江苏省镇江中学2024-2025学年高一下学期期中学情检测数学试题

高一期中数学答案20250428 1. B 2. D 3.B 4. D 5.D 6. D 7.C 8. B 9. ACD 10.AD 11.BCD 124 13. 2# 14. 15.(6+7) (1)设z=a+bi(a,beR),则三=a-bi, 由=(1-3i)=a+bi)(1-3i)=a+3b)+(b-3a)i为纯虚数 得a+3b=0①:且b-3a:0; 由三-==-2bi--2i,得-2b=-2②. 由①②解得a=-3,b=1,验证知b-3a=10:0:满足题意$ 所以z=-3+i=-3-i. 2+m-i m-3+2i(m-3+2i)i (2)由(1)可知,2.三 ---2+(m-3)i. ,+3 -1 (-i):i 由ll=22,得(-2)}+(n-3)=22. 整理,得n2-6n+5-0. 解得m=1或n-5 故实数rn的值为1或5 16.(5+5+5) ($1) AB=(2,2),AC=m-14),由于ABC三点共线,故8-2(m-1)=0,m=$ (2) 由于AB=(2.2) ,AC=n-1.4).AB·AC=2m+6 AB2V2,AC=n-2m+17 cosAB ACA.4C# 4#.一1 (3) 设点D($):由AB=(2.2) ,BC=(m-3.2) ABBC=2(m-3)+4=$ 解得n-1; [x-1--2 AD=(x-1.y+1),BC=(-2.2).由AD=BC. ,解得x=-1v=1: ly+1=2 故D(-1,1). _ 17.(7+8) 4 (1)因为 25 ## sin B=$ 2. 所以cosB=$ 5 2 5 因为 2、4, 所以sin2B=2sinBcos B=2x 5 $cos2/B=1-2sin}B=- 7: 所以sin(g-2p)=singcos2B-cosgsin2B= 25 cosn-- (2因为 25 sinB-. 2 因为 cos=2cos*-1-4 2 2 10 10 6 ) 2 2 2 _ 18.(8+9) (1)由题知BOC,△4OC均为等边三角形:所以四边形OACB为菱形 7 所以Oc=OA+OB-ā+b. 因为OP-2oA,OP=BO,所以O--oB. 3 所以cp-o-oc-2a-a-6---6. 3 3 3 3 { (2)法1 基底法 2π 因为扇形O4B所在圆的半径为2,它所对的圆心角为 3 所以ā.6=2-1)-2. 设 P=xOA=,则O=(1-$x)OB=(1-$x)$,$E 0l 所以CP=P-o$=x--b={$x-1-$ $$=-c=(1-xb--b=--x$ $ 所以cP:c0=(x-1)ā-b.(-ā-x) =-(x-1)}-x(x-1)-b+b+x} =-(x-1)-x(x-1)ā·b+b+x --4(x-1)+2x(x-1)-2+4x--2x2-2x+2 ##-## 因为xe[o,1]. 3 所以CP-co的取收 法2:坐标法 设 P=BQ=x,xE[0.2],0P=(x.0 因为00-0B-0B $B=B=(-*3).0=-1V3-3$$$ 所以CP=$-=(t-1-3.c= -=-2-$ 因为xE[0.2]. 所以当x三1是,上式取得最小值为}; 当x三0或2时,上式取得最大值为2 所以CP·CQ的取值范围,2 3 19.(5+5+7) (1)方案一:选条件①bc=t(b+c). 由题意可得SAanAp+SAcADSaABc.:ct sin BAD+bt sin/CAD=bc sin BAC. :AD为乙BAC的平分线,乙BAD=CAD=二BAC, .ct sin BAD+bt sin BAD=bcsin 2 BAD. 即t(c +b)sin BAD =bcsin 2 BAD 又bc=t(b+c),'.sin BAD=sin2 BAD,即sin BAD=2 sin BADcos BAD :2BADE(0-), 方案二:选条件② sin 2A-(sinB-sinC)2=3sinBsinC 由己知结合正弦定理得a②-b2-c2=bc, 2h .sinAcos C+cos AsinC=sin Acos C-sinC sin A. 2 :.cos AsinC--sinC sinA, 易知sinC>0. (2)法1 (2)延长AG交BC于点M.因为G为三角形 ABC的心. 所以M为BC的中点. 行行选 . -#2+02 2ecoA) -(21-220)- :4G:3 3 _ 2x27 延长AG交BC于点M. .G为△ABC的重心,.'.M为BC的中点,且AG=AM 4AM- AG- AM- M C (③) m__ C -sinA+stnB sinC #是sno cosc-sinC sinc -2 sinc 二2 sinc 3 从而m>11 江苏省镇江中学高一年级期中学情检测（数学） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数 (2 i)(1 i)z    ， i为虚数单位，则复数 z的虚部为 A．1 B． 1 C． i D． -i 2. 已知水平放置的 ABCV 的直观图如图所示， 6AC   ， 4B C   ，则边 AB 上的中线的 实际长度为 A. 4 B. 19 C. 2 6 D. 5 3.已知向量� 和� 满足：� = 1,0 ， � = 4，� ∙ � = 0，则 3� − � = A. 7 B.5 C. 10 D. 5 4.下列叙述中，正确的是 A.因为 P Q  ， ，所以 PQ  B. 因为 P Q  ， ，所以 PQ  I C.因为 C ,AB AB D AB  ， ，所以CD  D. 因为 AB AB  ， ，所以 AB  I 5．已知等边三角形 ABC的边长为 1，BC a   ，CA b   ，AB c   ，那么 a b b c c a           A．3 B． 3 C． 3 2 D． 3 2  6. 已知 π 2sin 12 3       ，则 5πcos 2 6       A. 7 9  B. 5 9 C. 7 9 D. 5 9  7．设 1 3cos6 sin 6 2 2 a     ， 2 2 tan13 1 tan 13 b    ， 1 cos50 2 c   ，则有 A． a b c  B．a b c  C． a c b  D．b<c<a 8.在 ABC 中，已知角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，且 , 3, 60a x b B   ，若 ABC 有两解， 则 x的取值范围是 A.  0,3 B.  3,2 3 C. (2 3, ) D. 3,2 3 2 二、多选题：本题共 3小题，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9. 已知 z是复数， z 是其共轭复数，则下列命题中错误的是 A. 2 2| |z z B. 若 | | 1z  ，则 | 1 i |z   的最大值为 2 1 C. 若 2(1 2i)z   ，则复平面内 z 对应的点位于第一象限 D. 若1 3i 是关于 x的方程 2 0( , R)x px q p q    的一个根，则 8q   10.给出下列命题中，其中正确的选项有 A. 若非零向量 ,a b  满足： a b a b      ，则 a与b  共线且同向 B. 若非零向量 ,a b  满足： a b a b      ，则 a与 a b  的夹角为 60° C. 若  2,3a  ，  3,b m   ， a与b  向量夹角为钝角，则 m 取值范围为  , 2 D. 在 ABC 中，若 0 AB AC BC AB AC                ，则 ABC 为等腰三角形 11. 在锐角 ABC 中，角 , ,A B C对边分别为 , ,a b c，设向量    , , ,m c a b n a c    ，且 m ∥ n，则下列选项正确的是 A. b a B. 2C A C. c a 的取值范围是  2, 3 D. tan 3C  三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分． 12.已知平面向量  1,2a   ，  3,4b   ，则 a在b  上的投影向量的坐标为 ． 13. 计算 2cos10 sin 20 cos 20    的值为______________. 14．如图，一幅壁画的最高点 A 处离地面 12m，最低点 B处离地面 7m，现在从离地高 4m 的 C处观赏它． ①若 C处离墙的距离为 6m，则 tan  ； ②若要视角最大，则离墙的距离为 m． 3 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤． 15. （13 分） 已知复数 z满足 (1 3i)z  为纯虚数， 2iz z   ． （1）求 z以及 z ； （2）设 3 1 i 3 z mz z     ，若 1 2 2z  ，求实数m的值． 16.（15 分） 在直角坐标系���中，已知向量�� = 1, − 1 ，�� = 3,1 ，�� = �,3 (其中� ∈ �)，� 为坐标平面内一点. （1）若�，�，�三点共线，求�的值； （2）若向量��与�� 的夹角为 4  ， 求�的值； （3）若四边形����为矩形，求�点坐标. 17.（15 分） 已知角 ,  满足 4cos 5    ， 2 5sin 5   ，且0    ， 2 2     . (1) 求 sin( 2 )  的值； (2) 求 2   的大小. 4 18. （17 分） 如图，扇形OAB所在圆的半径为 2，它所对的圆心角为 2π 3 ，C为弧 AB的中点，动点 P， Q分别在线段OA，OB上运动， 且总有OP BQ ， 设OA a   ，OB b   . （1）若 2 3 OP OA   ，用a  ，b  表示CP  ，CQ ； （2）求CP CQ   的取值范围. 19.（17 分） 在①�� = �(� + �)，其中�为角�的平分线��的长（��，��交于点�）；②sin2 � − sin� − sin � 2 = 3 sin � sin �；③� = � cos � − 3 3 � sin �这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 并解答： 在Δ���中，内角�，�，�的对边分别为�，�，�，___________. （1）求角�的大小； （2）若� = 1，� = 2，�为Δ���的重心，求��的长； （3）求� = �+� � 的取值范围.