精品解析：2025年黑龙江省哈尔滨市松北区中考一模数学试题

松北区2025年初中升学调研测试（一） 数学试卷 考生须知： 1．答题前，考生先将自己的个人信息在答题卡上填写清楚． 2．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡上各题目的区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效． 3．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 4．保持答题卡表面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷选择题（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 国家统计局发布数据显示，2024年全国粮食总产量14130亿斤，进一步夯实了国家粮食的安全根基．将数字14130用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 4. 下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 抛物线的对称轴是直线（　　） A. B. C. D. 7. 将一组数：，按如图方式进行排列，则第八行左起第1个数是（　　） A. 7 B. 8 C. D. 4 8. 如图，，，相交于O，，，则线段的长为（　　） A. 6 B. 10 C. 8 D. 7 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( ) A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，一动点从出发，沿着的路径向终点运动，过点作，垂足为．设点的运动路程为，的值为与的函数图象如图2所示，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 4 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_______． 12. 把多项式分解因式的结果是___________． 13. 如图，分别与相切于两点，，则______． 14. 不等式组的解集是___________． 15. 哈尔滨地铁2号线——“太阳岛站”，有1号、2号、3号共3个出入口．某周六上午，甲、乙两名学生志愿者随机选择该站一个出入口开展志愿服务活动．则甲、乙两人选择同一出入口的概率是___________． 16. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N； ②作直线，与交于点E，连接，若，直线恰好经过点A，则的长为 _____． 17. 如图，在平行四边形中，，点在上，，点是上的动点，连接，点在的垂直平分线上，于，则周长的最小值为___________． 18. 定义一种新运算，规定运算法则为：（均为整数，且）．例：，则___________． 19. 在中，，，，则的长为___________． 20. 如图，已知正方形是对角线上一点，于点，于点，连接．给出下列结论： ①； ②； ③四边形的周长为； ④与的面积相等．其中正确结论的序号为___________． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，确定线段上一点，连接，使得 ，并直接写出线段的长； 23. 为了解世博路与祥安南大街路口汽车流量情况，小明同学在暑假期间，随机选取了10天统计了早、晚高峰时间段里10分钟（，）通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果整理如下： ：早高峰： ：晚高峰：192，189，200，190，180，192，185，173，192，181 （1）早高峰10个数据的中位数是___________；晚高峰10个数据的众数是___________． （2）若某时段的汽车数量方差越小，则认为该时段车流量越稳定，则早晚高峰时段车流量更稳定的是___________（填“早”或“晚”）； （3）若早高峰在小明统计时段间，通过该路口的汽车数量高于200辆则视为拥堵，试估计该路口在暑假的40天中，早高峰时段“拥堵”的天数为多少天？ 24. 在数学综合与实践活动中，小松和小北两位同学用一副三角板进行探究．已知中，，．如图，过点作于，再将另一块三角板的直角顶点放在点处，并绕着点旋转，两条直角边分别交线段于点． （1）小松通过观察论证发现结论：若点是的中点，则点也是中点．请完成该结论的证明． （2）小北通过观察发现：在旋转过程中，的值始终保持不变．请直接写出这个定值：___________． 25. 亚冬会举办期间，某纪念品商店计划购进甲、乙两种亚冬会纪念品、若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元． （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商店决定购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过4400元，那么该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 26. 已知，的半径与弦交于点． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，点，在上，连接，，分别与交于点，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，当在弧上时，延长交于，弦与分别交于点，若，求线段的长． 27. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点（左右），与轴交于点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在第二象限点右侧抛物线上，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，过点作轴，垂足为，连接并延长与交于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作轴于点，点在上，连接，，连接，点在上，连接，若平分，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松北区2025年初中升学调研测试（一） 数学试卷 考生须知： 1．答题前，考生先将自己的个人信息在答题卡上填写清楚． 2．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡上各题目的区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效． 3．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 4．保持答题卡表面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷选择题（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 【详解】解：的相反数是5． 故选：B． 2. 下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 3. 国家统计局发布数据显示，2024年全国粮食总产量14130亿斤，进一步夯实了国家粮食的安全根基．将数字14130用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图；分别判断四个选项中几何体的主视图、左视图与俯视图，通过比较即可得出答案． 【详解】解：A、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； B、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； C、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； D、主视图为，左视图和俯视图为，主视图、左视图与俯视图完全相同，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 分式方程的解是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．先去分母化分式方程为整式方程，求出方程的解后再检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 当时，， ∴是原方程的解． 故选D 6. 抛物线的对称轴是直线（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴为可直接得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：B． 7. 将一组数：，按如图方式进行排列，则第八行左起第1个数是（　　） A. 7 B. 8 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，根据题意每行的数字个数与行数数字相同，被开方数是连续自然数的2倍，据此可解答． 【详解】解：由题意可得前七行所有的数的总个数为， ∵， ∴被开方数是连续自然数的2倍 ∴第八行左起第1个数是第29个数，即， 故选：C． 8. 如图，，，相交于O，，，则线段的长为（　　） A. 6 B. 10 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，首先由证得，应用相似三角形对应边的比相等得，再由证得，得到，求得的长，进而求得的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得， ∵， ∴， 故选：A． 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 设该反比函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键． 10. 如图1，在中，，一动点从出发，沿着的路径向终点运动，过点作，垂足为．设点的运动路程为，的值为与的函数图象如图2所示，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题的关键在于根据函数图象获取需要的信息． 根据函数图象得到当点运动到点时，，即，当，此时点在上，路程，即，设，则再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：的值为，， 由图知，当点运动到点时，，即， 当，此时点在上，路程，即， 设，则， ， ， 解得， 故选：C． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握提取公因式，公式法是关键． 根据题意，运用提取公因式法，公式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 13. 如图，分别与相切于两点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理、四边形内角和以及圆周角定理，连接，根据切线的性质定理可知，利用内角和为直接计算即可． 【详解】解：连接， 分别与相切于两点， ， ， 是四边形， 内角和为， ， ， 分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 故答案为：． 14. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解不等式组，先解每一个不等式，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的规律可求得不等式的解集． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 不等式组的解集为：． 故答案为：． 15. 哈尔滨地铁2号线——“太阳岛站”，有1号、2号、3号共3个出入口．某周六上午，甲、乙两名学生志愿者随机选择该站一个出入口开展志愿服务活动．则甲、乙两人选择同一出入口的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数，再找出某事件所占有的可能数，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率．画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意，画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能的情况，其中甲、乙两名志愿者在该地铁站的同一出入口开展志愿服务活动的有3种， ∴甲、乙两人选择同一出入口的概率是． 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N； ②作直线，与交于点E，连接，若，直线恰好经过点A，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，，再根据菱形的性质利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：根据作图可知直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵菱形中，， ，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、菱形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 17. 如图，在平行四边形中，，点在上，，点是上的动点，连接，点在的垂直平分线上，于，则周长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正切等，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由题意易得最小时，的周长最小，由垂直平分线可得，连接，则，即点在上时，最小，过点作于点，则为的最小值，根据勾股定理可得，进而求得周长的最小值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∴最小时，的周长最小， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 连接，则， 又∵， ∴当时，且点在上时，最小， ∴过点作于点，则为的最小值， ∵在中，， ∴，即， 设，则， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴，即最小， ∴的周长最小， 故答案为：． 18. 定义一种新运算，规定运算法则为：（均为整数，且）．例：，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义，得，解得即可．本题考查了新定义计算，负整数指数幂，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：． 19. 在中，，，，则的长为___________． 【答案】5或7 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，此题分两种情况：如图1，过A作于D，在中，由已知条件，设，，根据勾股定理得到，求得，，在中，，于是得到结果；如图2，过A作交的延长线于D，同理可得结果． 【详解】解：如图1，过A作于D， 在中，∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 如图2，过A作交的延长线于D， 在中，∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 故答案为：5或7． 20. 如图，已知正方形是对角线上一点，于点，于点，连接．给出下列结论： ①； ②； ③四边形的周长为； ④与的面积相等．其中正确结论的序号为___________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的运用等知识点，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． ①证明、是等腰直角三角形，即可说明；②根据正方形的性质可得，先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，进而判定③；如图：过P作，则四边形是正方形，然后说明，根据三角形的面积公式即可判定④． 【详解】解：①∵正方形， ∴， ∵， ∴，， ， 又∵， ∴四边形是矩形， ． ∵四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ，故①正确； ②如图：连， ∵四边形为矩形， ，， ∵正方形为轴对称图形， ， ，故②正确； ③∵四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故③正确； ④如图：过P作，则四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即④正确 故答案为：①②③④． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后根据特殊角的三角函数值求出x的值，代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】原式 ； ， 原式． 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，确定线段上一点，连接，使得，并直接写出线段的长； 【答案】（1） 如图1，线段所求； （2） 如图2，线段即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点E，F，连接，交于点H，连接即可； （2）取格点E，F，连接交于点D，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设边上的高为， 而 ， ∵， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴， 在中， ， 又， ，即点与点重合， ∴ ． 23. 为了解世博路与祥安南大街路口汽车流量情况，小明同学在暑假期间，随机选取了10天统计了早、晚高峰时间段里10分钟（，）通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果整理如下： ：早高峰： ：晚高峰：192，189，200，190，180，192，185，173，192，181 （1）早高峰10个数据的中位数是___________；晚高峰10个数据的众数是___________． （2）若某时段的汽车数量方差越小，则认为该时段车流量越稳定，则早晚高峰时段车流量更稳定的是___________（填“早”或“晚”）； （3）若早高峰在小明统计时段间，通过该路口的汽车数量高于200辆则视为拥堵，试估计该路口在暑假的40天中，早高峰时段“拥堵”的天数为多少天？ 【答案】（1）196；192 （2）晚 （3）估计16天拥堵 【解析】 【分析】本题考查了方差、中位数、众数的计算，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握方差、中位数、众数的计算方法． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的定义解答即可； （3）用样本估计总体即可； 【小问1详解】 解：将早高峰10个数据从小到大排列为：167，178，183，191，195，197，204，208，209，215， 则中位数为：， 在晚高峰的10个数据192，189，200，190，180，192，185，173，192，181中出现次数最多的是192， 故众数为192． 【小问2详解】 解：早高峰的平均数为： 早高峰的方差为： 晚高峰的平均数为： 晚高峰的方差为： 早晚高峰时段车流量更稳定的是晚； 故答案为：晚 【小问3详解】 解：由题意，得 (天) 故该路口在暑假的40天中，早高峰时段“拥堵”的天数为16天 24. 在数学综合与实践活动中，小松和小北两位同学用一副三角板进行探究．已知中，，．如图，过点作于，再将另一块三角板的直角顶点放在点处，并绕着点旋转，两条直角边分别交线段于点． （1）小松通过观察论证发现结论：若点是的中点，则点也是中点．请完成该结论的证明． （2）小北通过观察发现：在旋转过程中，的值始终保持不变．请直接写出这个定值：___________． 【答案】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵点是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是证明： （1）根据斜边上的中线得到 ，进而推出为等边三角形，得到，进而推出为等边三角形，为等腰三角形，推出即可得出结果； （2）证明，得到，利用三角函数求出的值，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 25. 亚冬会举办期间，某纪念品商店计划购进甲、乙两种亚冬会纪念品、若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元． （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商店决定购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过4400元，那么该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【答案】（1）甲种纪念品单价35元，乙种纪念品单价50元 （2）最多购进乙种纪念品60件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元，根据“购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店购进乙种纪念品m件，则购进甲种纪念品件，利用进货总价=进货单价×购进数量，结合进货总价不超过4400元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件甲种纪念品的进价是35元，每件乙种纪念品的进价是50元； 【小问2详解】 解：设该商店购进乙种纪念品m件，则购进甲种纪念品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为60． 答：该商店最多购进乙种纪念品60件． 26. 已知，的半径与弦交于点． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，点，在上，连接，，分别与交于点，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，当在弧上时，延长交于，弦与分别交于点，若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵，经过圆心， ∴， ∴； （2） 证明：延长交于点，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）2 【解析】 【分析】（1）由垂径定理的推论结合同圆中弧与弦的关系即可求证； （2）延长交于点，连接，由圆周角定理得到，那么，再由圆周角定理得，结合对顶角相等即可求证； （3）连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，可得 ，由等角正确相等得到，设，则，则，由勾股定理求出，则，由，得到，那么，，在中，由勾股定理建立方程 ，求解，再由线段和差计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，设，则， 则，， ∴， 解得：（舍负）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理，垂径定理推论，勾股定理，解直角三角形的相关运算，矩形的判定该与性质等知识点，难度较大，计算复杂，正确添加辅助线解三角形是解题的关键． 27. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点（左右），与轴交于点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在第二象限点右侧抛物线上，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，过点作轴，垂足为，连接并延长与交于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作轴于点，点在上，连接，，连接，点在上，连接，若平分，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令可得出点坐标，根据得出点坐标，代入求出值即可得答案； （2）过点作轴于，根据解析式得出对称轴为直线，即可得出，得出，根据相似三角形的性质得出，即可得出，进而得出； （3）过点作轴，交于，过点作于，设交轴于，连接，设，则，，，根据得出，利用待定系数法表示出直线的解析式，即可得出，可得，利用可证明，得出，，，根据两点间距离公式可得，，根据，平分可得出，根据得出，得出，即可得出点的横坐标和纵坐标，即可得答案． 【小问1详解】 解：抛物线轴交于点， ∴当时，，即， ∴， ∵，点在轴负半轴， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于， ∵， ∴当时，，，对称轴为直线， ∴， ∵点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，交于，过点作于，设交轴于，连接， ∵点轴于点，点在上， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴点的横坐标为，， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $