第1章 相交线与平行线（思维导图+知识梳理+易错点拨+16大考点讲练+优选真题难度分层练 共68题）-2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末培优知识讲练【2024新教材】

2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第1章 相交线与平行线 （思维导图+知识梳理+易错点拨+16大考点讲练+优选真题难度分层练 共68题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：相交线 3 知识点梳理02：平行线 5 知识点梳理03：图形的平移 6 易错考点点拨汇总 6 易错知识点01：相交线 6 易错知识点02：平行线 7 易错知识点03：综合应用 7 易错知识点04：高频易错题型及解法 7 期末真题考点汇编讲练 8 期末考向一：直线的相交 8 重点考点讲练01：垂线段最短 8 重点考点讲练02：点到直线的距离 10 期末考向二：同位角、内错角、同旁内角 13 重点考点讲练03：同位角、内错角、同旁内角 13 期末考向三：平行线 15 重点考点讲练04：用直尺、三角板画平行线 15 重点考点讲练05：平行公理的应用 19 期末考向四：平行线的判定 21 重点考点讲练06：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 21 重点考点讲练07：内错角相等两直线平行 22 重点考点讲练08：同旁内角互补两直线平行 24 期末考向五：平行线的性质 25 重点考点讲练09：根据平行线的性质探究角的关系 25 重点考点讲练10：根据平行线的性质求角的度数 32 重点考点讲练11：平行线的性质在生活中的应用 39 重点考点讲练12：根据平行线判定与性质求角度 45 重点考点讲练13：根据平行线判定与性质证明 48 期末考向六：图形的平移 53 重点考点讲练14：利用平移的性质求解 53 重点考点讲练15：利用平移解决实际问题 55 重点考点讲练16：平移(作图) 58 优选真题难度分层练 61 中档题—夯实基础能力 61 压轴题—强化解题技能 71 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：相交线 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【易错点剖析】 ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 【易错点剖析】 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 知识点梳理02：平行线 1．平行线判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点梳理03：图形的平移 1..平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 【易错点剖析】平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 易错知识点01：相交线 1. 对顶角与邻补角混淆 对顶角：必须满足“两边互为反向延长线”且“成对出现”，性质是对顶角相等。学生常误将非对顶角的相等角判断为对顶角。 邻补角：需满足“有一条公共边，另一边互为反向延长线”，且和为180°。易错点在于将未相邻的互补角当作邻补角 例题：若OE平分∠BOC，且∠BOD:∠BOE=1:2，需明确∠AOC与∠BOD是对顶角，而非∠BOE的对顶角 2. 垂线段最短的应用错误 点到直线的距离是垂线段的长度，但学生常误选其他线段作为最短路径。例如在△ABC中，AP的最小值应为点A到BC的垂线段长度，而非AB或AC的长度 3. 角平分线与对顶角关系误解 角平分线产生的两个角相等，但与对顶角无关。例如，若OE平分∠BOC，不能直接推出∠BOE与∠AOF相等 易错知识点02：平行线 1. 同位角、内错角、同旁内角识别错误 在复杂图形中，学生可能因图形干扰找错对应角。例如，同位角需满足“F型”，内错角为“Z型”，同旁内角为“U型” 例题：若CD∥AB，则需通过内错角相等（如∠1=∠A）推导角度，而非直接使用对顶角 2. 平行线判定与性质混淆 判定：通过角的关系（如同位角相等）证明平行；性质：已知平行线推导角的关系。学生易将两者颠倒，例如用“两直线平行→内错角相等”误作为判定条件 3. 忽略平行公理的前提条件 平行公理强调“过直线外一点有且仅有一条平行线”，但学生可能忽略“同一平面内”的前提 易错知识点03：综合应用 1. 几何语言表述不规范 例如，直接写“∠1=∠2→平行”而未注明角的关系类型（如“同位角相等”），导致逻辑链不完整 2. 命题真假的判断错误 常见误区： “互补的角是邻补角”（×，互补角不一定相邻）； “一个角的补角是钝角”（×，如直角补角仍是直角） 3. 综合题中的逻辑链断裂 例如，求角度时未逐步推导，直接跳步导致错误。需强调“已知→角平分线→对顶角→垂线性质”的完整推理过程 易错知识点04：高频易错题型及解法 1. 角度计算题 关键：结合对顶角、角平分线、垂线性质，分步标注已知条件。例如，已知∠BOD:∠BOE=1:2，需通过比例设未知数，结合邻补角求值 2. 平行线判定与性质综合题 策略：先标出已知角，再判断角类型（同位角/内错角），最后选择判定或性质定理。例如，证明AP∥DQ时需通过两次角转换 3. 实际应用题（最短路径） 核心：应用“垂线段最短”解决实际问题，如确定码头位置或光线反射路径 期末考向一：直线的相交 重点考点讲练01：垂线段最短 【母题精讲】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)连接交于点O； (2)过点A画直线，使； (3)过点A画直线的垂线，垂足为H． (4)观察得到的图形，请比较线段_____线段（用“＞”，“＜”或“＝”连接），你的理由是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，垂线段最短 【思路点拨】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及垂线的性质是解题的关键． （1）根据线段的特点作图； （2）根据网格线的特点及平行线的性质作图； （3）根据网格线的特点及垂直的定义作图； （4）根据“垂线段最短”求解． 【规范解答】（1）即为所求； （2）即为所求； （3）即为所求； （4），理由：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 【训练1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知：是一条笔直的乡村道路，欲在道路上建一垃圾回收站． (1)如图1，如果垃圾回收站到小区的距离最短，在图1中画出垃圾回收站所建的位置．这样建的依据是__________________； (2)如图2，如果在公路的另一侧还有小区，如何确定垃圾回收站的位置，使其到两个小区的距离之和最短？在图2中画出这个位置，这样建的依据是_________． 【答案】(1)图见解析，垂线段最短 (2)图见解析，两点之间线段最短 【思路点拨】本题考查画线段与垂线，垂线段最短和两点之间线段最短． （1）过点C画，垂足为E，根据垂线段最短即可解决问题； （2）连接交于F，根据两点之间线段最短即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图所示，点即为所求；依据是垂线段最短． （2）解：如图所示，点F即为所求；依据是两点之间线段最短． 【训练2】（22-23七年级下·甘肃定西·期末）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为 米．（填一个你认为正确的答案）    【答案】3米（答案不唯一） 【思路点拨】由点到直线的距离的定义，垂线段最短，即可得到答案． 【规范解答】解： 米，米， 点A到的距离d小于或等于4米， 点A到的距离d可能为3米（答案不唯一）． 故答案为：3米（答案不唯一）． 重点考点讲练02：点到直线的距离 【母题精讲】（21-22七年级下·福建厦门·期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（　　） A．点A到直线l2的距离等于4 B．点C到直线l1的距离等于4 C．点C到AB的距离等于4 D．点B到AC的距离等于3 【答案】A 【思路点拨】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案． 【规范解答】解：点A到直线l2的距离为AB的长，等于4，故A正确； 点C到直线l1的距离为AC的长，大于4，故B错误； 点C到AB的距离为BC的长，等于3，故C错误； 同理，点B到AC的距离也不是3，故D错误， 故选：A 【训练1】（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图所示的方格纸中，已知每个小正方形的边长都为1，点、、为格点．请按下面要求回答问题： (1)画直线，射线； (2)过点作，垂足为点； (3)连结，若，求线段的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据图形即可作出直线，射线； （2）取格点，连接交于点D，即可； （3）根据等面积法即可求出斜边上的高． 【规范解答】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示；取格点E，连接交于点D， （3）解：的面积 ． 【训练2】（21-22七年级下·四川成都·期末）七巧板起源于宋代的“燕几图”，因其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，故世俗皆喜为之．数学活动小组用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“花样滑冰”．现测得图1正方形纸片的对角线长为4，图2中，则“花样滑冰”图案中，点A到的距离为 ． 【答案】// 【思路点拨】根据正方形的对角线相等且互相平分，结合图1可得，设，则，根据的长求出x的值，即可求出的值，的长即为点A到的距离． 【规范解答】解：设， ∵， ∴， ∵图1正方形纸片的对角线长为4，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点A到BC的距离为， 故答案为：． 期末考向二：同位角、内错角、同旁内角 重点考点讲练03：同位角、内错角、同旁内角 【母题精讲】（22-23七年级下·广东河源·阶段练习）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方的角，这样的两个角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的两侧，这样的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角，进行判断即可． 【规范解答】解：①由同位角的概念得出：与是同位角，正确； ②由同旁内角的概念得出：与是同旁内角，正确； ③由内错角的概念得出：与不是内错角，错误； ④由内错角的概念得出：与是内错角，错误． 故正确的有2个，是， 故选：A． 【训练1】（21-22七年级下·广西贺州·期末）下列说法正确的个数有（    ） ①内错角相等； ②相等的角是对顶角； ③过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【思路点拨】根据内错角的定义、对顶角的定义、垂线的性质、点到直线的距离的定义，对选项一一进行分析，即可得出结果． 【规范解答】解：①内错角不一定相等，只有两直线平行，内错角才相等，故原说法错误； ②对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故原说法错误； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故原说法错误； 综上可得：说法正确的0个． 故选：A 【训练2】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C． (1)指出，被所截形成的同位角、内错角； (2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角； (3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角． 【答案】(1)同位角：和；内错角：和 (2)内错角：和，和；同旁内角：和，和 (3)内错角：和，和；同旁内角：和，和 【思路点拨】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，找准截线与被截线是解题的关键．两线被第三条直线所截，在截线的异旁，被截线的内部就是内错角，截线的同位置，被截线的同旁是同位角，截线同旁，被截线的内部就是同旁内角．依次判断即可． 【规范解答】（1），被所截形成的同位角：和；内错角：和 （2），被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和 （3），被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和 期末考向三：平行线 重点考点讲练04：用直尺、三角板画平行线 【母题精讲】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段______的长度是点到直线的距离； (3)线段的大小关系为______．（填“”“”或“”） (4)点为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点有______个（点不与点重合）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)5 【思路点拨】此题主要考查了基本作图以及垂线的画法和平行线的画法，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线，； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； （4）要使得的面积与的面积相等，只需点所在直线于平行，直线与的距离等于点到的距离，过点作直线，可得符合题意的点，同样，在上方，也有直线，且直线与的距离等于点到的距离，也可得符合题意的点． 【规范解答】（1）如图所示：，即为所求； （2）线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； （3）由垂线段最短可知：， 故答案为：； （4）由作图可知点为格点， 要使得的面积与的面积相等， 只需点所在直线于平行，直线与的距离等于点到的距离， ∴直线， 如图，过点作直线，直线上的格点，符合题意， 同样，在上方，也有直线，且直线与的距离等于点到的距离， 直线上格点，，符合题意， 综上，满足要求的格点有5个， 故答案为：5． 【训练1】（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．按下述要求画图，并回答问题： (1)画射线． (2)过点C画线段的平行线． (3)过点A画线段的垂线，垂足为E． (4)线段的大小关系是__________．理由是____________________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)，垂线段最短 【思路点拨】本题考查了平行线、垂线、线段长的比较，熟练掌握有关垂线的性质和基本作图是解题的关键，（1）根据射线的定义直接可做出射线；（2）（3）根据网格的特点直接作出平行线和垂线即可；（4）利用垂线段最短即可得到答案． 【规范解答】（1）解：根据射线的定义，即可得到射线，如下图： （2）根据小正方形网格图的特征，每个小正方形边长为1，画出的平行线，如图所示： （3）延长，过点向做垂线，为垂足，如图所示： （4）根据题意可得：，垂线段最短． 【训练2】（22-23七年级下·河北邯郸·期末）如图，点P、Q分别是的边、上的点．    (1)过点P、Q分别画、的平行线，两直线相交于点M； (2)过点P、画的垂线，垂足为H，过点P画的垂线交于点G； (3)线段与的大小关系是什么？ 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【思路点拨】（1）利用三角板和直尺按要求作图； （2）利用三角板和直尺按要求作图； （3）根据“垂线段最短”进行判断即可． 【规范解答】（1）所求图形，如图所示    （2）所求图形，如图所示    （3）根据“垂线段最短”，可得 重点考点讲练05：平行公理的应用 【母题精讲】（21-22七年级下·四川达州·期中）给出下列说法：（1）过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）相等的两个角是对顶角；（3）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；（4）不相交的两条直线叫做平行线；（5）垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【思路点拨】根据平行线的定义、平行公理、对顶角的概念以及点到直线的距离的概念进行判断即可． 【规范解答】解：（1）过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法（1）错误； （2）相等的两个角不一定是对顶角，对顶角是在两直线相交的前提条件下形成的，故说法（2）错误； （3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，故说法（3）错误； （4）同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故说法（4）错误； （5）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故说法（5）错误． 故说法正确的有0个． 故选：A． 【训练1】（21-22七年级上·江苏无锡·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②； (2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E； (3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【思路点拨】（1）根据网格作图即可； （2）根据网格作图即可； （3）根据网格作图即可. 【规范解答】（1）解：作图如下： （2）解：作图见（1） （3）如图： 故符合题意的点F有6个. 故答案为：6 【训练2】（20-21七年级下·江苏南通·阶段练习）下列说法：同位角相等；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；平行于同一条直线的两条直线一定平行；连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．其中正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义等，利用所学的公理，定理，判断选择即可，正确把握相关定义是解题的关键． 【规范解答】解：根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等；故此选项错误； 根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确； 由平行的公理知：平行于同一条直线的两条直线一定平行，故本选项正确； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确； 综上可知：正确， 故选：． 期末考向四：平行线的判定 重点考点讲练06：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【母题精讲】（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图，点E在AC的延长线上，给出的四个条件：    （1）；（2）；（3）；（4）能判断的有 个. 【答案】3 【思路点拨】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可； 【规范解答】（1）如果 ，那么 ，故（1） 错误； （2），那么 ，内错角相等，两直线平行，故（2）正确； （3），那么 ； 同位角相等，两直线平行，故（3）正确； （4），那么 ， 同旁内角互补，两直线平行，故（4） 正确； 即正确的有 故答案为：3 【训练1】（22-23七年级下·湖南永州·期末）在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 【答案】（或垂直） 【思路点拨】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【规范解答】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（或垂直）． 【训练2】（22-23七年级下·全国·单元测试）在同一平面内，a、b、c是直线，下列说法正确的是（　　） A．若， 则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【思路点拨】根据平行公理、平行线的性质对各选项分析判断即可解答． 【规范解答】解：A.在同一平面内，若，则正确，故本选项正确； B.在同一平面内，若，则，故本选项错误； C.在同一平面内，若，则，故本选项错误； D.在同一平面内，若，则，故本选项错误． 故选：A． 重点考点讲练07：内错角相等两直线平行 【母题精讲】（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以判定两条被截直线平行，解决本题的关键是判断和是由哪两条直线被截形成的角． 【规范解答】解：A选项：和是直线、被直线所截形成的同位角，当时，根据同位角相等，两直线平行可证，不能证明，故A选项不符合题意； B选项：和是直线、被直线所截形成的内错角，当时，根据内错角相等，两直线平行可证，故B选项符合题意； C选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，当时，不能判断，故C选项不符合题意； D选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，当时，不能判断，故D选项不符合题意． 故选：B ． 【训练1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【思路点拨】此题考查了平行线的判定，根据平角的定义得到，则，根据内错角相等，两直线平行即可得到结论． 【规范解答】解：． 理由：∵点在上， ． ∵， ， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【训练2】（22-23七年级下·辽宁大连·期末）如图，，平分，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【思路点拨】根据角平分线的定义得出，再根据，得出，利用平行线的判定可得出两条直线平行． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：平行． 重点考点讲练08：同旁内角互补两直线平行 【母题精讲】（2021七年级下·全国·专题练习）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中能说明纸条两边平行的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查平行线的判定，熟悉平行线的判定定理是解题的关键；根据平行线的判定定理逐个判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴纸条两边平行（同位角相等，两直线平行），故①正确； ∵， ∴纸条两边平行（内错角相等，两直线平行），故②正确； ∵， ∴纸条两边平行（同旁内角互补，两直线平行）， 故④正确． ∴有3个． 故选：C． 【训练1】（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，已知，，，要使，则需添加 （只填出一种即可）的条件．    【答案】或或（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查平行线的判定，涉及内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解决问题的关键． 【规范解答】解： ， ， 若，则， ； ，， ，则， 若，则， ； 综上所述，添加或或，， 故答案为：或或（答案不唯一）． 【训练2】（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使（填一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】根据平行线的判定定理即可得到答案． 【规范解答】解：根据平行线的判定定理可得： ；；都可判断， 故答案为：（答案不唯一） 期末考向五：平行线的性质 重点考点讲练09：根据平行线的性质探究角的关系 【母题精讲】（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时， 【思路点拨】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键． （1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）过点作，如图2所示， ， ， ，， ，， ，， ． （2）， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 【训练1】（22-23七年级下·广东深圳·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ． 【答案】（1），证明见解析 （2） 类比迁移： 变式挑战： 【思路点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）过E点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）如图2，作，，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论； 类比迁移：如图3，过E作，过G作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论； 变式挑战：延长，，交于点P，过M作射线，过E作，过P作，过N作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】问题提出： （1）猜想：， 证明：过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图2，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于F， ∴，， ∴， ∴； 类比迁移： ．理由如下： 如图3，过E作，过G作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分与的平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； 变式挑战： ，理由如下： 如图4，延长，，交于点P， 过M作射线，过E作，过P作，过N作， ∴，，， ∴， 同理得， ∴， ∵同时平分和， ∴，， ∴， 即． 故答案为：． 【训练2】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，，平分，平分，，交于点． (1)若，，分别求，的度数； (2)若图中，求的度数； (3)探究，与之间的数量关系． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【思路点拨】（）作，利用平行线的性质得，则于是得到而所以，同理可得再代入计算即可； （）由（）的结论得到变形得到利用等式的性质得加上即于是得到易得的度数； （）与（）的证明方法一样可得再变形 得到把两式相加得，则所以； 本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质和判定及正确作辅助线是解题的关键． 【规范解答】（1）作，如图， 是的平分线， ； 同理可得； （2） 即 ∴ ； （3），理由， 与（）的证明方法一样可得 ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 重点考点讲练10：根据平行线的性质求角的度数 【母题精讲】（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，已知直线，点C，D在直线上，点E，F是直线外两点，连接，且，． (1)求证：； (2)的平分线交于点G．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)25度 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据平角定义可得，从而利用同角的补角相等可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 【规范解答】（1）证明：，， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 的度数为． 【训练1】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图1，在同一个平面上，已知点O为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与O重合，点P在线段上，设． (1)【问题探究】已知：且，，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板按图2放置时，平分，求的度数（结果用含α的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，角的计算是解决问题的关键． （1）先由，得进而得，则，继而得，再根据即可得出，由此根据角平分线的定义可得出平分； （2）由得，再由得，根据角平分线的定义得，即，由此可得的度数； （3）由（2）得，即，再根据邻补角的定义得，进而得，由此可得和存在的数量关系． 【规范解答】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， ， ， ， 平分， ， 即， ； （3）解：与存在的数量关系为：． 由（2）得：， ， ， 又，， ， ， 与存在的数量关系为：． 【训练2】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或3或6或12或15 【思路点拨】本题主要考查了平行线的综合题，正确理解旋转的性质、平行线的性质是本题解题的关键． （1）延长交于，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先计算出的取值范围，用表示出的大小，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义，用表示出三边与的夹角，当夹角相等时，两直线平行，据此解答． 【规范解答】（1）解：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， 即：， ； （2）解：， 理由如下：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， 在 和 中， ，，， ， 即：， ； （3）解：， ， ， ，是的平分线， ， ， 转动过程中，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 在转动过程中，， 设所在直线与射线的夹角为， ， 在转动过程中，， ①当时， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：， ②当时， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：，舍去， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， ③当时， 当时，， 即，， 解得：， 当时，， 即，， 解得：， 综上所述，或3或6或12或15． 重点考点讲练11：平行线的性质在生活中的应用 【母题精讲】（22-23七年级下·河北承德·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    【答案】 60 45或105 【思路点拨】根据题意及邻补角互补求出，，进而根据平行线的性质得到；由题意易得，则可设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行，进而可分①当射线未过线段时，②射线过线段且未到达射线时，③射线到达后回转，然后根据平行线的性质进行分类求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵灯的光线先转动45秒，灯的光线才开始转动， ∴此时， 设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行， ①当射线未过线段时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ②射线过线段且未到达射线时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：      ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ③射线到达后回转，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ∴综上所述：灯的光线转动45秒或105秒时，两灯的光线互相平行； 故答案为：60；45或105． 【训练1】（22-23七年级下·重庆忠县·期末）为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航道管理局在如图所示MN水域地带的两岸M、N处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设N水域地带两岸，点N处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点M处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点N处射出的光线每秒旋转a度，点M处射出的光线每秒旋转b度．且．      (1)求a，b的值； (2)如图2，设两灯同时开始旋转，点N处探照灯射出的光线在旋转到NC之前，若两盏探照灯射出的光线在点F处交叉照射，是否存在点F使得过F作交于点E，且，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． (3)设点M处探照灯先旋转15秒后，点N处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转的时间为t秒．当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，直接写出所有的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3)能，或 【思路点拨】（1）根据非负数和为零则每一个非负数都是0列方程计算即可； （2）设时间为t秒，根据列方程计算即可； （2）设时间为t秒，设点N处探照灯交于，点M处探照灯交于，用时间t表示和的度数，再分类讨论即可． 【规范解答】（1）由题意得， ∴解得，； （2）假设能出现两盏探照灯射出的光线互相平行，设此时的旋转时间为t秒， 则必有，即，且，， 过点F作，则 过点F作，则    ∵ ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 解得， 但，不合乎要求， 所以这样的点F不存在； （3）设时间为t秒，设点N处探照灯交于，点M处探照灯交于， 则必有，即， 当到岸边之前时，，， ∵，    ∴，即， 解得符合要求； 当到岸边之后时，，此时，，    ∵， ∴，即， 解得，符合要求， 综上所述，能出现两盏探照灯射出的光线互相平行，此时或． 【训练2】（22-23七年级下·浙江温州·阶段练习）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则 ．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则 ． 【答案】 /80度 /20度 【思路点拨】（1）过点作，过点作交于点，根据平行线的判定和性质，求出的度数，利用角平分线的性质，即可得解； （2）过点作，过点作，过点作交于点，同法（1），利用平行线的判定和性质，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）过点作，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴； ∴， ∵的延长线恰好是的角平分线， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：， 过点作，过点作，过点作交于点， 同（1）法可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 重点考点讲练12：根据平行线判定与性质求角度 【母题精讲】（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)与平行，见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定以及性质，根据平行线的性质求角的度数等知识． （1）先根据已知条件得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出． （2）由（1）可得出，，由平行线的性质得出，根据角的和差关系以及角的等量代换可得出，进而可得出答案． 【规范解答】（1）解：与平行，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ （2）解∶由（1）得． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 【训练1】（21-22七年级下·福建龙岩·期中）如图，，，，． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查平行线的判定和性质定理； （1）由题意推出，结合，推出，即可推出， （2）根据（1）可得，既而推出，根据，即可推出的度数． 【规范解答】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ． 【训练2】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，平分，，连接，使，且．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】此题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键． （1）根据内错角相等，两直线平行得出，进而利用同旁内角互补，两直线平行得出，进而解答即可； （2）根据平行线的性质得出，进而利用三角形的内角和定理解答即可． 【规范解答】（1）证明： 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 平分， ． 重点考点讲练13：根据平行线判定与性质证明 【母题精讲】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，，的平分线交于点G． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H． ①若，试判断与的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；②或 【思路点拨】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，几何中角度的计算： （1）根据平行线的性质几何角平分线的定义即可说明结论； （2）①；设，则，，，由平行线的性质推出，再根据角平分线的定义得到，由①得，根据，推出，即可得到；②由①得，求出，过点M作，则，分点M在线段上，点M在线段的延长线上，两种情况讨论即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 如图1，设， ∵，， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由①得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由①得， ∴， 过点M作，则 当点M在线段上时，如图2， 由①得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点M在线段的延长线上时，如图3， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． 【训练1】（20-21七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系． （1）根据，得出，又因为，等量代换得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）根据，得出，再根据平分，得出，再根据平行线的性质进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【训练2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗?为什么? (3)若，，求的大小． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，见解析 (3) 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等， （1）根据同旁内角互补，两直线平行进行推理证明； （2）根据对顶角和已知条件得到，则可证明，由平行线的性质推出，即可求证； （2）根据角之间的关系求得，利用平行线的性质求得，即可求解． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）已证 ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 期末考向六：图形的平移 重点考点讲练14：利用平移的性质求解 【母题精讲】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，三角形中，，将三角形沿方向移动至三角形，此时测得，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】27 【思路点拨】本题主要考查了平移的性质，发现阴影部分的面积等于梯形的面积是解题的关键． 根据平移的性质可得和的面积相等，进而可得阴影部分的面积梯形的面积，然后求出梯形的上底即可解答． 【规范解答】解：根据平移的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴, ∴． 故答案为：27． 【训练1】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，在由每个都是小正方形组成的网格纸中，点P是的边上的一点（点O、A、B、C、P均为格点）．请用无刻度的直尺完成下列作图，并标注必要的字母，并描粗相关的格点．    (1)将线段向右平移，使点O与点A重合． ①画出线段平移后的线段； ②与的位置关系是 ，数量关系是 ； (2)在线段上找一点E，且． 【答案】(1)①见解析，②平行，相等 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图-平移变换，线段的性质：两点之间线段最短，勾股定理： （1）根据平移的性质即可将向右平移，使点O与点A重合； ①根据网格即可画出线段平移后的线段； ②根据网格即可得与的位置关系和数量关系； （2）根据网格即可画出点E． 【规范解答】（1）解：①如图所示即为所求；    ②与的位置关系是平行，数量关系是相等； 故答案为：平行，相等； （2）解：如图所示点E即为所求， 【训练2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点，在直线上，直线外有一点，连接，，，是钝角，将三角形沿着直线向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查平移的性质．掌握平移的性质和恰当分类是解题的关键． 分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【规范解答】解：当点在线段上时， ∵， ， ， ． 当点在的延长线上时， ∵， ， ， ． 故选：C． 重点考点讲练15：利用平移解决实际问题 【母题精讲】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在长为80米，宽为60米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为4米，其他部分均种植花草，则种植花草的面积是 平方米．    【答案】4256 【思路点拨】利用平移的思想，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，剩下的仍是一个矩形，长为米，宽为米，再利用矩形面积公式即可求出种植花草的面积． 【规范解答】解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，种植花草的面积（平方米）． 故答案为：4256． 【训练1】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测得，则这个剪出的图形的周长是（    ）    A．80 B．89 C．98 D．99 【答案】C 【思路点拨】首先把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，根据平移的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加． 【规范解答】解：把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，    这个垫片的周长：． 答：这个垫片的周长为． 故选：C． 【训练2】（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）； (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程千米之间的关系； (3)如果这段路程长千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由． 【答案】(1)一样长，画图见解析 (2) (3)够，理由见解析 【思路点拨】（1）利用平移的性质得出两条线路的长相等； （2）利用出租车收费标准进而得出答案； （3）利用（2）中所求即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图所示：两条线路一样长； （2）由题意可得：； （3）小丽坐出租车由体育馆到少年宫，钱够， 理由：由（2）得：（元）． ∵， ∴小丽坐出租车由体育馆到少年宫10元够． 重点考点讲练16：平移(作图) 【母题精讲】（22-23七年级下·江苏·阶段练习）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．利用网格点和直尺画图：    (1)补全； (2)画出边上的高线，图中的面积是　　； (3)与面积相等，在图中描出所有满足条件且异于A点的格点E，并记为、、． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，8 (3)作图见解析 【思路点拨】（1）根据平移方式作图即可； （2）根据三角形高的定义画图即可，再利用分割法求三角形面积即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等，过点A作的平行线，经过的格点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，把点A、B、C分别向右平移4个单位长度得到点、、，再把点连接得到即所求；    （2）解：延长，过点C作于点D，如图，即为所求；    由图可得，， 故答案为：8； （3）解：如图，格点、、即为所求；    【训练1】（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处，现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是______ ，数量关系是______ ； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行，相等 (3)7 【思路点拨】（1）根据平移的性质即可画出平移后的； （2）结合（1）可得这两条线段之间的关系． （3）根据割补法，利用网格即可求的面积． 【规范解答】（1）如图，即为所求；      （2）这两条线段之间的位置关系是平行，数量关系是相等． 故答案为：平行；相等． （3） ， 答：的面积是7； 【训练2】（22-23七年级下·安徽合肥·期末）按下列要求画图．    (1)如图，有一条小船，若把小船平移，使点平移到点，请你在图中画出平移后的小船；（不要求写作法） (2)如图，在图中分别画出其长度可以表示点到线段和线段距离的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）连接，然后从小船的各点作与平行且相等的线段，找到各对应点，然后连接各点即可； （2）过作，，线段，的长度分别表示点到线段和线段的距离． 【规范解答】（1）解：如图．    （2）解：如图，线段，的长度分别表示点到线段和线段的距离．    中档题—夯实基础能力 1．（21-22七年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找到角之间的关系． 【规范解答】解：过向左作射线， 则， ∴， ， ， ， ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【规范解答】解：、不能判定，该选项不合题意； 、不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，该选项符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点B作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则． 【规范解答】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，，则的度数为 度． 【答案】52 【思路点拨】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：52． 5．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 ． 【答案】/45度 【思路点拨】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键． 由邻补角互补可得，由射线平分可得，由邻补角互补可得，由射线平分可得，然后根据即可得出答案． 【规范解答】解：， ， 射线平分， ， ， 射线平分， ， ， 的度数为， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放， ．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质，补角的性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，平行公理，补角的性质，三角板的性质，进行解答，即可． 【规范解答】解：∵，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴； ∴②正确； 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴③错误； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∴④正确； ∴正确的为：①②④； 故答案为：①②④． 7．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． （1）根据“同旁内角互补，两直线平行”求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ． 8．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D均在格点上，请用无刻度直尺按要求完成画图． (1)连接，画直线、射线； (2)过点D画的平行线m； (3)过点D画直线的垂线 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了复杂作图，掌握直线、线段、射线、平行线、垂线及网格线的特征是解题的关键． 根据直线、线段、射线的特征作图； 根据网格线的特征作图； 根据网格线的特征作图． 【规范解答】（1）解：如图所示：线段，直线，射线即为所求； （2）解：如图所示：m即为所求； （3）解：如图所示：n即为所求． 9．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）（1）如图1，点、、都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母： ①过点画直线； ②在上画点，使的长度最小． （2）如图2，已知，点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见详解，②见详解；（2）见详解 【思路点拨】本题考查了平行线的作图，平行线的性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①运用网格的性质，过点作，即可作答． ②运用网格的性质，且结合垂线段最短，则，即可作答． （2）过点P作，且交于点，运用两直线平行，同旁内角互补，即可作答． 【规范解答】解：（1）①过点画直线，如图所示： ； ②在上画点，使的长度最小，如图所示： ； （2）点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使，如图所示： 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）【阅读•领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段，比如要证明直线、是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 【实践•体悟】如图2，已知，．求证：． (1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程： 证明：连接． 因为（已知）， 所以______（内错角相等，两直线平行） 所以______（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以____________（等式性质）， 所以____________（等量代换）， 所以（______）． (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程． 【答案】(1)，内错角相等，两直线平行； (2)证明见解析过程． 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质、相交线及平行线，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意，将小明的证明过程补充完整即可． （2）延长交直线于点M，再利用平行线的判定与性质进行证明即可． 【规范解答】（1）证明：连接， 因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（等式性质）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，内错角相等，两直线平行． （2）解：延长交直线于点M， ， ， ． ， ， ． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25七年级下·全国·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明，由垂线的性质容易得出答案． 【规范解答】解： ， ，即， ． ， ， ， ． 故答案为：A． 12．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练运用这些定义解决问题是本题的关键．由对顶角、邻补角，角平分线的定义，余角和补角进行依次判断即可． 【规范解答】解：，， ，， ，， ，， 当时，，故①正确； 平分， ， ， 不一定等于， 不一定是的平分线，故②不正确； 平分， ， ，故③正确 ，故④正确 故其中正确的结论为①③④． 故选：C． 13．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【思路点拨】本题考查平行线的性质，垂直的定义，由平行得到，再根据余角的性质逐个判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余， 故②正确； ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴，， ∵， ∴与不一定相等，即不一定成立， 故③错误； ∵，，， ∴，即平分， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 14．（22-23七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分．若的度数为．则 ．（用含α的代数式表示） 【答案】 【思路点拨】本题考查几何图形中的角度计算问题，角平分线的定义，对顶角的性质等，根据对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，，最后根据平角的定义求出，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿线段所在直线向右平移，所得图形对应为三角形，设平移时间为t秒，在，，三条线段中，两条线段之间存在2倍的关系．三人的说法如下： 甲：有两种情况，t的值为2或3． 乙：有三种情况，t的值为2或3或4． 丙：有四种情况，t的值为2或3或4或5． 甲、乙、丙三人，判断正确的是 （甲，乙，丙选一个填入） 【答案】乙 【思路点拨】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移前后对应点两线相等．根据平移的性质得出，然后进行分类讨论：①当，②当，③当，即可解答． 【规范解答】解：∵三角形以每秒的速度沿线段所在直线向右平移，所得图形对应为三角形， ∴， ①当，即， 解得； ②当，即， 解得； ③当，即， 解得； 综上所述，t的值为2或3或4， ∴乙正确， 故答案为：乙． 16．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片翻折，若，则的度数为 ． 【答案】/60度 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．设，根据题意，可得，，根据“两直线平行，内错角相等”可得，再结合“两直线平行线，同旁内角互补”可得，求解即可获得答案． 【规范解答】解：如下图， 设， 根据题意，可得，， ∴， ∴ 解得，即． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线相交于点平分， (1)若，则___________； (2)若平分，的度数为． ①求的度数； ②作射线，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【思路点拨】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）根据角平分线的定义得出 ，再根据平角的定义得； （2）①设，则，，根据列方程求出x，再根据对顶角相等，即可得出的度数；②分在上方、下方两种情况，画出图形，利用角的和差关系求解． 【规范解答】（1）解： 平分，， ， ； （2）解：① 平分， 设 ， ， ， 平分， ， ， ， 解得， ， ； ②由①知， 时，， 分两种情况： 当在上方时，如图， ； 当在下方时，如图， ； 综上可知，的度数为或． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知． (1)求证：．请将下面证明过程补充完整： 证明：（已知） （___________①___________） 又（已知） ___________②（同角的补角相等） ，（③） （___________④___________） (2)若平分，于点，，求的度数 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等 (2) 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算： （1）根据平行线的性质和判定，进行作答即可； （2）根据角平分线的定义，结合平行线的性质，进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：（已知） （①两直线平行，同旁内角互补） 又（已知） ②（同角的补角相等） ，（③内错角相等，两直线平行） （④两直线平行，同位角相等）， 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等； （2）解：平分， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2)75 【思路点拨】本题主要考查了垂线、角平分线的定义、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，掌握角平分线的定义并由平角定义列出关于的方程成为解题的关键． （1）由角平分线定义得到，然后进行计算即可解答； （2）设，由条件得到，求出x的值即可解答． 【规范解答】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第1章 相交线与平行线 （思维导图+知识梳理+易错点拨+16大考点讲练+优选真题难度分层练 共68题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：相交线 3 知识点梳理02：平行线 5 知识点梳理03：图形的平移 6 易错考点点拨汇总 6 易错知识点01：相交线 6 易错知识点02：平行线 7 易错知识点03：综合应用 7 易错知识点04：高频易错题型及解法 7 期末真题考点汇编讲练 8 期末考向一：直线的相交 8 重点考点讲练01：垂线段最短 8 重点考点讲练02：点到直线的距离 9 期末考向二：同位角、内错角、同旁内角 10 重点考点讲练03：同位角、内错角、同旁内角 10 期末考向三：平行线 11 重点考点讲练04：用直尺、三角板画平行线 11 重点考点讲练05：平行公理的应用 13 期末考向四：平行线的判定 13 重点考点讲练06：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 13 重点考点讲练07：内错角相等两直线平行 14 重点考点讲练08：同旁内角互补两直线平行 15 期末考向五：平行线的性质 16 重点考点讲练09：根据平行线的性质探究角的关系 16 重点考点讲练10：根据平行线的性质求角的度数 18 重点考点讲练11：平行线的性质在生活中的应用 20 重点考点讲练12：根据平行线判定与性质求角度 21 重点考点讲练13：根据平行线判定与性质证明 23 期末考向六：图形的平移 25 重点考点讲练14：利用平移的性质求解 25 重点考点讲练15：利用平移解决实际问题 26 重点考点讲练16：平移(作图) 27 优选真题难度分层练 29 中档题—夯实基础能力 29 压轴题—强化解题技能 33 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：相交线 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【易错点剖析】 ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 【易错点剖析】 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 知识点梳理02：平行线 1．平行线判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点梳理03：图形的平移 1..平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 【易错点剖析】平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 易错知识点01：相交线 1. 对顶角与邻补角混淆 对顶角：必须满足“两边互为反向延长线”且“成对出现”，性质是对顶角相等。学生常误将非对顶角的相等角判断为对顶角。 邻补角：需满足“有一条公共边，另一边互为反向延长线”，且和为180°。易错点在于将未相邻的互补角当作邻补角 例题：若OE平分∠BOC，且∠BOD:∠BOE=1:2，需明确∠AOC与∠BOD是对顶角，而非∠BOE的对顶角 2. 垂线段最短的应用错误 点到直线的距离是垂线段的长度，但学生常误选其他线段作为最短路径。例如在△ABC中，AP的最小值应为点A到BC的垂线段长度，而非AB或AC的长度 3. 角平分线与对顶角关系误解 角平分线产生的两个角相等，但与对顶角无关。例如，若OE平分∠BOC，不能直接推出∠BOE与∠AOF相等 易错知识点02：平行线 1. 同位角、内错角、同旁内角识别错误 在复杂图形中，学生可能因图形干扰找错对应角。例如，同位角需满足“F型”，内错角为“Z型”，同旁内角为“U型” 例题：若CD∥AB，则需通过内错角相等（如∠1=∠A）推导角度，而非直接使用对顶角 2. 平行线判定与性质混淆 判定：通过角的关系（如同位角相等）证明平行；性质：已知平行线推导角的关系。学生易将两者颠倒，例如用“两直线平行→内错角相等”误作为判定条件 3. 忽略平行公理的前提条件 平行公理强调“过直线外一点有且仅有一条平行线”，但学生可能忽略“同一平面内”的前提 易错知识点03：综合应用 1. 几何语言表述不规范 例如，直接写“∠1=∠2→平行”而未注明角的关系类型（如“同位角相等”），导致逻辑链不完整 2. 命题真假的判断错误 常见误区： “互补的角是邻补角”（×，互补角不一定相邻）； “一个角的补角是钝角”（×，如直角补角仍是直角） 3. 综合题中的逻辑链断裂 例如，求角度时未逐步推导，直接跳步导致错误。需强调“已知→角平分线→对顶角→垂线性质”的完整推理过程 易错知识点04：高频易错题型及解法 1. 角度计算题 关键：结合对顶角、角平分线、垂线性质，分步标注已知条件。例如，已知∠BOD:∠BOE=1:2，需通过比例设未知数，结合邻补角求值 2. 平行线判定与性质综合题 策略：先标出已知角，再判断角类型（同位角/内错角），最后选择判定或性质定理。例如，证明AP∥DQ时需通过两次角转换 3. 实际应用题（最短路径） 核心：应用“垂线段最短”解决实际问题，如确定码头位置或光线反射路径 期末考向一：直线的相交 重点考点讲练01：垂线段最短 【母题精讲】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)连接交于点O； (2)过点A画直线，使； (3)过点A画直线的垂线，垂足为H． (4)观察得到的图形，请比较线段_____线段（用“＞”，“＜”或“＝”连接），你的理由是_____． 【训练1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知：是一条笔直的乡村道路，欲在道路上建一垃圾回收站． (1)如图1，如果垃圾回收站到小区的距离最短，在图1中画出垃圾回收站所建的位置．这样建的依据是__________________； (2)如图2，如果在公路的另一侧还有小区，如何确定垃圾回收站的位置，使其到两个小区的距离之和最短？在图2中画出这个位置，这样建的依据是_________． 【训练2】（22-23七年级下·甘肃定西·期末）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为 米．（填一个你认为正确的答案）    重点考点讲练02：点到直线的距离 【母题精讲】（21-22七年级下·福建厦门·期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（　　） A．点A到直线l2的距离等于4 B．点C到直线l1的距离等于4 C．点C到AB的距离等于4 D．点B到AC的距离等于3 【训练1】（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图所示的方格纸中，已知每个小正方形的边长都为1，点、、为格点．请按下面要求回答问题： (1)画直线，射线； (2)过点作，垂足为点； (3)连结，若，求线段的长． 【训练2】（21-22七年级下·四川成都·期末）七巧板起源于宋代的“燕几图”，因其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，故世俗皆喜为之．数学活动小组用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“花样滑冰”．现测得图1正方形纸片的对角线长为4，图2中，则“花样滑冰”图案中，点A到的距离为 ． 期末考向二：同位角、内错角、同旁内角 重点考点讲练03：同位角、内错角、同旁内角 【母题精讲】（22-23七年级下·广东河源·阶段练习）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（21-22七年级下·广西贺州·期末）下列说法正确的个数有（    ） ①内错角相等； ②相等的角是对顶角； ③过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【训练2】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C． (1)指出，被所截形成的同位角、内错角； (2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角； (3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角． 期末考向三：平行线 重点考点讲练04：用直尺、三角板画平行线 【母题精讲】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段______的长度是点到直线的距离； (3)线段的大小关系为______．（填“”“”或“”） (4)点为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点有______个（点不与点重合）． 【训练1】（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．按下述要求画图，并回答问题： (1)画射线． (2)过点C画线段的平行线． (3)过点A画线段的垂线，垂足为E． (4)线段的大小关系是__________．理由是____________________． 【训练2】（22-23七年级下·河北邯郸·期末）如图，点P、Q分别是的边、上的点．    (1)过点P、Q分别画、的平行线，两直线相交于点M； (2)过点P、画的垂线，垂足为H，过点P画的垂线交于点G； (3)线段与的大小关系是什么？ 重点考点讲练05：平行公理的应用 【母题精讲】（21-22七年级下·四川达州·期中）给出下列说法：（1）过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）相等的两个角是对顶角；（3）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；（4）不相交的两条直线叫做平行线；（5）垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【训练1】（21-22七年级上·江苏无锡·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②； (2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E； (3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个． 【训练2】（20-21七年级下·江苏南通·阶段练习）下列说法：同位角相等；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；平行于同一条直线的两条直线一定平行；连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．其中正确的是 （   ） A． B． C． D． 期末考向四：平行线的判定 重点考点讲练06：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【母题精讲】（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图，点E在AC的延长线上，给出的四个条件：    （1）；（2）；（3）；（4）能判断的有 个. 【训练1】（22-23七年级下·湖南永州·期末）在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 【训练2】（22-23七年级下·全国·单元测试）在同一平面内，a、b、c是直线，下列说法正确的是（　　） A．若， 则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 重点考点讲练07：内错角相等两直线平行 【母题精讲】（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【训练2】（22-23七年级下·辽宁大连·期末）如图，，平分，则与的位置关系是 ． 重点考点讲练08：同旁内角互补两直线平行 【母题精讲】（2021七年级下·全国·专题练习）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中能说明纸条两边平行的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，已知，，，要使，则需添加 （只填出一种即可）的条件．    【训练2】（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使（填一个即可）．    期末考向五：平行线的性质 重点考点讲练09：根据平行线的性质探究角的关系 【母题精讲】（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【训练1】（22-23七年级下·广东深圳·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ． 【训练2】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，，平分，平分，，交于点． (1)若，，分别求，的度数； (2)若图中，求的度数； (3)探究，与之间的数量关系． 重点考点讲练10：根据平行线的性质求角的度数 【母题精讲】（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，已知直线，点C，D在直线上，点E，F是直线外两点，连接，且，． (1)求证：； (2)的平分线交于点G．若，求的度数． 【训练1】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图1，在同一个平面上，已知点O为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与O重合，点P在线段上，设． (1)【问题探究】已知：且，，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板按图2放置时，平分，求的度数（结果用含α的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系． 【训练2】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______． 重点考点讲练11：平行线的性质在生活中的应用 【母题精讲】（22-23七年级下·河北承德·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    【训练1】（22-23七年级下·重庆忠县·期末）为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航道管理局在如图所示MN水域地带的两岸M、N处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设N水域地带两岸，点N处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点M处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点N处射出的光线每秒旋转a度，点M处射出的光线每秒旋转b度．且．      (1)求a，b的值； (2)如图2，设两灯同时开始旋转，点N处探照灯射出的光线在旋转到NC之前，若两盏探照灯射出的光线在点F处交叉照射，是否存在点F使得过F作交于点E，且，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． (3)设点M处探照灯先旋转15秒后，点N处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转的时间为t秒．当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，直接写出所有的值；若不能，说明理由． 【训练2】（22-23七年级下·浙江温州·阶段练习）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则 ．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则 ． 重点考点讲练12：根据平行线判定与性质求角度 【母题精讲】（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 【训练1】（21-22七年级下·福建龙岩·期中）如图，，，，． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【训练2】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，平分，，连接，使，且．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 重点考点讲练13：根据平行线判定与性质证明 【母题精讲】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，，的平分线交于点G． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H． ①若，试判断与的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值． 【训练1】（20-21七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 【训练2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗?为什么? (3)若，，求的大小． 期末考向六：图形的平移 重点考点讲练14：利用平移的性质求解 【母题精讲】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，三角形中，，将三角形沿方向移动至三角形，此时测得，，则阴影部分的面积为 ． 【训练1】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，在由每个都是小正方形组成的网格纸中，点P是的边上的一点（点O、A、B、C、P均为格点）．请用无刻度的直尺完成下列作图，并标注必要的字母，并描粗相关的格点．    (1)将线段向右平移，使点O与点A重合． ①画出线段平移后的线段； ②与的位置关系是 ，数量关系是 ； (2)在线段上找一点E，且． 【训练2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点，在直线上，直线外有一点，连接，，，是钝角，将三角形沿着直线向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 重点考点讲练15：利用平移解决实际问题 【母题精讲】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在长为80米，宽为60米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为4米，其他部分均种植花草，则种植花草的面积是 平方米．    【训练1】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测得，则这个剪出的图形的周长是（    ）    A．80 B．89 C．98 D．99 【训练2】（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）； (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程千米之间的关系； (3)如果这段路程长千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由． 重点考点讲练16：平移(作图) 【母题精讲】（22-23七年级下·江苏·阶段练习）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．利用网格点和直尺画图：    (1)补全； (2)画出边上的高线，图中的面积是　　； (3)与面积相等，在图中描出所有满足条件且异于A点的格点E，并记为、、． 【训练1】（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处，现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是______ ，数量关系是______ ； (3)求的面积． 【训练2】（22-23七年级下·安徽合肥·期末）按下列要求画图．    (1)如图，有一条小船，若把小船平移，使点平移到点，请你在图中画出平移后的小船；（不要求写作法） (2)如图，在图中分别画出其长度可以表示点到线段和线段距离的线段． 中档题—夯实基础能力 1．（21-22七年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（  ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，，则的度数为 度． 5．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 ． 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放， ．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 7．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)探索与的数量关系，并说明理由． 8．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D均在格点上，请用无刻度直尺按要求完成画图． (1)连接，画直线、射线； (2)过点D画的平行线m； (3)过点D画直线的垂线 9．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）（1）如图1，点、、都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母： ①过点画直线； ②在上画点，使的长度最小． （2）如图2，已知，点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）【阅读•领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段，比如要证明直线、是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 【实践•体悟】如图2，已知，．求证：． (1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程： 证明：连接． 因为（已知）， 所以______（内错角相等，两直线平行） 所以______（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以____________（等式性质）， 所以____________（等量代换）， 所以（______）． (2) 请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25七年级下·全国·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 13．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 14．（22-23七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分．若的度数为．则 ．（用含α的代数式表示） 15．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿线段所在直线向右平移，所得图形对应为三角形，设平移时间为t秒，在，，三条线段中，两条线段之间存在2倍的关系．三人的说法如下： 甲：有两种情况，t的值为2或3． 乙：有三种情况，t的值为2或3或4． 丙：有四种情况，t的值为2或3或4或5． 甲、乙、丙三人，判断正确的是 （甲，乙，丙选一个填入） 16．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片翻折，若，则的度数为 ． 17．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线相交于点平分， (1)若，则___________； (2)若平分，的度数为． ①求的度数； ②作射线，请直接写出的度数． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知． (1)求证：．请将下面证明过程补充完整： 证明：（已知） （___________①___________） 又（已知） ___________②（同角的补角相等） ，（③） （___________④___________） (2)若平分，于点，，求的度数 19．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 20．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$