精品解析：山东省济南第一中学2024-2025学年高一下学期期中学情检测数学试题

高一年级期中学情检测 （数学）试题 说明：本试题分为第I卷和第II卷两部分，第I卷为第1页至第2页，共11道题，第II为第2页至第3页，共8道题.将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交.试题满分150分，考试时间为120分钟. 第I卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数 (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据 ，化简得复平面内坐标，即可判断所在象限． 【详解】化简得 所以z在复平面内的坐标为 所以点在第二象限 所以选B 【点睛】本题考查了复平面内对应点的象限，属于基础题． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 四边形确定一个平面 C. 三角形确定一个平面 D. 一条直线和一个点确定一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】利用立体几何中的基本事实确定平面的方法求解即可. 【详解】三个不共线的点确定一个平面，故选项A错误， 四边形存在空间四边形，故选项B错误， 三角形的顶点是三个不共线的点，确定一个平面，故选项C正确， 当点直线上时无法确定一个平面，故选项D错误. 故选：C. 3. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析题意，利用三角形内角和定理求A，再用正弦定理求边长即可. 【详解】易知，由正弦定理得， 化简得 故选：B 4. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为.故选C. 5. 由下列条件解，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和为及三角形三边关系，结合正弦定理和余弦定理逐项判断即可. 【详解】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确. 故选：D. 6. 在边长为2的正三角形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 7. 如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的性质分别设，，结合条件依次表示出，，对应解出，即可求解. 【详解】设，， 则， 而与不共线，∴，解得，∴. 故选：A. 8. 庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，由柱体和锥体的体积公式，计算可得所求值. 【详解】解：取的中点，连接， 可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半， 则三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 则几何体的体积为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分） 9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的虚部为2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法运算可判断A；根据复数的模公式可判断B；由共轭复数概念和复数减法运算可判断C；根据复数除法运算和复数的模公式求解可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，因为，所以， 所以的虚部为，C错误； 对于D，因为，所以， 又，所以，D正确. 故选：ABD 10. 已知向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 最大值为3 C. 的最大值为2 D. 若，则向量在向量上的投影向量坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，验证数量积是否为0即可判断；对于B，求模先求平方，再开方即可求解；对于C，举出反例即可；对于D，在向量上的投影向量为，据此求解即可. 【详解】对于A，因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以 当共线时，有最大值为1，所以，故B正确； 对于C，若，，故C错误； 对于D，因为，所以，即， 所以在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知圆锥母线长为6，是底面一条直径.则（ ） A. 若是等边三角形，则圆锥外接球表面积为 B. 若，则过圆锥顶点S的截面面积的最大值是 C. 若，则从A点出发沿着侧面再回到A点的最短路程是 D. 若是等边三角形，则圆锥内切球体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等边三角形外接圆和内切圆的圆心都是三角形的中心可以求得圆锥外接球和内切球的半径，再代入球的表面积及体积公式即可确定A，D是否正确，当圆锥轴截面顶角大于90°时，过顶点的截面面积的最大值是母线平方的一半而不是轴截面面积可得C正确，曲面上最短路径问题通常转化为平面上最短距离解决，再由余弦定理和圆心角的计算可得D正确. 【详解】对于A、D，边长为6的等边三角形中线长为，其外接圆和内切圆半径分别为中线的三分之二和中线的三分之一， 故此时圆锥的外接球半径为，内切球半径为，代入球面面积公式及球体体积公式，故A、D正确； 对于B，因为轴截面顶角为钝角，此时经过两条垂直母线的截面面积最大， 最大面积为18，故B错误； 对于C，因为圆锥侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形， 利用三角形余弦定理可以求得，故C正确. 故选：ACD 第II卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量.若与共线，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标关系式求解即可. 【详解】因为； 所以，， 由于与共线，则， 解得. 故答案为： 13. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原则还原四边形进行求解即可. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故答案为：10 14. 在锐角中，角所对的边分别为，面积为，且，若，则面积的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，代入面积公式结合角C的范围运算求解. 【详解】因为，则， 整理可得，且，可知， 由题意可得：，解得， 由正弦定理可得， 则面积， 因为，则，可得， 所以面积. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理、余弦定理得出面积的表达式，再结合求出面积的取值范围. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值; （2）记复数，求复数的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程化简，利用复数等于0，即实部和虚部都为0，即可求解； （2）求出共轭复数，然后求出待求复数，利用复数模长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得:，即， 所以，所以，， 解得：，. 【小问2详解】 ，，， 所以. 16. 如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. （1）求证：； （2）若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证． （2）推导出，，由此能证明平面平面． 【小问1详解】 在三棱柱中， 平面平面，平面平面，平面平面， 故 【小问2详解】 三棱柱中， ，，分别是，，的中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． 又，平面，平面， 平面． ，平面 平面平面． 17. 已知向量满足 （1）若，求向量的坐标； （2）求与夹角余弦值； （3）在（1）条件下，若与垂直，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的坐标运算计算即可； （2）由向量夹角公式计算即可； （3）由向量垂直的坐标表示建立方程，进行求解即可. 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 由，知与夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ， 由与垂直， 则， 解得. 18. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. （1）求此圆锥的表面积与体积； （2）试用x表示圆柱的高h； （3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 【答案】（1）表面积，体积 （2）， （3）当时，. 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可； （2）根据相似计算即可得出关系式； （3）先写出全面积公式再结合二次函数得出最大值. 【小问1详解】 由，，得， 所以，， 故 ， ； 【小问2详解】 由相似可得，得，； 【小问3详解】 记圆柱得全面积为S， ， ∵，∴当时，. 19. 请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． （1）求B的大小： （2）若，求周长的取值范围； （3）若边上的高为1，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若选①，利用平面向量垂直的坐标表示及正弦定理边化角计算即可；若选②，先正弦定理角化边，化简变形后利用余弦定理计算即可； （2）利用余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算即可； （3）利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式计算即可. 【小问1详解】 选择①：因为，所以， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，所以，所以， 又，所以． 选择②：因为， 由正弦定理得，， 即，即， 即，即， 由余弦定理得，， 又，所以． 【小问2详解】 由余弦定理得，， 即，即， 所以，得，当且仅当时取得等号， 所以周长的取值范围为． 【小问3详解】 由面积公式，得， 由余弦定理可得，即， 所以，所以，当且仅当“”时等号成立 所以， 所以面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级期中学情检测 （数学）试题 说明：本试题分为第I卷和第II卷两部分，第I卷为第1页至第2页，共11道题，第II为第2页至第3页，共8道题.将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交.试题满分150分，考试时间为120分钟. 第I卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数 (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 四边形确定一个平面 C. 三角形确定一个平面 D. 一条直线和一个点确定一个平面 3. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 由下列条件解，其中有两解是（ ） A. B. C. D. 6. 在边长为2的正三角形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分） 9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的虚部为2 D. 10. 已知向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 最大值3 C. 的最大值为2 D. 若，则向量在向量上的投影向量坐标为 11. 已知圆锥母线长为6，是底面一条直径.则（ ） A. 若是等边三角形，则圆锥外接球表面积为 B. 若，则过圆锥顶点S的截面面积的最大值是 C. 若，则从A点出发沿着侧面再回到A点的最短路程是 D. 若是等边三角形，则圆锥内切球体积为 第II卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量.若与共线，则实数的值为________. 13. 如图，水平放置四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______. 14. 在锐角中，角所对的边分别为，面积为，且，若，则面积的取值范围是_______ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值; （2）记复数，求复数的模. 16. 如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. （1）求证：； （2）若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 17 已知向量满足 （1）若，求向量的坐标； （2）求与夹角余弦值； （3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 18. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. （1）求此圆锥的表面积与体积； （2）试用x表示圆柱的高h； （3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 19. 请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． （1）求B的大小： （2）若，求周长的取值范围； （3）若边上的高为1，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$