数学（广东广州专用）-2025年中考终极押题猜想

2025年中考数学终极押题猜想（广东广州专用） 押题猜想一 几何图形与锐角三角函数（选填） 1 押题猜想二 三角形、四边形的面积（选填） 6 押题猜想三 几何中的最值问题（选填） 12 押题猜想四 新定义问题（选填） 19 押题猜想五 函数的多结论问题（选填） 23 押题猜想六 尺规作图（解答） 31 押题猜想七 二次方程与整式、分式的混合运算（解答） 37 押题猜想八 解直角三角形的应用举例（解答） 41 押题猜想九 函数的实际应用（解答） 48 押题猜想十 二次函数的动点问题（解答） 55 押题猜想十一 特殊四边形的综合（解答） 73 押题猜想十二 圆与其他几何的综合（解答） 92 押题猜想一 几何图形与锐角三角函数（选填） 限时：4min 如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 押题解读 该考点是高频考点，难度中等，考察直角三角形、非直角三角形、四边形与圆的性质，为了利用锐角三角形函数，我们需要找到直角三角形或者作辅助线构造直角三角形。 1．如图，点都在正方形网格的格点上，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解：如图：延长交格点，连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的处，则折痕的长为 ．    【答案】2 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于H，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N，    ∵， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，圆心角，是上的一点，，垂足为，则弯路上点到的距离为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， 则， 又∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，，若，则 ；构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，延长使，，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，， ∴； 如图，作，使，延长到，使，连接， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：，． 押题猜想二 三角形、四边形的面积（选填） 限时：4min 如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，且．若求的面积，只需要知道以下哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作于点， 为直角三角形， ， 、分别是、的中点， ， 、分别是、的中点， ， ， ， 为等腰三角形， ，， ， 则的面积， 的面积与线段的长有关， 故选：C． 押题解读 该考点是高频考点，近三年考察在选择填空中考察了两次，对于三角形四边形的面积，我们需要对图形的面积公式、割补法等进行掌握。 1．将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，根据题意可得，，是等腰直角三角形，，点到距离与点到距离相等，则， ∴四边形是菱形， ∴， 设， ∴根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴较大的和较小的面积的比是， 故选：． 2．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．6 D．4 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 则图中阴影部分的面积是， 故选：B． 3．如图，矩形中，，对角线，交于点，是边上的一点，是的中点，连接，，已知的周长为，则： （1） ； （2）的面积 ． 【答案】 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴ ∵是的中点， ∴， ∵的周长为， ∴， 又在中，， 即， 解得：； 故答案为：． （2）∵矩形中，对角线，交于点， ∴是的中点 ∵是的中点， ∴且， ， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质，思考掌握相关性质并灵活运用是解题的关键． 4．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵是的垂直的平分线，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 5．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式.如图，在中，点、分别是、的中点，作于点，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】18 【详解】解：∵， ∴， ∵点D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：18． 押题猜想三 几何中的最值问题（选填） 限时：4min 如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N ∵正方形的边长为3， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形和平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是作出辅助线构造平行四边形． 押题解读 最值问题一直是考试中的热点问题，此题型灵活多变，能与几何、函数以及辅助线等知识点进行结合，贯穿性强。 1．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，若是这个网格中的格点，连接，则所有满足的中，边的长的最大值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】作线段中点，作的垂直平分线，并使，以为圆心，为半径作圆，如图， 因为为垂直平分线且， 所以， ∴， ∴， 所以弦所对的圆的圆周角为， 所以点在圆上，为圆O的弦，通过图像可知， 当点M在位置时，恰好过格点且经过圆心， 由 为定长,得点在如图以为圆心的圆上运动，得的长的最大值直径的长 故选:A. 2．如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最大值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为6， 故选C． 3．如图，菱形中，点O为对角线的中点，点P为平面内一点，且，已知，．连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / / 【详解】解：连接， ∵点O为对角线的中点， ∴经过点O， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点在以点O为圆心，长度为的， ∴当点，点，点O在同一直线上时，有最小值或最大值， 当点在点上方时，有最小值为； 当点在点下方时，有最大值为； 故答案为：；． 4．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在上运动， 由题意知：当B、P、O三点共线时，最短，而， ， ∵， ， ∴的长度最小值为． 故选：B 5．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 押题猜想四 新定义问题（选填） 限时：3min 设，，定义新运算：，若，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．∵， ∴，故不正确； B．∵， ， ∴，故正确； C．∵，， ∴，故不正确； D．，， ∴，故不正确； 故选B． 押题解读 2024年广州中考中出现，此题型新颖，灵活性强，所涉及的知识点广。新定义问题包含新运算题目，新概念题目等，虽然题目中是新定义题型，但是它本质上还是在考查我们对函数的知识点的掌握。 1．设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①根据新定义得，，， ∵， ∴， 即， 故①不成立； ②，， ∵， ∴， 故②不成立； ③，， ∴， 故③成立； ④，， ∵， ∴． 综上，成立的有③． 故选：A． 2．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵，过点作轴于点， 则， ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为， 故选：A． 3．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】解：设正奇数为（为非负整数）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得：． 为非负整数， 、为正整数， 所有的正奇数都可以表示成两个正整数的平方差，即所有的正奇数都是“智慧数”， 故①正确； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且，、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 5．定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”： 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：， 解得， 互为“方程”的两个方程解之和为2， 方程的一个“方程”解为， 方程的一个“方程”为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 押题猜想五 函数的多结论问题（选填） 限时：5min 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则 其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【详解】解：由图象可知：，，， ，故正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ，故错误； ，是抛物线上的两点， 由抛物线的对称性可知：， 当时，， 故正确； 由题意可知：，到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到轴的距离不小于时， 在轴下方的抛物线上存在点，使得， 即， ， ， ， ， 解得：，故④正确； ∵对称轴为，抛物线过点 ∴抛物线与轴的另外一个交点坐标为， 若方程， 即方程的两根为，， 则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ， ，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与其系数之间的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 押题解读 本考点为高频考点，反比例函数、二次函数是初中的重要知识点，其中反比例函数的面积、二次函数的系数与图象的关系是中考中重点考查的内容，所以该题型在2025年的广州中考中将很大概率会出现。 1．小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面4条信息： ①；②；③；④． 其中正确信息的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】①如图，∵抛物线开口方向向下， ∴． ∵对称轴， ∴． ∵抛物线与轴交点在轴正半轴， ∴， ∴； 故①正确，符合题意． ②∵对称轴， ∴ 故②正确； ③如图，当时，， ∴，即． ∴．故③正确，符合题意． ④如图，当时，，即， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴． ∵ ∴． ∴，即．故④正确，符合题意． 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 2．如图，点A在双曲线（，）上，点在直线：（，）上，A与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①②当时，③④则所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③/③② 【详解】解：如图：①中，当时，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵A与关于轴对称， ∴，， ∴， ∴；故①不正确； ②当时，点A的坐标为：， ∴，故②正确； ③∵，与关于轴对称， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴，故③正确； ④菱形的面积，故④不正确； 所以本题结论正确的有：②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、坐标与图形性质、勾股定理，关于x轴对称、菱形的性质等知识点，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键． 3．如图，抛物线与交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小． 下列说法正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 【答案】C 【详解】解：， ， ， 无论取何值，总是负数，故①正确； 抛物线与交于点， 当时，，即，解得：， ， 可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故②正确； ， 随着的增大，的值减小；故③错误． 故选：C． 4．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 结论不正确． 抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点， ， 结论正确． 抛物线与轴的一个交点A在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 结论正确． 的最大值是， 方程没有实数根，则， 结论正确． 抛物线的对称轴， ， ， ， ， 结论正确． 综上，可得正确结论的序号是：． 故答案为：． 5．借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图像上，则点也必定在的图像上．其中正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【详解】解：∵， x ．．． 0 1 3 ．．． y ．．． 5 4 5 ．．． ．．． ．．． 随着描点的数量不断增加，其草图如下， 令， 当时，即时，， 当且仅当，即，，故①正确，符合题意； 同理，结合图象得，当时，，即在时，y存在最大值，此时结合草图分析得：当时，随的增大而增大，故②正确，符合题意； 由草图可知，当时，或，故③错误，不符合题意； 由描点可知，其图形关于对称，即当时，，， 则有，． 故④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 押题猜想六 尺规作图（解答） 限时：3min 如图，在矩形中，是一条对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交和于点，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：记交点为点 ∵是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 押题解读 在近三年的广州中考中，尺规作图题目每年都出现在解答题中出现，搭配证明问题或者求长度、角度题目，所以该题型在2025年的广州中考中将很大概率会出现。 1．如图，中，． (1)在上找一点M，使得，并说明理由；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，若，，求的长．（保留根号，无需化简） 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）解：如图，点M即为所作； 由作图知，是线段的垂直平分线， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处，射线与腰交于点E． (1)尺规作图：作出射线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：作的平分线，交于点E，射线即为所求； （2）过点C作，如图所示： ∵等腰中，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 4．如题图，在中，是钝角． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂线平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若．求证：是的切线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：作出垂直平分线，作出，如图即为所求； （2）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 5．如图，在平行四边形中，是对角线． (1)在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接、，若，，判断四边形的形状，并求其面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形， 【详解】（1）解：如图所示，此时点为所求． （2）如图，四边形为菱形． 沿翻折至 ，， 平行四边形      又    四边形为菱形    又， ∴ 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，证明四边形为菱形是解答本题的关键． 押题猜想七 二次方程与整式、分式的混合运算（解答） 限时：2min 关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ， 解得：； （2）解：∵， ∴ ． 押题解读 本考点主要考查的是根的判别式，求参数问题是初中数学中的主要问题之一，其中一元二次方程中根与系数的关系，根的判别式求参数是考试中常见题型之前，近三年中有两年考察了根据二次方程根的情况求解参数，然后结合整式或者分式的混合运算进行化简，难度并不大，所以在2025的成都中考试卷中可能再次出现 1．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：解：∵关于的方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得： （2）解：∵ ∴ 2．先化简再求值：，其中，是一元二次方程的两个根． 【答案】， 【详解】解：原式． ， ∵是一元二次方程的两个根． ∴，． ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握分式的化简求值以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．关于的一元二次方程． (1)试判断该方程根的情况； (2)若a，b是该方程的两个实数根，化简并求下面式子的值： 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根 (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵a，b是该方程的两个实数根， ∴， 原式 ； ∵， ∴上式． 4．已知． (1)化简； (2)若，是方程的两个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，是方程的两个根， ∴ ∴ 5．先化简，再求值：其中是方程的两个根． 【答案】；6 【详解】解：原式 ， 是方程的两个根，，，∴原式． 押题猜想八 解直角三角形的应用举例（解答） 限时：4min 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是其平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高．上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（结果精确到，参考数据：，，，） (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高． 【答案】(1)下折臂的长约为； (2)路灯的高约为． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ，， ， ． ， 在中，， 答：下折臂的长约为； （2）解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ，， ， 由题意可得四边形是矩形， ，， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 押题解读 本考点为高频考点，近三年中考中出现了两次，而在2024年的广州中考中，这个题型结合了2024年的嫦娥六号，所以接下来，这类题型将更侧重与情境问题、跨学科问题（如物理、化学等）进行结合，所以解直角三角形类的题型仍然会继续出现在今年的中考数学试卷中。 1．如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且，之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，求这时轮船到港口的距离（结果取整数，参考数据：，，，，，）． 【答案】这时轮船到港口的距离为． 【详解】解：作交的延长线于点， 在中，，， 则，， 解得，， 在中，， 则， 解得， ∴， 答：这时轮船到港口的距离为． 2．随着人们对于提高身体素质的重视，喜欢步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为：斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为． (1)求的长； (2)求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：斜坡的坡度为， ， ， 斜坡米， （米）； （2）斜坡的坡度为，即， 设，， 斜坡米，， ， 解得：， 即米， 由（1）得米， 米． 3．水碓（duì）是中国古代利用水利驱动的舂捣工具，主要用于谷物脱壳（如稻谷去壳成米）、粉碎药材或加工其他物料．水碓主要由水轮、碓体、碓臼组成，当水轮转动时利用杠杆原理使得凸轮或齿轮带动碓杆上下运动，图1为为水碓的结构简图，图2为碓体平面示意图．已知是垂直水平地面的支柱，碓杆可绕支点在竖直平面内转动，且垂直碓头于点．若米，米，米，米，当碓杆的一端点接触到水平地面时，碓头顶点抬升到最大高度．    (1)求碓头顶点抬升到最高时，的度数； (2)当碓头顶点抬升到最高时，求碓头点到水平地面的距离（精确到米，参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，，， ， 即的度数为； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 由图可知，四边形为矩形， ∴， 在中，, ,, ， 在中，， ， ， （米）， 所以，点到水平地面的距离为米． 4．如图，港口B位于港口A的北偏西方向，港口C位于港口A的北偏东方向，港口C位于港口B的北偏东方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为，求港口C到航线的距离．（参考数据：．） 【答案】 【详解】解：过点作航线于点，过点作，过点作于点，则四边形为矩形， ∴， 由题意，得：，设，则： 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； 即：港口到航线的距离为． 5．一座辽阳城，半部东北史．在辽阳城中，巍峨耸立着一座千年辽塔——辽阳白塔．辽阳白塔因其塔檐间立壁和塔腰八面涂有白垩而得名白塔．某校九年级“综合与实践”小组开展“辽阳白塔高度的测量”实践活动，如图2，在距离白塔底部中心92米的点A 处有一坡角为的斜坡，斜坡长为10米，在斜坡上点B 处用测角仪测得白塔最高点M的仰角为，点A，B，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． (1)求点 B 到水平地面 的距离； (2)求辽阳白塔的高度．（结果精确到）（参考数据：， 【答案】(1)点到水平地面的距离为5米 (2)辽阳白塔的高度约为70.4米 【详解】（1）解：过点作于点， 根据题意，米，， 在中，， ∴（米）， 答：点到水平地面的距离为5米． （2）解：过点作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，，， ∴（米）， ∴（米） 答：辽阳白塔的高度约为70.4米． 押题猜想九 函数的实际应用（解答） 限时：5min 在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，其中，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 24 25 23.5 20 14.5 7 0 25 20 15 10 5 1 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，且与之间满足某种特殊的变化规律： ①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； ②直接写出与之间的函数表达式是_____； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为_____克（结果保留小数点后一位）； ②随着实验的进行，当时，实验时间约为_____分钟（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)①见解析；② (2)①4.5；②22.5 【详解】（1）解：①描点并连线如图所示： ②∵与x之间的函数图象是一条直线， ∴与x之间是一次函数的关系， 设与x之间的函数表达式是（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴与x之间的函数表达式是； （2）解：①当实验时间为7.5分钟时，结合（1）函数图象，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为克， 故答案为：5.0； ②随着实验的进行，当时，结合（1）函数图象，实验时间约为22.5分钟． 故答案为：22.5． 押题解读 该考点为广州中考的必考考点，近三年考察了一次函数及反比例函数，一般会通过图像或者表格的信息对函数的解析式进行求解，所以该题型应该会继续出现在2025年的中考数学试卷中，继续考察一次函数、反比例函数。 1．某电影院推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数解析式； (2)求观影多少次时，两者花费一样？费用是多少？ 【答案】(1)； (2)观影8次时，两者花费一样，费用为元 【详解】（1）解：设 根据题意得，解得， ∴； 设， 根据题意得：， 解得， ∴； （2）解：联立， 解得：， 即观影8次时，两者花费一样，费用为元． 2．为实行乡村振兴，返乡创业的小红利用网络平台，直播销售一批成本为每斤30元的农产品．经调查发现，该农产品每天的销售量（斤）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)销售期间，网络平台要求每斤农产品获利不得高于，该产品每天的销售利润能为1800元吗？若能，求出销售单价；否则，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得： ， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：不能，理由： 根据题意，得 化简得 解得 当时，，不符合题意 ∴不能使每天的销售利润为1800元． 3．科学家通过实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度x（单位：）与声音在空气中传播的速度y（单位：米秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．下表为实验时记录的一些数据． 温度 … 0 5 10 15 20 … 声音在空气中传播的速度y/（米/秒） … 331 334 337 340 343 … (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中数据所对应的点． (2)根据描点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是______（填“一次函数”或“二次函数”），求出该函数的解析式． (3)某地春季的室外温度是，小明在看到闪电2秒后听到雷声，求小明与发生打雷的地方的距离．（光的传播时间忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2) (3)小明与燃放烟花地的距离为（米）． 【详解】（1）解：根据题意描点如图： （2）解：根据（1）的图象得这个函数可能是一次函数， 设这个函数的解析式为， 将点，代入，得： ，解得：， ∴这个函数的解析式为． （3）解：在中， 当时，， ∵小明同学看到烟花2秒后才听到声响， ∴小明与燃放烟花地的距离为（米）． 4．人类免疫缺陷病毒（）是造成人类免疫系统缺陷的一种逆转录病毒．这一病毒会攻击并逐渐破坏人类的免疫系统，致使宿主在被感染时得不到保护．攻陷人体免疫系统的原理是吸附于靶细胞（主要是T细胞）表面，通过受体进入细胞，破坏靶细胞的免疫防御功能．下图是某机体被侵入后，宿主体内T细胞相对浓度变化量随时间的变化情况．已知将侵入机体的时刻设为0时刻，在内T细胞的相对浓度变化量为二次函数，内T细胞的相对浓度变化量为反比例函数，且时，T细胞的相对浓度为． (1)写出C关于t的函数解析式； (2)若T细胞相对浓度变化量在以上时从生物学角度认为该机体患病，则求该机体患病的时间段． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，设， 抛物线经过，， 代入得：， 解得：， ， 当时， 反比例函数经过，设， 代入得：， ； （2）解：当时，函数随着的增大而增大， 此时令，解得， 当时，随着的增大而减小， 令，则， 解得， 该机体患病的时间段为． 5．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？ 如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁BC段滑动（点不与重合）．已知，砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量）． (1)设右侧托盘中放置物体的质量为的长为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点由点向点滑动，向空瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量． 【答案】(1) (2)这个空矿泉水瓶的质量为 【详解】（1）解：∵左盘砝码重量右盘物体重量，右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，砝码的质量是，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点P可以在横梁段滑动， ∴． 即． 答：y关于x的函数表达式为：； （2）解：设空矿泉水瓶的质量为． 根据题意，得， 解得． 这个空矿泉水瓶的质量为． 押题猜想十 二次函数的动点问题（解答） 限时：10min 已知二次函数（m为常数）． (1)当时．求函数顶点坐标；并结合图象，直接写出当时，y的取值范围是_________． (2)若点和都在该二次函数的图象上，且不论n取何值总有成立，求m的值； (3)①两位同学尝试代入不同的m值后，提出了两个观点．请你选择一个，继续完善它． 甲说：“不论m取何值，函数图象必过一个定点” 乙说：“不论m取何值，函数图象的顶点都在一条固定的抛物线上运动” 我选择_________（填“甲”或“乙”）的观点，他的具体答案是_________（填写定点坐标或抛物线表达式）； ②已知点，若二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出m的取值范围_________． 【答案】(1)， (2) (3)①甲，；或乙；②或 【详解】（1）解：当时，， ∴此时函数顶点坐标为； 当时，； 当时，； 函数图象如下： ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． （2）解：∵点和都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵不论n取何值总有成立， ∴不论n取何值总有成立， ∴关于的二次函数与轴只有一个交点或没有交点， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得； （3）解：①选“甲”的观点， ∵， ∴当时，， ∴不论m取何值，函数的图象必过一个定点； 选“乙”的观点， ∵， ∴函数顶点坐标为， 令， 由得， 代入得， ∴不论m取何值，函数图象的顶点都在一条固定的抛物线上运动，固定抛物线解析式为； 故答案为：甲，；或乙； 当时，， ∴不论m取何值，函数的图象必过一个定点； ②设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 当直线与抛物线有且只有一个交点时， 即方程有两等根， 整理得， ∴，两等根， 解得， ∵二次函数图象与线段只有一个交点， ∴， 解得，只有符合条件； 当直线与抛物线有两个交点时， 即方程有两不等根， 整理得， ∴， 或， ∵不论m取何值，函数的图象必过一个定点， ∴当时，，即定点在直线上方， ∵二次函数图象与线段只有一个交点， ∴直线与抛物线的交点位于直线下方，即， 解得， 此时， 综上所述，二次函数图象与线段只有一个交点，m的取值范围为或， 故答案为：或． 押题解读 该考点都会是以压轴题的形式出现，难度偏大，要求考生熟练掌握与二次函数有关的基础知识、二次函数的图象和性质，而且要抓住运动过程中的不变量进行求解，将运动过程中某一时刻动点的运动距离转化为几何图形的条件或将满足几何图形条件时动点需运动的距离作为条件进行解答. 1．我们约定：对于抛物线，称抛物线是抛物线的“幸福抛物线”．根据该约定，解答下列问题： (1)若抛物线的“幸福抛物线”是，则______；______；______； (2)已知抛物线上的两点，，若时，，且的顶点在其“幸福抛物线”的图象上，试探究抛物线的图象是否经过某定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在同一平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点M，其“幸福抛物线”与y轴交于点N（M在N的上方），两抛物线始终有一个交点P，在一条与某坐标轴平行的定直线上运动．若是以为底边的等腰三角形，且时，试求抛物线的“幸福抛物线”截x轴得到的线段长度l的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)且 【详解】（1）解：由抛物线的“幸福抛物线”是，可得：，，， 解得：，，． （2）解：∵，在抛物线上，，， ∴的对称轴为直线，即，， ，其顶点为；代入得， ，令，得 所过定点为； （3）解：联立， 得， 发现是方程的一个根， 故与的交点在直线上运动， ，，， ，得， 对于， ， ， ，即，， 又， ，且， 且， 即， （且）， 且． 【点睛】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，等腰三角形的定义，求根公式等知识点，解题的关键是理解题意，掌握以上知识点． 2．已知拋物线． (1)若拋物线的对称轴是直线，拋物线与x轴的交点坐标为． ①求抛物线的表达式； ②若点A的坐标为，动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，试判断的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值； (2)若，拋物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 【答案】(1)①；②存在，最大值为 (2) 【详解】（1）解：①由题意，得，解得 抛物线的表达式为． ②存在，的面积的最大值为． 如图1，作直线，过点P作轴交于点Q． 设． ，， 直线的表达式为， ， ， ， 当时，的面积有最大值． （2）解：将点代入，得． 把代入，解得，， 抛物线的表达式为， ． 如图2，过点N作于点F，过点N作交的延长线于点G， 则， 设与x轴的交点为K，由旋转可得． ， ， ． ， ， ， 平分． ， ， ． ， 直线的表达式为， 当时，解得，， ． ，， ， 解得， 即n的值为． 【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，二次函数与一次函数图象的交点等，综合运用相关知识是解题的关键． 3．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，与x轴相交于和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． (1)若． ①求点P和点B的坐标； ②点P为抛物线第四象限上一动点，过点D作轴于点F，交于点E，记，的面积分别为，，求最大值时点D的横坐标； (2)点Q为直线上一动点，点M在x轴下方一点，满足，，连接，，当的最小值为时，求点M和Q的坐标． 【答案】(1)①；② (2)， 【详解】（1）解：①∵，， ， 则抛物线的解析式为， 把代入上式得， ， 则点P的坐标为． 令，解得，， 点B的坐标为． ②， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， 直线的解析式为 设点D的坐标为，则点E为，F为， 则，， ， ， ，则， ∴当时，取最大值， 故当取最大值时，点D的横坐标为． （2）作轴于点H，轴于点N，取点，连接． ，， ， ，， ； ，， ． 点M在直线上运动， ，，， ， ， 则的最小值即是的最小值． 作点G关于直线的对称点． 当P，M、三点共线时，的值最小． 即 ， 顶点P为， 则，解得，（舍）， 则． 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线解析式为，令，则， ， ． 综上：， 4．二次函数的图象交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点． (1)若点坐标为． ①求该二次函数的解析式及，的坐标； ②若点为直线上方二次函数图象上一个动点，求的最大值； (2)当时，已知点，，且二次函数图象与线段只有一个公共点，请求出的取值范围． 【答案】(1)①，，；②最大值为8 (2) 【详解】（1）解：①点坐标为，即， ． 该二次函数的解析式为， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴交点为， ②过点作轴的垂线，交于点，交轴于点， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点，则， ， ∴， ， ∵， 当时，的值最大，最大值为8； （2）解：当时，抛物线经过， 点在抛物线内部， 当点在抛物线上或外部时，抛物线与线段只有一个公共点， 将代入得， ， 解得， ． 5．已知抛物线经过点， (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上找一点，使是以为直角边的三角形，求点的坐标； (3)交轴于点，点是抛物线上一动点，过点作于点，过点作的平行线，交轴于点． ①点在下方的抛物线上时，的值记为，求的最大值及此时点的坐标； ②抛物线与四边形交点的纵坐标的最大值记为，最小值记为，当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①的最大值为,；②或 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ 解得： ∴抛物线的表达式为 （2）解：如图所示，过点分别作轴的垂线交于点， 作，，则 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∵在抛物线上， ∴ 解得：或（舍去） ∴， ∴； 当时，同理可得 设，则 ∵ ∴， ∵在抛物线上， ∴ 解得：或（舍去） ∴， ∴ 综上所述，或 （3）①如图所示，点在下方的抛物线上时，过点作交于点，过点作轴，过点作于点，过点作交于点， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴当取得最大值时，取得最大值 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 设，则 ∴ 当时，的最大值为,此时 ∴的最大值为, ②解：依题意，，则点只能在的下方，如图所示，设与抛物线的另一个交点为 由①可得直线的解析式为 ∵ 设的解析式为， 联立 消去，得 设的横坐标为，则 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得： ∴设的解析式为 联立 解得：或 ∵可以互换 ∴或 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，解直角三角形，线段最值问题，平行四边形的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 押题猜想十一 特殊四边形的综合（解答） 限时：13min 在矩形中，，点E为直线上一动点，连接，将沿所在直线折叠，点A的对应点为点F，连接并延长，交于点G． (1)如图（1），填空：________（填“”“”或“”），并说明理由． (2)如图（2），若的延长线经过点D，且点F恰好是的中点，求的值． (3)如图（3），，当点E在直线上运动，若为等腰三角形时，请直接写出的长度． 【答案】(1)；见解析 (2) (3)6，或 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵折叠， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴； （3）∵矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动； ∵为等腰三角形时，分3种情况： ①； ②当，点在矩形内部时，此时， ∴点在的中垂线上， 作，则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在中，； 当，点在矩形外部时，同理：， ∴， ∴； ③当时，则点在的中垂线上，作的垂直平分线，则与的交点即为点，四边形为矩形，，如图， 当点在矩形内部时，则：， ∴， ∴； 当在矩形外部时，同理，， ∴， ∴； 综上：的长为：6，或． 押题解读 该考点都会是以压轴题的形式出现，难度偏大，要求考生熟练掌握与平行四边形、特殊平行四边形的性质和判定、全等三角形、相似三角形等知识。解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算。 1．实践操作  矩形纸片中，，，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为（点M，N是折痕与矩形的边的交点），再将纸片展平． 初步思考  （1）如图1，当点N在上，点M和点P在上，与交于点O．求证：四边形为菱形； 继续探究  （2）如图2，在（1）的条件下，当点P与点C重合时，求的长； 拓展延伸  （3）如图3，当点N和点B重合，点M在上运动时（点M不与点A重合），作的平分线，与的延长线交于点Q．求出点Q到的距离，并直接写出在点M运动过程中，点Q到直线的最大距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：当点在上，点N在上时， 由折叠知：是的中垂线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴.四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：设菱形的边长为，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①如图，过点Q作，交的延长线于点G，延长交的延长线于点H， ∵四边形为矩形，， ∴四边形均为矩形， ∴6， 由折叠知， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点Q到的距离等于，即点Q在上运动； ②如图：在延长线上截取，连接，则 ∵， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，Q在上运动， ∴当点重合时，最大，如图： 设，则， ∴， ∵四边形均为矩形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q到直线的最大距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，难度较大，解题的关键是熟练掌握各知识点，正确添加辅助线． 2．如图1，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连结、，线段和相交于点．    (1)判断，的位置关系：______，，的数量关系：______； (2)若，，求的长． (3)如图2，正方形绕点顺时针旋转（），连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)与的面积之差不变，其值为0． 【详解】（1）解：，； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设交于点，    ∵， ∴， ∴； （2）：如图，连接与交于点，    ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由（1）已证：， ∴； （3）解：如图，过点作于点，过点作的垂线，交延长线于点，    ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 所以与的面积之差不变，其值为0． 3．（1）如图，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接，……请你顺着小明的思路完成解答； 【深入探究】 （2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为___________； 【应用提升】 （3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形． ①求证：四边形为菱形； ②如图5，连接，过点E作的垂线，垂足为M，若，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）①证明见解答；②． 【详解】（1）解：如图 2 ，延长到，使，连接， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图3，∵， ， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案为：； （3）①证明：如图4，连接， ∵四边形是正方形， ， ∵是的中点， ， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴为菱形； ②解：如图5，连接并延长交于，作直线，交于，交于， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵是的中点， ∴（2）可得：， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：（舍），， ， ， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．综合与实践 课本再现 如图1，的对角线相交于点是等边三角形，且． （1）求的面积． 拓展延伸 （2）如图2，M是边上一点，连接，过点O作，与直线交于点N，连接． ①若，求的长； ②求面积的最小值． （3）在（2）的条件下，若，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）若的长为或 【详解】解：（1）四边形是平行四边形，是等边三角形， ， ， 是矩形． ， ， 在中，， ； （2）①如图1，过点O分别作与的垂线，垂足分别为． 由（1）可知是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ， 又， ， ， 又， ， ，即， ； ②由①可知，， ，即， ， ， 当的值最小时，即时，的面积最小， 如图2，此时， 面积的最小值为； （3）由（2）可知， ，即， ， ． 如图3，当点N在线段上时，， ． ， ． 如图4，当点N在的延长线上时，， ． ， ，即， ， ． 综上所述，若的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质与判定、等边三角形的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质与判定、等边三角形的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 5．如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为1． 【详解】（1）证明：∵等腰中，，O为边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）证明：在上取点，使，作交的延长线于点，作交的延长线于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由三角形的外角性质知， 又， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴， 当即时，此时， ∴， ∴， ∴； 当即时，此时， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； ∵恒小于， ∴不存在的情况， 综上，的长为1． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 押题猜想十二 圆与其他几何的综合（解答） 限时：15min 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦．给出如下定义：若存在点C，使得直线与有且仅有一个公共点．并且，则称点C为弦的“α伴随点”． (1)已知点A的坐标为，B的坐标为，在点，，中，点______是弦的“伴随点”； (2)若弦的长度为，且存在唯一的点D为弦的“α伴随点”，直接写出α的取值范围； (3)已知直线与x轴交于点N，与y轴交于点M，若上存在弦，使得线段上总存在弦的“伴随点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵点，， ∴由坐标知，点在过点A且平行于x轴的直线上，且，， ∵点A的坐标为，B的坐标为， ∴， 在中，，则； 同理得，， ∵，且是圆的切线， ∴是弦的“伴随点”，而点则不是弦的“伴随点”； 故答案为：； （2）解：如图，连接，过点O作于点F，过点B作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵点D为弦的“α伴随点”， ∴，， ∴， ∴； 在中，， ∵， ∴， ∴ 即的取值范围为； （3）解：如图，当分别在y轴正半轴，x轴负正半轴上时，连接， ∵，， ∴，； ∵点C为弦的“伴随点”， ∴， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得， 在中，由勾股定理得：， 则伴随点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆； 设此圆分别交x轴，y轴正半轴于G，D，连接，直线与直线平行且与此圆相切，则，， 当与重合时，把点D坐标代入，即； ∵直线，且与圆相切，， ∴点O到切线的距离为，， ∴， ∴，即； 当线段与直线重合时，把点H的坐标代入，即； 当线段位于直线与直线间时满足题意，此时； 由对称性，当分别在y轴负半轴，x轴负半轴上时m的取值范围为； 综上，m的取值范围为：或． 【点睛】本题是圆的综合，考查了直线与圆相切，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数，三角函数等知识，理解新概念，构造适当辅助线是解题的关键． 押题解读 2024年的广州中考中的压轴题24题出现了圆与菱形的综合问题，故2025年中考也大可能会在压轴题考察圆，需对圆的垂径定理、切线的证明等知识点进行掌握。 1．如图，的外接圆的直径交于点，过点作于点，延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)若平分． ①已知，，求的长； ②若点为的中点，且，，三点在同一直线上，试猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，见解析 【详解】（1）证明：如图1． ∵是的直径，， ∴， ∵对的圆周角是和， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图2，过点B作于点M，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，，由勾股定理，得：． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． ②与的数量关系是，理由如下： 如图． ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 过点F作于点M， ∵平分， ∴， 在中，， 由①，得：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设，则，， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴分别相交于、两点（在的左侧），与轴相交于点，． (1)请求出的值； (2)已知点是函数图像上一动点（不与、重合），过点的直线平行于轴，与的外接圆交于另一点，连接，．请问是否存在点，使得最小？若存在，请求出点坐标并求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）解：把代入函数表达式得： 解得：，， ，． ， ， ∵ ． 把，代入函数表达式得， 解得； （2）解：如图，设， ∵由题意得的外接圆心在的垂直平分线上， 而， ∴抛物线对称轴为直线， ∴设的外接圆心为， 过点作于点，则， ∴ ， 连接， ， ．① ， ．即．② 把②式代入①式，得：． 整理得：， ， ， ，即． 坐标为， 在过且平行于轴的直线上运动． 过点作直线的对称点，则， ∴， ∴当点三点共线时，最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合问题，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，外接圆，垂径定理，两点之间距离公式，动点的轨迹问题，难度大，解题的关键在于确定点轨迹． 3．如图，在中，为的外接圆，点为优弧的中点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线 (2)若求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接， 为的外接圆，， 为的直径，， 点为优弧的中点， ， 为的垂直平分线， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为， 由（1）知为的中位线， ． 在中，， 在中，，， ， 解得，或（舍去）， 故的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，中位线性质，勾股定理，平行线的性质，垂直平分线的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．如图，是的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 【答案】(1)见解析 (2)①，；② 【详解】（1）证明：连接交于H， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又，， ∴，， 由①知， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 连接， 在中， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，正确找出相似三角形的解题的关键． 5．（1）［特殊发现］如图1，在正方形中，，分别是边上的点，连接当时，求的值． （2）［类比探究］如图2，在矩形中，，，，分别是边上的点，连接，当时，求的值． （3）［拓展应用］如图3，在四边形中，，，，，分别是边上的点，连接相交于点，连接，当时，求线段的最小值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【详解】解：（1） ， 四边形为正方形， ，， ， 即， ， ， ； （2）如图，过点作，交于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 同（1）中原理可得， ， ， ； （3）如图，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，过点作交于点，设为的中点， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，，则， 根据， 可得， 解得， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，则， 四点共圆，在以为圆心，长度为半径的圆上，如图， ， 当点三点共线时，最短， 如图，连接，过点作于点， 则， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离,正方形的性质、矩形的性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 107 / 107 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学终极押题猜想（广东广州专用） 押题猜想一 几何图形与锐角三角函数（选填） 1 押题猜想二 三角形、四边形的面积（选填） 3 押题猜想三 几何中的最值问题（选填） 4 押题猜想四 新定义问题（选填） 6 押题猜想五 函数的多结论问题（选填） 7 押题猜想六 尺规作图（解答） 10 押题猜想七 二次方程与整式、分式的混合运算（解答） 12 押题猜想八 解直角三角形的应用举例（解答） 14 押题猜想九 函数的实际应用（解答） 17 押题猜想十 二次函数的动点问题（解答） 21 押题猜想十一 特殊四边形的综合（解答） 24 押题猜想十二 圆与其他几何的综合（解答） 27 押题猜想一 几何图形与锐角三角函数（选填） 限时：4min 如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 押题解读 该考点是高频考点，难度中等，考察直角三角形、非直角三角形、四边形与圆的性质，为了利用锐角三角形函数，我们需要找到直角三角形或者作辅助线构造直角三角形。 1．如图，点都在正方形网格的格点上，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 2．如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．5 3．如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的处，则折痕的长为 ．    4．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，圆心角，是上的一点，，垂足为，则弯路上点到的距离为 ． 5．如图，在中，，若，则 ；构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，延长使，，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为 ． 押题猜想二 三角形、四边形的面积（选填） 限时：4min 如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，且．若求的面积，只需要知道以下哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 押题解读 该考点是高频考点，近三年考察在选择填空中考察了两次，对于三角形四边形的面积，我们需要对图形的面积公式、割补法等进行掌握。 1．将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．6 D．4 3．如图，矩形中，，对角线，交于点，是边上的一点，是的中点，连接，，已知的周长为，则： （1） ； （2）的面积 ． 4．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ． 5．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式.如图，在中，点、分别是、的中点，作于点，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形．若，，则四边形的面积为 ． 押题猜想三 几何中的最值问题（选填） 限时：4min 如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 押题解读 最值问题一直是考试中的热点问题，此题型灵活多变，能与几何、函数以及辅助线等知识点进行结合，贯穿性强。 1．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，若是这个网格中的格点，连接，则所有满足的中，边的长的最大值是（    ） A． B．6 C． D． 2．如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，菱形中，点O为对角线的中点，点P为平面内一点，且，已知，．连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 4．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 5．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 押题猜想四 新定义问题（选填） 限时：3min 设，，定义新运算：，若，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 押题解读 2024年广州中考中出现，此题型新颖，灵活性强，所涉及的知识点广。新定义问题包含新运算题目，新概念题目等，虽然题目中是新定义题型，但是它本质上还是在考查我们对函数的知识点的掌握。 1．设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 4．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 5．定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”： 押题猜想五 函数的多结论问题（选填） 限时：5min 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则 其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤ 押题解读 本考点为高频考点，反比例函数、二次函数是初中的重要知识点，其中反比例函数的面积、二次函数的系数与图象的关系是中考中重点考查的内容，所以该题型在2025年的广州中考中将很大概率会出现。 1．小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面4条信息： ①；②；③；④． 其中正确信息的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点A在双曲线（，）上，点在直线：（，）上，A与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①②当时，③④则所有正确结论的序号是 ． 3．如图，抛物线与交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小． 下列说法正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 4．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 5．借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图像上，则点也必定在的图像上．其中正确结论的序号有 ． 押题猜想六 尺规作图（解答） 限时：3min 如图，在矩形中，是一条对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交和于点，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：． 押题解读 在近三年的广州中考中，尺规作图题目每年都出现在解答题中出现，搭配证明问题或者求长度、角度题目，所以该题型在2025年的广州中考中将很大概率会出现。 1．如图，中，． (1)在上找一点M，使得，并说明理由；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，若，，求的长．（保留根号，无需化简） 2．如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处，射线与腰交于点E． (1)尺规作图：作出射线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长． 3．如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 4．如题图，在中，是钝角． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂线平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若．求证：是的切线； 5．如图，在平行四边形中，是对角线． (1)在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接、，若，，判断四边形的形状，并求其面积． 押题猜想七 二次方程与整式、分式的混合运算（解答） 限时：2min 关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 押题解读 本考点主要考查的是根的判别式，求参数问题是初中数学中的主要问题之一，其中一元二次方程中根与系数的关系，根的判别式求参数是考试中常见题型之前，近三年中有两年考察了根据二次方程根的情况求解参数，然后结合整式或者分式的混合运算进行化简，难度并不大，所以在2025的成都中考试卷中可能再次出现 1．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 2．先化简再求值：，其中，是一元二次方程的两个根． 3．关于的一元二次方程． (1)试判断该方程根的情况； (2)若a，b是该方程的两个实数根，化简并求下面式子的值： 4．已知． (1)化简； (2)若，是方程的两个根，求的值． 5．先化简，再求值：其中是方程的两个根． 押题猜想八 解直角三角形的应用举例（解答） 限时：4min 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是其平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高．上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（结果精确到，参考数据：，，，） (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高． 押题解读 本考点为高频考点，近三年中考中出现了两次，而在2024年的广州中考中，这个题型结合了2024年的嫦娥六号，所以接下来，这类题型将更侧重与情境问题、跨学科问题（如物理、化学等）进行结合，所以解直角三角形类的题型仍然会继续出现在今年的中考数学试卷中。 1．如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且，之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，求这时轮船到港口的距离（结果取整数，参考数据：，，，，，）． 2．随着人们对于提高身体素质的重视，喜欢步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为：斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为． (1)求的长； (2)求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 3．水碓（duì）是中国古代利用水利驱动的舂捣工具，主要用于谷物脱壳（如稻谷去壳成米）、粉碎药材或加工其他物料．水碓主要由水轮、碓体、碓臼组成，当水轮转动时利用杠杆原理使得凸轮或齿轮带动碓杆上下运动，图1为为水碓的结构简图，图2为碓体平面示意图．已知是垂直水平地面的支柱，碓杆可绕支点在竖直平面内转动，且垂直碓头于点．若米，米，米，米，当碓杆的一端点接触到水平地面时，碓头顶点抬升到最大高度．    (1)求碓头顶点抬升到最高时，的度数； (2)当碓头顶点抬升到最高时，求碓头点到水平地面的距离（精确到米，参考数据：）． 4．如图，港口B位于港口A的北偏西方向，港口C位于港口A的北偏东方向，港口C位于港口B的北偏东方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为，求港口C到航线的距离．（参考数据：．） 5．一座辽阳城，半部东北史．在辽阳城中，巍峨耸立着一座千年辽塔——辽阳白塔．辽阳白塔因其塔檐间立壁和塔腰八面涂有白垩而得名白塔．某校九年级“综合与实践”小组开展“辽阳白塔高度的测量”实践活动，如图2，在距离白塔底部中心92米的点A 处有一坡角为的斜坡，斜坡长为10米，在斜坡上点B 处用测角仪测得白塔最高点M的仰角为，点A，B，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． (1)求点 B 到水平地面 的距离； (2)求辽阳白塔的高度．（结果精确到）（参考数据：， 押题猜想九 函数的实际应用（解答） 限时：5min 在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，其中，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 24 25 23.5 20 14.5 7 0 25 20 15 10 5 1 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，且与之间满足某种特殊的变化规律： ①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； ②直接写出与之间的函数表达式是_____； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为_____克（结果保留小数点后一位）； ②随着实验的进行，当时，实验时间约为_____分钟（结果保留小数点后一位）． 押题解读 该考点为广州中考的必考考点，近三年考察了一次函数及反比例函数，一般会通过图像或者表格的信息对函数的解析式进行求解，所以该题型应该会继续出现在2025年的中考数学试卷中，继续考察一次函数、反比例函数。 1．某电影院推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数解析式； (2)求观影多少次时，两者花费一样？费用是多少？ 2．为实行乡村振兴，返乡创业的小红利用网络平台，直播销售一批成本为每斤30元的农产品．经调查发现，该农产品每天的销售量（斤）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)销售期间，网络平台要求每斤农产品获利不得高于，该产品每天的销售利润能为1800元吗？若能，求出销售单价；否则，请说明理由． 3．科学家通过实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度x（单位：）与声音在空气中传播的速度y（单位：米秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．下表为实验时记录的一些数据． 温度 … 0 5 10 15 20 … 声音在空气中传播的速度y/（米/秒） … 331 334 337 340 343 … (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中数据所对应的点． (2)根据描点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是______（填“一次函数”或“二次函数”），求出该函数的解析式． (3)某地春季的室外温度是，小明在看到闪电2秒后听到雷声，求小明与发生打雷的地方的距离．（光的传播时间忽略不计） 4．人类免疫缺陷病毒（）是造成人类免疫系统缺陷的一种逆转录病毒．这一病毒会攻击并逐渐破坏人类的免疫系统，致使宿主在被感染时得不到保护．攻陷人体免疫系统的原理是吸附于靶细胞（主要是T细胞）表面，通过受体进入细胞，破坏靶细胞的免疫防御功能．下图是某机体被侵入后，宿主体内T细胞相对浓度变化量随时间的变化情况．已知将侵入机体的时刻设为0时刻，在内T细胞的相对浓度变化量为二次函数，内T细胞的相对浓度变化量为反比例函数，且时，T细胞的相对浓度为． (1)写出C关于t的函数解析式； (2)若T细胞相对浓度变化量在以上时从生物学角度认为该机体患病，则求该机体患病的时间段． 5．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？ 如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁BC段滑动（点不与重合）．已知，砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量）． (1)设右侧托盘中放置物体的质量为的长为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点由点向点滑动，向空瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量． 押题猜想十 二次函数的动点问题（解答） 限时：10min 已知二次函数（m为常数）． (1)当时．求函数顶点坐标；并结合图象，直接写出当时，y的取值范围是_________． (2)若点和都在该二次函数的图象上，且不论n取何值总有成立，求m的值； (3)①两位同学尝试代入不同的m值后，提出了两个观点．请你选择一个，继续完善它． 甲说：“不论m取何值，函数图象必过一个定点” 乙说：“不论m取何值，函数图象的顶点都在一条固定的抛物线上运动” 我选择_________（填“甲”或“乙”）的观点，他的具体答案是_________（填写定点坐标或抛物线表达式）； ②已知点，若二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出m的取值范围_________． 押题解读 该考点都会是以压轴题的形式出现，难度偏大，要求考生熟练掌握与二次函数有关的基础知识、二次函数的图象和性质，而且要抓住运动过程中的不变量进行求解，将运动过程中某一时刻动点的运动距离转化为几何图形的条件或将满足几何图形条件时动点需运动的距离作为条件进行解答. 1．我们约定：对于抛物线，称抛物线是抛物线的“幸福抛物线”．根据该约定，解答下列问题： (1)若抛物线的“幸福抛物线”是，则______；______；______； (2)已知抛物线上的两点，，若时，，且的顶点在其“幸福抛物线”的图象上，试探究抛物线的图象是否经过某定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在同一平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点M，其“幸福抛物线”与y轴交于点N（M在N的上方），两抛物线始终有一个交点P，在一条与某坐标轴平行的定直线上运动．若是以为底边的等腰三角形，且时，试求抛物线的“幸福抛物线”截x轴得到的线段长度l的取值范围． 2．已知拋物线． (1)若拋物线的对称轴是直线，拋物线与x轴的交点坐标为． ①求抛物线的表达式； ②若点A的坐标为，动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，试判断的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值； (2)若，拋物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 3．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，与x轴相交于和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． (1)若． ①求点P和点B的坐标； ②点P为抛物线第四象限上一动点，过点D作轴于点F，交于点E，记，的面积分别为，，求最大值时点D的横坐标； (2)点Q为直线上一动点，点M在x轴下方一点，满足，，连接，，当的最小值为时，求点M和Q的坐标． 4．二次函数的图象交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点． (1)若点坐标为． ①求该二次函数的解析式及，的坐标； ②若点为直线上方二次函数图象上一个动点，求的最大值； (2)当时，已知点，，且二次函数图象与线段只有一个公共点，请求出的取值范围． 5．已知抛物线经过点， (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上找一点，使是以为直角边的三角形，求点的坐标； (3)交轴于点，点是抛物线上一动点，过点作于点，过点作的平行线，交轴于点． ①点在下方的抛物线上时，的值记为，求的最大值及此时点的坐标； ②抛物线与四边形交点的纵坐标的最大值记为，最小值记为，当时，直接写出点的坐标． 押题猜想十一 特殊四边形的综合（解答） 限时：13min 在矩形中，，点E为直线上一动点，连接，将沿所在直线折叠，点A的对应点为点F，连接并延长，交于点G． (1)如图（1），填空：________（填“”“”或“”），并说明理由． (2)如图（2），若的延长线经过点D，且点F恰好是的中点，求的值． (3)如图（3），，当点E在直线上运动，若为等腰三角形时，请直接写出的长度． 押题解读 该考点都会是以压轴题的形式出现，难度偏大，要求考生熟练掌握与平行四边形、特殊平行四边形的性质和判定、全等三角形、相似三角形等知识。解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算。 1．实践操作  矩形纸片中，，，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为（点M，N是折痕与矩形的边的交点），再将纸片展平． 初步思考  （1）如图1，当点N在上，点M和点P在上，与交于点O．求证：四边形为菱形； 继续探究  （2）如图2，在（1）的条件下，当点P与点C重合时，求的长； 拓展延伸  （3）如图3，当点N和点B重合，点M在上运动时（点M不与点A重合），作的平分线，与的延长线交于点Q．求出点Q到的距离，并直接写出在点M运动过程中，点Q到直线的最大距离． 2．如图1，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连结、，线段和相交于点．    (1)判断，的位置关系：______，，的数量关系：______； (2)若，，求的长． (3)如图2，正方形绕点顺时针旋转（），连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由． 3．（1）如图，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接，……请你顺着小明的思路完成解答； 【深入探究】 （2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为___________； 【应用提升】 （3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形． ①求证：四边形为菱形； ②如图5，连接，过点E作的垂线，垂足为M，若，求四边形的面积． 4．综合与实践 课本再现 如图1，的对角线相交于点是等边三角形，且． （1）求的面积． 拓展延伸 （2）如图2，M是边上一点，连接，过点O作，与直线交于点N，连接． ①若，求的长； ②求面积的最小值． （3）在（2）的条件下，若，直接写出的长． 5．如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 押题猜想十二 圆与其他几何的综合（解答） 限时：15min 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦．给出如下定义：若存在点C，使得直线与有且仅有一个公共点．并且，则称点C为弦的“α伴随点”． (1)已知点A的坐标为，B的坐标为，在点，，中，点______是弦的“伴随点”； (2)若弦的长度为，且存在唯一的点D为弦的“α伴随点”，直接写出α的取值范围； (3)已知直线与x轴交于点N，与y轴交于点M，若上存在弦，使得线段上总存在弦的“伴随点”，直接写出m的取值范围． 押题解读 2024年的广州中考中的压轴题24题出现了圆与菱形的综合问题，故2025年中考也大可能会在压轴题考察圆，需对圆的垂径定理、切线的证明等知识点进行掌握。 1．如图，的外接圆的直径交于点，过点作于点，延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)若平分． ①已知，，求的长； ②若点为的中点，且，，三点在同一直线上，试猜想与的数量关系，并证明你的结论． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴分别相交于、两点（在的左侧），与轴相交于点，． (1)请求出的值； (2)已知点是函数图像上一动点（不与、重合），过点的直线平行于轴，与的外接圆交于另一点，连接，．请问是否存在点，使得最小？若存在，请求出点坐标并求出的最小值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在中，为的外接圆，点为优弧的中点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线 (2)若求的半径． 4．如图，是的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 5．（1）［特殊发现］如图1，在正方形中，，分别是边上的点，连接当时，求的值． （2）［类比探究］如图2，在矩形中，，，，分别是边上的点，连接，当时，求的值． （3）［拓展应用］如图3，在四边形中，，，，，分别是边上的点，连接相交于点，连接，当时，求线段的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 30 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$