精品解析：新疆维吾尔自治区吐鲁番市2025年中考素养调研第二次模拟考试【数学】(问卷）　

2025年中考素养调研第二次模拟考试 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分构成，答案务必写或涂在答题卡的指定位置上． 2．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、市（县、区）、考点名称、考场号、座位号等信息填写在答题卡的密封区内． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请按答题卷中的要求作答） 1. 温度由上升后是（ ） A. B. C. D. 2. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下面运算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件随机事件 B. “在平面上任意画一个六边形，其内角和为”这一事件是必然事件 C. 在单词（数学）中任意选择一个字母为m的概率为 D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨 5. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 7. 如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰中，，，以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转得到线段，连接、．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A坐标为，对角线、相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列4个结论：①双曲线的解析式为；②点C的坐标是；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 点与点关于原点对称，则的值为______． 11. 为实现我国年前碳达峰、年前碳中和的目标，清洁能源将发挥重要作用．风能是一种清洁能源，我国陆地上风能储量就有兆瓦，数据用科学记数法表示为___________ 12. 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，梯子最短需________m（已知油罐的底面半径是，高是，取3） 13. 已知是关于方程的两个实数根，若，则______． 14. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为______． 15. 如图，E，F是正方形的边上的点，且，P是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. （1）解方程：； （2）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车，其余车恰好坐满：两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车？ 18. 如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种： A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料． 根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）请你补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角的度数； （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学担任生活监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率． 19. 如图，点E是矩形的边上的一点，且． （1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 20. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 21. 某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元． （1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？ （2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？ 22. 如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接． （1）求证： ①是的切线； ②； （2）若，，求． 23. 如图，中，，，点D在上运动（不能经过B、C），过D作，交于E． （1）证明； （2）设，，求y与x的函数关系，并写出其自变量取值范围； （3）若三角形恰为等腰三角形，请直接写出的长，不必说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考素养调研第二次模拟考试 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分构成，答案务必写或涂在答题卡的指定位置上． 2．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、市（县、区）、考点名称、考场号、座位号等信息填写在答题卡的密封区内． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请按答题卷中的要求作答） 1. 温度由上升后是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据用上升的温度减去原来的温度列出式子，求出最后的结果即可． 【详解】解：（）， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加法，掌握加法法则是关键． 2. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，即可． 【详解】∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3. 下面运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式和积的乘方与幂的乘方，运用相关运算法则进行计算即可． 【详解】解：A. ，原选项计算错误，故不符合题意； B. ，原选项计算错误，故不符合题意； C. ，原选项计算错误，故不符合题意； D. ，计算正确，符合题意． 故选：D． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件 B. “在平面上任意画一个六边形，其内角和为”这一事件是必然事件 C. 在单词（数学）中任意选择一个字母为m的概率为 D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，多边形内角和，概率等知识，掌握随机事件，必然事件的概念是解题的关键． 必然事件：在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件：一定不会发生的事件；随机事件：介于必然事件和不可能事件之间，可能发生也可能不发生的事件；由此即可求解． 【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件，正确，不符合题意； B、“在平面上任意画一个六边形，其内角和为”这一事件是必然事件，正确，不符合题意； C、在单词（数学）中任意选择一个字母为m的概率为，正确，不符合题意； D、天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨，故原选项错误，符合题意； 故选：D ． 5. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．连接，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ， 故选：B． 6. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 7. 如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为，则6个小矩形可合成长为、宽为的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为， 则根据题意，可列方程为， 故选：D． 8. 如图，在等腰中，，，以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转得到线段，连接、．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，由，，，可得，，由旋转可得：，，推出是等边三角形，，，进而得到，，推出，可得，设，则，，在中，由勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点， ，，， ，，即， ， 由旋转可得：，， 是等边三角形，，， ，， ， ， ， 设，则，， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列4个结论：①双曲线的解析式为；②点C的坐标是；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，解直角三角形的应用，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键．过点作轴于点，利用菱形的面积公式求出，得到，从而得到，即可判断A选项；利用菱形的性质，可判断B选项；利用锐角三角函数判断C选项；利用勾股定理可判断D选项． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点A的坐标为， ， 四边形是菱形， ，，， ， 在中，， ， ， 点的坐标为，即， 双曲线经过点D， ， 双曲线的解析式为，①结论正确； 四边形是菱形， ，， 点的纵坐标与点相同为，横坐标为， 点C的坐标是，②结论正确； 四边形是菱形， ， ， ，③结论正确； ，， ， ， ， ，④结论错误， 正确的结论有3个 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，求出的值，再利用乘方法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 11. 为实现我国年前碳达峰、年前碳中和的目标，清洁能源将发挥重要作用．风能是一种清洁能源，我国陆地上风能储量就有兆瓦，数据用科学记数法表示为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法是把一个数表示成与的次幂相乘的形式（）的记数法，掌握科学记数法的定义是解题的关键．根据科学记数法是把一个数表示成与的次幂相乘的形式（）的记数法即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，梯子最短需________m（已知油罐的底面半径是，高是，取3） 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算． 【详解】解：如图， ∵油罐的底面半径是， ∴油罐的底面周长为； 又∵高是，即展开图中，， ∴， 故所建梯子最短为， 故答案为：13． 13. 已知是关于的方程的两个实数根，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根及根的判别式，先根据题意可知，求出k的取值范围，再根据一元二次方程的根及根与系数的关系代入等式，求出答案即可． 【详解】解：根据题意可得， 解得． ∵是关于的方程的根， ∴，． ∵， 则， 解得． 故答案为：． 14. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，得出蜡烛火焰的高度与像的高度的比值为，进而求出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，E，F是正方形的边上的点，且，P是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的中与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，在上截取，过点H作交于G，连接，连接交于，可证明是等腰直角三角形，得到；证明，得到，则当H、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，故当有最小值时，点P与点重合，证明，推出；证明，推出，则． 【详解】解：如图所示，在上截取，过点H作交于G，连接，连接交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∴当有最小值时，点P与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先对括号内通分计算，再将除法化为乘法约分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 17. （1）解方程：； （2）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车，其余车恰好坐满：两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车？ 【答案】（1）；（2）共有人出行，辆车． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）依次去括号、移项。合并同类项、系数化1，即可解方程； （2）设共有辆车，根据人数一定列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． （2）解：设共有辆车， 由题意得：， 解得：， 则（人）， 答：共有人出行，辆车． 18. 如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种： A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料． 根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）请你补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角的度数； （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学担任生活监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率． 【答案】 （1）补全条形统计图如下： （2）72°；（3） 【解析】 【分析】（1）由B类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出C类型人数，即可补全条形图； （2）用360°乘以C类别人数所占比例即可得； （3）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一男一女的结果数，根据概率公式求解可得． 【详解】解：（1）∵ 抽 查的总人数为：（人） ∴ 类人数为：（人） （2）“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为： （3）设男生为、，女生为、、， 画树状图得： ∴恰好抽到一男一女的情况共有12 种，分别是 ∴ （恰好抽到一男一女）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19. 如图，点E是矩形的边上的一点，且． （1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 四边形是菱形； 理由：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 20. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：． 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． 21. 某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元． （1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？ （2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？ 【答案】（1）每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元 （2）购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用． （1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，根据商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，根据乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量，列出关于m的一元一次不等式组，解之求出m的取值范围，再设商店共获利w元，利用总利润=每个的利润×销售数量（购进数量），得出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元； 【小问2详解】 解：设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球 个， 根据题意得：， 解得：， 设商店共获利w元，则，即， ， ∴w随m的增大而增大，且， ∴当时，w取得最大值， 答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大． 22. 如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接． （1）求证： ①是的切线； ②； （2）若，，求． 【答案】（1） ①证明：四边形是菱形， ， ，则 又为的半径的外端点， 是的切线． ②证明：连接， ∵ ∴ 为直径， ， 而 ， 又 ． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证； ②连接，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，进而可得，结合，即可得证； （2）连接交于．根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据等面积法求得，由得：，在中，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：连接交于． 菱形，， ，，， 在中，， ， ， ， 在中，， 由得：， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，中，，，点D在上运动（不能经过B、C），过D作，交于E． （1）证明； （2）设，，求y与x的函数关系，并写出其自变量取值范围； （3）若三角形恰为等腰三角形，请直接写出的长，不必说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或． 【解析】 【分析】由题意易得出，再根据，从而得出，进而即可证； （2）由相似三角形的性质可得，再代入数据据即可得出关于x、y的函数关系式； （3）当是等腰三角形时，需要分类讨论：①当，可得，即得出，从而可列出关于x的方程，求得x的值，再代入（2）中的函数关系式求得的值即可；②当时，D与B重合，舍去；③若，在直角三角形中求的长度即可． 【小问1详解】 如图， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴，． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 整理，得：； 【小问3详解】 分类讨论：①若， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴； ②若，则， ∴，即点D与点B重合，不合题意，舍去； ③若，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．根据相似三角形得出的相关线段成比例来求线段的长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $