精品解析：2025年湖南省永州市宁远县中考二模数学试题

2025·初中学业水平考试模拟试卷（二）数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考场和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26道题目，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 若5的倒数是x，则5x的值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 6. 为庆祝2025年元旦，某校举行“新年畅想”主题演讲比赛，某选手获得的5个有效分数分别为92，91，90，85，92，这5个有效分数的平均数和众数分别是（ ） A. 90，90 B. 89，91 C. 89，92 D. 90，92 7. 下列命题中，是假命题的是（） A. 菱形的对角线相等 B. 平行四边形的对边相等 C. 矩形的对角线相等 D. 三角形具有稳定性 8. 我国古代数学名著《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A，B，C在 上，，连接，，若 的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π 10. 在平面直角坐标系中，对于点，若满足，则称点P为“友好点”，下列说法正确的个数是（ ） ①点为“友好点”；②若点为“友好点”，则或；③若点是直线与反比例函数图象的交点，则为“友好点”；④若点为“友好点”，且x与y均为整数，则点D的个数为4个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 写出一个小于的无理数_______． 12. 国家能源局2025年1月20日公布的数据显示，2024年全国用电总量为98521亿千瓦时．将98521亿用科学记数法表示为______． 13. 如图，直线，菱形的两个顶点A，C分别在直线 ，上，若，，则______． 14. 湖南自古以来就有尊师重教、崇智尚学的优良传统，从湖南众多的书院就可窥见一二．小明了解书院的历史后，准备从岳麓书院（长沙）、石鼓书院（衡阳）、渌江书院（株洲）、东山书院（湘潭）这四个书院中随机抽取两个书院向同学们分享其历史和成就，恰好选到岳麓书院和渌江书院的概率为______． 15. 分式方程的解为______． 16. 如图，已知函数（k为常数， ）的图象经过点A，作轴于点B，连接，若的面积为，则k的值为______． 17. 如图，在四边形中， ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交， 于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交 于点E．若，，，则 的长为______． 18. 如图，在正方形中，E是 的中点，F是上一点，且，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______．（填序号） 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 先化简，再求值：，其中， ． 20. 有一个两位数，它的十位上的数字是个位上的数字的一半，且个位上的数字x满足条件则这个两位数是多少？ 21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某矩形水池中假山露出水面部分的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某学校的矩形水池中有一假山，其露出水面部分的高度为，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在矩形水池的一组对边上分别取点A，B，使得 于点E，再分别过点A，B作的平行线交水面于点M，N，通过皮尺在矩形水池的边缘测得其宽度为米，即米； ②在点A处用测角仪测得，， 在点B处用测角仪测得，； ③用计算器计算得，，，． 请根据表格中提供的信息，求假山露出水面部分的高度．（最后结果保留整数） 22. 某校为提高教职工身体素质，开展了“校长喊你来运动”系列社团活动．社团共五个，分别为A（篮球）、B（健身操）、C（羽毛球）、D（乒乓球）、E（慢跑），为了解该校全体教职工参加以上五个社团的意愿，随机抽取了部分教职工进行问卷调查，每人只能从中选择一个社团，现将问卷调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次抽取的教职工人数为______； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中“A”部分所对应的扇形的圆心角的度数为______； （4）若该校共有240名教职工，估计全校有多少名教职工愿意参加“羽毛球”或“乒乓球”社团？ 23. 随着我国汽车产业的飞速发展，家用汽车正在进入普及阶段．某汽车销售公司销售燃油车和新能源车两种不同类型的汽车，2022年该汽车销售公司销售汽车数量为800辆，2024年该汽车销售公司销售汽车数量为1152辆，假设该汽车销售公司2023年和2024年销售汽车数量的增长率相同． （1）求该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是多少？ （2）若该汽车销售公司销售一辆燃油车的利润大约为2万元，销售一辆新能源车的利润大约为2.2万元，且预计该汽车销售公司2025年的汽车销售数量的增长率比2024年的增长率大，要使2025年的销售利润不低于3050万元，新能源车至少要销售多少辆？ 24. 如图，与 都是等边三角形，且B，D，E三点共线，交 的延长线于F． （1）求证：①； ②四边形是平行四边形； （2）若， ，求四边形的面积． 25. 如图，线段为 的直径，点C，D为上的两点，点D平分，与 相交于点E，连接，，延长至F，连接，使． （1）求证：； （2）求证：为 的切线； （3）若，且，求线段 的长． 26. 如图，已知抛物线 经过，，三点，抛物线的对称轴l与x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线上一动点，其横坐标m满足，连接，交 于点E，交直线l于点F，连接 并延长交直线l于点G． ①求的最大值； ②求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025·初中学业水平考试模拟试卷（二）数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考场和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26道题目，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 若5的倒数是x，则5x的值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，求解即可． 【详解】解：∵5的倒数是x， ∴， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方及完全平方公式，熟练掌握合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方及完全平方公式是解题的关键；因此此题可根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方及完全平方公式进行排除选项． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算正确，故符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选C． 3. 一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和计算出内角和，减去前四个内角即可得到第五个内角的度数． 【详解】解：因为五边形的内角和是，四个内角和为， 所以第5个内角的度数是． 故选：A． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用二次根式乘法法则计算，化简后合并即可得到结果．熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是关键． 【详解】解：， 故选：D． 5. 如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；由几何体的展开图可知有两个三角形和三个矩形所构成的平面图，然后可知该几何体是三棱柱，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该几何体是三棱柱； 故选C． 6. 为庆祝2025年元旦，某校举行“新年畅想”主题演讲比赛，某选手获得的5个有效分数分别为92，91，90，85，92，这5个有效分数的平均数和众数分别是（ ） A. 90，90 B. 89，91 C. 89，92 D. 90，92 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数与众数的计算，理解平均数、众数的概念是解题的关键；依据平均数的计算公式与众数的概念进行计算即可． 【详解】解：平均数为， 这5个数据中92出现的次数最多，故众数是92， 故选：D． 7. 下列命题中，是假命题的是（） A. 菱形的对角线相等 B. 平行四边形的对边相等 C. 矩形的对角线相等 D. 三角形具有稳定性 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，根据菱形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质以及三角形的稳定性逐项判断即可． 【详解】解：A．菱形的对角线互相垂直，故原命题是假命题，符合题意； B．平行四边形的对边相等，故原命题是真命题，不符合题意； C．矩形的对角线相等，故原命题是真命题，不符合题意； D．三角形具有稳定性，故原命题是真命题，不符合题意； 故选：A． 8. 我国古代数学名著《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组解决实际问题．根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”列方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：C． 9. 如图，点A，B，C在 上，，连接，，若 的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，先根据圆周角定理求出的度数，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 的半径为6， ∴扇形的弧长为， 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，对于点，若满足，则称点P为“友好点”，下列说法正确的个数是（ ） ①点为“友好点”；②若点为“友好点”，则或；③若点是直线与反比例函数图象的交点，则为“友好点”；④若点为“友好点”，且x与y均为整数，则点D的个数为4个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对“友好点”定义的理解，解一元二次方程，一次函数与反比例函数上点的特征，二元方程的整数解等问题，根据“友好点”的定义直接判断①即可；根据“友好点”的定义得出，然后解方程判断②即可；一次函数与反比例函数上点的特征得出，，然后根据“友好点”的定义判断③即可；根据“友好点”的定义得出，变形得，然后根据x与y均为整数求出整数解，即可判断④． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴点为“友好点”， 故①正确； ②∵点为“友好点”， ∴， 整理得， 解得或， 故②错误； ③∵点是直线与反比例函数图象的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴为“友好点”， 故③正确； ④∵点为“友好点”， ∴， ∴， ∴， ∵x与y均为整数， ∴或或或， ∴点D的个数为4个， 故④正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 写出一个小于的无理数_______． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据实数的大小比较及无理数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为无理数， ∴小于的无理数可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查实数的大小比较和无理数的定义，熟练掌握实数的大小比较方法是解答本题的关键． 12. 国家能源局2025年1月20日公布的数据显示，2024年全国用电总量为98521亿千瓦时．将98521亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：98521亿， 故答案为：． 13. 如图，直线，菱形的两个顶点A，C分别在直线 ，上，若，，则______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，菱形的性质，过点 作，则，得，由菱形的性质可知，则，进而可知． 【详解】解：过点 作，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 湖南自古以来就有尊师重教、崇智尚学的优良传统，从湖南众多的书院就可窥见一二．小明了解书院的历史后，准备从岳麓书院（长沙）、石鼓书院（衡阳）、渌江书院（株洲）、东山书院（湘潭）这四个书院中随机抽取两个书院向同学们分享其历史和成就，恰好选到岳麓书院和渌江书院的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设岳麓书院（长沙）、石鼓书院（衡阳）、渌江书院（株洲）、东山书院（湘潭）分别为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中恰好选到岳麓书院和渌江书院的有2种， ∴P（两人同时看同一个直播节目）． 故答案为：． 15. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；因此此题可根据分式方程解法进行求解． 【详解】解： 解得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为． 16. 如图，已知函数（k为常数， ）的图象经过点A，作轴于点B，连接，若的面积为，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义即可解答． 【详解】解：设， ∵函数（k为常数， ）的图象经过点A，轴于点B， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交， 于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交 于点E．若，，，则 的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理及角平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理及角平分线的尺规作图是解题的关键；连接，交于点F，由题意易得，则有，，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，交于点F，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 由作图可知：平分 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为1． 18. 如图，在正方形中，E是 的中点，F是上一点，且，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，设，根据余角的性质，正方形的性质求出，即可判断①；根据①中可求出，，结合，可证明，根据相似三角形的性质即可判断②；根据②中，结合即可判断③；根据勾股定理求出，结合②中求出，然后根据三角形的面积公式求出和的面积，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵E是 的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴，故①正确， ∴，即， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，故③错误； 在中，， ∴， ∴， 又， ∴，故④错误， 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 先化简，再求值：，其中， ． 【答案】；7 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当， 时，原式． 20. 有一个两位数，它的十位上的数字是个位上的数字的一半，且个位上的数字x满足条件则这个两位数是多少？ 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，先分别求出不等式的解集，然后求出公共部分得出不等式组的解集，在根据两位数的十位上的数字是个位上的数字（x）的一半，得出x是偶数，进而求出x的值，即可求解． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵两位数的十位上的数字是个位上的数字（x）的一半， ∴x是偶数， ∴， ∴十位数为2， ∴这个两位数为24． 21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某矩形水池中假山露出水面部分的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某学校的矩形水池中有一假山，其露出水面部分的高度为，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在矩形水池的一组对边上分别取点A，B，使得 于点E，再分别过点A，B作的平行线交水面于点M，N，通过皮尺在矩形水池的边缘测得其宽度为米，即米； ②在点A处用测角仪测得，， 在点B处用测角仪测得，； ③用计算器计算得，，，． 请根据表格中提供的信息，求假山露出水面部分的高度．（最后结果保留整数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设，则，分别和，根据正切的定义求出 ，则可关键关于x的方程，求解x的值，然后在中，根据正切的定义求出 ，即可求解． 【详解】解：设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， 在中，， ∴， ∴， 即假山露出水面部分的高度为． 22. 某校为提高教职工身体素质，开展了“校长喊你来运动”系列社团活动．社团共五个，分别为A（篮球）、B（健身操）、C（羽毛球）、D（乒乓球）、E（慢跑），为了解该校全体教职工参加以上五个社团的意愿，随机抽取了部分教职工进行问卷调查，每人只能从中选择一个社团，现将问卷调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次抽取的教职工人数为______； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中“A”部分所对应的扇形的圆心角的度数为______； （4）若该校共有240名教职工，估计全校有多少名教职工愿意参加“羽毛球”或“乒乓球”社团？ 【答案】（1）60 （2） 补全条形统计图如下： （3） （4）120名 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键； （1）根据扇形统计图和条形统计图可知：E（慢跑）所占百分比为，人数为12名，进而问题可求解； （2）由（1）得出B（健身操）的人数，然后问题可求解； （3）由条形统计图及（1）可进行求解； （4）根据“羽毛球”和“乒乓球”的人数和可进行求解． 【小问1详解】 解：由统计图可知：本次抽取的教职工人数为（名）； 故答案为60； 【小问2详解】 解：由（1）可知：B（健身操）人数为（名）； 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：扇形统计图中“A”部分所对应的扇形的圆心角的度数为； 故答案为； 【小问4详解】 解：由题意得： （名）； 答：全校有120名教职工愿意参加“羽毛球”或“乒乓球”社团． 23. 随着我国汽车产业的飞速发展，家用汽车正在进入普及阶段．某汽车销售公司销售燃油车和新能源车两种不同类型的汽车，2022年该汽车销售公司销售汽车数量为800辆，2024年该汽车销售公司销售汽车数量为1152辆，假设该汽车销售公司2023年和2024年销售汽车数量的增长率相同． （1）求该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是多少？ （2）若该汽车销售公司销售一辆燃油车的利润大约为2万元，销售一辆新能源车的利润大约为2.2万元，且预计该汽车销售公司2025年的汽车销售数量的增长率比2024年的增长率大，要使2025年的销售利润不低于3050万元，新能源车至少要销售多少辆？ 【答案】（1）该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是 （2）新能源车至少要销售850辆 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是x，由题意可得，进而求解即可； （2）由题意易得2025年的汽车销售数量为1440辆，设新能源车要销售m辆，则燃油车要销售辆，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是． 【小问2详解】 解：由（1）可知：2025年的汽车销售数量为（辆）， 设新能源车要销售m辆，则燃油车要销售辆，由题意得： ， 解得：； 答：新能源车至少要销售850辆． 24. 如图，与 都是等边三角形，且B，D，E三点共线，交 的延长线于F． （1）求证：①； ②四边形是平行四边形； （2）若， ，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：①∵与 都是等边三角形， ∴ ，，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质和等式的性质可得出 ，，，然后根据证明即可； ②根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角的性质以及角的和差关系可得出，则，根据平行线的判定得出，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）过E作于 ，设与 相交于O，根据正弦的定义求出，，可得出，，设，则，， ∴，根据全等三角形的性质得出，证明，求出，则，解方程求出，然后根据平行四边形的性质求出，最后根据梯形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过E作于 ，设与 相交于O， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程等知识，明确题意，寻找合适的相似三角形求解是解题的关键． 25. 如图，线段为 的直径，点C，D为上的两点，点D平分，与 相交于点E，连接，，延长至F，连接，使． （1）求证：； （2）求证：为 的切线； （3）若，且，求线段 的长． 【答案】（1） 证明：∵点D平分，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：由（1）可知， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 又是 的半径， ∴为 的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）由点D平分可知，得，由，可知，则，即可证得结论； （2）由（1）可知，可知，进而可知，则，即可证得结论； （3）延长交 于，连接 ，先证，得，进而求得，则，，，，则，再证，得，设，则，，列出方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长交 于，连接 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则，， ∴，， 则， 由圆周角定理可知，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，平行线的判定，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质，添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 26. 如图，已知抛物线 经过，，三点，抛物线的对称轴l与x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线上一动点，其横坐标m满足，连接，交 于点E，交直线l于点F，连接 并延长交直线l于点G． ①求的最大值； ②求证：为定值． 【答案】（1） （2）①； ②证明：由题意得：，F、G的横坐标都为， 设直线 的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线 的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∴把分别代入 、解析式得：，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）利用待定系数法可进行求解； （2）由（1）可知对称轴直线l为，①由题意可得直线 的解析式为，分别过点M、A作y轴的平行线，分别交 于点H、Q，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可得，最后问题可求解； ②分别得出直线 、的解析式，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：把，，三点代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：抛物线解析式为， ∴对称轴直线l为， ①设直线 的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线 的解析式为， 分别过点M、A作y轴的平行线，分别交 于点H、Q，如图所示： ∴轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，取到最大值，最大值为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $