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，均为正整数的解只有1对； ④若，则. 正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断． 【规范解答】解：①当时，方程组整理得， 解得， 当时，方程得， 当时，代入方程得，故①正确； ②解方程组得，， ∴ ∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故②正确； ③由②知， 当，均为正整数时，则有或， ∴共有2对，故③错误； ④∵由②得， ∴， 解得，，故④正确； 综上，正确的结论是①②④， 故选：C 13．（23-24七年级上·重庆合川·期末）某商场销售甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为，则当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设甲种商品的进价为，乙种商品的进价为，根据题意列出方程即可得到答案． 【规范解答】解：设甲种商品的进价为，乙种商品的进价为， 根据题意得， 解得， ， 故选D． 14．（23-24七年级上·北京海淀·期末）对于实数x、y我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x、y叫做线性数的一个数对．若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对． （1）若，则 ． （2）已知，，请回答问题： ， ． 【答案】 9 5 1 【思路点拨】本题考查实数的运算，理解“新运算、”以及“线性数”，“正格线性数“，正格数对”的意义是解决问题的关键． （1）根据、的意义计算即可； （2）根据、列方程组求解即可 【规范解答】解：（1）因为、， 所以、， 故答案为：9； （2）因为、，、，、， 所以，， 解得，， 所以， 故答案为：5，1 15．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知关于，的二元一次方程组为，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，把两个方程相减即可得到结论，掌握“整体法求值”是解本题的关键． 【规范解答】解：， 得：， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）若方程组 的解满足 ，则 的值为 ． 【答案】11 【思路点拨】此题考查了加减消元法，把看作已知数表示出方程组的解，代入求出的值即可。该题考查了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，掌握加减消元法是解题的关键． 【规范解答】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：11． 17．（22-23七年级下·河南周口·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查实数的混合运算，解二元一次方程组．熟练掌握算术平方根、立方根的定义，以及加减消元法、代入消元法是解本题的关键． （1）求解算术平方根、立方根、绝对值化简，再进行计算即可． （2）利用加减消元法求出值，再用代入消元法求出值． 【规范解答】解：（1）原式． （2） ①②得，， 解得， 把代入②得，， 解得． 所以此方程组的解为：． 18．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B两种产品．已知出售1件A产品和2件B产品共收入700元，出售2件A产品和3件B产品共收入1200元． (1)求A产品和B产品的单价； (2)若出售A，B两种产品（均有销售）共收入1800元，则出售A，B两种产品各几件？ 【答案】(1)A产品的售价300元，B产品的售价200元 (2)出售A产品2件，B产品6件或A产品出售4件，B产品出售3件 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）设A产品的售价x元，B产品的售价y元，根据出售1件A产品和2件B产品共收入700元，出售2件A产品和3件B产品共收入1200元，列出方程组进行求解即可； （2）设出售A产品a件，则出售B产品b件，根据题意列出二元一次方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设A产品的售价x元，B产品的售价y元，由题意得， 解得， 答：A产品的售价300元，B产品的售价200元； （2）解：设出售A产品a件，则出售B产品b件，由题意得， ， 化简得，， ∵a，b为正整数， ∴或， 答：出售A产品2件，B产品6件或A产品出售4件，B产品出售3件． 19．（23-24七年级下·全国·课后作业）甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元． (1)若甲玩具的成本为元，则甲玩具的标价是________元，甲玩具的售价是________元，若乙玩具的成本是元，则乙玩具的标价是________元，乙玩具的售价是________元；（用含的式子填空） (2)在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元； (3)在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？ 【答案】(1) (2)甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元 (3)共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）利用标价=成本价×（1+利润率）及售价=标价×折扣率，即可用含x，y的代数式表示出甲、乙玩具的标价及售价； （2）根据“甲、乙两个玩具的成本共300元，两个玩具打折销售后共获利114元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购进m个甲玩具，n个乙玩具，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各进货方案． 【规范解答】（1）解：∵甲玩具的成本为x元，乙玩具的成本是y元，甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售， ∴甲玩具的标价为 (元)，乙玩具的标价为 (元)． 又∵在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售， ∴甲玩具的售价为 (元)，乙玩具的售价为 (元)． （2）解：依题意，得 解得 答：甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元． （3）解：设购进m个甲玩具，n个乙玩具， 依题意，得，化简得． 又∵m，n均为正整数， ∴或或或 ∴共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具． 20．（19-20七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【规范解答】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）∵，即总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴，， 解得：，． 则方程的公共解为． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第2章 二元一次方程组 （思维导图+知识梳理+易错点拨+19大考点讲练+优选真题难度分层练 共77题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 3 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 4 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 5 知识点梳理04：三元一次方程组 6 易错考点点拨汇总 7 易错知识点01：概念理解偏差 7 易错知识点02：解法操作失误 7 易错知识点03：解的验证疏漏 8 易错知识点04：参数题型处理不当 8 易错知识点05：应用题建模错误 8 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 8 易错知识点07：符号处理与变形错误 8 易错知识点08：特殊题型应对策略 9 期末真题考点汇编讲练 9 期末考向一：二元一次方程 9 重点考点讲练01：二元一次方程的解 9 期末考向二：二元一次方程组和它的解 9 重点考点讲练02：已知二元一次方程组的解求参数 9 期末考向三：解二元一次方程组 10 重点考点讲练03：代入消元法 10 重点考点讲练04：加减消元法 11 重点考点讲练05：二元一次方程组的特殊解法 11 重点考点讲练06：构造二元一次方程组求解 12 重点考点讲练07：已知二元一次方程组的解的情况求参数 13 期末考向四：二元一次方程组的应用 13 重点考点讲练08：分配问题(二元一次方程组的应用) 13 重点考点讲练09：图表信息题(二元一次方程组的应用) 14 重点考点讲练10：行程问题(二元一次方程组的应用) 15 重点考点讲练11：工程问题(二元一次方程组的应用) 16 重点考点讲练12：几何问题(二元一次方程组的应用) 18 重点考点讲练13：方案问题(二元一次方程组的应用) 19 重点考点讲练14：数字问题(二元一次方程组的应用) 20 重点考点讲练15：年龄问题(二元一次方程组的应用) 21 重点考点讲练16：销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 21 重点考点讲练17：和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 23 重点考点讲练18：古代问题(二元一次方程组的应用) 24 重点考点讲练19：其他问题(二元一次方程组的应用) 25 优选真题难度分层练 26 中档题—夯实基础能力 26 压轴题—强化解题技能 28 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点梳理04：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 易错知识点01：概念理解偏差 易错点1：混淆方程与方程组 错误表现：将单个二元一次方程误认为方程组，或忽略“两个一次方程组合”这一条件 正确认知：方程组必须包含两个独立的二元一次方程，且两方程需用大括号联立表示（如{x+y=5; 2x-y=1}） 易错点2：忽略定义中的限制条件 典型错误：认为方程xy=3或1/x + y=2是二元一次方程 键点：二元一次方程需满足：①整式方程；②含两个未知数；③未知数最高次数为1 易错知识点02：解法操作失误 代入法常见错误 1. 代入不彻底：仅替换一个未知数后未继续代入原方程 示例：解{y=2x; 3x+y=10}时，代入后应为3x+2x=10，而非保留y 2. 符号处理错误：代入含负号的表达式时漏写括号 加减法典型错误 1. 未对齐系数直接加减：未将两方程同一未知数系数调整为相等或相反数 示例：解{2x+3y=11; 3x-2y=4}时，应先分别乘系数使x或y的系数相同/相反 2. 加减方向混淆：系数相反时用“加”，相同时用“减” 易错知识点03：解的验证疏漏 易错表现： 求出解后未代入所有原方程验证 将非整数解误判为无解 示例：解{x+y=3; 2x+2y=6}得无穷解时，需说明两方程实为同一方程 易错知识点04：参数题型处理不当 易错类型： 1. 忽略系数不为零条件：如已知方程(m-2)x + y=5是二元一次方程，需保证m-2≠0，即m≠2 2. 同解方程问题：已知两方程组同解时，未先解其中一个方程组再代入另一个求参数 例题：若{x+y=3; ax+by=4}与{x-y=1; bx+ay=5}同解，需先求x=2,y=1再代入求a,b 易错知识点05：应用题建模错误 易错表现： 1. 设元不当：未用两个不同字母表示两个未知量（如设“男生x人，女生(50-x)人”导致方程退化为一元一次） 2. 等量关系遗漏：应用题中含两个独立条件却只列出一个方程 示例：鸡兔同笼问题需同时满足“头数总和”与“脚数总和” 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 易错点： 1. 消元目标不明确：未优先消去系数较简单的未知数 2. 步骤跳步导致错误：三元转二元时，未保留中间方程组直接求解 正确步骤： ① 消去同一未知数得两个新二元方程； ② 解新方程组后再回代45 易错知识点07：符号处理与变形错误 常见错误： 1. 移项时符号错误：如将-2x + y = 4移项得y = 2x +4（正确应为y=2x+4） 2. 去括号漏乘系数：解3(x-2y) = 2y+1时误展开为3x-2y = 2y+1（正确应为3x-6y=2y+1） 易错知识点08：特殊题型应对策略 易错题型1：系数轮换问题 示例：解{ax+by=c; bx+ay=d}时未利用对称性简化计算 技巧：两式相加得(a+b)(x+y)=c+d，两式相减得(a-b)(x-y)=c-d 易错题型2：错解问题 题目：甲解方程组{ax+by=2; cx-7y=8}时误抄c得解x=3,y=2，乙未抄错得解x=-2,y=2，求正确值 策略：甲的错解满足第一个方程，乙的正确解满足所有方程，联立求a,b,c 期末考向一：二元一次方程 重点考点讲练01：二元一次方程的解 【母题精讲】（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是方程的一个解，则的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【训练1】（22-23七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）若是方程的一个解，则的值为 ． 【训练2】（22-23七年级下·重庆·期末）两个两位数p和q，将p的十位上的数字和个位上的数字分别放置于q的十位数字与个位之间和个位数字的右边，将q的十位上的数字和个位上的数字分别放置于p的十位数字与个位之间和个位数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为．按此规则，计算 ；若，，（，，m，n均为自然数），当，，时，则的最大值为 ． 期末考向二：二元一次方程组和它的解 重点考点讲练02：已知二元一次方程组的解求参数 【母题精讲】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）已知是方程组的解，那么的值为多少？ 【训练1】（23-24八年级上·河南郑州·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为 ． 【训练2】（22-23七年级下·河南洛阳·期末）已知关于的方程组，解是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 期末考向三：解二元一次方程组 重点考点讲练03：代入消元法 【母题精讲】（23-24八年级上·四川成都·期末）(1)解方程组：； (2) 解方程组：． 【训练1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）把方程改写成含x的式子表示y的形式为（　　） A． B． C． D． 【训练2】（21-22七年级下·河北石家庄·期末）李宁在解二元一次方程组时，发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请求出二元一次方程组的解； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题的标准答案显示，互为相反数．”通过计算说明原题中“”是几？ 重点考点讲练04：加减消元法 【母题精讲】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）解方程（组）： (1) (2) 【训练1】（24-25七年级下·全国·期末）（1）计算：；     （2） 解方程组： 【训练2】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知方程组的解满足，求m的值． 重点考点讲练05：二元一次方程组的特殊解法 【母题精讲】（22-23七年级下·云南昆明·期末）已知满足方程组，则 ． 【训练1】（21-22七年级下·湖北咸宁·期末）选择适当的方法解下列方程组： (1) ； (2)． 【训练2】（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如果关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 重点考点讲练06：构造二元一次方程组求解 【母题精讲】（23-24七年级上·全国·期末）已知与互为相反数，则 ． 【训练1】（22-23七年级下·新疆省直辖县级单位·期末）在等式中，当时，；当时，．则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【训练2】（22-23七年级下·福建龙岩·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点，，的横坐标x值与纵坐标y值的有序实数对，都是方程的解，则称，，三点共线．（如：点的横坐标与纵坐标的有序实数对为是方程的解．） (1)已知方程，判断A、B、C、D四个点中哪三个点共线？ ，，，．请写出判断过程． (2)已知方程， ①对于任意实数a的值该方程总有一个固定的解，请求出固定的解： ②以①的解中x值为点M的横坐标，y值为点M的纵坐标，若点，与点M三点共线，求a与t的值． 重点考点讲练07：已知二元一次方程组的解的情况求参数 【母题精讲】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A．6 B．1 C． D． 【训练1】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则 ． 【训练2】（22-23七年级下·江苏·单元测试）阅读理解：在数学课上，王老师遇到下面问题：已知x，y满足方程组，求的值？ 小芳：把方程组解出来，再求的值． 小强：把两个方程直接相加得方程两边同时除以4解得． 王老师对两位同学的讲解进行点评：指出“小强”同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用． 请你参考小芳或小强同学的做法，解决下面的问题． (1)已知关于x、y的方程组的解满足，求a的值． (2)运用“整体思想”解答：若方程组的解是，求的值． 期末考向四：二元一次方程组的应用 重点考点讲练08：分配问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级上·广西贺州·期末）某校预计安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，求该校七年级男寄宿生有多少人？预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有多少间？ 【训练1】（23-24八年级上·河南郑州·期末）某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 【训练2】（22-23七年级下·山东聊城·期末）某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 重点考点讲练09：图表信息题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（23-24七年级上·广西河池·期末）宋代数学家杨辉称幻方为纵横图，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉在他的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．则的值是 ． 5 n 1 m 【训练1】（22-23七年级下·辽宁鞍山·期末）中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某中药材种植基地欲将一批吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 6 10 12 运费（元/辆） 540 700 720 (1)若全部中药材仅用乙、丙两种车型一次性运完，需支付运费元，问乙、丙两种车型各需多少辆？ (2)若该基地打算用甲、乙、丙三种车型共辆同时参与运送，每辆车均满载且一次性运完所有中药材，你能分别求出参与运送的三种车型的辆数吗？（甲、乙、丙三种车型均要参与运送） 【训练2】（22-23七年级下·广西河池·期末）根据图中提供的信息，若在左图中同时置入小球、大球共10个，水的总深度恰好为，则需要同时置入的小球、大球分别是 个． 重点考点讲练10：行程问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；已知甲比乙跑得慢，甲、乙二人每分各跑多少圈？ 【训练1】（22-23七年级下·湖南株洲·期末）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为千米，超过千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”；乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过千米后，每千米的车费是多少元？ 【训练2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）小明每天骑自行车从家到学校，要经过一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时，平路每小时，下坡每小时，那么从家到学校需分钟，从学校到家需要分钟．设坡路长，平路长，依题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练11：工程问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（23-24八年级上·江西九江·期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成． (1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________； (2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 【训练1】（22-23七年级下·浙江金华·期末）东阳江是东阳的母亲河．为打造东阳江风光带，现有一段长米的河道整治任务，原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天．已知工程队每天整治米，工程队每天整治米，根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组： 甲：     乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：未知数分别表示______．     乙：未知数分别表示______． (2)补全甲、乙两名同学所列的方程组． (3)若工程队完成原计划河道整治任务后，工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务，问工程队现在每天需整治多少米河道？ 【训练2】（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）甲、乙两个工程队共同为某贫困村修建了米的村路，甲队单独修建一段时间后，乙队再继续单独修建，共用天完成任务．已知甲队每天修建米，乙队每天修建米．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)张红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数表示的是 ，未知数表示的是 ； (2)李芳同学设甲队修建了天，乙队修建了天，请你按照她的思路解答老师的问题． 重点考点讲练12：几何问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）列二元一次方程组解决问题：据统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是，如图所示，现要把一块长200米宽70米的长方形土地（），分为两块小长方形土地，上方小长方形种植甲种作物，下方小长方形种植乙种作物，怎样设计和的长度，使得甲、乙两种作物的总产量的比是？ 【训练1】（20-21七年级下·浙江绍兴·期末）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是 ．    【训练2】（22-23七年级下·河南南阳·期中）图（一）所示的这种拼图我们小时候可能都玩过．已知有若干片相同的拼图，且拼图依相同方向排列时可紧密拼成一行．如图（二）所示，当4片拼图紧密拼成一行时长度为19cm；如图（三）所示，当10片拼图紧密拼成一行时长度为46cm，则12片这样的拼图紧密拼成一行时长度为 cm．      重点考点讲练13：方案问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（24-25七年级上·湖南永州·期末）某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 型货车辆数 型货车辆数 累计运货量 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【训练1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某旅行社拟寒假期间推出研学游活动，原定收费标准为200元/人，现预售期间推出优惠方案如下： 人数m 折扣 九五折 八五折 七五折 已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人，经核算，若两校分别组团共需花费46000元，若两校联合组团只需花费39000元． (1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？ (2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？ 【训练2】（23-24七年级上·福建莆田·期末）某社区出资100元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本6元，B种每本5元，C种每本4元，其中A种图书只能买5或6本（三种图书都要买），此次采购的方案有 种． 重点考点讲练14：数字问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级上·湖南娄底·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字，，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是同一个值，则的值是（    ）    A． B． C． D．1 【训练1】（22-23七年级下·江苏扬州·期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是 ． 【训练2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“勾股和数”． 例如：，，是“勾股和数”； 又如：，，，不是“勾股和数”． (1)判断、是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”； (3)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当是整数，且时，求出所有满足条件的． 重点考点讲练15：年龄问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级下·湖南常德·期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁． 【训练1】（21-22七年级下·陕西宝鸡·期末）六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大 岁． 【训练2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 重点考点讲练16：销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． (1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定第二次购买A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A种品牌足球售价比第一次购买提高了4元，B种品牌足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校第二次购买A、B两种品牌足球的总费用是第一次购买足球总费用的，求第二次学校购买A种品牌足球多少个 【训练1】（22-23七年级下·福建厦门·期末）学期即将结束，为了表彰优秀，班主任王老师用元钱购买奖品，若以支钢笔和本笔记本为一份奖品，则可买份奖品；若以支钢笔和本笔记本为一份奖品，则可以买份奖品，设钢笔单价为元支，笔记本单价为元本． (1)请用的代数式表示； (2)当时，求：钢笔和笔记本价格各是多少？ (3)若王老师用元钱恰好能买份同样的奖品，可以选择支钢笔和本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求出所有可能的，值． 【训练2】（22-23七年级下·四川广元·期末）位于广元市朝天区的朝天古城有着悠久的历史，距今已有2000多年，因其独特的民俗文化，吸引了众多游客前来观光．为了抓住商机，某商店决定购进A，B两种纪念品，已知购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，共需要2000元；购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，共需要1050元． (1)购进A，B两种纪念品每件各需要多少元？ (2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中每种纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？ 重点考点讲练17：和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（20-21七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 【训练1】（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【训练2】（22-23七年级下·江苏苏州·期末）已知：用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用2辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨，某物流公司现有31吨货物，现计划用、型车载运货物，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若型车每辆需租金50元/次，型车每辆需租金60元/次．请选出最省钱车方案，并求出最少租车费． 重点考点讲练18：古代问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住：如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？” (1)请你列方程组求出大、小和尚各多少人； (2)重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可担两篮子砖，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？ 【训练2】（22-23七年级下·吉林松原·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，乙说得甲九只，两家之数相当，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，问：甲乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，可列方程组为 ． 重点考点讲练19：其他问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（23-24七年级上·广西贺州·期末）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式，当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费，已知王阿姨家六月份用水量为，缴纳水费29元，七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费元． (1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ (2)某户某月缴纳水费为元时，用水量为多少？ 【训练1】（21-22七年级下·辽宁大连·期末）新冠肺炎防疫工作中，某公司租用、两种型号的车给某市各区配送防疫物资．已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．则辆型车与辆型车装满货物一次可运货多少吨？ 【训练2】（2023·海南·中考真题）2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功．为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元．问甲、乙两种型号客车各租多少辆？ 中档题—夯实基础能力 1．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）“辉煌九秩，筑梦百年”，在某中学建校90周年之际，八年级学生王小明制作了一批手工艺品送给母校作纪念，每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知材料可制作10个礼盒或50张礼卡，现有材料，并且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套．设用材料制作礼盒，材料制作礼卡，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广西贵港·期末）已知方程组，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24九年级下·重庆万州·阶段练习）古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·四川巴中·期末）已知，则 ． 5．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）二元一次方程的正整数解是 ． 6．（23-24八年级上·四川成都·期末）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两“金”；2头牛、3只羊共12两“金”，每头牛、每只羊各多少两“金”？设1头牛x两“金”，1只羊y两“金”，则可列方程组为 ． 7．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）用方程组解决问题： 某校初一（1）班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，捐款情况如下表： 捐款/元 2 5 10 15 人数 5 10 问：捐5元和10元的人数各是多少？ 8．（22-23七年级下·江苏南通·期末）（1）计算：； （2）解方程组． 9．（23-24八年级上·海南海口·期末）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）某水果零售商店在水蜜桃销售季节分两批次从批发市场共购进水蜜桃80箱，已知第一、二次进货价分别为每箱60元、50元，且第二次比第一次多付款700元． (1)求第一、二次各购进水蜜桃多少箱； (2)若商店对这80箱水蜜桃先按每箱80元销售了45箱，其余的每箱打八折销售，求该商店销售完全部水蜜桃所获得的利润．（注：按整箱出售，利润﹣销售总收入﹣进货总成本） 压轴题—强化解题技能 11．（22-23七年级下·重庆·期末）某种仪器由2个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件60个或者加工B部件50个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设安排x个人生产A部件，y个人生产B部件，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，均为正整数的解只有1对； ④若，则. 正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 13．（23-24七年级上·重庆合川·期末）某商场销售甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为，则当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·北京海淀·期末）对于实数x、y我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x、y叫做线性数的一个数对．若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对． （1）若，则 ． （2）已知，，请回答问题： ， ． 15．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知关于，的二元一次方程组为，则的值为 ． 16．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）若方程组 的解满足 ，则 的值为 ． 17．（22-23七年级下·河南周口·期末）（1）计算：； （3） 解方程组：． 18．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B两种产品．已知出售1件A产品和2件B产品共收入700元，出售2件A产品和3件B产品共收入1200元． (1)求A产品和B产品的单价； (2)若出售A，B两种产品（均有销售）共收入1800元，则出售A，B两种产品各几件？ 19．（23-24七年级下·全国·课后作业）甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元． (1)若甲玩具的成本为元，则甲玩具的标价是________元，甲玩具的售价是________元，若乙玩具的成本是元，则乙玩具的标价是________元，乙玩具的售价是________元；（用含的式子填空） (2)在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元； (3)在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？ 20．（19-20七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$