精品解析：广东东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学2025-2026学年度第二学期高二期中考试数学试卷

2025~2026学年度第二学期期中考试高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效． 一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】函数，则， ． 2. 的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项公式为 令，解得， 的常数项为． 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，则， 令，即，且， ，故的单调递增区间为． 4. 从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先列举出不大于30的10个素数，再分别求出从10个素数中任取两个素数的情况，以及这些情况中两个素数之和为30的情况，再根据古典概型的概率公式计算即可得解. 【详解】不大于30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个. 从中随机选取两个素数有种情况， 其中被选取的两个素数之和为30的有，，共3种情况， 故所求概率为. 故选：A 5. 已知函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】， ， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则， ， 将点代入切线方程得，即， ． 6. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 7. “的展开式中的系数为”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式中的系数为， 若的系数为，则，故， “的展开式中的系数为”推不出“”， 若，则展开式中的系数为， 故“”能推出“的展开式中的系数为”， “的展开式中的系数为”是“”的必要不充分条件． 8. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件转化不等式为，构造函数并求导，结合已知条件得出，从而得出单调递减，结合，得出，从而利用单调性求解． 【详解】，已知不等式，则，即， 设，求导得， 函数是实数集上的减函数， 又，即， ，故不等式的解集为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 10. 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（ ） A. 若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法 B. 若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有种排法 C. 若课程“射”、“御”排在不相邻的两个月，则课程共有种排法 D. 若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有种排法 【答案】AC 【解析】 【详解】学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法，故A正确； 课程“乐”排在“书”前面，可得课程共有种排法，故B错误； 课程“射”“御”排在不相邻两个月，通过插空法， 先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个， 安排课程“射”、“御”共有种排法，故C正确； 课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月， 利用分类加法计数原理，当“数”在第六个月时共有种； 当“数”既不在第一个月也不在第六个月时，共有种， 故课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，课程共有种排法，故D错误． 11. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知二项式的第5项与第8项的二项式系数相等，则，则，故A正确； ，故展开式的二项式系数和为，故B正确； 令，则，故C错误； 令，得， 令，得， ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算的值为___________．（用数字作答） 【答案】6 【解析】 【详解】， ． 13. 函数在区间上的平均变化率为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据平均变化率定义直接计算可得结果. 【详解】由题意可知函数在区间上的平均变化率为, 故答案为：3. 14. 已知随机事件互相独立，且满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件的性质和条件概率公式建立方程，先求出与，再计算. 【详解】因为互相独立，所以. 又因为， 把代入可得：， 故. 由相互独立，得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在15件产品中，有10件是一级品，5件二级品，从中一次任意抽取3件产品，求： （1）抽取的3件产品全部是一级品的概率； （2）抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数问题、古典概率公式列式计算即可. （2）利用互斥事件的概率公式，结合（1）的结论求出概率. 【小问1详解】 记抽取的3件产品全部是一级品为事件A，则事件A的概率. 【小问2详解】 记抽取的3件产品中恰有1件是二级品为事件B，则事件的概率， 所以抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率. 16. 已知. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）函数的极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得曲线在点处的斜率，从而求得该处的切线方程； （2）利用导数研究函数的单调性，得到极值点，求得极值. 【小问1详解】 的定义域为，， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为，即 【小问2详解】 函数的定义域为，. 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在处取得极小值，极小值为. 所以函数的极小值为，无极大值. 17. 在的展开式中，二项式系数和为 （1）求的值并求展开式中的常数项； （2）求展开式中的系数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合二项式系数的性质求出，进而求出的展开式的通项公式，从而求出常数项； （2）根据（1）的结论明确问题并求出含和的项，从而求出展开式中的系数． 【小问1详解】 已知二项式系数和为，则，解得， 则的展开式的通项公式为：， 令得， 的展开式的常数项为． 【小问2详解】 ，则问题为求展开式中的系数， 由于， 由（1）知的展开式的通项公式为：， 则展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 展开式中含的项为，故其系数为． 18. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： （1）求甲第2天选择羽毛球的概率； （2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； （3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【小问1详解】 设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. 【小问2详解】 由贝叶斯公式，得所求概率为. 【小问3详解】 设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）当时，证明：． 【答案】（1）； （2）当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数可得； （3）分两种情况讨论：当时，用导数可判断的单调性可得；当时，先证，进而再用导数证明，从而可证明不等式. 【小问1详解】 当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 解法一：因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. 解法二：因为， 设， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值， 令，所以单调递减， 所以，即， 有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． 【小问3详解】 ①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中考试高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效． 一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 2. 的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 6 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 4. 从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 6. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 7. “的展开式中的系数为”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 8. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（ ） A. 若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法 B. 若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有种排法 C. 若课程“射”、“御”排在不相邻的两个月，则课程共有种排法 D. 若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有种排法 11. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算的值为___________．（用数字作答） 13. 函数在区间上的平均变化率为_____. 14. 已知随机事件互相独立，且满足，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在15件产品中，有10件是一级品，5件二级品，从中一次任意抽取3件产品，求： （1）抽取的3件产品全部是一级品的概率； （2）抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率． 16. 已知. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 17. 在的展开式中，二项式系数和为 （1）求的值并求展开式中的常数项； （2）求展开式中的系数． 18. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： （1）求甲第2天选择羽毛球的概率； （2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； （3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $