精品解析：福建省莆田市第十五中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

莆田第十五中学2024-2025学年下学期期中考试 高二数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求值. 【详解】由导数的定义知. 故选：D. 2. 如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案. 【详解】 =, 故选：A. 3. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导可得，代入运算即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的正负性排除B、D，再根据其单调性排除C. 【详解】或时；时，排除B、D； ，则， 得；得或， 故在上单调递增，在和上单调递减， 排除C. 故选：A 5. 在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出的面积，再由等体积法求点到平面的距离． 【详解】如图，连接， 正方体的棱长为1，是边长为的等边三角形， ， 设点到平面的距离为， 由，得， 可得，则点到平面的距离为． 故选：C． 6. 正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 三棱锥的体积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理可证明A选项正确；应用空间向量计算数量积，可判断B正确； 根据线面角的计算，可得C选项错误；应用空间向量法可求得点到平面距离，再结合三棱锥的体积公式，计算可得D正确. 【详解】对于A，连接、，相交于点，连接，如图所示， 因为四边形为正方形，所以是中点， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为原点，以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，,,， 所以,，，所以，故B正确； 对于C，由B选项知，，，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，解得， 因为，所以， 点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为，故D正确. 故选：C. 7. 已知A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，P为平面外任意一点，且，则实数x的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 又∵P是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面， ∴， 解得 x=， 故选A． 点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面． 8. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点法式方程的定义即可求解. 【详解】与平面向量类比，得到空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为， 则该平面的方程为：， 化简得. 故选：A. 二、多选题 9. 在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（ ） A. 与点关于x轴对称的点的坐标为 B. 若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底 C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 D. 已知，平面的法向量为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量坐标的定义，以及相关知识，即可判断选项. 【详解】A. 与点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确； B. ，若，则与共线，所以不是空间向量的一组基底，故B错误； C. 在上的投影向量为，故C正确； D.因为，所以，所以或，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个互不相同的零点 C. 方程有三个不同解，则实数的取值范围为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值点，可判断A选项；解方程可判断B选项；数形结合可判断C选项；直接验证，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的递增区间为、，单调递减区间为， 所以，函数有两个极值点，A对； 对于B选项，由得或， 所以，只有两个不同的零点，B错； 对于C选项，由A选项可知，函数的极大值为，极小值为， 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 所以，若方程有三个不同解，则实数的取值范围为，C对； 对于D选项，由A选项可知，， 则，D对. 故选：ACD. 11. 在三棱锥中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若G为的重心，则 C. 若，，则 D. 若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】作出三棱锥直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】 对于A ，由已知，即，则，故A错误； 对于B，由G为的重心，得，又，，，，即，故B正确； 对于C，若，，则，即，即，故C正确； 对于D， ，又，，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 三、填空题 12. 已知（）是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，利用数量积的坐标表示列式求解，即得答案. 【详解】由，可知， 即 ， 解得， 故答案为： 13. 已知，，则向量在向量上的投影向量是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义直接计算求解． 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故答案为：． 14. 如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，先求出点的坐标，再根据点到直线距离的向量公式计算即可． 【详解】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 由平面，设， 所以， 设， 所以，即，解得， 所以，则， 设直线的夹角为， 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：． 四、解答题 15. 已知函数在处的切线方程． （1）求，的值； （2）求的单调区间与极值． 【答案】（1） （2）在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值 【解析】 【分析】(1)根据在处切线方程求解； （2）由（1）求解判断与的大小，得到单调区间，得到极值. 【小问1详解】 ， 又在处切线方程，所以， 可得， 解得． 【小问2详解】 由（1）可得， ∴， 令，解得；令，解得， ∴在单调递减，在单调递增， ∴当时，的极小值为，无极大值． 16. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知． （1）证明：； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） 因为底面，底面，所以， 又底面为长方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出底面和平面的法向量，代入空间二面角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，射线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 易知底面的一个法向量为，设为 ， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的大小为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1） 设的中点为，连接、， 因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）设，利用空间向量法可求出的值，在利用空间向量法可求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的中点为，连接， 因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）利用导数求得的最小值，从而得到关于的不等式，解之即可得解. 【小问1详解】 当时，，， 故，. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 ， 因为，所以由，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 故，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，故， 则，则， 又平面，故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再求平面的法向量，求证即可求证； （2）计算，再利用向量夹角和线面角之间的关系即可； （3）计算平面的法向量，再计算，最后利用向量夹角和二面角的平面角之间的关系即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（1）可知，，设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 故， 所以， 则二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第十五中学2024-2025学年下学期期中考试 高二数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 三棱锥的体积为 7. 已知A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，P为平面外任意一点，且，则实数x的值为（　　） A. B. C. D. 8. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（ ） A. 与点关于x轴对称的点的坐标为 B. 若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底 C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 D. 已知，平面的法向量为，则 10. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个互不相同的零点 C. 方程有三个不同解，则实数的取值范围为 D. 11. 在三棱锥中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若G为的重心，则 C. 若，，则 D. 若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则 三、填空题 12. 已知（）是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则_________. 13. 已知，，则向量在向量上的投影向量是____________． 14. 如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______． 四、解答题 15. 已知函数在处的切线方程． （1）求，的值； （2）求的单调区间与极值． 16. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知． （1）证明：； （2）求二面角的大小． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $