专题05 因数和倍数 （讲义）（知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练）-2024-2025小升初数学核心考点精编讲义 通用版（原卷版＋解析版）

专题05 因数和倍数 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版（解析版） 知识梳理 知识点一：因数与倍数的定义及特征 1. 核心概念 概念 定义 示例 关键性质 因数 非0自然数 和 相乘得 （），则 和 是 的因数。 ，2和3是6的因数。 因数是“除数”，必须为非0自然数。 倍数 非0自然数 能被 和 整除（），则 是 和 的倍数。 6÷2=3，6是2和3的倍数。 倍数是“被除数”，最小倍数是自身。 2. 特征对比 项目 因数 倍数 个数 有限个，最小是1，最大是本身。 无限个，最小是本身，没有最大倍数。 依存关系 相互依存，不能单独存在（如不能单独说“3是因数”，需说明“3是6的因数”）。 同上（如“6是倍数”错误，需说明“6是2的倍数”）。 知识点二：2、5、3的倍数特征 倍数特征 具体规则 示例 同时满足多个特征 2的倍数 个位是0、2、4、6、8的数（偶数）。 12、34、56等。 同时是2和5的倍数：个位必为0（如30、100）。 5的倍数 个位是0或5的非零自然数。 15、20、35等。 同时是2、5、3的倍数： ① 个位为0； ② 各位数字和是3的倍数（如30：3+0=3，是3的倍数）。 3的倍数 各个数位上的数字之和是3的倍数。 12（1+2=3）、102（1+0+2=3）等。 — 知识点三：偶数与奇数的定义及性质 概念 定义 符号特征 运算性质 示例 偶数 是2的倍数的数（包括0）。 个位为0、2、4、6、8。 偶数±偶数=偶数，偶数×任意数=偶数。 0、2、4、10等（0是最小偶数）。 奇数 不是2的倍数的数。 个位为1、3、5、7、9。 奇数±奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。 1、3、5、9等（1是最小奇数）。 知识点四：质数与合数的分类及辨析 1. 定义与区别 类别 定义 因数个数 最小数 示例 特殊说明 质数 只有1和它本身两个因数的数。 2个（1和自身） 2（唯一偶质数） 2、3、5、7等（2是最小质数）。 ① 除2外，质数都是奇数； ② 1不是质数。 合数 除1和自身外还有其他因数的数。 ≥3个 4 4、6、8、9等（4是最小合数）。 ① 除0和2外，偶数都是合数； ② 最小合数是4。 2. 特殊数“1”的性质 既不是质数也不是合数，因为它只有1个因数（自身），不满足质数（2个因数）或合数（≥3个因数）的定义。 知识点五：公因数与公倍数的核心内容 1. 定义与关键概念 概念 定义 示例 核心关系 公因数 几个数公有的因数，其中最大的叫最大公因数（GCD）。 12和18的公因数：1、2、3、6，最大公因数是6。 公因数≤较小数，最大公因数≤较小数。 公倍数 几个数公有的倍数，其中最小的叫最小公倍数（LCM）。 4和6的公倍数：12、24、36…，最小公倍数是12。 公倍数≥较大数，最小公倍数≥较大数。 2. 求法对比 方法 步骤说明 示例（求12和18） 适用场景 列举法 ① 列出两数的因数/倍数；② 找公共部分；③ 取最大/最小。 公因数：1、2、3、6 → 最大6； 公倍数：12、24… → 最小12。 数较小时使用（≤100）。 筛选法 公因数：先找小数的因数，再圈出大数的因数； 公倍数：先找大数的倍数，再圈出小数的倍数。 小数12的因数：1、2、3、4、6、12，其中18的因数有1、2、3、6 → 最大6。 快速缩小范围，适合中等数。 短除法 ① 用公因数连续除，直到商互质；② 最大公因数=所有除数相乘； 最小公倍数=除数×最终商相乘。 短除式：2×3=6（最大公因数），2×3×2×3=36（最小公倍数）。 数较大或多个数时（≥3个数）。 3. 特殊关系数的简便算法 两数关系 最大公因数 最小公倍数 示例 倍数关系 较小数 较大数 8和4：GCD=4，LCM=8。 互质关系 1 两数乘积 3和5：GCD=1，LCM=15。 知识点六：互质数的定义与判定 概念 定义 判定条件 常见类型 性质 互质数 公因数只有1的两个数（不限定是否为质数）。 ① 两数公因数仅1； ② 最大公因数=1。 ① 相邻自然数（如5和6）； ② 两个不同质数（如2和3）； ③ 1和任意数（如1和8）。 互质数的最小公倍数=两数乘积； 互质数不一定都是质数（如8和9）。 核心考点精讲 核心考点一：因数和倍数 【典型例题】 在1，3，7，9，18，24这六个数中，9的因数有( )，9的倍数有( )。 【答案】 1，3，9 9，18 【分析】先列举出9的因数和9的倍数，在从1，3，7，9，18，24这六个数中找出哪些数是9的因数、9的倍数。 【解析】9的因数：1，3，9； 9的倍数：9，18，27，36，45…； 在1，3，7，9，18，24这六个数中，9的因数有（1，3，9），9的倍数有（9，18）。 【通关练习】 1．一个数的最大因数是15，这个数的最小因数是( )，最小倍数是( )。 【答案】 1 15 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；据此解答。 【解析】一个数的最大因数是15，这个数的最小因数是（1），最小倍数是（15）。 2．用24个面积为1平方厘米的小正方形拼成一个长方形，一共有( )种拼法。 【答案】4 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，找出长和宽的积等于24的所有整数即可，每组算式中较大的因数就是长，较小的因数是宽，一一列举即可。 【解析】1×24＝24（平方厘米），长为24厘米，宽为1厘米； 2×12＝24（平方厘米），长为12厘米，宽为2厘米； 3×8＝24（平方厘米），长为8厘米，宽为3厘米； 4×6＝24（平方厘米），长为6厘米，宽为4厘米； 所以一共有4种拼法。 3．“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值初夏时节，某植物园种了175株荷花，若来年想扩大种植面积，预计扩大种植后的总株数恰好是在175后添加了一位数，且总株数是15的倍数，则添加的数是( )。 【答案】5 【分析】因为15＝3×5，所以15的倍数的特征是个位是0或5，且各位上的数的和是3的倍数，1＋7＋5＝13，13不是3的倍数，13＋5＝18，18是3的倍数，1755是15的倍数，则添加的数是5。 【解析】1＋7＋5＝13 13＋5＝18 18÷3＝6 据分析可知，“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值初夏时节，某植物园种了175株荷花，若来年想扩大种植面积，预计扩大种植后的总株数恰好是在175后添加了一位数，且总株数是15的倍数，则添加的数是5。 4．文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进( )支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进( )支。 【答案】 159 156 【分析】由题意可知，每3支装一盒，且恰好装完，说明钢笔的数量是3的倍数，根据3的倍数的特征，各位数字之和是3的倍数，找出150到160之间3的倍数，（150刚好是3的倍数，从150开始依次加3，就是3的倍数。）最大的就是所求答案；如果每6支装一盒，且恰好装完，同样找出150到160之间6的倍数，（150刚好是6的倍数，从150开始依次加6，就是6的倍数。）最大的就是所求答案。 【解析】150到160之间3的倍数有：150、153、156、159。 150到160之间6的倍数有：150、156。 文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进159支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进156支。 核心考点二：2、3、5的倍数特征 【典型例题】 用2，5，0，7中的任意三个数按要求组成相应的三位数。（各写两个即可） 2的倍数：( )；3的倍数：( )；5的倍数：( )；同时是2、5、3的倍数：( )。 【答案】 250、752（答案不唯一） 270、207（答案不唯一） 250、270（答案不唯一） 270、720（答案不唯一） 【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。同时是2、5、3的倍数，则这个三位数的个位上应是0，而各数位上的数字之和应是3的倍数。据此组数即可。 【解析】2＋7＝9 用2，5，0，7中的任意三个数按要求组成相应的三位数。（各写两个即可） 2的倍数：250、752；3的倍数：270、207；5的倍数：250、270；同时是2、5、3的倍数：270、720。（答案不唯一） 【通关练习】 1．从0、3、4、5四个数字中任选三个组成三位数，其中能同时被2、3整除的有( )个，能同时被2、3、5整除的有( )。 【答案】 5 540、450 【分析】能被2整除的数：个位数是0、2、4、6、8，即偶数。 能被3整除的数：各位数字之和能被3整除。 能被5整除的数：个位数是0或5。 则同时被2和3整除的三位数：个位是偶数（0或4），且各位数字之和能被3整除。 同时被2、3、5整除的三位数：个位为0，且各位数字之和能被3整除。 【解析】同时被2和3整除的三位数 组合分析：组合0、3、4：无符合条件的三位数。 组合0、3、5：无符合条件的三位数。 组合0、4、5：可组成450（和9）、540（和9）、504（和9），共3个。 组合3、4、5：可组成354（和12）、534（和12），共2个。 则其中能同时被2、3整除的有5个； 同时被2、3、5整除的三位数 组合分析：组合0、4、5：可组成450（和9）、540（和9），共2个。 能同时被2、3、5整除的有450、540； 2．一个三位数45，要使它是3的倍数，里最大填( )；要使它是2、3和5的倍数，里可以填( )。 【答案】 9 0 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解析】 一个三位数45，要使它是3的倍数，4＋5＝9，9＋9＝18，里最大填9；要使它是2、3和5的倍数，里可以填0。 3．在里填合适的数字。 (1)使27既是2的倍数，又是5的倍数，里填 。 (2)使22既是2的倍数，又是3的倍数，里可以填 。 (3)使57既是3的倍数，又是5的倍数，里填 。 【答案】(1)0 (2)2、8 (3)0 【分析】（1）同时是2和5倍数的倍数特征：个位数字是0； （2）同时是2和3倍数的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数； （3）同时是3和5倍数的倍数特征：个位数字是0或5，各个位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【解析】（1） 分析可知，使27既是2的倍数，又是5的倍数，里填0。 （2）个位数字为0时，2＋2＋0＝4，4不是3的倍数； 个位数字为2时，2＋2＋2＝6，6是3的倍数； 个位数字为4时，2＋2＋4＝8，8不是3的倍数； 个位数字为6时，2＋2＋6＝10，10不是3的倍数； 个位数字为8时，2＋2＋8＝12，12是3的倍数。 综上所述，使22既是2的倍数，又是3的倍数，里可以填2、8。 （3）个位数字为0时，5＋7＋0＝12，12是3的倍数； 个位数字为5时，5＋7＋5＝17，17不是3的倍数。 综上所述，使57既是3的倍数，又是5的倍数，里填0。 核心考点三：奇数和偶数 【典型例题】 不计算，直接判断下面各题的计算结果是奇数还是偶数。 318＋427－516( )    428－105－87( )    27×82×15( )     65×18＋29( ) 【答案】 奇数 偶数 偶数 奇数 【分析】根据奇数和偶数的定义可以发现，一个自然数只要个位能够被2整除，那么这个数就能够被2整除，则这个数就是偶数，如果一个自然数个位数字不能被2整除，那么这个数就不能被2整除，则这个数就是奇数。因此只需要判断各题结果中的个位数字就可以了。 【解析】318＋427－516（奇数）    428－105－87（偶数） 27×82×15（偶数）     65×18＋29（奇数） 【通关练习】 1．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13的和是( )数，13×24×5×11×99的积是( )数。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】 奇 偶 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质： 偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数； 奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。 【解析】（1）奇数个连续奇数相加，和是奇数； 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13是7个连续奇数相加，所以和是奇数。 （2）13×24×5×11×99中有4个奇数，1个偶数；4个奇数的积是奇数，奇数×偶数＝偶数，所以积是偶数。 填空如下： 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13的和是（奇）数，13×24×5×11×99的积是（偶）数。 2．50名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，则乙队人数为( )数；如果甲队人数为偶数，则乙队人数为( )数。 【答案】 奇 偶 【分析】奇数是指不能被2整除的数，偶数是指能被2整除的数。根据奇数、偶数的运算定理，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数。据此可得出答案。 【解析】50名学生分为甲、乙两队，50为偶数。如果甲队人数为奇数，则奇数＋奇数＝偶数，则乙队人数为奇数；如果甲队人数为偶数，则偶数＋偶数＝偶数，乙队人数为偶数。 3．某场科技竞赛，共10道题，答对一题得10分，答错或不答倒扣2分，扣完为止。那么每名参赛学生的总分一定是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【分析】分两种情况：①如果答对的题数是偶数，则答错的题数也是偶数；②如果答对的题数是奇数，则答错的题数也是奇数；根据偶数－偶数＝偶数，偶数－奇数＝奇数，奇数－奇数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；据此解答。 【解析】①如果答对的题数是偶数，10－偶数＝偶数，则答错的题数也是偶数。 偶数×10＝偶数，偶数×2＝偶数， 偶数－偶数＝偶数，因此最终得分是偶数。 ②如果答对的题数是奇数，10－奇数＝奇数，则答错的题数也是奇数。 奇数×10＝偶数，奇数×2＝偶数， 偶数－偶数＝偶数，因此最终得分是偶数。 因此每名参赛学生的总分一定是偶数。 核心考点四：质数和合数 【典型例题】 你知道它们代表的数各是多少吗？ ( )  ( )  ( )  ( )  ( )  ( ) 【答案】 4 13 8 10 5 7 【分析】根据质数和合数的含义：在大于1的自然数中，如果只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数；合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。1既不属于质数也不属于合数。结合题意分析即可。 【解析】根据已知条件，质数和合数的和为17，则他们分别小于17，小于17的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16，小于17的质数有2、3、5、7、11、13，所以4＋13＝17，6＋11＝17，10＋7＝17，12＋5＝17，14＋3＝17，15＋2＝17，因为它们的积是52，4×13＝52，，所以这两个数为4和13。 两个合数的和为18，则这两个数是小于18的合数，小于18的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16，所以4＋14＝18，6＋12＝18，8＋10＝18，9＋9＝18，因为这两个合数的差为2，10－8＝2，所以这两个数为8和10。 两个质数的和是12，则这两个数是小于12的质数，小于12的质数有2，、3、5、7、11，所以5＋7＝12，因为它们的积为35，5×7＝35，所以这两个数为5和7。 即它们代表的数各是4、13、8、10、5、7 【通关练习】 1．能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是( )。 【答案】23 【分析】由左边的锁上的信息可知这是一个两位数；由中间的锁上的信息可知两位数的最高位是2，那么这个两位数是20——30之间的数；再由第三个锁上的信息，20以内连续3个质数相加的和大于20，那么由此可这3个连续的质数是5、7、11。由此解答。 【解析】5＋7＋11＝23 23满足三把锁上的所有条件。 能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是（23）。 【总结】解决此类问题首先把选取最容易筛选的条件，将选取范围缩到最小，然后再依据剩下的条件进一步筛选，最终进行验证确定。 2．在0，1，2，18，27，35，51，97中，质数有( )，合数有( )。 【答案】 2、97 18、27、35、51 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。0既不是质数也不是合数，因为质数与合数的定义都是基于大于1的自然数，而0不符合这些定义的前提条件。1不是质数也不是合数，质数必须有两个不同的因数，而1只有一个因数。 【解析】0：既不是质数也不是合数； 1：既不是质数也不是合数； 2：只有1和本身，没有其他因数，质数； 18：可以被1、2、3、6、9、18整除，合数； 27：能被1、3、9、27整除，合数； 35：能被1、5、7、35整除，合数； 51：能被1、3、17、51整除，合数； 97：只有1和本身，没有其他因数，质数。 质数有2、97，合数有18、27、35、51。 3．在括号里填合适的质数。 24＝( )＋( )             24＝( )×( )×( )×( )        60＝( )＋( ) 60＝( )×( )×( )×( ) 【答案】 5 19 2 2 2 3 3 57 2 2 3 5 【分析】一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；据此填空即可。 【解析】24＝5＋19＝7＋17＝11＋13 24＝2×2×2×3 60＝3＋57（答案不唯一） 60＝2×2×3×5 核心考点五：最大公因数的应用 【典型例题】 张伯伯要把下面的木料截成若干块相同的正方形小木板。要使木料没有剩余，所截成的正方形小木板边长最大是多少分米？能截成多少块这样的小木板？ 【答案】6分米；6块 【分析】把一块长方形木料截成若干块相同的正方形小木板且没有剩余，说明正方形小木板的边长是长、宽的公因数，求正方形小木板的最长边长，就是求长、宽的最大公因数；用分解质因数的方法求出长、宽的最大公因数，再分别求出长、宽各可以截几个，最后相乘就是能截的块数。 【解析】18＝2×3×3 12＝2×2×3 18和12的最大公因数是：2×3＝6 即正方形小木板边长最大是6分米。 18÷6＝3（个） 12÷6＝2（个） 一共：3×2＝6（块） 答：所截成的正方形小木板边长最大是6分米，能截成6块这样的小木板。 【通关练习】 1．五年级同学参加植树活动，其中男生有72人，女生48人。现在要把参加植树的同学平均分成若干个小组，并且每个小组里男生人数相等，女生人数也相等，最多可以分成多少个小组？每个小组里男生、女生各有多少人？ 【答案】24个小组；3个男生；2个女生 【分析】要想每个小组中男生人数相等，女生人数也相等，组数必须是男生和女生人数的公因数，求出男女生人数的最大公因数是最多编成的组数； 男生人数÷组数＝每组男生的人数；女生人数÷组数＝每组女生的人数。据此列式解答即可。 【解析】72的因数：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72 48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 72和48的最大公因数为：24 72÷24＝3（人） 48÷24＝2（人） 答：最多可以分成24个小组，每个小组里男生有3人，每个小组女生有2人。 2．把42千克香蕉、112千克苹果、70千克橘子平均分给幼儿园的几个班，每个班分到这三种水果的质量分别相等（都是整千克数），那么最多分给了几个班？每个班至少分到这三种水果各多少千克？ 【答案】14个班；3千克、8千克、5千克 【分析】要想每个班分到三种水果的数量分别相等，那么班级数就是42、112、70这三个数的公因数，要求最多分给几个班，就是求这三个数的最大公因数；先把42、112、70这三个数分别分解质因数，把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；求出班级数后，再用每种水果的总重量除以班级数，就能得到每个班分到每种水果的重量。 【解析】42＝2×3×7 112＝2×2×2×2×7 70＝2×5×7 所以42、112、70的最大公因数是：2×7＝14。 42÷14＝3（千克） 112÷14＝8（千克） 70÷14＝5（千克） 答：最多分给了14个班，每个班至少分到香蕉3千克、苹果8千克、橘子5千克。 3．一个长方形操场长78米，宽60米。在操场的每条边上等距离地放置盆花，操场的四个角各放一盆花，要求相邻两盆花之间的距离尽可能大，一共可以放多少盆花？ 【答案】46盆 【分析】要使相邻两盆花之间的距离尽可能大，需要找到78和60的最大公因数；根据求两个数最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数。再根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，代入数据，求出长方形操场的周长；根据在封闭型植树，棵数＝间距数；用长方形操场的周长÷78和60的最大公因数，即可求出一共可以放花盆的数量。 【解析】78＝2×3×13 60＝2×2×3×5 78和60的最大公因数是2×3＝6 相邻两盆花之间的最大距离是6米。 （78＋60）×2÷6 ＝138×2÷6 ＝276÷6 ＝46（盆） 答：一共可以放46盆花。 4．中央公园有一块三角形的绿地，三条边长分别是24米，36米和30米。园林管理处想在这三条边上等距离地放置休闲椅（三个顶点处各要放置1把），至少需要放置多少把休闲椅？ 【答案】15把 【分析】要使放置的休闲椅最少，则每把椅子之间的距离要最大，根据题意可知，每把椅子之间的最大距离是三条边长度的最大公因数，求最大公因数，先把三个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是三个数的公有的质因数的乘积；据此求出每把椅子之间的最大距离，然后用三角形的周长除以每把椅子之间的最大距离，即可求出休闲椅的数量。 【解析】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 30＝2×3×5 24、36和30的最大公因数是2×3＝6 （24＋36＋30）÷6 ＝90÷6 ＝15（把） 答：至少需要放置15把休闲椅。 5．王老师把28支钢笔和31本笔记本平均奖给四、五年级的优秀学生，结果钢笔多出1支，笔记本差5本，优秀学生最多有几人？ 【答案】9人 【分析】根据题意，钢笔发了27支，笔记本需要发了36本，将这些平均发给学生，也就是学生的人数能被钢笔的数量以及笔记本的数量整数，最多的人数就是找出27和36的最大公因数。 【解析】28－1＝27（支） 31＋5＝36（本） （27，36）＝9（人） 答：优秀学生最多有9人。 核心考点六：最小公倍数的应用 【典型例题】 公路一边共有水杉树52棵，原来每相邻两棵树之间的距离都是8米，现在因树长大了显得较密，要把每相邻两棵树之间的距离改成12米。如果起点的树不移动，那么不需要移动的树还有多少棵？ 【答案】17棵 【分析】分析题目，先根据52棵树之间有（52－1）个间隔，用间隔数乘8求出公路的总长度，再求出8和12的最小公倍数是24，即每隔24米的长度对应的树是不需要移动的，据此用公路的总长度除以24即可解答。 【解析】（52－1）×8 ＝51×8 ＝408（米） 8和12的最小公倍数是24， 408÷24＝17（棵） 答：不需要移动的树有17棵。 【通关练习】 1．甲、乙两人到图书馆借书，甲每4天去一次，乙每5天去一次。如果7月1日甲、乙两人在图书馆相遇，那么他们下一次同一天去图书馆是几月几日？ 【答案】7月21日 【分析】两人同时去图书馆借书的间隔时间是两人借书间隔时间的最小公倍数，求出两人借书间隔时间的最小公倍数，根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下一次同一天去图书馆的时间即可。两数互质，最小公倍数是两数的积。 【解析】4×5＝20（天） 7月1日＋20天＝7月21日 答：他们下一次同一天去图书馆是7月21日。 2．有一筐苹果，平均分给5人，还剩2个；平均分给7人，也还剩2个。这筐苹果最少有多少个？ 【答案】37个 【分析】根据题意，一筐苹果，平均分给5人，还剩2个；平均分给7人，也还剩2个；说明这筐苹果的总数比5和7的公倍数还多2；先求出5和7的最小公倍数，再加上2，就是这筐苹果最少的个数。 【解析】5和7的最小公倍数是：5×7＝35 35＋2＝37（个） 答：这筐苹果最少有37个。 3．甲、乙、丙三人绕操场步行一圈，甲要5分钟，乙要4分钟，丙要6分钟。如果三人的速度不变，且他们同时同地同向出发绕操场步行，那么经过多少分钟后他们第一次在出发点相遇？相遇时三人分别走了多少圈？ 【答案】60分钟；甲：12圈；乙：15圈；丙：10圈 【分析】由题意可知，要求经过多少分钟后他们第一次在出发点相遇，就是要求5、4、6的最小公倍数，可用短除法计算，再用这个最小公倍数分别除以5、4、6，即可得相遇时三人分别走了几圈。 【解析】 （分钟） （圈） （圈） （圈） 答：经过60分钟后他们第一次在出发点相遇；相遇时甲走了12圈，乙走了15圈，丙走了10圈。 4．小明和小亮沿着环形跑道跑步，小明跑一圈要4分钟，小亮跑一圈要6分钟。两人同时从同一地点出发，同向面行，当他们第一次在起点相遇时，各自跑了多少圈？ 【答案】小明3圈；小亮2圈 【分析】根据题意，小明和小亮沿着环形跑道跑步，小明跑一圈要4分钟，小亮跑一圈要6分钟。两人同时从同一地点出发，同向面行，那么他们第一次在起点相遇的时间是4和6的最小公倍数；先求出4和6的最小公倍数，再用这个最小公倍数分别除以两人跑一圈用的时间，即可求出此时两人各跑的圈数。 【解析】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 即12分钟两人第一次在起点相遇。 12÷4＝3（圈） 12÷6＝2（圈） 答：小明跑了3圈，小亮跑了2圈。 真题演练 一、填空题 1．（2024·广东广州·小升初真题）一个四位数“7□6□”能同时被2、3、5整除，个位只能填( )，百位上最大能填( )。 2．（2024·浙江杭州·小升初真题）把36写成两个质数相加的和。 36＝( )＋( )＝( )＋( )。 3．（2024·浙江杭州·小升初真题）用4、5、0组成的三位数中，既是3的倍数又是5的倍数的数有( )个。 4．（2024·山西长治·小升初真题）如果a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 5．（2024·山西长治·小升初真题）用0、6、9三个数字任意组成一个三位数，是偶数的可能性比是3的倍数的可能性( )。（填“大”或“小”） 6．（2024·山西大同·小升初真题）用96朵康乃馨和72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百合朵数也相同，每束花里至少有( )朵花。 7．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除。那么反面上的三个数的平均数是( )。 8．（2023·广东深圳·小升初真题）有一把玩具密码锁，密码是一个两位数，它既是9的倍数，又是18的因数，这把密码锁的密码是( )。 9．（2023·广东深圳·小升初真题）有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成长度相等的若干小段，每段不能有剩余，每小段最长( )米，两根木料一共可以截成( )段。 10．（2024·浙江杭州·小升初真题）表示一个四位整数，那么＝3×1000＋( )＋4×10；如果是3的倍数，那么＝( )。 11．（2024·四川成都·小升初真题）算式的乘积末尾有( )个连续的0。 12．（2022·四川绵阳·小升初真题）你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，令3人一排，多出2人；令5人一排，多出4人；令7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数是( )人。 二、选择题 13．（2024·广东广州·小升初真题）用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2024·浙江宁波·小升初真题）如果x是奇数，y是偶数，那么下面式子中结果是奇数的是（    ）。 A．x＋y＋1 B．2x＋y C．x＋2y D．2（x＋y） 15．（2024·河南三门峡·小升初真题）把分别写有1，2，3，4，…，9，10的10张卡片反扣在桌面上， 打乱顺序后， 任意摸出1张，摸到（    ）的可能性最小。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 16．（2024·河南开封·小升初真题）数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，那么3和5就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是（    ）。 A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 17．（2020·山东泰安·小升初真题）某S为自然数，被10除余数是9，被9除余数是8，被8除余数是7，已知100＜S＜1000，请问这样的数有几个？（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 三、判断题 18．（2020·甘肃陇南·小升初真题）如果n是自然数，那么2n＋1一定是奇数。( ) 19．（2022·湖南怀化·小升初真题）四个连续非0自然数的最小公倍数是60，这四个连续非0自然数的和是15。( ) 20．（2024·河南周口·小升初真题）两个不同的质数的和一定是合数。( ) 21．（2023·湖北荆州·小升初真题）一个正方体骰子的六个面上分别写着数字1～6，把它抛向空中，落下后朝上的点数是合数的可能性是。( ) 22．（2024·河南驻马店·小升初真题）小明和小红到图书馆看书，小明每6天去一次，小红每8天去一次，如果1月12日他们在图书馆相遇，则他们下一次在图书馆相遇是在2月4日。( ) 四、解答题 23．（2022·河北石家庄·小升初真题）一个长方形的硬纸板长是48厘米，宽是36厘米。如果将这个长方形硬纸板分割成最大的正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？ 24．（2022·广东茂名·小升初真题）三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？ 25．（2023·四川成都·小升初真题）一次数学竞赛，某校有200多人参加。其中的人不到70分，的人不到80分，的人达到90分。那么得分在80分到89分的有多少人？ 26．（2023·广东广州·小升初真题）甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：每人从下面3张卡片中任选2张，如果积是2的倍数，甲获胜；如果积是3的倍数，乙获胜；如果积既是2的倍数又是3的倍数就重来。你认为这个游戏公平吗？为什么？ 27．（2015·天津·小升初真题）学校甬路旁栽一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是80米，原来每隔2米植一棵树，现小树长大，改为每5米植一棵树。如果两端不移动，中间有几棵树不用移动？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 因数和倍数 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版（解析版） 知识梳理 知识点一：因数与倍数的定义及特征 1. 核心概念 概念 定义 示例 关键性质 因数 非0自然数 和 相乘得 （），则 和 是 的因数。 ，2和3是6的因数。 因数是“除数”，必须为非0自然数。 倍数 非0自然数 能被 和 整除（），则 是 和 的倍数。 6÷2=3，6是2和3的倍数。 倍数是“被除数”，最小倍数是自身。 2. 特征对比 项目 因数 倍数 个数 有限个，最小是1，最大是本身。 无限个，最小是本身，没有最大倍数。 依存关系 相互依存，不能单独存在（如不能单独说“3是因数”，需说明“3是6的因数”）。 同上（如“6是倍数”错误，需说明“6是2的倍数”）。 知识点二：2、5、3的倍数特征 倍数特征 具体规则 示例 同时满足多个特征 2的倍数 个位是0、2、4、6、8的数（偶数）。 12、34、56等。 同时是2和5的倍数：个位必为0（如30、100）。 5的倍数 个位是0或5的非零自然数。 15、20、35等。 同时是2、5、3的倍数： ① 个位为0； ② 各位数字和是3的倍数（如30：3+0=3，是3的倍数）。 3的倍数 各个数位上的数字之和是3的倍数。 12（1+2=3）、102（1+0+2=3）等。 — 知识点三：偶数与奇数的定义及性质 概念 定义 符号特征 运算性质 示例 偶数 是2的倍数的数（包括0）。 个位为0、2、4、6、8。 偶数±偶数=偶数，偶数×任意数=偶数。 0、2、4、10等（0是最小偶数）。 奇数 不是2的倍数的数。 个位为1、3、5、7、9。 奇数±奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。 1、3、5、9等（1是最小奇数）。 知识点四：质数与合数的分类及辨析 1. 定义与区别 类别 定义 因数个数 最小数 示例 特殊说明 质数 只有1和它本身两个因数的数。 2个（1和自身） 2（唯一偶质数） 2、3、5、7等（2是最小质数）。 ① 除2外，质数都是奇数； ② 1不是质数。 合数 除1和自身外还有其他因数的数。 ≥3个 4 4、6、8、9等（4是最小合数）。 ① 除0和2外，偶数都是合数； ② 最小合数是4。 2. 特殊数“1”的性质 既不是质数也不是合数，因为它只有1个因数（自身），不满足质数（2个因数）或合数（≥3个因数）的定义。 知识点五：公因数与公倍数的核心内容 1. 定义与关键概念 概念 定义 示例 核心关系 公因数 几个数公有的因数，其中最大的叫最大公因数（GCD）。 12和18的公因数：1、2、3、6，最大公因数是6。 公因数≤较小数，最大公因数≤较小数。 公倍数 几个数公有的倍数，其中最小的叫最小公倍数（LCM）。 4和6的公倍数：12、24、36…，最小公倍数是12。 公倍数≥较大数，最小公倍数≥较大数。 2. 求法对比 方法 步骤说明 示例（求12和18） 适用场景 列举法 ① 列出两数的因数/倍数；② 找公共部分；③ 取最大/最小。 公因数：1、2、3、6 → 最大6； 公倍数：12、24… → 最小12。 数较小时使用（≤100）。 筛选法 公因数：先找小数的因数，再圈出大数的因数； 公倍数：先找大数的倍数，再圈出小数的倍数。 小数12的因数：1、2、3、4、6、12，其中18的因数有1、2、3、6 → 最大6。 快速缩小范围，适合中等数。 短除法 ① 用公因数连续除，直到商互质；② 最大公因数=所有除数相乘； 最小公倍数=除数×最终商相乘。 短除式：2×3=6（最大公因数），2×3×2×3=36（最小公倍数）。 数较大或多个数时（≥3个数）。 3. 特殊关系数的简便算法 两数关系 最大公因数 最小公倍数 示例 倍数关系 较小数 较大数 8和4：GCD=4，LCM=8。 互质关系 1 两数乘积 3和5：GCD=1，LCM=15。 知识点六：互质数的定义与判定 概念 定义 判定条件 常见类型 性质 互质数 公因数只有1的两个数（不限定是否为质数）。 ① 两数公因数仅1； ② 最大公因数=1。 ① 相邻自然数（如5和6）； ② 两个不同质数（如2和3）； ③ 1和任意数（如1和8）。 互质数的最小公倍数=两数乘积； 互质数不一定都是质数（如8和9）。 核心考点精讲 核心考点一：因数和倍数 【典型例题】 在1，3，7，9，18，24这六个数中，9的因数有( )，9的倍数有( )。 【答案】 1，3，9 9，18 【分析】先列举出9的因数和9的倍数，在从1，3，7，9，18，24这六个数中找出哪些数是9的因数、9的倍数。 【解析】9的因数：1，3，9； 9的倍数：9，18，27，36，45…； 在1，3，7，9，18，24这六个数中，9的因数有（1，3，9），9的倍数有（9，18）。 【通关练习】 1．一个数的最大因数是15，这个数的最小因数是( )，最小倍数是( )。 【答案】 1 15 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；据此解答。 【解析】一个数的最大因数是15，这个数的最小因数是（1），最小倍数是（15）。 2．用24个面积为1平方厘米的小正方形拼成一个长方形，一共有( )种拼法。 【答案】4 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，找出长和宽的积等于24的所有整数即可，每组算式中较大的因数就是长，较小的因数是宽，一一列举即可。 【解析】1×24＝24（平方厘米），长为24厘米，宽为1厘米； 2×12＝24（平方厘米），长为12厘米，宽为2厘米； 3×8＝24（平方厘米），长为8厘米，宽为3厘米； 4×6＝24（平方厘米），长为6厘米，宽为4厘米； 所以一共有4种拼法。 3．“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值初夏时节，某植物园种了175株荷花，若来年想扩大种植面积，预计扩大种植后的总株数恰好是在175后添加了一位数，且总株数是15的倍数，则添加的数是( )。 【答案】5 【分析】因为15＝3×5，所以15的倍数的特征是个位是0或5，且各位上的数的和是3的倍数，1＋7＋5＝13，13不是3的倍数，13＋5＝18，18是3的倍数，1755是15的倍数，则添加的数是5。 【解析】1＋7＋5＝13 13＋5＝18 18÷3＝6 据分析可知，“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值初夏时节，某植物园种了175株荷花，若来年想扩大种植面积，预计扩大种植后的总株数恰好是在175后添加了一位数，且总株数是15的倍数，则添加的数是5。 4．文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进( )支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进( )支。 【答案】 159 156 【分析】由题意可知，每3支装一盒，且恰好装完，说明钢笔的数量是3的倍数，根据3的倍数的特征，各位数字之和是3的倍数，找出150到160之间3的倍数，（150刚好是3的倍数，从150开始依次加3，就是3的倍数。）最大的就是所求答案；如果每6支装一盒，且恰好装完，同样找出150到160之间6的倍数，（150刚好是6的倍数，从150开始依次加6，就是6的倍数。）最大的就是所求答案。 【解析】150到160之间3的倍数有：150、153、156、159。 150到160之间6的倍数有：150、156。 文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进159支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进156支。 核心考点二：2、3、5的倍数特征 【典型例题】 用2，5，0，7中的任意三个数按要求组成相应的三位数。（各写两个即可） 2的倍数：( )；3的倍数：( )；5的倍数：( )；同时是2、5、3的倍数：( )。 【答案】 250、752（答案不唯一） 270、207（答案不唯一） 250、270（答案不唯一） 270、720（答案不唯一） 【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。同时是2、5、3的倍数，则这个三位数的个位上应是0，而各数位上的数字之和应是3的倍数。据此组数即可。 【解析】2＋7＝9 用2，5，0，7中的任意三个数按要求组成相应的三位数。（各写两个即可） 2的倍数：250、752；3的倍数：270、207；5的倍数：250、270；同时是2、5、3的倍数：270、720。（答案不唯一） 【通关练习】 1．从0、3、4、5四个数字中任选三个组成三位数，其中能同时被2、3整除的有( )个，能同时被2、3、5整除的有( )。 【答案】 5 540、450 【分析】能被2整除的数：个位数是0、2、4、6、8，即偶数。 能被3整除的数：各位数字之和能被3整除。 能被5整除的数：个位数是0或5。 则同时被2和3整除的三位数：个位是偶数（0或4），且各位数字之和能被3整除。 同时被2、3、5整除的三位数：个位为0，且各位数字之和能被3整除。 【解析】同时被2和3整除的三位数 组合分析：组合0、3、4：无符合条件的三位数。 组合0、3、5：无符合条件的三位数。 组合0、4、5：可组成450（和9）、540（和9）、504（和9），共3个。 组合3、4、5：可组成354（和12）、534（和12），共2个。 则其中能同时被2、3整除的有5个； 同时被2、3、5整除的三位数 组合分析：组合0、4、5：可组成450（和9）、540（和9），共2个。 能同时被2、3、5整除的有450、540； 2．一个三位数45，要使它是3的倍数，里最大填( )；要使它是2、3和5的倍数，里可以填( )。 【答案】 9 0 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解析】 一个三位数45，要使它是3的倍数，4＋5＝9，9＋9＝18，里最大填9；要使它是2、3和5的倍数，里可以填0。 3．在里填合适的数字。 (1)使27既是2的倍数，又是5的倍数，里填 。 (2)使22既是2的倍数，又是3的倍数，里可以填 。 (3)使57既是3的倍数，又是5的倍数，里填 。 【答案】(1)0 (2)2、8 (3)0 【分析】（1）同时是2和5倍数的倍数特征：个位数字是0； （2）同时是2和3倍数的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数； （3）同时是3和5倍数的倍数特征：个位数字是0或5，各个位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【解析】（1） 分析可知，使27既是2的倍数，又是5的倍数，里填0。 （2）个位数字为0时，2＋2＋0＝4，4不是3的倍数； 个位数字为2时，2＋2＋2＝6，6是3的倍数； 个位数字为4时，2＋2＋4＝8，8不是3的倍数； 个位数字为6时，2＋2＋6＝10，10不是3的倍数； 个位数字为8时，2＋2＋8＝12，12是3的倍数。 综上所述，使22既是2的倍数，又是3的倍数，里可以填2、8。 （3）个位数字为0时，5＋7＋0＝12，12是3的倍数； 个位数字为5时，5＋7＋5＝17，17不是3的倍数。 综上所述，使57既是3的倍数，又是5的倍数，里填0。 核心考点三：奇数和偶数 【典型例题】 不计算，直接判断下面各题的计算结果是奇数还是偶数。 318＋427－516( )    428－105－87( )    27×82×15( )     65×18＋29( ) 【答案】 奇数 偶数 偶数 奇数 【分析】根据奇数和偶数的定义可以发现，一个自然数只要个位能够被2整除，那么这个数就能够被2整除，则这个数就是偶数，如果一个自然数个位数字不能被2整除，那么这个数就不能被2整除，则这个数就是奇数。因此只需要判断各题结果中的个位数字就可以了。 【解析】318＋427－516（奇数）    428－105－87（偶数） 27×82×15（偶数）     65×18＋29（奇数） 【通关练习】 1．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13的和是( )数，13×24×5×11×99的积是( )数。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】 奇 偶 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质： 偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数； 奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。 【解析】（1）奇数个连续奇数相加，和是奇数； 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13是7个连续奇数相加，所以和是奇数。 （2）13×24×5×11×99中有4个奇数，1个偶数；4个奇数的积是奇数，奇数×偶数＝偶数，所以积是偶数。 填空如下： 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13的和是（奇）数，13×24×5×11×99的积是（偶）数。 2．50名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，则乙队人数为( )数；如果甲队人数为偶数，则乙队人数为( )数。 【答案】 奇 偶 【分析】奇数是指不能被2整除的数，偶数是指能被2整除的数。根据奇数、偶数的运算定理，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数。据此可得出答案。 【解析】50名学生分为甲、乙两队，50为偶数。如果甲队人数为奇数，则奇数＋奇数＝偶数，则乙队人数为奇数；如果甲队人数为偶数，则偶数＋偶数＝偶数，乙队人数为偶数。 3．某场科技竞赛，共10道题，答对一题得10分，答错或不答倒扣2分，扣完为止。那么每名参赛学生的总分一定是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【分析】分两种情况：①如果答对的题数是偶数，则答错的题数也是偶数；②如果答对的题数是奇数，则答错的题数也是奇数；根据偶数－偶数＝偶数，偶数－奇数＝奇数，奇数－奇数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；据此解答。 【解析】①如果答对的题数是偶数，10－偶数＝偶数，则答错的题数也是偶数。 偶数×10＝偶数，偶数×2＝偶数， 偶数－偶数＝偶数，因此最终得分是偶数。 ②如果答对的题数是奇数，10－奇数＝奇数，则答错的题数也是奇数。 奇数×10＝偶数，奇数×2＝偶数， 偶数－偶数＝偶数，因此最终得分是偶数。 因此每名参赛学生的总分一定是偶数。 核心考点四：质数和合数 【典型例题】 你知道它们代表的数各是多少吗？ ( )  ( )  ( )  ( )  ( )  ( ) 【答案】 4 13 8 10 5 7 【分析】根据质数和合数的含义：在大于1的自然数中，如果只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数；合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。1既不属于质数也不属于合数。结合题意分析即可。 【解析】根据已知条件，质数和合数的和为17，则他们分别小于17，小于17的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16，小于17的质数有2、3、5、7、11、13，所以4＋13＝17，6＋11＝17，10＋7＝17，12＋5＝17，14＋3＝17，15＋2＝17，因为它们的积是52，4×13＝52，，所以这两个数为4和13。 两个合数的和为18，则这两个数是小于18的合数，小于18的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16，所以4＋14＝18，6＋12＝18，8＋10＝18，9＋9＝18，因为这两个合数的差为2，10－8＝2，所以这两个数为8和10。 两个质数的和是12，则这两个数是小于12的质数，小于12的质数有2，、3、5、7、11，所以5＋7＝12，因为它们的积为35，5×7＝35，所以这两个数为5和7。 即它们代表的数各是4、13、8、10、5、7 【通关练习】 1．能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是( )。 【答案】23 【分析】由左边的锁上的信息可知这是一个两位数；由中间的锁上的信息可知两位数的最高位是2，那么这个两位数是20——30之间的数；再由第三个锁上的信息，20以内连续3个质数相加的和大于20，那么由此可这3个连续的质数是5、7、11。由此解答。 【解析】5＋7＋11＝23 23满足三把锁上的所有条件。 能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是（23）。 【总结】解决此类问题首先把选取最容易筛选的条件，将选取范围缩到最小，然后再依据剩下的条件进一步筛选，最终进行验证确定。 2．在0，1，2，18，27，35，51，97中，质数有( )，合数有( )。 【答案】 2、97 18、27、35、51 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。0既不是质数也不是合数，因为质数与合数的定义都是基于大于1的自然数，而0不符合这些定义的前提条件。1不是质数也不是合数，质数必须有两个不同的因数，而1只有一个因数。 【解析】0：既不是质数也不是合数； 1：既不是质数也不是合数； 2：只有1和本身，没有其他因数，质数； 18：可以被1、2、3、6、9、18整除，合数； 27：能被1、3、9、27整除，合数； 35：能被1、5、7、35整除，合数； 51：能被1、3、17、51整除，合数； 97：只有1和本身，没有其他因数，质数。 质数有2、97，合数有18、27、35、51。 3．在括号里填合适的质数。 24＝( )＋( )             24＝( )×( )×( )×( )        60＝( )＋( ) 60＝( )×( )×( )×( ) 【答案】 5 19 2 2 2 3 3 57 2 2 3 5 【分析】一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；据此填空即可。 【解析】24＝5＋19＝7＋17＝11＋13 24＝2×2×2×3 60＝3＋57（答案不唯一） 60＝2×2×3×5 核心考点五：最大公因数的应用 【典型例题】 张伯伯要把下面的木料截成若干块相同的正方形小木板。要使木料没有剩余，所截成的正方形小木板边长最大是多少分米？能截成多少块这样的小木板？ 【答案】6分米；6块 【分析】把一块长方形木料截成若干块相同的正方形小木板且没有剩余，说明正方形小木板的边长是长、宽的公因数，求正方形小木板的最长边长，就是求长、宽的最大公因数；用分解质因数的方法求出长、宽的最大公因数，再分别求出长、宽各可以截几个，最后相乘就是能截的块数。 【解析】18＝2×3×3 12＝2×2×3 18和12的最大公因数是：2×3＝6 即正方形小木板边长最大是6分米。 18÷6＝3（个） 12÷6＝2（个） 一共：3×2＝6（块） 答：所截成的正方形小木板边长最大是6分米，能截成6块这样的小木板。 【通关练习】 1．五年级同学参加植树活动，其中男生有72人，女生48人。现在要把参加植树的同学平均分成若干个小组，并且每个小组里男生人数相等，女生人数也相等，最多可以分成多少个小组？每个小组里男生、女生各有多少人？ 【答案】24个小组；3个男生；2个女生 【分析】要想每个小组中男生人数相等，女生人数也相等，组数必须是男生和女生人数的公因数，求出男女生人数的最大公因数是最多编成的组数； 男生人数÷组数＝每组男生的人数；女生人数÷组数＝每组女生的人数。据此列式解答即可。 【解析】72的因数：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72 48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 72和48的最大公因数为：24 72÷24＝3（人） 48÷24＝2（人） 答：最多可以分成24个小组，每个小组里男生有3人，每个小组女生有2人。 2．把42千克香蕉、112千克苹果、70千克橘子平均分给幼儿园的几个班，每个班分到这三种水果的质量分别相等（都是整千克数），那么最多分给了几个班？每个班至少分到这三种水果各多少千克？ 【答案】14个班；3千克、8千克、5千克 【分析】要想每个班分到三种水果的数量分别相等，那么班级数就是42、112、70这三个数的公因数，要求最多分给几个班，就是求这三个数的最大公因数；先把42、112、70这三个数分别分解质因数，把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；求出班级数后，再用每种水果的总重量除以班级数，就能得到每个班分到每种水果的重量。 【解析】42＝2×3×7 112＝2×2×2×2×7 70＝2×5×7 所以42、112、70的最大公因数是：2×7＝14。 42÷14＝3（千克） 112÷14＝8（千克） 70÷14＝5（千克） 答：最多分给了14个班，每个班至少分到香蕉3千克、苹果8千克、橘子5千克。 3．一个长方形操场长78米，宽60米。在操场的每条边上等距离地放置盆花，操场的四个角各放一盆花，要求相邻两盆花之间的距离尽可能大，一共可以放多少盆花？ 【答案】46盆 【分析】要使相邻两盆花之间的距离尽可能大，需要找到78和60的最大公因数；根据求两个数最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数。再根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，代入数据，求出长方形操场的周长；根据在封闭型植树，棵数＝间距数；用长方形操场的周长÷78和60的最大公因数，即可求出一共可以放花盆的数量。 【解析】78＝2×3×13 60＝2×2×3×5 78和60的最大公因数是2×3＝6 相邻两盆花之间的最大距离是6米。 （78＋60）×2÷6 ＝138×2÷6 ＝276÷6 ＝46（盆） 答：一共可以放46盆花。 4．中央公园有一块三角形的绿地，三条边长分别是24米，36米和30米。园林管理处想在这三条边上等距离地放置休闲椅（三个顶点处各要放置1把），至少需要放置多少把休闲椅？ 【答案】15把 【分析】要使放置的休闲椅最少，则每把椅子之间的距离要最大，根据题意可知，每把椅子之间的最大距离是三条边长度的最大公因数，求最大公因数，先把三个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是三个数的公有的质因数的乘积；据此求出每把椅子之间的最大距离，然后用三角形的周长除以每把椅子之间的最大距离，即可求出休闲椅的数量。 【解析】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 30＝2×3×5 24、36和30的最大公因数是2×3＝6 （24＋36＋30）÷6 ＝90÷6 ＝15（把） 答：至少需要放置15把休闲椅。 5．王老师把28支钢笔和31本笔记本平均奖给四、五年级的优秀学生，结果钢笔多出1支，笔记本差5本，优秀学生最多有几人？ 【答案】9人 【分析】根据题意，钢笔发了27支，笔记本需要发了36本，将这些平均发给学生，也就是学生的人数能被钢笔的数量以及笔记本的数量整数，最多的人数就是找出27和36的最大公因数。 【解析】28－1＝27（支） 31＋5＝36（本） （27，36）＝9（人） 答：优秀学生最多有9人。 核心考点六：最小公倍数的应用 【典型例题】 公路一边共有水杉树52棵，原来每相邻两棵树之间的距离都是8米，现在因树长大了显得较密，要把每相邻两棵树之间的距离改成12米。如果起点的树不移动，那么不需要移动的树还有多少棵？ 【答案】17棵 【分析】分析题目，先根据52棵树之间有（52－1）个间隔，用间隔数乘8求出公路的总长度，再求出8和12的最小公倍数是24，即每隔24米的长度对应的树是不需要移动的，据此用公路的总长度除以24即可解答。 【解析】（52－1）×8 ＝51×8 ＝408（米） 8和12的最小公倍数是24， 408÷24＝17（棵） 答：不需要移动的树有17棵。 【通关练习】 1．甲、乙两人到图书馆借书，甲每4天去一次，乙每5天去一次。如果7月1日甲、乙两人在图书馆相遇，那么他们下一次同一天去图书馆是几月几日？ 【答案】7月21日 【分析】两人同时去图书馆借书的间隔时间是两人借书间隔时间的最小公倍数，求出两人借书间隔时间的最小公倍数，根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下一次同一天去图书馆的时间即可。两数互质，最小公倍数是两数的积。 【解析】4×5＝20（天） 7月1日＋20天＝7月21日 答：他们下一次同一天去图书馆是7月21日。 2．有一筐苹果，平均分给5人，还剩2个；平均分给7人，也还剩2个。这筐苹果最少有多少个？ 【答案】37个 【分析】根据题意，一筐苹果，平均分给5人，还剩2个；平均分给7人，也还剩2个；说明这筐苹果的总数比5和7的公倍数还多2；先求出5和7的最小公倍数，再加上2，就是这筐苹果最少的个数。 【解析】5和7的最小公倍数是：5×7＝35 35＋2＝37（个） 答：这筐苹果最少有37个。 3．甲、乙、丙三人绕操场步行一圈，甲要5分钟，乙要4分钟，丙要6分钟。如果三人的速度不变，且他们同时同地同向出发绕操场步行，那么经过多少分钟后他们第一次在出发点相遇？相遇时三人分别走了多少圈？ 【答案】60分钟；甲：12圈；乙：15圈；丙：10圈 【分析】由题意可知，要求经过多少分钟后他们第一次在出发点相遇，就是要求5、4、6的最小公倍数，可用短除法计算，再用这个最小公倍数分别除以5、4、6，即可得相遇时三人分别走了几圈。 【解析】 （分钟） （圈） （圈） （圈） 答：经过60分钟后他们第一次在出发点相遇；相遇时甲走了12圈，乙走了15圈，丙走了10圈。 4．小明和小亮沿着环形跑道跑步，小明跑一圈要4分钟，小亮跑一圈要6分钟。两人同时从同一地点出发，同向面行，当他们第一次在起点相遇时，各自跑了多少圈？ 【答案】小明3圈；小亮2圈 【分析】根据题意，小明和小亮沿着环形跑道跑步，小明跑一圈要4分钟，小亮跑一圈要6分钟。两人同时从同一地点出发，同向面行，那么他们第一次在起点相遇的时间是4和6的最小公倍数；先求出4和6的最小公倍数，再用这个最小公倍数分别除以两人跑一圈用的时间，即可求出此时两人各跑的圈数。 【解析】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 即12分钟两人第一次在起点相遇。 12÷4＝3（圈） 12÷6＝2（圈） 答：小明跑了3圈，小亮跑了2圈。 真题演练 一、填空题 1．（2024·广东广州·小升初真题）一个四位数“7□6□”能同时被2、3、5整除，个位只能填( )，百位上最大能填( )。 【答案】 0 8 【分析】同时是2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是0，各个数位上数字相加的和是3的倍数，所以这个四位数的个位数字只能是0，再从最大的一位数判断这个数各个数位上的数字之和是否为3的倍数，据此解答。 【解析】分析可知，这个四位数的个位只能填0。 当百位数字为9时，7＋9＋6＋0＝22，22不是3的倍数； 当百位数字为8时，7＋8＋6＋0＝21，21是3的倍数。 所以，一个四位数“7□6□”能同时被2、3、5整除，个位只能填0，百位上最大能填8。 2．（2024·浙江杭州·小升初真题）把36写成两个质数相加的和。 36＝( )＋( )＝( )＋( )。 【答案】 5 31 13 23 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此将36写成两个质数相加的形式。 【解析】36＝5＋31＝13＋23＝7＋29＝17＋19 3．（2024·浙江杭州·小升初真题）用4、5、0组成的三位数中，既是3的倍数又是5的倍数的数有( )个。 【答案】3 【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解析】用4、5、0组成的三位数中，既是3的倍数又是5的倍数的数有450、540、405，共3个。 4．（2024·山西长治·小升初真题）如果a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 14 210 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 【解析】a＝2×3×7 b＝2×5×7 a和b的最大公因数是：2×7＝14； a和b的最小公倍数是：2×3×5×7＝210。 填空如下： 如果a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么a和b的最大公因数是（14），最小公倍数是（210）。 5．（2024·山西长治·小升初真题）用0、6、9三个数字任意组成一个三位数，是偶数的可能性比是3的倍数的可能性( )。（填“大”或“小”） 【答案】小 【分析】先列举出0、6、9组成的所有三位数，分析2的倍数、3的倍数各有几个，再比较个数的多少，根据判断可能性大小的方法，个数多的，可能性就大；个数少的，可能性就小。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解析】0＋6＋9＝15，15是3的倍数； 由0、6、9组成的三位数有：690、609、906、960，共4个，都是3的倍数； 其中是偶数的有690、960、906，共3个； 3＜4，偶数的个数比3的倍数的个数少； 所以，用0、6、9三个数字任意组成一个三位数，是偶数的可能性比是3的倍数的可能性（小）。 6．（2024·山西大同·小升初真题）用96朵康乃馨和72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百合朵数也相同，每束花里至少有( )朵花。 【答案】7 【分析】若每个花束的康乃馨和粉百合花的朵数相同，说明康乃馨和粉百合花都是等分的，而且分的份数相同，要使每束花里花朵数最少，只要求出96和72的最大公因数，即可获得花束数，花的总数96＋72除以花束数，就得到每个花束里至少有多少朵花。 【解析】96＝2×2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 96和72的最大公因数：2×2×2×3＝24 96÷24＋72÷24 ＝4＋3 ＝7（朵） 每束花里至少有7朵花。 7．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除。那么反面上的三个数的平均数是( )。 【答案】12 【分析】分析题目，28、40、49的奇偶情况是：偶数、偶数、奇数；如果和是偶数，则反面上的三个数的奇偶情况是偶数、偶数、奇数；和是奇数，则反面上的三个数的奇偶情况是奇数、奇数、偶数。反面上的数都只能被1和它自己整除，是质数，而在质数中，只有2是偶数，所以反面上的三个数的奇偶情况只能是奇数、奇数、偶数，则49的背面是2，正反面之和是49＋2＝51，据此可知反面其他两个数分别为51－28和51－40，据此求出反面三个数的和再除以3即可求出它们的平均数。 【解析】因为28、40、49奇偶性不一样，根据卡片正反面上两个数字和相等，所以49的背面是2，和为49＋2＝51。 [（51－28）＋（51－40）＋2]÷3 ＝[23＋11＋2]÷3 ＝36÷3 ＝12 小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除。那么反面上的三个数的平均数是12。 8．（2023·广东深圳·小升初真题）有一把玩具密码锁，密码是一个两位数，它既是9的倍数，又是18的因数，这把密码锁的密码是( )。 【答案】18 【分析】根据求一个数倍数的方法，先找出9的几个倍数；再根据求一个数因数的方法，找出18的所有因数；进而确定符合题意的数得解。 【解析】9×1＝9、9×2＝18、9×9＝27、9×4＝36，所以9的倍数有：9、18、27、36、… 1×18＝18、2×9＝18、3×6＝18，所以18的因数有：1、2、3、6、9、18。 所以一个数既是9的倍数，又是18的因数的两位数是18。 9．（2023·广东深圳·小升初真题）有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成长度相等的若干小段，每段不能有剩余，每小段最长( )米，两根木料一共可以截成( )段。 【答案】 6 5 【分析】根据题意，把两根长12米、18米的木料截成长度相等的若干小段，每段不能有剩余，那么每小段的长度是12和18的公因数；求每小段最长的长度，就是求12和18的最大公因数； 先把12和18分解质因数，再把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数； 再看12、18里面分别有几个这样的最大公因数，最后相加，即是一共可以截成几段。 【解析】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是：2×3＝6 即每小段最长是6米。 18÷6＋12÷6 ＝3＋2 ＝5（段） 每小段最长6米，两根木料一共可以截成5段。 10．（2024·浙江杭州·小升初真题）表示一个四位整数，那么＝3×1000＋( )＋4×10；如果是3的倍数，那么＝( )。 【答案】 ×100 2 【分析】第一个空，在百位，表示个百，据此填空；第二个空，一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此确定的值。 【解析】×100＝100 3＋4＝7，最小是9－7＝2，还可以是5和8。 表示一个四位整数，那么＝3×1000＋×100＋4×10；如果是3的倍数，那么＝2或5或8。 11．（2024·四川成都·小升初真题）算式的乘积末尾有( )个连续的0。 【答案】72 【分析】2×5＝10，这些数据中只要是2和5这两个因数相乘，则末尾就有0。因为这一串数据中有2的因数比较多，有5的因数比较少。只需要找出这组数据中有5的因数的数，就有多少个0。根据5的倍数的特征，末尾是0或者5的数能被5整除。注意：有的数不仅仅只有1个5，比如50，50＝5×5×2，则有2个5。 【解析】1、8、15、22、29、36、43、50、57、…、2010这组数据中， 其中15、50、75、110、…、2010，公差为 35 （2010－15）÷35＋1 ＝1995÷35＋1 ＝57＋1 ＝58（个） 则这一串数据中有58个数是5的倍数。 将上面的数据中的每个数除以5得到数据：3、10、17、…、395、402，其中10、45、…、395含有因数5，公差为7 （395－10）÷35＋1 ＝385÷35＋1 ＝11＋1 ＝12（个） 则这一串数据中有12个数是5的倍数。 继续将上面的数据除以5得到数据：2、9、16、23、30、…、79中只有30、65这2个数是5的倍数。 58＋12＋2＝72（个） 则算式的末尾有72个连续的0。 【总结】等差数列：一组数据中，从第二个数开始，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，这个常数叫做公差，。例：1、8、15、22、29、36、43、50、57、…、2010这组数是等差数列，公差是7。 这组数据有多少个数＝（最后一个数－第一个数）÷公差＋1 12．（2022·四川绵阳·小升初真题）你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，令3人一排，多出2人；令5人一排，多出4人；令7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数是( )人。 【答案】314 【分析】3人一排，多出2人，即比3的倍数少1；5人一排，多出4人，即比5的倍数少1；7人一排，多出6人，即比7的倍数少1，求出3，5，7的公倍数，再根据韩信带350名士兵打仗，战死几十人，（人），则战后人数大于250人，据此确定公倍数，最后减1即可解答。 【解析】（人） （人） 即，战后人数时314人。 【总结】本题主要考查公倍数问题，根据3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人这一条件转化成都少1人，再求公倍数是解答本题的关键。 二、选择题 13．（2024·广东广州·小升初真题）用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】游戏规则的公平性就是指对游戏的双方来说，机会是均等的，也就是双方获胜的可能性的大小相等。确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。 【解析】 ，箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平。 ，转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平。 ，硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平。 ，1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平。 综上所述，公平的方式有3种。 故答案为：C 14．（2024·浙江宁波·小升初真题）如果x是奇数，y是偶数，那么下面式子中结果是奇数的是（    ）。 A．x＋y＋1 B．2x＋y C．x＋2y D．2（x＋y） 【答案】C 【分析】奇数和偶数的性质： 奇数＋奇数＝偶数，奇数－奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数，奇数－偶数＝奇数 奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 据此逐项分析。 【解析】A.x＋y是奇数，x＋y＋1是偶数，不符合题意； B．2x是偶数，2x＋y是偶数，不符合题意； C．2y是偶数，x＋2y是奇数，符合题意； D．x＋y是奇数，2（x＋y）是偶数，不符合题意。 故答案为：C 15．（2024·河南三门峡·小升初真题）把分别写有1，2，3，4，…，9，10的10张卡片反扣在桌面上， 打乱顺序后， 任意摸出1张，摸到（    ）的可能性最小。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】A 【分析】先从1～10中找出质数、合数、奇数、偶数，数出个数；再根据可能性判断的方法，个数最少的，摸到的可能性就最小。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【解析】A．1～10中，质数是：2，3，5，7；共有4个； B．1～10中，合数是：4，6，8，9，10；共有5个； C．1～10中，奇数是：1，3，5，7，9；共有5个； D．1～10中，偶数是：2，4，6，8，10；共有5个； 4＜5，质数的个数最少。 所以，任意摸出1张，摸到质数的可能性最小。 故答案为：A 16．（2024·河南开封·小升初真题）数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，那么3和5就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是（    ）。 A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 【答案】C 【分析】因数只有1和本身的数，是质数。两个数都是质数，且相差为2，叫孪生质数，据此判断各选项即可。 【解析】A．3－2＝1，相差为1； B．9是合数，不符合题意； C．13－11＝2，11和13都是质数，是孪生质数； D．15是合数，不符合题意。 所以，是孪生质数的是11和13。 故答案为：C 17．（2020·山东泰安·小升初真题）某S为自然数，被10除余数是9，被9除余数是8，被8除余数是7，已知100＜S＜1000，请问这样的数有几个？（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据题意，把“被10除余数是9，被9除余数是8，被8除余数是7”，转化为：每10个分一份，少1，；每9个分一份，少1；每8个分一份，少1。所以求10、9、8的公倍数在100~1000之间的数少1，即可。 【解析】10、9、8的最小公倍数是360，在100~1000之间的倍数有：360，720 360－1＝359 720－1＝719 所以这个数可能是359，719，这样的数有两个。 故答案为：D 【总结】本题考查带余除法，关键是把除以一个数余几，转化为少多少，再进行解答。 三、判断题 18．（2020·甘肃陇南·小升初真题）如果n是自然数，那么2n＋1一定是奇数。( ) 【答案】√ 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，可以举例，据此判断即可。 【解析】n为奇数：2×1＋1＝2＋1＝3，3是奇数； n为偶数：2×2＋1＝4＋1＝5，5是奇数。 如果n是自然数，那么2n＋1一定是奇数，原题说法正确。 故答案为：√ 19．（2022·湖南怀化·小升初真题）四个连续非0自然数的最小公倍数是60，这四个连续非0自然数的和是15。( ) 【答案】× 【分析】四个连续非0自然数的最小公倍数是60，那这四个数一定是60的因数，找出60的所有因数，计算后判定即可。 【解析】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60； 因为四个连续的自然数的最小公倍数是60，所以这四个连续非0自然数为：2，3，4，5或者3，4，5，6。 2＋3＋4＋5＝14 3＋4＋5＋6＝18 所以这四个连续非0自然数的和是14或18。 故答案为：× 【总结】此题主要考查最小公倍数的概念，熟练掌握一个数的因数求法是解题的关键。 20．（2024·河南周口·小升初真题）两个不同的质数的和一定是合数。( ) 【答案】× 【分析】质数：只有1和它本身两个因数的数；合数：除了1和它本身还有别的因数的数；据此举例判断即可。 【解析】2和3都是质数，2＋3＝5，5是质数；2和7都是质数，2＋7＝9，9是合数；所以两个不同的质数的和不一定是合数；原说法错误。 故答案为：× 21．（2023·湖北荆州·小升初真题）一个正方体骰子的六个面上分别写着数字1～6，把它抛向空中，落下后朝上的点数是合数的可能性是。( ) 【答案】× 【分析】把它抛向空中，落下后每个数字都可能朝上，即有6种可能的结果，在1～6中，合数有4和6。以这6种可能的结果为单位“1”，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，用2÷6即可求出落下后朝上的点数是合数的可能性的大小。 【解析】在1～6中，合数有4和6。 2÷6＝ 落下后朝上的点数是合数的可能性是，原题说法错误。 故答案为：×。 22．（2024·河南驻马店·小升初真题）小明和小红到图书馆看书，小明每6天去一次，小红每8天去一次，如果1月12日他们在图书馆相遇，则他们下一次在图书馆相遇是在2月4日。( ) 【答案】× 【分析】求下一次他们俩都到图书馆是几月几日，先求出他俩再次都到图书馆所需要的天数，也就是求6和8的最小公倍数，6和8的最小公倍数是24；所以1月12日他们在图书馆相遇，再过24日他俩就都到图书馆，1月有31天，也就是下一次都到图书馆是2月5日。 【解析】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24，2×3×4＝24 1月12日＋24日＝2月5日 他们下一次在图书馆相遇是在2月5日。 故答案为：× 四、解答题 23．（2022·河北石家庄·小升初真题）一个长方形的硬纸板长是48厘米，宽是36厘米。如果将这个长方形硬纸板分割成最大的正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？ 【答案】12个 【分析】由题意可知，要分割成最大的正方形而且没有剩余，也就是正方形的边长是长方形的长和宽的最大公因数，纸没有剩余，首先求出48和36的最大公因数，长和宽分别除以它们的最大公因数，再求这两个的积就是可以裁的个数。 【解析】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 （48÷12）×（36÷12） ＝4×3 ＝12（个） 答：能分割12个相同的正方形。 【总结】根据本题考查求最大公因数的方法：两个数的共有质因数的连乘积是最大公因数。 24．（2022·广东茂名·小升初真题）三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？ 【答案】7月29日 【分析】由题意可知：小明每4天就去一次图书馆，小华每6天去一次图书馆，小红每8天去一次图书馆，要求下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇，只需求出4、6、8的最小公倍数，即为经过的天数；用7月5日加上经过的天数即为下次相遇的时间。 【解析】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6、8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 7月5日＋24日＝7月29日 答：那么下一次他们三人会在7月29日上午9点同时在图书馆相遇。 【总结】此题主要考查最小公倍数的求法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答。 25．（2023·四川成都·小升初真题）一次数学竞赛，某校有200多人参加。其中的人不到70分，的人不到80分，的人达到90分。那么得分在80分到89分的有多少人？ 【答案】153人 【分析】因为人数一定是整数，根据分数乘法的意义，可知总人数一定是18、7、4的公倍数，先根据短除法求出三个数的最小公倍数，再通过翻倍求出大于200的18、7、4的公倍数，也就是总人数，再把总人数看作单位“1”，已知的人不到80分，的人达到90分，也就是得分在80分到89分的占总人数的（1－－），根据分数乘法的意义，用总人数×（1－－）即可求出得分在80分到89分的有多少人。 【解析】 2×9×7×2＝252 18、7、4的最小公倍数是252； 252＞200 所以总人数是252人。 252×（1－－） ＝252× ＝153（人） 答：得分在80分到89分的有153人。 26．（2023·广东广州·小升初真题）甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：每人从下面3张卡片中任选2张，如果积是2的倍数，甲获胜；如果积是3的倍数，乙获胜；如果积既是2的倍数又是3的倍数就重来。你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】公平；原因见详解 【分析】判断游戏规则是否公平，主要看双方获胜的概率是否相同，先把任意两个数的积列出来，看一共有几种情况，再看2的倍数的个数和3的倍数的个数，然后比较出现的概率，如果相同则公平，如果不相同则不公平，据此解答。 【解析】1×2＝2 1×3＝3 2×3＝6 由上可知，从3张卡片中任选2张积一共有3种情况，其中2的倍数有2、6，3的倍数有3、6，积既是2的倍数又是3的倍数有6，此时需要重来，若出现需要重来的情况就重新选，直到出现只满足“2的倍数”或“3的倍数”的结果，每次不重来时，甲和乙各有1种获胜的可能，概率相等，所以游戏是公平的。 27．（2015·天津·小升初真题）学校甬路旁栽一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是80米，原来每隔2米植一棵树，现小树长大，改为每5米植一棵树。如果两端不移动，中间有几棵树不用移动？ 【答案】7棵 【分析】此题属于植树问题，两端不移动，要求中间有几棵树不用移动，只要求出在80以内2和5的公倍数即可解答，即是2和5的公倍数的米数是不动的。 【解析】80以内的2和5的公倍数有：10；20；30；40；50；60；70； 即10米、20米、30米、40米、50米、60米、70米处的7棵树不用动； 答：中间有7棵树不动。 【总结】本题主要考查求在一定范围内的两个数的公倍数，注意分析题意判定是求公倍数。 学科网（北京）股份有限公司 $$