专题05 因数和倍数（提升练）-2024-2025小升初数学易错培优专项练 通用版 （原卷版＋解析版）

专题05 因数和倍数（提升练） 2024-2025小升初数学易错培优专项练 通用版（原卷＋答案版） 一、填空题 1．24和36的最大公因数是( )，9和10的最小公倍数是( )。 2．用0、1、4、7可以组成( )个没有重复数字的四位数，它们都是( )的倍数。 3．一个四位数，百位是2，十位是7，能同时被2和3整除。这个四位数最大是( )，最小是( )。 4．学校组织六年级学生开展学雷锋活动。每3人为一组，余1人；每6人为一组，余1人；每7人为一组，少6人。六年级至少有( )名学生。 5．请你从1～100中选中12个数填入下图的圆圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公因数或最小公倍数。 6．王伯伯的车牌号是鲁 ，其中△即是偶数又是质数；◎是最小的合数；◇是10以内最大的质数；☆是9的最大因数。王伯伯的车牌号是鲁 ( )。 7．A＝2×3×n，B＝3×5×n，如果A和B两数的最大公因数是27，那么n是( )，A和B的最小公倍数是( )。 8．欢欢负责照顾家中的花草，妈妈说：“吊兰3天浇一次水，杜鹃花7天浇一次水。”6月2日欢欢给吊兰和杜鹃花同时浇水，这月( )日，欢欢又会在同一天给这两种花浇水。 9．实验小学开展“我是小小宣传员”公益活动，参加人员每16人分成一组，或者每12人分成一组，都正好分完，该校参加“我是小小宣传员”公益活动的学生至少有( )人。 10．规定※n表示不大于n的所有偶数的积，□n表示不能整除n的最小的数。例如：※6＝6×4×2＝48，□10＝3，那么□（※x）＝13，x最小是( )。 二、选择题 11．要使四位数721□既是3的倍数，又是偶数，□里最大可以填（    ）。 A．1 B．2 C．5 D．8 12．a÷2＝b（a，b为非零自然数），a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．3 D．ab 13．5个连续偶数，中间一个数是N，则最大的数是（    ）。 A．N＋1 B．N＋2 C．N＋3 D．N＋4 14．从1，2，3，4，5，6，7这7张数字卡片中任意抽取一张，抽到（    ）的可能性最小。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 15．一个自然数的最小倍数是36，这个数的因数有（    ）个。 A．7 B．8 C．9 D．10 三、判断题 16．如果自然数a是2的倍数，那么 必定是奇数。( ) 17． 的分数单位是 ，再添上5个这样的分数单位正好是最小的质数。( ) 18．任意给出5个连续的非0自然数，其中一定只有一个数是5的倍数。( ) 19．如果 （A、B均为自然数），那么A和B的最大公因数是A。( ) 20．2＋3＝5，2＋5＝7，所以两个质数的和一定是奇数。( ) 四、解答题 21．一个房间的长是3.6米，宽是2.4米。现在要在这个房间铺上相同的方砖。 （1）每块方砖的边长最大是多少分米？ （2）这间房间一共需要多少块这样的方砖？ 22．相同的字母表示相同的数字，现在老师在黑板上写了21BBB这么一个五位数，它是不是3的倍数呢？先判断，再说明你的理由是什么？ 23．教室里共有男女生若干人，男生的上衣有5个扣子，女生的上衣有4个扣子，如果学生总数是个奇数，扣子总数是偶数，问男生人数是奇数还是偶数？ 24．“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。”请你试举几例证明这一猜想，并把例子写在下面。 25．一箱苹果，如果每8个装一盒，还剩余6个；如果每10个装一盒，也剩余6个。这箱苹果至少有多少个？ 26．把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，使每组数的乘积相等。（请写出思考方法和分组结果） 27．小华沿21路车的路线匀速行走，每6分钟迎面遇到一辆21路车，每12分钟有一辆21路车从后面追上小华。问21路车每隔多少分钟发一辆？（假设21路车两边的总站每隔相同的时间发一辆车，途中匀速行驶，不停任何一站.） 参考答案 题号 11 12 13 14 15 答案 D A D B C 1． 12 90 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 【解析】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和36的最大公因数是：2×2×3＝12； 9和10是互质数，所以9和10的最小公倍数是：9×10＝90； 填空如下： 24和36的最大公因数是（12），9和10的最小公倍数是（90）。 2． 18 3 【分析】利用乘法原理分析，从最高位开始，千位不能为0，所以有三种选择1、4、7；百位可以选千位选完剩下的，包括0，所以还是三种选择；十位可以选千位、百位选完剩下的，两种选择；个位只有一种选择。 根据倍数特征中3的倍数特点，所有数位上的数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数。 【解析】根据乘法原理列式：3×3×2×1＝18（种），可以组成18个没有重复数字的四位数。 因为 0＋1＋4＋7＝12，12是3的倍数，所以组成的所有四位数都是3的倍数。 3． 9276 1272 【分析】求最大那么最高位上的数是9，能被2整除个位上是0、2、4、6、8，能被3整除各个数位上的数相加的和是3的倍数。9＋7＋2＝18，那么个位数是6。因此这个数最大是9276；求最小同理最高位是1，1＋7＋2＝10，10＋2＝12，个位数是2。 【解析】9＋7＋2 ＝16＋2 ＝18 那么个位数是6。 所以这个四位数最大是9276。 1＋7＋2 ＝8＋2 ＝10 10＋2＝12，个位数是2。 所以这个四位数最小是1272。 4．43 【分析】“每3人为一组，余1人；每6人为一组，余1人；每7人为一组，少6人”，可知六年级共有的最少人数是比3、6和7的最小公倍数多1的数，进而求出3、7和6的最小公倍数，再加1得解。 【解析】3、7和6的最小公倍数是：6×7＝42 42＋1＝43（名） 六年级至少有43名学生。 5．见详解 【分析】我们要从1到100中选出12个数填入圆圈，根据最大公因数和最小公倍数的概念来进行选择。 【解析】先选择2，因为2是一个较小且常见的质数； 因为相邻数的关系，选择2×13＝26，13是一个质数，且2和26的最大公因数是2； 接着选择13×3＝39，3是一个质数，13和39的最大公因数是13； 然后选择3×11＝33，11是质数，3和33的最大公因数是3； 选择11×5＝55，5是质数，11和55的最大公因数是11； 选择5×7＝35，7是质数，5和35的最大公因数是5； 最后选择7×2＝14，2和14的最大公因数是2。 所以最终选择的12个数为：2、26、13、39、3、33、11、55、5、35、7、14。 6．2479 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【解析】王伯伯的车牌号是鲁 ， 其中△即是偶数又是质数，即2； ◎是最小的合数，即4； ◇是10以内最大的质数，即7； ☆是9的最大因数，即9； 所以，王伯伯的车牌号是鲁 （2479）。 7． 9 270 【分析】根据A、B两数的分解质因数，把公有的相同质因数乘起来即是它们的最大公因数3n，已知最大公因数是27，即3n＝27，据此求出n的值； 把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数30n，据n的值代入式子中，计算出结果即可。 【解析】A＝2×3×n B＝3×5×n A和B的最大公因数是3n＝27； 3n＝27 n＝27÷3 n＝9 A和B的最小公倍数是2×3×n×5＝30n； 当n＝9时，30n＝30×9＝270 所以，n是（9），A和B的最小公倍数是（270）。 8．23 【分析】根据题意，吊兰每3天浇一次水，杜鹃花每7天浇一次水，那么同时给这两种花浇水的间隔天数就是3和7的公倍数；先求出3和7的最小公倍数，再加上第一次同时给这两种花浇水的日期，得出下一次再给它们同时浇水的日期。 【解析】3和7是互质数，所以3和7的最小公倍数是二者之积。 3×7＝21（日） 2＋21＝23（日） 这月23日，欢欢又会在同一天给这两种花浇水。 9．48 【分析】根据题意，每16人分成一组，或者每12人分成一组，都正好分完，说明参加公益活动的最少学生人数是16和12的最小公倍数。 先把16和12分解质因数，再把它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。 【解析】16＝2×2×2×2 12＝2×2×3 16和12的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48 该校参加“我是小小宣传员”公益活动的学生至少有48人。 10．22 【分析】首先要理解题目中※n和口n这两个新运算的定义。根据已知条件口（※x）＝13，我们要找出※x能被哪些数整除，再根据※x是不大于x的所有偶数的积这一特性，求出※x的最小值，从而得出x的最小值。 【解析】因为□（※x）＝13，所以不能整除的最小的数是13，所以※x能被1、2、3、4、……12整除；因为※x表示不大于x的所有偶数的积，所以※x能被这些偶数整除：12、11×2、2、10、8、18、14、6，则※x最小＝2×4×6×……×22，所以x最小是22。 【分析】理解※n、□n表示的意义以及偶数、数的整除的特征是解题的关键。 11．D 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数的数；偶数：能被2整除的数叫做偶数；先根据选项中最大的数字，然后进行选择，据此解答。 【解析】□内最大填8：7＋2＋1＋8＝18，18能被3整除，是3的倍数，所以□内最大填8。 要使四位数721□既是3的倍数，又是偶数，□里最大可以填8。 故答案为：D 12．A 【分析】理解题意题目给出a÷2＝b，其中 a 和 b 是非0自然数。这意味着 a 是 b 的2倍，对于成倍数的两个数，较大的那个数就是最小公倍数，较小的那个数就是最大公因数。因为 a 是 b 的倍数，所以 a 和 b 的最小公倍数就是 a。 【解析】a÷2＝b（a，b均为非零自然数），说明a是b的2倍，所以a和b的最小公倍数是a。 故答案为：A 13．D 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差2。 已知5个连续偶数，中间一个数是N，那么N＋2＋2是最大的数。 【解析】N＋2＋2＝N＋4 5个连续偶数，中间一个数是N，则最大的数是N＋4。 故答案为：D 14．B 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定质数、合数、奇数和偶数的个数，比较，哪种数的个数最少，抽到哪种数的可能性就最小。 【解析】质数有2，3，5，7，共4个；合数有4，6，共2个；奇数有1、3、5、7，共4个；偶数有2，4，6，共3个，2＜3＜4，最少的是合数，抽到合数的可能性最小。 故答案为：B 15．C 【分析】一个自然数（0除外）的最小倍数是它本身，据此先确定这个数，然后罗列出这个数的所有因数即可。 【解析】一个自然数的最小倍数是36，这个数就是36；36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，共有9个。 故答案为：C 16．√ 【分析】2的倍数都是偶数。如果自然数a是2的倍数，说明a是偶数，而 是a相邻的自然数。两个相邻的自然数中，如果一个数是偶数，另一个数一定是奇数。据此解答。 【解析】通过分析可得：a是偶数，那么 必定是奇数。原题说法正确。 故答案为：√ 17．× 【分析】最小的质数是2，2＝ ，2里面有18个这样的分数单位，据此解答。 【解析】2－ ＝ ＝ 所以还要添上14个这样的分数单位才是最小的质数。 故答案为：× 18．√ 【分析】5的倍数特征是个位上的数是5或0。当我们取5个连续的非0自然数时，因为是连续的，所以个位数字也是连续出现的。由于个位数字是按照0－9循环，每10个数一循环，那么在任意连续的5个数中，必然会包含5或者0这两个数字中的一个作为个位数字。例如5个连续的自然数：6、7、8、9、10，其中10是5的倍数；5个连续的自然数：61、62、63、64、65，其中65是5的倍数。 【解析】由分析得：任意给出5个连续的非0自然数，其中一定只有一个数是5的倍数。因此题意表述正确。 故答案为：√ 19．√ 【分析】成倍数关系的两个数，较小数是这两个数的最大公因数。根据“被除数÷商＝除数”、“除以一个不为0的数，就是乘它的倒数”，得出8A＝B，那么B是A的倍数，A和B的最大公因数是A。 【解析】因为A÷B＝0.125，0.125＝ ，即A÷B＝ ，那么A÷ ＝A×8＝B。所以，B是A的倍数，A是B的因数，那么A和B的最大公因数是A。 故答案为：√ 20．× 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；举例说明。 【解析】例如：3和5是质数 3＋5＝8，8是偶数 5和7是质数 5＋7＝12，12是偶数 所以两个质数的和不一定是奇数，原题说法错误。 故答案为：× 21．（1）12分米     （2）6块 【分析】（1）3.6米＝36分米，2.4米＝24分米，要求每块方砖的边长最大是多少分米，就是求36和24的最大公因数； （2）要求这间房间一共需要多少块这样的方砖，用房间的面积除以每块方砖的面积即可。 【解析】（1）3.6米＝36分米，2.4米＝24分米 36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数是2×2×3＝12 答：每块方砖的边长最大是12分米。 （2）（36×24）÷（12×12） ＝864÷144 ＝6（块） 答：这间房间一共需要6块这样的方砖。 22．是3的倍数，理由：最高两位数字之是2＋1＝3，3÷3＝1，即21是3的倍数 111、222、333……999都是3的倍数。 因此，21BBB无论B为任何自然数（包括0），这个数都是3的倍数。 【解析】略 23．偶数个 【解析】女生扣子数是偶数，是不受人数影响，女生扣子总数永远都是偶数； 但总扣子数是偶数，所以男生扣子总数也是偶数； 又因男生的上衣有5个扣子是奇数，所以只有男生人数为偶数个，才能保证男生扣子总数是偶数和扣子总数是偶数； 答：男生人数为偶数个。 24．4＝2＋2；8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一） 【分析】能被2整除的数是偶数，大于2的偶数有4，6，8，10……；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，比如2，3，5，7，11，13，17，19……。据此举例解答。 【解析】4＝2＋2；8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一） 通过示例能够证明“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”这一猜想。 25．46个 【分析】这箱苹果每8个装一盒，还剩余6个，如果每10个装一盒，也剩余6个，说明苹果个数比8和10的公倍数多6，求出8和10的最小公倍数，再加上6即可。 【解析】8＝2×2×2 10＝2×5 最小公倍数：2×5×2×2＝40 40＋6＝46（个） 答：这箱苹果至少有46个。 26．见详解 【分析】将所给数据分解质因数，再分成个数相等的三组，使每组所含相同质因数的个数相等即可。 【解析】20＝2×2×5 26＝2×13 33＝3×11 39＝3×13 42＝2×3×7 44＝2×2×11 55＝5×11 91＝7×13 包含6个2，3个3、5、7、11、13 分成三组：26×42×55＝20×33×91＝35×39×44. 答：把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组：26×42×55＝20×33×91＝35×39×44，每组数的乘积相等。 27．8分钟 【分析】假设小华在路上向前行走了12（12、6的最小公倍数）分钟后，立即回头再走12分钟，回到原地；这时前12分钟他迎面遇到（12÷6＝2）辆车，后12分钟有（12÷12＝1）辆车追上他，那么在这两个12分钟里他一共遇到朝同一方向开来的3辆车；用（12×2）除以遇到的3辆车，所得结果即为发车的时间间隔。 【解析】12÷6＝2（辆） 12÷12＝1（辆） 12×2÷（2＋1） ＝24÷3 ＝8（分钟） 答：21路车每隔8分钟发一辆。 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 因数和倍数（提升练） 2024-2025小升初数学易错培优专项练 通用版（解析版） 一、填空题 1．24和36的最大公因数是( )，9和10的最小公倍数是( )。 【答案】 12 90 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 【解析】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和36的最大公因数是：2×2×3＝12； 9和10是互质数，所以9和10的最小公倍数是：9×10＝90； 填空如下： 24和36的最大公因数是（12），9和10的最小公倍数是（90）。 2．用0、1、4、7可以组成( )个没有重复数字的四位数，它们都是( )的倍数。 【答案】 18 3 【分析】利用乘法原理分析，从最高位开始，千位不能为0，所以有三种选择1、4、7；百位可以选千位选完剩下的，包括0，所以还是三种选择；十位可以选千位、百位选完剩下的，两种选择；个位只有一种选择。 根据倍数特征中3的倍数特点，所有数位上的数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数。 【解析】根据乘法原理列式：3×3×2×1＝18（种），可以组成18个没有重复数字的四位数。 因为 0＋1＋4＋7＝12，12是3的倍数，所以组成的所有四位数都是3的倍数。 3．一个四位数，百位是2，十位是7，能同时被2和3整除。这个四位数最大是( )，最小是( )。 【答案】 9276 1272 【分析】求最大那么最高位上的数是9，能被2整除个位上是0、2、4、6、8，能被3整除各个数位上的数相加的和是3的倍数。9＋7＋2＝18，那么个位数是6。因此这个数最大是9276；求最小同理最高位是1，1＋7＋2＝10，10＋2＝12，个位数是2。 【解析】9＋7＋2 ＝16＋2 ＝18 那么个位数是6。 所以这个四位数最大是9276。 1＋7＋2 ＝8＋2 ＝10 10＋2＝12，个位数是2。 所以这个四位数最小是1272。 4．学校组织六年级学生开展学雷锋活动。每3人为一组，余1人；每6人为一组，余1人；每7人为一组，少6人。六年级至少有( )名学生。 【答案】43 【分析】“每3人为一组，余1人；每6人为一组，余1人；每7人为一组，少6人”，可知六年级共有的最少人数是比3、6和7的最小公倍数多1的数，进而求出3、7和6的最小公倍数，再加1得解。 【解析】3、7和6的最小公倍数是：6×7＝42 42＋1＝43（名） 六年级至少有43名学生。 5．请你从1～100中选中12个数填入下图的圆圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公因数或最小公倍数。 【答案】见详解 【分析】我们要从1到100中选出12个数填入圆圈，根据最大公因数和最小公倍数的概念来进行选择。 【解析】先选择2，因为2是一个较小且常见的质数； 因为相邻数的关系，选择2×13＝26，13是一个质数，且2和26的最大公因数是2； 接着选择13×3＝39，3是一个质数，13和39的最大公因数是13； 然后选择3×11＝33，11是质数，3和33的最大公因数是3； 选择11×5＝55，5是质数，11和55的最大公因数是11； 选择5×7＝35，7是质数，5和35的最大公因数是5； 最后选择7×2＝14，2和14的最大公因数是2。 所以最终选择的12个数为：2、26、13、39、3、33、11、55、5、35、7、14。 6．王伯伯的车牌号是鲁 ，其中△即是偶数又是质数；◎是最小的合数；◇是10以内最大的质数；☆是9的最大因数。王伯伯的车牌号是鲁 ( )。 【答案】2479 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【解析】王伯伯的车牌号是鲁 ， 其中△即是偶数又是质数，即2； ◎是最小的合数，即4； ◇是10以内最大的质数，即7； ☆是9的最大因数，即9； 所以，王伯伯的车牌号是鲁 （2479）。 7．A＝2×3×n，B＝3×5×n，如果A和B两数的最大公因数是27，那么n是( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 9 270 【分析】根据A、B两数的分解质因数，把公有的相同质因数乘起来即是它们的最大公因数3n，已知最大公因数是27，即3n＝27，据此求出n的值； 把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数30n，据n的值代入式子中，计算出结果即可。 【解析】A＝2×3×n B＝3×5×n A和B的最大公因数是3n＝27； 3n＝27 n＝27÷3 n＝9 A和B的最小公倍数是2×3×n×5＝30n； 当n＝9时，30n＝30×9＝270 所以，n是（9），A和B的最小公倍数是（270）。 8．欢欢负责照顾家中的花草，妈妈说：“吊兰3天浇一次水，杜鹃花7天浇一次水。”6月2日欢欢给吊兰和杜鹃花同时浇水，这月( )日，欢欢又会在同一天给这两种花浇水。 【答案】23 【分析】根据题意，吊兰每3天浇一次水，杜鹃花每7天浇一次水，那么同时给这两种花浇水的间隔天数就是3和7的公倍数；先求出3和7的最小公倍数，再加上第一次同时给这两种花浇水的日期，得出下一次再给它们同时浇水的日期。 【解析】3和7是互质数，所以3和7的最小公倍数是二者之积。 3×7＝21（日） 2＋21＝23（日） 这月23日，欢欢又会在同一天给这两种花浇水。 9．实验小学开展“我是小小宣传员”公益活动，参加人员每16人分成一组，或者每12人分成一组，都正好分完，该校参加“我是小小宣传员”公益活动的学生至少有( )人。 【答案】48 【分析】根据题意，每16人分成一组，或者每12人分成一组，都正好分完，说明参加公益活动的最少学生人数是16和12的最小公倍数。 先把16和12分解质因数，再把它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。 【解析】16＝2×2×2×2 12＝2×2×3 16和12的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48 该校参加“我是小小宣传员”公益活动的学生至少有48人。 10．规定※n表示不大于n的所有偶数的积，□n表示不能整除n的最小的数。例如：※6＝6×4×2＝48，□10＝3，那么□（※x）＝13，x最小是( )。 【答案】22 【分析】首先要理解题目中※n和口n这两个新运算的定义。根据已知条件口（※x）＝13，我们要找出※x能被哪些数整除，再根据※x是不大于x的所有偶数的积这一特性，求出※x的最小值，从而得出x的最小值。 【解析】因为□（※x）＝13，所以不能整除的最小的数是13，所以※x能被1、2、3、4、……12整除；因为※x表示不大于x的所有偶数的积，所以※x能被这些偶数整除：12、11×2、2、10、8、18、14、6，则※x最小＝2×4×6×……×22，所以x最小是22。 【总结】理解※n、□n表示的意义以及偶数、数的整除的特征是解题的关键。 二、选择题 11．要使四位数721□既是3的倍数，又是偶数，□里最大可以填（    ）。 A．1 B．2 C．5 D．8 【答案】D 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数的数；偶数：能被2整除的数叫做偶数；先根据选项中最大的数字，然后进行选择，据此解答。 【解析】□内最大填8：7＋2＋1＋8＝18，18能被3整除，是3的倍数，所以□内最大填8。 要使四位数721□既是3的倍数，又是偶数，□里最大可以填8。 故答案为：D 12．a÷2＝b（a，b为非零自然数），a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．3 D．ab 【答案】A 【分析】理解题意题目给出a÷2＝b，其中 a 和 b 是非0自然数。这意味着 a 是 b 的2倍，对于成倍数的两个数，较大的那个数就是最小公倍数，较小的那个数就是最大公因数。因为 a 是 b 的倍数，所以 a 和 b 的最小公倍数就是 a。 【解析】a÷2＝b（a，b均为非零自然数），说明a是b的2倍，所以a和b的最小公倍数是a。 故答案为：A 13．5个连续偶数，中间一个数是N，则最大的数是（    ）。 A．N＋1 B．N＋2 C．N＋3 D．N＋4 【答案】D 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差2。 已知5个连续偶数，中间一个数是N，那么N＋2＋2是最大的数。 【解析】N＋2＋2＝N＋4 5个连续偶数，中间一个数是N，则最大的数是N＋4。 故答案为：D 14．从1，2，3，4，5，6，7这7张数字卡片中任意抽取一张，抽到（    ）的可能性最小。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】B 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定质数、合数、奇数和偶数的个数，比较，哪种数的个数最少，抽到哪种数的可能性就最小。 【解析】质数有2，3，5，7，共4个；合数有4，6，共2个；奇数有1、3、5、7，共4个；偶数有2，4，6，共3个，2＜3＜4，最少的是合数，抽到合数的可能性最小。 故答案为：B 15．一个自然数的最小倍数是36，这个数的因数有（    ）个。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】一个自然数（0除外）的最小倍数是它本身，据此先确定这个数，然后罗列出这个数的所有因数即可。 【解析】一个自然数的最小倍数是36，这个数就是36；36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，共有9个。 故答案为：C 三、判断题 16．如果自然数a是2的倍数，那么 必定是奇数。( ) 【答案】√ 【分析】2的倍数都是偶数。如果自然数a是2的倍数，说明a是偶数，而 是a相邻的自然数。两个相邻的自然数中，如果一个数是偶数，另一个数一定是奇数。据此解答。 【解析】通过分析可得：a是偶数，那么 必定是奇数。原题说法正确。 故答案为：√ 17． 的分数单位是 ，再添上5个这样的分数单位正好是最小的质数。( ) 【答案】× 【分析】最小的质数是2，2＝ ，2里面有18个这样的分数单位，据此解答。 【解析】2－ ＝ ＝ 所以还要添上14个这样的分数单位才是最小的质数。 故答案为：× 18．任意给出5个连续的非0自然数，其中一定只有一个数是5的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】5的倍数特征是个位上的数是5或0。当我们取5个连续的非0自然数时，因为是连续的，所以个位数字也是连续出现的。由于个位数字是按照0－9循环，每10个数一循环，那么在任意连续的5个数中，必然会包含5或者0这两个数字中的一个作为个位数字。例如5个连续的自然数：6、7、8、9、10，其中10是5的倍数；5个连续的自然数：61、62、63、64、65，其中65是5的倍数。 【解析】由分析得：任意给出5个连续的非0自然数，其中一定只有一个数是5的倍数。因此题意表述正确。 故答案为：√ 19．如果 （A、B均为自然数），那么A和B的最大公因数是A。( ) 【答案】√ 【分析】成倍数关系的两个数，较小数是这两个数的最大公因数。根据“被除数÷商＝除数”、“除以一个不为0的数，就是乘它的倒数”，得出8A＝B，那么B是A的倍数，A和B的最大公因数是A。 【解析】因为A÷B＝0.125，0.125＝ ，即A÷B＝ ，那么A÷ ＝A×8＝B。所以，B是A的倍数，A是B的因数，那么A和B的最大公因数是A。 故答案为：√ 20．2＋3＝5，2＋5＝7，所以两个质数的和一定是奇数。( ) 【答案】× 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；举例说明。 【解析】例如：3和5是质数 3＋5＝8，8是偶数 5和7是质数 5＋7＝12，12是偶数 所以两个质数的和不一定是奇数，原题说法错误。 故答案为：× 四、解答题 21．一个房间的长是3.6米，宽是2.4米。现在要在这个房间铺上相同的方砖。 （1）每块方砖的边长最大是多少分米？ （2）这间房间一共需要多少块这样的方砖？ 【答案】（1）12分米     （2）6块 【分析】（1）3.6米＝36分米，2.4米＝24分米，要求每块方砖的边长最大是多少分米，就是求36和24的最大公因数； （2）要求这间房间一共需要多少块这样的方砖，用房间的面积除以每块方砖的面积即可。 【解析】（1）3.6米＝36分米，2.4米＝24分米 36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数是2×2×3＝12 答：每块方砖的边长最大是12分米。 （2）（36×24）÷（12×12） ＝864÷144 ＝6（块） 答：这间房间一共需要6块这样的方砖。 22．相同的字母表示相同的数字，现在老师在黑板上写了21BBB这么一个五位数，它是不是3的倍数呢？先判断，再说明你的理由是什么？ 【答案】是3的倍数，理由：最高两位数字之是2＋1＝3，3÷3＝1，即21是3的倍数 111、222、333……999都是3的倍数。 因此，21BBB无论B为任何自然数（包括0），这个数都是3的倍数。 【解析】略 23．教室里共有男女生若干人，男生的上衣有5个扣子，女生的上衣有4个扣子，如果学生总数是个奇数，扣子总数是偶数，问男生人数是奇数还是偶数？ 【答案】偶数个 【解析】女生扣子数是偶数，是不受人数影响，女生扣子总数永远都是偶数； 但总扣子数是偶数，所以男生扣子总数也是偶数； 又因男生的上衣有5个扣子是奇数，所以只有男生人数为偶数个，才能保证男生扣子总数是偶数和扣子总数是偶数； 答：男生人数为偶数个。 24．“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。”请你试举几例证明这一猜想，并把例子写在下面。 【答案】4＝2＋2；8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一） 【分析】能被2整除的数是偶数，大于2的偶数有4，6，8，10……；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，比如2，3，5，7，11，13，17，19……。据此举例解答。 【解析】4＝2＋2；8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一） 通过示例能够证明“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”这一猜想。 25．一箱苹果，如果每8个装一盒，还剩余6个；如果每10个装一盒，也剩余6个。这箱苹果至少有多少个？ 【答案】46个 【分析】这箱苹果每8个装一盒，还剩余6个，如果每10个装一盒，也剩余6个，说明苹果个数比8和10的公倍数多6，求出8和10的最小公倍数，再加上6即可。 【解析】8＝2×2×2 10＝2×5 最小公倍数：2×5×2×2＝40 40＋6＝46（个） 答：这箱苹果至少有46个。 26．把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，使每组数的乘积相等。（请写出思考方法和分组结果） 【答案】见详解 【分析】将所给数据分解质因数，再分成个数相等的三组，使每组所含相同质因数的个数相等即可。 【解析】20＝2×2×5 26＝2×13 33＝3×11 39＝3×13 42＝2×3×7 44＝2×2×11 55＝5×11 91＝7×13 包含6个2，3个3、5、7、11、13 分成三组：26×42×55＝20×33×91＝35×39×44. 答：把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组：26×42×55＝20×33×91＝35×39×44，每组数的乘积相等。 27．小华沿21路车的路线匀速行走，每6分钟迎面遇到一辆21路车，每12分钟有一辆21路车从后面追上小华。问21路车每隔多少分钟发一辆？（假设21路车两边的总站每隔相同的时间发一辆车，途中匀速行驶，不停任何一站.） 【答案】8分钟 【分析】假设小华在路上向前行走了12（12、6的最小公倍数）分钟后，立即回头再走12分钟，回到原地；这时前12分钟他迎面遇到（12÷6＝2）辆车，后12分钟有（12÷12＝1）辆车追上他，那么在这两个12分钟里他一共遇到朝同一方向开来的3辆车；用（12×2）除以遇到的3辆车，所得结果即为发车的时间间隔。 【解析】12÷6＝2（辆） 12÷12＝1（辆） 12×2÷（2＋1） ＝24÷3 ＝8（分钟） 答：21路车每隔8分钟发一辆。 学科网（北京）股份有限公司 $$专题05 因数和倍数（提升练） 2024-2025小升初数学易错培优专项练 通用版（原卷版） 一、填空题 1．24和36的最大公因数是( )，9和10的最小公倍数是( )。 2．用0、1、4、7可以组成( )个没有重复数字的四位数，它们都是( )的倍数。 3．一个四位数，百位是2，十位是7，能同时被2和3整除。这个四位数最大是( )，最小是( )。 4．学校组织六年级学生开展学雷锋活动。每3人为一组，余1人；每6人为一组，余1人；每7人为一组，少6人。六年级至少有( )名学生。 5．请你从1～100中选中12个数填入下图的圆圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公因数或最小公倍数。 6．王伯伯的车牌号是鲁 ，其中△即是偶数又是质数；◎是最小的合数；◇是10以内最大的质数；☆是9的最大因数。王伯伯的车牌号是鲁 ( )。 7．A＝2×3×n，B＝3×5×n，如果A和B两数的最大公因数是27，那么n是( )，A和B的最小公倍数是( )。 8．欢欢负责照顾家中的花草，妈妈说：“吊兰3天浇一次水，杜鹃花7天浇一次水。”6月2日欢欢给吊兰和杜鹃花同时浇水，这月( )日，欢欢又会在同一天给这两种花浇水。 9．实验小学开展“我是小小宣传员”公益活动，参加人员每16人分成一组，或者每12人分成一组，都正好分完，该校参加“我是小小宣传员”公益活动的学生至少有( )人。 10．规定※n表示不大于n的所有偶数的积，□n表示不能整除n的最小的数。例如：※6＝6×4×2＝48，□10＝3，那么□（※x）＝13，x最小是( )。 二、选择题 11．要使四位数721□既是3的倍数，又是偶数，□里最大可以填（    ）。 A．1 B．2 C．5 D．8 12．a÷2＝b（a，b为非零自然数），a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．3 D．ab 13．5个连续偶数，中间一个数是N，则最大的数是（    ）。 A．N＋1 B．N＋2 C．N＋3 D．N＋4 14．从1，2，3，4，5，6，7这7张数字卡片中任意抽取一张，抽到（    ）的可能性最小。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 15．一个自然数的最小倍数是36，这个数的因数有（    ）个。 A．7 B．8 C．9 D．10 三、判断题 16．如果自然数a是2的倍数，那么 必定是奇数。( ) 17． 的分数单位是 ，再添上5个这样的分数单位正好是最小的质数。( ) 18．任意给出5个连续的非0自然数，其中一定只有一个数是5的倍数。( ) 19．如果 （A、B均为自然数），那么A和B的最大公因数是A。( ) 20．2＋3＝5，2＋5＝7，所以两个质数的和一定是奇数。( ) 四、解答题 21．一个房间的长是3.6米，宽是2.4米。现在要在这个房间铺上相同的方砖。 （1）每块方砖的边长最大是多少分米？ （2）这间房间一共需要多少块这样的方砖？ 22．相同的字母表示相同的数字，现在老师在黑板上写了21BBB这么一个五位数，它是不是3的倍数呢？先判断，再说明你的理由是什么？ 23．教室里共有男女生若干人，男生的上衣有5个扣子，女生的上衣有4个扣子，如果学生总数是个奇数，扣子总数是偶数，问男生人数是奇数还是偶数？ 24．“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。”请你试举几例证明这一猜想，并把例子写在下面。 25．一箱苹果，如果每8个装一盒，还剩余6个；如果每10个装一盒，也剩余6个。这箱苹果至少有多少个？ 26．把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，使每组数的乘积相等。（请写出思考方法和分组结果） 27．小华沿21路车的路线匀速行走，每6分钟迎面遇到一辆21路车，每12分钟有一辆21路车从后面追上小华。问21路车每隔多少分钟发一辆？（假设21路车两边的总站每隔相同的时间发一辆车，途中匀速行驶，不停任何一站.） 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$