专题01 多边形内角和重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题01 多边形内角和重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 多边形内角和问题 题型二 正多边形的内角问题 题型三 多（少）算一个角问题 题型四 多边形截角后的内角和问题 题型五 复杂图形的内角和 题型六 正多边形的外角问题 题型七 多边形外角和的实际应用 题型八 多边形内角和与外角和综合 题型九 平面镶嵌 题型十 多边形内角和与角平分线结合 题型十一 多边形内角和的规律探究题 题型十二 多边形内角和的新定义问题 知识点一 多边形的概念 在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 知识点二、多边形的相关概念 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 知识点三、正多边形的定义 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 【补充】1）正n边形有n条对称轴． 2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 知识点四、多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 知识点五、多边形外角和定理 多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 易错易混 多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误： ①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）. ②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有 条对角线. ③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2. ④n边形的外角和是360°. ⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°. ⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形． 【经典例题一 多边形内角和问题】 【例1】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在五边形中，，、分别平分、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和（且n为整数）． 先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：∵在五边形中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ∴中，． 故选：C． 1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）在长方形中，一条直线将矩形任意分为两部分，设这两部分图形的内角和分别为、，则的和是（　　） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了边形的内角和公式，熟练掌握该知识点是解题的关键．分三种情况考虑，第一种：直线不经过原长方形的顶点，此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形；第二种：直线经过原长方形的一个顶点，此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形；第三种：直线经过原长方形的两个顶点，此时长方形被分割为两个三角形，然后根据这三种情况分别计算即可． 【详解】解：一条直线将长方形分割成两个多边形的情况有以下三种： (1)直线不经过原长方形的顶点，如图①②，此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形， 或 (2)直线经过原长方形的一个顶点，如图③，此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形， (3)直线经过原长方形的两个顶点，如图④，此时长方形被分割为两个三角形， 综上所述，的和为或或． 故选：D． 2．（2025·河北保定·一模）一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为．由于这个纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，已知线段和所在直线所夹锐角的度数为．且该夹角位于点的右侧，则 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了正多边形的性质及四边形内角和，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，． ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立，请你证明此结论． (3)已知：在等对角四边形中，，，，，求对角线的长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了四边形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意及四边形内角和定理计算即可； （2）根据题意得到，继而得到，即可得到结论； （3）分两种情况：当时，当时，分别计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ； （2）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，如图3，延长相交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 当时， 如图4，过点作于点，于点， ，四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，对角线的长为或． 【经典例题二 正多边形的内角问题】 【例2】（24-25八年级上·山东德州·期末）在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形，其中点、在边上，点、分别在边、上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，三角形外角的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．由边三角形的性质得到，由多边形内角和得出，再利用三角形外角的性质，即可求出的大小． 【详解】解：是正三角形， ， 正五边形的内角和为， ， 是的外角， ， ， 故选：C． 1．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，购物车和物品放在一起的形状可以近似看做正五边形，已知正五边形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，由正多边形的性质可得，，即得，再根据角的和差关系即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是正五边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，直线l是正五边形的一条对称轴，点P是直线l上的一个动点，当最小时， ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握转化思想是解题的关键．先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和外角定理求解． 【详解】解：直线l是正五边形的一条对称轴， 垂直平分， ， ， 此时：为的最小值， 在正五边形中，有，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 【经典例题三 多（少）算一个角问题】 【例3】（23-24八年级下·四川达州·期末）已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．10或11 【答案】B 【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解． 【详解】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n， 则(n-2)×180+x=1500， (n-2)×180=8×180+60-x， ∵n-2为正整数， ∴60-x能被180整除， 又∵x＞0， ∴60-x=0， ∴(n-2)×180=8×180， ∴n=10， 故选B 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键． 2．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形． 【答案】 /45度 八 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键，首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数． 【详解】解：解：由题意可知：多加的内角为． 解得． ∵n为正整数， ∴． ∴多加的内角为：． 故多加的这个内角是，这个多边形是八边形． 故答案为：，八． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)13边形的内角和 (3)能，这个外角为 【分析】本题主要考查了多边形内角和，一元一次不等式的应用．解决本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．n边形的内角和是． （1）n边形的内角和是，因而内角和一定是180度的倍数，据此可进行解答； （2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得，进行求解即可，注意n为正整数； （3）根据上面的结果求出这个多边形的内角和，再用减去求出的结果，计算即可． 【详解】（1）∵不是的整数倍， ∴小明说不可能． （2）设这个多边形的边数为n， 由题意，得． 解得． ∵n为整数， ∴． ∴小华求的是13边形的内角和． （3）∵当时，， ， ∴这个外角为． 【经典例题四 多边形截角后的内角和问题】 【例4】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 1．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期末）用剪刀剪去一个多边形的一个角，所得的新的多边形的内角和为900°，则原多边形的边数为 ． 【答案】6或7或8 【分析】根据新的多边形的内角和可求得新多边形的边数，再根据原多边形剪去一个角后，边数可能增加1、不变或减少1，可得原多边形的边数． 【详解】解：∵新的多边形的内角和为900°，设新的多边形的边数为n，则： ，解得 ∵原多边形剪去一个角后，边数可能增加1、不变或减少1，具体剪法如下图所示， ∴原多边形边数为6或7或8时，剪去一个角都能得到七边形， 故答案为：6或7或8． 【点睛】本题考查了多边形，熟知一个多边形剪去一个角后，边数可能增加1、不变或减少1是解题的关键． 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）现实生活中，各种各样的图形随处可见．我们知道，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．由三角形定义可知，在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形． 如图1，若有三条边的叫做三角形，有四条边的叫做四边形，有五条边的叫做五边形 通过学习，我们知道三角形三个内角的和为，现在我们类比三角形内角和来研究其他多边形图形的内角和问题． 探究：猜想并验证四边形的内角和． 猜想：四边形内角和为 验证：在四边形中，连接，则四边形被分为两个三角形（图． 所以，四边形的内角和 的内角和的内角和 请类比上述方法探究下列问题． (1)探究：猜想并探究五边形的内角和．（图 猜想：　    　 验证： (2)根据上述探究过程，可归纳出边线内角和为　　． (3)证明：①已知一个多边形的内角和为，那么这是个　　边形． ②一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他．将一个多边形截去一个角后（没有过顶点），得到的多边形内角和将会（    ） A．不变  B．增加  C．减少  D．无法确定． 【答案】(1)五边形的内角和为．见解析 (2) (3)①十二；②B 【分析】（1）多边形问题，通过添加辅助线，转化为三角形问题即可； （2）探究规律，理由规律即可解决问题； （3）①构建方程即可解决问题； ②一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形； 【详解】（1）解：探究：猜想：五边形的内角和为． 理由：如图3中，连接、． 由图可知，五边形的内角和的内角和的内角和的内角和 ， 故答案为：． （2）解：因为：三角形内角和为， 四边形内角和为， 五边形内角和， 所以可以推出边形的内角和， 故答案为：． （3）解：①设是边形，由题意， 解得， 这个多边形是十二边形． 故答案为十二． ②因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， 所以将一个多边形截去一个角后（没有过顶点），增加， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形综合题，多边形的内角和定理，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，学会把多边形问题转化为三角形问题解决，属于中考常考题型． 【经典例题五 复杂图形的内角和】 【例5】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 1．（23-24八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 2．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 【答案】900° 【分析】根据多边形的内角和，可得答案． 【详解】解：连EF，GI，如图 ， ∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°， 故答案为：900°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 3．（23-24八年级上·山西大同·期中）阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）①180°；②360°． 【分析】（1）先证明∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，相加即可； （2）①利用（1）结论，得到∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解； ②利用（1）结论，得到∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，再根据四边形内角和进行等量代换即可． 【详解】解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E． 则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角， ∴∠BDE=∠B+∠BAD， ∠CDE=∠C+∠CAD ∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD． ∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC． （2）①如图2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∵∠BFE+∠B+∠E=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 故答案为：180° ②如图3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 故答案为：360° 【点睛】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或四边形内角和知识是解题关键. 【经典例题六 正多边形的外角问题】 【例6】（2025·广东清远·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键． 根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∴ ∴这个正多边形的一个外角为， 所以这个多边形的边数为， 故选：C． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，一束太阳光线平行照射在地面的正六边形上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键． 如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图： ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，小新将若干个与全等的三角形进行摆放． （1）若小新取6个这样的三角形按照如图1所示的方法拼接起来，恰好能够围成正六边形；若取9个这样的三角形按照如图2所示的方法拼接起来，恰好能够围成正九边形，则 ； （2）小新取3个这样的三角形按如图3的形式摆放，则 ． 【答案】 /80度 /180度 【分析】本题考查了多边形的外角和，以及三角形的内角和． （1）根据图1可求出的度数，根据图2可求出的度数，进而可得答案； （2）利用的外角和是，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）由图1可知，恰好是正六边形的一个外角，则， 由图2可知，恰好是正九边形的一个外角，则， ∴， 故答案为：； （2）如图， ∵的外角和是， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图1，图2，在四边形中，是四边形的一个外角． (1)四边形的外角和为________度； (2)如图1，图2，已知． ①如图1，求证：； ②如图2，若，平分，交于点G，平分，且与相交于点F，试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)360 (2)①见解析；②．理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，多边形的外角和，邻补角，对顶角，角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用多边形的外角和定理即可作答； （2）①利用，是四边形，得到，再利用，即可证明； ②由①可知：，利用角平分线得到，进一步得到：，再利用，，证明，即． 【详解】（1）解：四边形的外角和为； 故答案为：360； （2）①证明：∵，是四边形， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下， 假设和交于点H，如图， 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【经典例题七 多边形外角和的实际应用】 【例7】（23-24七年级下·广西南宁·期末）创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形， 该正多边形的边数为：， 他需要走次才会回到原来的起点， 即一共走了（米）． ​故选：C． 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，直线相交于点，则， ∵正多边形的每个内角相等， ∴正多边形的每个外角也相等， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·天津红桥·课后作业）如图，在七边形中，，的延长线交于点O，外角的和等于，则的度数是 ． 【答案】40 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角和定理是解题的关键． 延长交于点H，根据，，得到，结合，得到，结合计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点F， 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 故答案为：40． 3．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【答案】(1)正九边形； (2)18； (3)． 【分析】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键． （1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数； （2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间； （3）求出n次的路径长减去4即可． 【详解】（1）解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形， 多边形的边数为：， 所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正九边形， 故答案为：正九边形； （2）解：该机器人所走的路程是：， 则所用时间是：． 故答案为：18； （3）解：已知机器人n次回到原点的路程为：， 还差，即：． 故答案为：． 【经典例题八 多边形内角和与外角和综合】 【例8】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平角的性质解决问题即可； 利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于 故答案为：平，180； 如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同位角相等， 因为 所以 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，； 如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和． 故答案为：4，． 1．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）【课本再现】在探究多边形的内角和时，我们尝试从边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成若干个三角形，从而得到边形的内角和公式为． (1)证明：边形内角和公式； (2)已知一个正边形一个内角的度数是其相对应外角度数的4倍，求这个正边形的边数； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2024吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024，理由见解析 【分析】（1）根据从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度，即可证明结论； （2）根据（1）所证结合多边形外角和为360度可得方程，解方程即可得到答案； （3）设这个多边形的边数为x，则过多边形的一个顶点的所有对角线条数为条，这些对角线分多边形所得的三角形个数为个，可得方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度， ∴n边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数为10； （3）解：过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024，理由如下： 假设能，设这个多边形的边数为x，则过多边形的一个顶点的所有对角线条数为条，这些对角线分多边形所得的三角形个数为个， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴不符合题意， ∴过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，多边形对角线分三角形个数问题，多边形外角和定理，三角形内角和定理，熟知多边形的相关知识是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想    B．方程思想 C．转化思想    D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 【答案】任务一  ；任务二一  见解析；任务三   【分析】本题考查了多边形的内角和外角公式．解题关键掌握多边形的内角和外角关系； 任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”可得答案； 任务二：先证明，，相加即可； 任务三：利用外角的性质，对顶角和三角形内角和定理转化求解． 【详解】解：任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”，可知体现了数学中的转化思想方法， 故答案为：C； 任务二：证明：连接并延长到点． 则为的外角，为的外角， ， ． ， ． ， ． 任务三：如下图： 根据三角形外角的性质得：， 又， ， 又， ． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务． 关于“正多角星图形”的研究报告（博学小组） 研究对象：正多角星图形． 研究思路：类比一般图形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明． 教材知识：①三角形的内角和为▲_________． ②三角形的一个外角等于与它两个不相邻的内角的■_________． 研究内容： 【一般概念】正多角星图形是一种特殊的几何图形，它由等长的直线段（边）连接而成，形成一个具有多个等大的尖角（顶点）的闭合多边形． 【特例研究】由正多角星图形的定义，对于五角星图形研究， 可得结论：． 证明：如图1，由三角形外角的性质，可得， …… 任务： (1)材料中，“▲”处内容为_________，“■”处的内容为_________； (2)补全材料中“……”处的证明过程； (3)由以上材料内容，可知图2中正八角星八个尖角的度数和为__________． 【答案】(1)，和 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质及多边形内角和． （1）根据三角形内角和定理与三角形外角性质即可解答； （2）利用是三角形外角的性质可得：，，再利用三角形内角和定理得到，等量代换得出结论； （3）根据三角新内角和定理得到，，，，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：三角形的内角和为； 三角形的一个外角等于与它两个不相邻的内角的和； 故答案为：，和 （2）证明：，，， ； （3）解：如图2， ，，，， 又， ， ． 【经典例题九 平面镶嵌】 【例9】（24-25八年级上·山西吕梁·期中）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）．下列两种正多边形中，可以镶嵌平面的是（    ） A．正四边形和正五边形 B．正四边形和正六边形 C．正四边形和正七边形 D．正四边形和正八边形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角，解题关键是求出各个正多边形的内角，利用它们的和为360度即可求解． 【详解】解：A. 正四边形的每一个内角为，正五边形的每一个内角为，不能拼成，不符合题意； B. 正四边形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，不能拼成，不符合题意； C. 正四边形的每一个内角为，正七边形的每一个内角为，不能拼成，不符合题意； D. 正四边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，能拼成，符合题意； 故选：D． 1．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是工人师傅用边长均为a的正六边形和正方形地砖围绕着点B进行的铺设．若将另一块边长为a的正多边形地砖恰好能镶嵌在处，则这块正多边形地砖的边数是（　　）    A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和．熟练掌握正边形的内角和为是解题的关键． 由题意知，正六边形的内角为，正方形的内角为，则，设镶嵌在处的正多边形地砖的边数为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，正六边形的内角为，正方形的内角为， ∴， 设镶嵌在处的正多边形地砖的边数为， 依题意得，， 解得， 故选：D． 2．（2024·广东江门·模拟预测）春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形、正方形及拼成的（不重叠，无缝隙），则的度数是 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）和正多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，正六边形的每个内角为，即可求，正方形每个内角为，即可求，进而求的大小，根据即可求的度数． 【详解】解：∵正六边形的每个内角为，正方形每个内角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ (2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 (3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 【答案】(1)不能，见解析 (2)B (3)10 【分析】本题考查平面图形镶嵌知识，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式，结合拼接点处内角和为判断能否镶嵌 ． （1）先利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角为，再依据平面镶嵌时拼接点处内角和需为，判断能否被整除，得出结论． （2）分别求出正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角度数，然后对四种地砖两两组合，计算在拼接点处内角和能否为，能则可密铺，统计可密铺的组合方式数量． （3）先根据正五边形内角和公式算出其内角为，由拼接点内角和求出第三个正多边形内角为，再通过内角与边数关系公式算出边数． 【详解】（1）解：不能，因为正五边形的每个内角均为，需进行平面镶嵌，内角拼接的度数之和为，而不能被整除．所以不能全用正五边形的材料地砖密铺地面． （2）解：①正三角形、正方形， ， 可以铺满； ②正三角形、正六边形， ， 可以铺满； ③正三角形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满； ④正方形、正六边形，不能构成的周角， 不能铺满； ⑤正方形、正八边形，每个内角的度数为 ， 可以铺满； ⑥正六边形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满． 选择的方式有种． 故选：B； （3）解：设第三个正多边形的内角为， 正五边形的内角为， ， ， 正多边形的边数为，即第三个正多边形的边数为10． 【经典例题十 多边形内角和与角平分线结合】 【例10】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．过作，依据平行线的性质，可设，，根据四边形内角和以及，即可得到的度数． 【详解】解：如图，过作， ， ， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 可设，， ，， 四边形中，， 即，① 又， ，② 由①②可得，， 解得， 故选：C． 1．（23-24八年级上·湖北·阶段练习）如图，在四边形中，的角平分线与的角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、多边形的内角和外角，利用四边形内角和是，可以求得，然后由角平分线的性质和邻补角的定义求得的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可． 【详解】解：，， ， 又的角平分线与的角平分线相交于点P， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，四边形，，，和分别是和的角平分线，那么 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形外角的定义和性质、角平分线等知识，解题的关键是计算出的度数．连接并延长，首先根据多边形内角和公式计算出的度数，再根据补角的定义计算出，再根据角平分线定义计算出，再根据三角形内角与外角的关系计算出的度数． 【详解】解：连接并延长，如下图， ∵是四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵和分别是和的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识． （1）先求出，进而求出，即可求出； （2）先求出，进而求出，即可求出； （3）延长至点，利用外角平分线和内角平分线性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：，， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （3）解：如图③，延长至点， ，为的外角的角平分线， 是的外角的角平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， 即． 【经典例题十一 多边形内角和的规律探究题】 【例11】（24-25八年级上·吉林·期中）观察下面图形，解答下列问题．    (1)在图④中，画出缺少的一条对角线． (2)观察规律，把下表填写完整． 边数 3 4 5 6 7 … n 对角线条数 0 2 5 _______ _______ … _______ (3)若n边形的内角和为，求n的值，并写出对角线的条数． 【答案】(1)见解析 (2)9，14， (3)10，35 【分析】本题考查了多边形的内角和、多边形的对角线条数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接任意两个不相邻的两个顶点即可得到所求的对角线； （2）根据图形填写表格即可得解 （3）先求出多边形的边数，再根据（2）中的结论即可得解． 【详解】（1）解：画出图形如图所示：   ； （2）解：填写表格如下： 边数 3 4 5 6 7 … n 对角线条数 0 2 5 9 14 … （3）解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， ∴对角线条数为条． 1．（24-25八年级上·全国·期末）（1）如图1， ； （2）若将图1中星形的一个角截去，如图2，则 ； （3）若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想 ； 【答案】（1）180；（2）360；（3）1080 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，三角形的外角． （1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得的度数； （2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数； （3）根据图中可找出规律，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案． 【详解】解：（1）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：180； （2）如图， ∵，， ∴， 故答案为：360； （3）图1中，每截去一个角则会增加180度， 所以当截去5个角时增加了度， 则， 故答案为：1080． 2．（2024·安徽蚌埠·二模）如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的知识； （1）根据正多边形的性质逐个求解即可； （2）根据（1）中的结果总结规律即可； （3）根据（2）中的结论列方程求解即可． 【详解】（1）由正方形， 可得：， ； 由正五边形，可得：，， ， ； 由正六边形，可得：，， ， ； 故答案为：，，； （2）根据（1）中的结果发现等于正边形一个内角的度数， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 解得． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）【观察思考】 如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如下图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．    【规律发现】 （1）将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… 的度数 ________ ________ ________ …… （2）观察上面表格中的变化规律，猜想与边数的关系． 【规律应用】 （3）根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）；（3）存在正边形 【分析】（1）求出每个角度，完成表格即可求解； （2）根据表中的结果得出规律，即可求解； （3）根据规律得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：规律发现 （1）以正五变形为例 内角和为， 每个内角为， 每条边都相等， ； 依次同理可求，并填表如下： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… 的度数 …… 故答案：，，； （2）由（1）可得 ； 规律应用 （3）解：存在，理由如下： ， 解得：； 故存在正边形，使其中的． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，正多边形的定义，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，并找出规律是解题的关键． 【经典例题十二 多边形内角和的新定义问题】 【例12】（24-25八年级上·全国·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）由互补四边形和四边形内角和定理即可求出的度数； （2）在上截取，连接，证，得，．再证．然后由等腰三角形的性质得出，即可得出结论； （3）延长到G，使，连接，证，得，，再由证，得，，然后由证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是互补四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90； （2）证明：在上截取，连接，如图1所示： 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3）解：周长不变，值为6．理由如下： 延长到G，使，连接，如图2所示： ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的周长． 【点睛】本题主要考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定的判定与性质等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·全国·期中）定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如图，正五边形的对角线、相交于点O．    (1)求五边形每一个内角的度数； (2)求证：； (3)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)均为 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据正多边形内角和公式可得结论； （2）根据等腰三角形的性质和判定可得； （3）根据，证明，由，得，最后利用线段垂直平分线的逆定理可得结论． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）证明：， ， 同理得：， ， ， ， ； （3）证明：连接，，   ，，， ∴， ， ， ， 垂直平分． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为______． (2)如图2，在中，，，，分别是，边上的点，，试判断四边形是否是“等对角四边形”，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形“等对角四边形”，详见解析 【分析】此题考查四边形内角和，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据“等对角四边形”的概念得到，然后利用四边形内角和求解即可； （2）首先根据三角形内角和定理求出，，进而得到，且，即可得出四边形“等对角四边形”． 【详解】（1）解：∵若四边形是“等对角四边形”，， ∴ ∴； （2）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，且 ∴四边形“等对角四边形”． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点，分别在射线，上，过点垂直的直线与过点垂直的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”（四边形内角和等于360°）． （1）如图1和2，若是的“边垂角”，则与的数量关系是______．    【迁移运用】 （2）如图3，，分别是的两条高，两条高交于点，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______．    【拓展延伸】 （3）如图4，若是的“边垂角”，且．交于点，点关于直线的对称点为点，连接，，且，延长和相交于点． ①请说明：； ②请说明：． 【答案】（1）或（2）；（3）①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据图形可得两种情况，分别利用三角形内角和和四边形内角和推导即可； （2）由“边垂角”定义可得，的“边垂角”为； （3）①由“边垂角”可证，再根据题干已知条件即可得证； ②由①全等推出，，然后证，得到，最后通过线段的和差即可得证． 【详解】（1）解：若是的“边垂角”，分两种情况： ①如图 是的“边垂角”， ，， ，， ， ； ②如图 是的“边垂角”， ，， ，， ， ； 综上，或． 故答案为：或； （2）解：由“边垂角”定义可得，的“边垂角”为， 故答案为：； （3）证明：①是的“边垂角”， ，， ， ， ， ， ； ②证明：， ，， ， ， ， ， ， ． 点关于直线对称点为点， ， ， ． 1．（2025·山东济宁·一模）如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点；且．则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、多边形外角和、三角形外角的性质，延长交直线于点，根据多边形的外角和是，正多边形的每个外角度数都相等，可以求出，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质可得． 【详解】解：如图所示，延长交直线于点， ， ， 六边形是正六边形， ， 在中，， ， ． 故选：B． 2．（2025·广东揭阳·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，设这个正多边形的边数是，再根据正多边形的内角和建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 设这个正多边形的边数是， 则， 解得， 即这个正多边形的边数是12， 故选：D． 3．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，在边长为2的正八边形中，点在上，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后射到上的点处，若，则的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，延长分别交直线于K、L，由正多边形外角和定理可得，再由平行线的性质得到，则由光的反射定律可知，据此可证明都是等腰直角三角形，则，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长分别交直线于K、L， ∵八边形是正八边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律可知， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·河南驻马店·一模）如图，直线，正五边形的边在直线上，顶点在直线上，过点作正五边形的对称轴分别交，，于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正五边形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，掌握正多边形的内角问题是解题的关键． 过点作于点，先求出正五边形的内角，再根据其轴对称性求出，再由三角形的外角性质即可解决． 【详解】解：过点作于点， ∵ ∵，， ∴， ∵正五边形是轴对称图形， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，正五边形的五个内角都相等，五条边都相等，连接对角线，，，线段分别与和相交于点F，G，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，根据正五边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理逐项进行判断即可得到结论． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ， ， ，故①正确； ∵，， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选： D． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，五边形中，分别是，的外角，，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角的综合应用，根据多边形的内角和定理，结合两直线平行，同旁内角互补，以及平角的定义求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵五边形，， ∴五边形的内角和为，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知边形的内角和是它的外角和的倍，则正整数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握：n边形的内角和为（且为正整数），外角和为．据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵边形的内角和是它的外角和的倍， ∴， 解得：， ∴正整数的值为． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在正六边形内部作等边三角形， 连接， 已知， 则点P到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，过点P作于B，连接，根据多边形内角和定理得到，由等边三角形的性质推出，，则可证明是等边三角形，，求出，则． 【详解】解；如图所示，过点P作于B，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴点P到的距离为3， 故答案为：3． 9．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2040秒钟后，两枚跳棋之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、正多边形的性质是解题的关键． 由题意分别求出经过秒后，红黑两枚跳棋的位置，连接，过点作于点，根据正多边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴经过秒后，红跳棋落在点处，黑跳棋落在点处， 如图，连接，过点作于点， ∵，在正六边形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴两枚跳棋之间的距离是； 故答案为：． 10．（24-25九年级下·上海·阶段练习）将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角板中角度计算问题，两个三角形重叠部分为四边形，根据四边形内角和为360度列式求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的每一个内角与其相邻的外角互补、及外角和的特征． （1）先根据多边形的内角和外角的关系，列方程求解即可得出一个内角和一个外角； （2）根据外角和是固定的，求出多边形的边数，从而可代入公式求解． 【详解】（1）解：设这个n边形一个内角的度数为，则它的相邻外角的度数为， 根据题意，得 解得：， ，， 故这个n边形一个内角的度数为； （2）根据（1）得这个n边形一个外角的度数为， ， 这个n边形的内角和为． 12．（24-25八年级上·广东潮州·期中）若这个多边形的内角和都比它外角和的2倍还少，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数是5 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．多边形的外角和是，根据多边形的内角和比它的外角和的2倍少，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意得，， 解得：， ∴这个多边形的边数是5． 13．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）已知如图，在中，于点D．在上取一点E，使，连接交于点F． (1)求证：． (2)过点D作于点G，作于点H，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等腰三角形的性质与判定，四边形内角和． （1）根据题意易证，证明，即可得到，由，推出，即可得出结论； （2）证明，推出，再证明，推出，由四边形内角和求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图： ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·吉林松原·阶段练习）已知，点在射线上，． (1)如图①，若，求的度数； (2)把“”改为“”，射线沿射线平移，得，其他条件不变（如图②所示），探究和的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，作，垂足为，与的平分线交于点（如图③所示），若，请用含的代数式表示（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、周角的定义、角平分线的定义、四边形的内角和，确定和的数量关系是解题的关键． （1）先求出的度数，再根据直角、周角的定义即可求解； （2）过点作，根据平行线的判定和性质可得和的数量关系； （3）根据四边形内角和为，结合（2）的结论及角平分线的定义即可解答． 【详解】（1）解：， ， ∵， ； （2）解：如图②，过点作， ，， ， ，， ， ； （3）解：是的平分线， ， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）【综合实践】——折纸中的数学 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，P是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点P作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为Q，打开纸张铺平． 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）． （1）根据上述步骤可知，与的位置关系是________． 【联系拓广】 （2）①如图4，设直线与正方形上，下两边分别交于点M，N，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． 【类别迁移】 （3）如图5，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，G，E，在同一直线上．求证：． 【答案】（1） （2）①；② （3）见解析 【分析】（1）由折叠可得，，从而得到，即可由平行线的判定定理得出结论； （2）①由正方形的性质得：，即可得到，再由，由余角的性质即可得出结论：； ②先求得，再根据五边形内角和为求解即可． （3）根据折叠与平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）由折叠可得， ∴， ∴； 故答案为：． （2）①． 理由：由正方形的性质得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， 由正方形的性质得：， 由五边形内角和公式得： ， ∴． （3）证明：∵， ∴， 由折叠可得：，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，折叠的性质，多边形内角和定理，余角的性质，．熟练掌握平行线的判定与性质和折叠的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 多边形内角和重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 多边形内角和问题 题型二 正多边形的内角问题 题型三 多（少）算一个角问题 题型四 多边形截角后的内角和问题 题型五 复杂图形的内角和 题型六 正多边形的外角问题 题型七 多边形外角和的实际应用 题型八 多边形内角和与外角和综合 题型九 平面镶嵌 题型十 多边形内角和与角平分线结合 题型十一 多边形内角和的规律探究题 题型十二 多边形内角和的新定义问题 知识点一 多边形的概念 在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 知识点二、多边形的相关概念 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 知识点三、正多边形的定义 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 【补充】1）正n边形有n条对称轴． 2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 知识点四、多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 知识点五、多边形外角和定理 多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 易错易混 多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误： ①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）. ②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有 条对角线. ③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2. ④n边形的外角和是360°. ⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°. ⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形． 【经典例题一 多边形内角和问题】 【例1】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在五边形中，，、分别平分、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）在长方形中，一条直线将矩形任意分为两部分，设这两部分图形的内角和分别为、，则的和是（　　） A． B．或 C．或 D．或或 2．（2025·河北保定·一模）一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为．由于这个纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，已知线段和所在直线所夹锐角的度数为．且该夹角位于点的右侧，则 ． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立，请你证明此结论． (3)已知：在等对角四边形中，，，，，求对角线的长． 【经典例题二 正多边形的内角问题】 【例2】（24-25八年级上·山东德州·期末）在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形，其中点、在边上，点、分别在边、上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，购物车和物品放在一起的形状可以近似看做正五边形，已知正五边形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，直线l是正五边形的一条对称轴，点P是直线l上的一个动点，当最小时， ． 3．（24-25八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【经典例题三 多（少）算一个角问题】 【例3】（23-24八年级下·四川达州·期末）已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．10或11 2．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【经典例题四 多边形截角后的内角和问题】 【例4】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 1．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期末）用剪刀剪去一个多边形的一个角，所得的新的多边形的内角和为900°，则原多边形的边数为 ． 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）现实生活中，各种各样的图形随处可见．我们知道，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．由三角形定义可知，在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形． 如图1，若有三条边的叫做三角形，有四条边的叫做四边形，有五条边的叫做五边形 通过学习，我们知道三角形三个内角的和为，现在我们类比三角形内角和来研究其他多边形图形的内角和问题． 探究：猜想并验证四边形的内角和． 猜想：四边形内角和为 验证：在四边形中，连接，则四边形被分为两个三角形（图． 所以，四边形的内角和 的内角和的内角和 请类比上述方法探究下列问题． (1)探究：猜想并探究五边形的内角和．（图 猜想：　    　 验证： (2)根据上述探究过程，可归纳出边线内角和为　　． (3)证明：①已知一个多边形的内角和为，那么这是个　　边形． ②一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他．将一个多边形截去一个角后（没有过顶点），得到的多边形内角和将会（    ） A．不变  B．增加  C．减少  D．无法确定． 【经典例题五 复杂图形的内角和】 【例5】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 2．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 3．（23-24八年级上·山西大同·期中）阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 【经典例题六 正多边形的外角问题】 【例6】（2025·广东清远·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，一束太阳光线平行照射在地面的正六边形上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，小新将若干个与全等的三角形进行摆放． （1）若小新取6个这样的三角形按照如图1所示的方法拼接起来，恰好能够围成正六边形；若取9个这样的三角形按照如图2所示的方法拼接起来，恰好能够围成正九边形，则 ； （2）小新取3个这样的三角形按如图3的形式摆放，则 ． 3．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图1，图2，在四边形中，是四边形的一个外角． (1)四边形的外角和为________度； (2)如图1，图2，已知． ①如图1，求证：； ②如图2，若，平分，交于点G，平分，且与相交于点F，试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【经典例题七 多边形外角和的实际应用】 【例7】（23-24七年级下·广西南宁·期末）创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·天津红桥·课后作业）如图，在七边形中，，的延长线交于点O，外角的和等于，则的度数是 ． 3．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【经典例题八 多边形内角和与外角和综合】 【例8】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 1．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）【课本再现】在探究多边形的内角和时，我们尝试从边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成若干个三角形，从而得到边形的内角和公式为． (1)证明：边形内角和公式； (2)已知一个正边形一个内角的度数是其相对应外角度数的4倍，求这个正边形的边数； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2024吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想    B．方程思想 C．转化思想    D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务． 关于“正多角星图形”的研究报告（博学小组） 研究对象：正多角星图形． 研究思路：类比一般图形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明． 教材知识：①三角形的内角和为▲_________． ②三角形的一个外角等于与它两个不相邻的内角的■_________． 研究内容： 【一般概念】正多角星图形是一种特殊的几何图形，它由等长的直线段（边）连接而成，形成一个具有多个等大的尖角（顶点）的闭合多边形． 【特例研究】由正多角星图形的定义，对于五角星图形研究， 可得结论：． 证明：如图1，由三角形外角的性质，可得， …… 任务： (1)材料中，“▲”处内容为_________，“■”处的内容为_________； (2)补全材料中“……”处的证明过程； (3)由以上材料内容，可知图2中正八角星八个尖角的度数和为__________． 【经典例题九 平面镶嵌】 【例9】（24-25八年级上·山西吕梁·期中）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）．下列两种正多边形中，可以镶嵌平面的是（    ） A．正四边形和正五边形 B．正四边形和正六边形 C．正四边形和正七边形 D．正四边形和正八边形 1．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是工人师傅用边长均为a的正六边形和正方形地砖围绕着点B进行的铺设．若将另一块边长为a的正多边形地砖恰好能镶嵌在处，则这块正多边形地砖的边数是（　　）    A．6 B．9 C． D． 2．（2024·广东江门·模拟预测）春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形、正方形及拼成的（不重叠，无缝隙），则的度数是 ． 3．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ (2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 (3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 【经典例题十 多边形内角和与角平分线结合】 【例10】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·湖北·阶段练习）如图，在四边形中，的角平分线与的角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，四边形，，，和分别是和的角平分线，那么 ． 3．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系． 【经典例题十一 多边形内角和的规律探究题】 【例11】（24-25八年级上·吉林·期中）观察下面图形，解答下列问题．    (1)在图④中，画出缺少的一条对角线． (2)观察规律，把下表填写完整． 边数 3 4 5 6 7 … n 对角线条数 0 2 5 _______ _______ … _______ (3)若n边形的内角和为，求n的值，并写出对角线的条数． 1．（24-25八年级上·全国·期末）（1）如图1， ； （2）若将图1中星形的一个角截去，如图2，则 ； （3）若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想 ； 2．（2024·安徽蚌埠·二模）如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）【观察思考】 如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如下图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．    【规律发现】 （1）将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… 的度数 ________ ________ ________ …… （2）观察上面表格中的变化规律，猜想与边数的关系． 【规律应用】 （3）根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题十二 多边形内角和的新定义问题】 【例12】（24-25八年级上·全国·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 1．（24-25八年级上·全国·期中）定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如图，正五边形的对角线、相交于点O．    (1)求五边形每一个内角的度数； (2)求证：； (3)连接，求证：垂直平分． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为______． (2)如图2，在中，，，，分别是，边上的点，，试判断四边形是否是“等对角四边形”，并说明理由． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点，分别在射线，上，过点垂直的直线与过点垂直的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”（四边形内角和等于360°）． （1）如图1和2，若是的“边垂角”，则与的数量关系是______．    【迁移运用】 （2）如图3，，分别是的两条高，两条高交于点，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______．    【拓展延伸】 （3）如图4，若是的“边垂角”，且．交于点，点关于直线的对称点为点，连接，，且，延长和相交于点． ①请说明：； ②请说明：． 1．（2025·山东济宁·一模）如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点；且．则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东揭阳·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，在边长为2的正八边形中，点在上，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后射到上的点处，若，则的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 4．（2025·河南驻马店·一模）如图，直线，正五边形的边在直线上，顶点在直线上，过点作正五边形的对称轴分别交，，于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，正五边形的五个内角都相等，五条边都相等，连接对角线，，，线段分别与和相交于点F，G，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，五边形中，分别是，的外角，，那么 度． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知边形的内角和是它的外角和的倍，则正整数的值为 ． 8．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在正六边形内部作等边三角形， 连接， 已知， 则点P到的距离为 ． 9．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2040秒钟后，两枚跳棋之间的距离是 ． 10．（24-25九年级下·上海·阶段练习）将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是 ． 11．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 12．（24-25八年级上·广东潮州·期中）若这个多边形的内角和都比它外角和的2倍还少，求这个多边形的边数． 13．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）已知如图，在中，于点D．在上取一点E，使，连接交于点F． (1)求证：． (2)过点D作于点G，作于点H，连接，求证：． 14．（24-25七年级下·吉林松原·阶段练习）已知，点在射线上，． (1)如图①，若，求的度数； (2)把“”改为“”，射线沿射线平移，得，其他条件不变（如图②所示），探究和的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，作，垂足为，与的平分线交于点（如图③所示），若，请用含的代数式表示（直接写出答案）． 15．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）【综合实践】——折纸中的数学 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，P是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点P作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为Q，打开纸张铺平． 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）． （1）根据上述步骤可知，与的位置关系是________． 【联系拓广】 （2）①如图4，设直线与正方形上，下两边分别交于点M，N，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． 【类别迁移】 （3）如图5，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，G，E，在同一直线上．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$