热点必刷题09 圆综合选填压轴83题（9类题型83题）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

热点必刷题09 圆综合选填压轴83题 圆中角度问题 2 圆中弧长问题 15 圆中面积问题 26 圆中垂径定理及应用 48 圆中切线的性质与判定综合 56 圆中线段长度问题 61 圆与正多边形综合 67 圆与几何综合 77 圆中最值问题 86 圆中角度问题 1．（2025·辽宁沈阳·零模）如图，顶点A、B、C均在上，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：由圆周角定理可知：， ， ， 解得， 故选A． 2．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由圆内接四边形对角互补求出的度数，再由圆周角定理可得是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， 则， ∴， 故选B． 3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，为直径，弦交半径于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，可得，进而由可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，是的直径，圆上的点与点，分布在直线的两侧，，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则，又是的直径，则，然后用角度和差即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是 ． 【答案】60° 【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可． 【详解】解：∵四边形OABC为菱形， ∴∠AOC＝∠ABC， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，是上的四个点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同弧或等弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角，圆内接四边形的性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握同弧或等弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角，圆内接四边形的性质，合理作出辅助线是解题的关键． 如图所示，延长交于点，连接，得到是直角三角形，根据题意得到，，四边形是内接四边形，，在中由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接， ∵是直径， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵点在上， ∴四边形是内接四边形， ∴， 在中，， 故选：B ． 7．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键． 根据圆周角定理得出，算出，再根据内接四边形的性质即可求解； 【详解】解：， ， ． 是的直径， ， ． 四边形是的内接四边形， ， ， 故选：C． 8．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形内接于，连接、是的直径， ，若，则的度数为（        ） A． B． C．45 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角，直径所对的圆周角为直角等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，等边对等角，直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 由，可得，由，可得，由是的直径，可得，则，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．（2024·辽宁大连·一模）如图，在中，、、为半径，连接、、．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由圆周角定理可得：， ， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 10．（2024·辽宁沈阳·三模）如图，四边形内接于⊙O，是直径，D是弧的中点，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆心角相等，根据得到，根据D是弧的中点得到，结合等腰三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵D是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 11．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质推出，再根据平行四边形的性质推出，再证明四边形是菱形，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质、菱形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 12．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：   点在上，为的中点， ， ， ， 根据圆周角定理可知， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 13．（2024·辽宁大连·一模）如图，是的直径，点，是上的两点．若则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆内接四边形性质、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握圆内接四边形性质、圆周角定理是解决问题的关键．连接，如图所示，由圆内接四边形性质得到，再由直径所对的圆周角是直角及直角三角形性质即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是圆内接四边形， ， 是的直径， ， ， 故答案为：． 14．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连结，若，则 度． 【答案】20 【分析】由，再结合圆周角定理，即可计算的大小． 【详解】∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 15．（2024·辽宁·模拟预测）如图，把剪成三部分，边放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】C 【分析】过点分别作于，于，于，如图所示，得到点是的内心，即点为三个内角平分线的交点即可得到答案． 【详解】解：过点分别作于，于，于，如图所示： ∵直线， ∴， ∴点是的内心，即点为三个内角平分线的交点， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内心，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键． 圆中弧长问题 16．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在中，，以边为直径的交边于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆周角定理，弧长，解题的关键是熟练掌握以上性质和定义；连接，根据平行四边形的性质可得，，再根据圆周角定理可得，再根据弧长公式即可得解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 的长为， 故选：． 17．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，，，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点，取所作两条直线的交点，以该交点为圆心，该交点到的距离为半径作弧交于，则弧的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、三角形的外接圆、弧长公式等知识，由作图可知点O为的外接圆圆心是解题的关键．由作图可知，点O为的外接圆圆心，连接，由圆周角定理求出，得到，利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：如图，由作图可知，点O为的外接圆圆心，连接， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长为， 故答案为： 18．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点A，B．若长，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧的度数． 根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，分别与所在圆相切于点A，B， ，，，交于点， 连接，，， ， ， ，， 优弧对应的圆心角为，， 优弧的长是：． 故选：C． 19．（2024·辽宁辽阳·一模）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．连接，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，再求得，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ，， ， 为等边三角形， ， ， 的长为：， 故选：B． 20．（2024·辽宁丹东·二模）某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可． 【详解】解：． 故选：B． 21．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论． 【详解】解：四边形内接于，， ， ， 的长． 故选：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 22．（2024·辽宁辽阳·一模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解． 【详解】如图，连接，，交于点， ∵ ， ∴是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ， ∴改建后门洞的圆弧长是(m)， 故选：C 【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键． 23．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在中，，，以为直径的⊙O交于点，点为线段上的一点，，连接并延长交的延长线于点，连接交⊙O于点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OD，易知OD为的中位线，可以得出，再根据对等角相等，可以得出，根据相似三角形的性质可以求出半径，再根据特殊角的三角函数值可以得出，最后根据弧长公式即可得出答案． 【详解】连接OD OD为的中位线 又 即 故选C． 【点睛】本题考查了弧长公式，涉及到的知识点为相似三角形的判定及性质、特殊角的三角函数值、三角形中位线性质，作辅助线得出OD为三角形中位线为解题的关键． 24．（2024·辽宁·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2，马面裙可以近似的看作扇环，其中的长为，裙长为，圆心角，则的长为 m． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，即可计算． 【详解】解：圆心角， 的长， 米， （米， 的长（米， 故答案为： 25．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 算出围成圆锥的扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：∵将半径为4的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面， ∴围成圆锥的弧长所对圆心角度数是 围成圆锥的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为． 故答案为：． 26．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交边于点，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交边于点E，再以A为圆心，长为半径画弧，交边于点F，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查作图-基本作图、角平分线的定义、矩形的性质、圆锥的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图可知，为的平分线，结合矩形的性质可得，则，再利用勾股定理求出的长，利用弧长公式求出的长，可知的长即为该圆锥底面的周长，根据圆周长公式可得答案． 【详解】解：由作图可知，为的平分线， ∵四边形为矩形， 由勾股定理得，， 设该圆锥底面半径为， 则， 解得， ∴该圆锥底面半径为1． 故选：A． 圆中面积问题 27．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∵矩形，∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 28．（2025·辽宁·模拟预测）如图，一块正方形工件如图所示，工件的边长为，现在以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，将图中阴影部分单独切割，则阴影部分工件的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算是关键． 根据题意，，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，如图所示，两弧交于点，连接，过点作于点，是等边三角形，则，，则，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，如图所示，两弧交于点，连接，过点作于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则， ∴，则， ∴阴影部分的面积， 故答案为： ． 29．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）定义：连接平面内的一点与的边上的各点的所有线段中，最短的线段的长度为点到的距离，记为，当点点在边上时，规定，若是边长为2的等边三角形，则满足的所有点覆盖的图形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式等知识，理解新定义是解答本题的关键． 作于点H，根据勾股定理求出，由题意可知，满足的所有点覆盖的图形包含的内部、三角形外部的三个长为2，宽为1的矩形和三个半径为1，圆心角为的扇形，据此求解即可． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，． 如图，作于点H， 则， ∴． 由题意可知，满足的所有点覆盖的图形包含的内部、三角形外部的三个长为2，宽为1的矩形和三个半径为1，圆心角为的扇形， ∴所有点覆盖的图形的面积是． 故答案为：． 30．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是 平方米． 【答案】/ 【分析】本题结合实际问题考查了扇形面积的计算方法，解题关键是弄清小羊活动的范围是哪些图形． 小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为和一个半径为1、圆心角为的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围． 【详解】解：如图．， 小羊的活动范围是：（平方米） 故答案为． 31．（2024·辽宁铁岭·三模）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（   ）    A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键．过点作于点，设等边三角形的边长为，求出等边的面积为，根据“莱洛三角形”的面积为列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，设等边三角形的边长为，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴等边的面积为， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴等边三角形的边长为， 故选：A． 32．（2024·辽宁锦州·二模）如图所示，扇形的半径长为3，，再以点A为圆心，长为半径作弧，交弧于点C，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，连接，先证明是等边三角形，得到，再求出，，，据此根据图形面积之间的关系求解即可． 【详解】解：连接， 在扇形中，，，以A为圆心，长为半径画弧， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，，． ∴， ∴， 故选：C． 33．（2024·辽宁大连·三模）如图，在半径为2的中，为的一条弦，将所对的劣弧沿着翻折后恰好经过圆心，连接并反向延长交于一点，则如图所示的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，求不规则图形面积；作O关于的对称点D，连接交于E，连接，则得四边形是菱形，且，利用即为阴影部分面积，即可求解． 【详解】解：如图，作O关于的对称点D，连接交于E，连接， 由折叠知，，， ， ， 即是等边三角形，且； ， ，， ； ， 是等边三角形， ， 即四边形是菱形， ， ； 由于O是所在圆的圆心，由对折知，是所在圆的圆心， ； 故； 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，三角函数，求不规则图形的面积等知识．利用折叠的性质是解题的关键． 34．（2024·辽宁辽阳·三模）如图，，以为半径，O为圆心作圆交射线于点B．仍以为半径，分别以A和B为圆心作弧交于点C和D．顺次连接A，C，B，D，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定，矩形的判定等知识，连接，证明是等边三角形，可得根据直径所对的圆周角是直角得由三角形内角和定理可得得进一步证明四边形是矩形，再计算面积即可 【详解】解：连接，如图， 由作图得， ∴是等边三角形， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴四边形是矩形， 又 ∴矩形的面积为 故选：B 35．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，边长为2的正方形绕的中点O顺时针旋转后得到正方形，当点A的对应点落在对角线上时，点B所经过的路径与围成的阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轨迹，正方形的性质，扇形的面积，旋转变换等知识，连接，根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去两个三角形的面积，即可解答，解题的关键是理解题意，学会利用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， 点为的中点， ， ， 正方形绕的中点O顺时针旋转后得到正方形，且点A的对应点落在对角线上， ， ， 故选：C．    36．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，矩形中，，以O 为圆心，为半径作弧，且，则阴影部分的面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形面积计算，掌握扇形面积公式，矩形的性质是解题的关键，注意：扇形的半径为r，圆心角为n的扇形的面积是． 根据勾股定理求出，求出，则，可得，则，，根据直角三角形的性质求出，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点E作于H， 由题意得，，， 由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积=． 故选：A． 37．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，以的直角边为直径的半圆O，与斜边交于点D，E是边的中点，连接．若，的长是方程的两个根，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，．根据直径所对的圆周角为得出，根据因式分解法解方程求出，，并判定为等边三角形，再根据扇形的面积公式即可求出，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出，然后利用证明，最后根据代入计算即可得出答案． 【详解】解：连接，，．    ∵是直径， ∴． ∵，的长是方程的两个根，解得，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴，为等边三角形 ∴． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴，． ∵E是的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定及性质、扇形的面积公式、直角三角形斜边上的中线性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定及性质，综合性比较强，数量掌握性质定理是解题的关键． 38．（2024·辽宁大连·一模）如图，在矩形ABCD中，，BC＝4，以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形、圆的对称性和三角函数的性质，推导得；再根据扇形面积的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，连接DE ∵矩形ABCD，BC＝4， ∴，，， ∵以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴扇形面积 ∴阴影部分的面积 =扇形面积-扇形面积- =-- =-- =-- =-- =- 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形、圆、扇形面积、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、扇形面积、三角函数的性质，从而完成求解． 39．（2024·辽宁营口·模拟预测）如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可． 详解：连接AC． ∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC． ∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2）．      故选A． 点睛：本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 40．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解． 【详解】解：连接OD，连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB＝∠DAO， ∵OD＝OA， ∴∠DAO＝∠ODA， 则∠DAB＝∠ODA， ∴DO AB，而∠B＝90°， ∴∠ODB＝90°， ∵∠C＝30°，CD＝3， ∴OD＝CD•tan30°＝3×＝3， ∵∠DAB＝∠DAE＝30°， ∴， ∵∠DOE＝60°， ∴∠DOF＝60°， ∴∠FOA＝60°， ∴△OFD、△OFA是等边三角形， ∴DFAC， ∴S阴影＝S扇形DFO＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形． 41．（2024·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由圆周角定理可得，在Rt△AOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的长，然后根据S阴=S半-S△ABO求解即可. 【详解】连接， ∵， ∴是直径， 根据同弧对的圆周角相等得， ∵， ∴，，即圆的半径为2， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了：①同弧对的圆周角相等；②90°的圆周角对的弦是直径；③锐角三角函数的概念；④圆、直角三角形的面积分式．熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键. 42．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算．连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 圆中垂径定理及应用 43．（2025·辽宁·一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，，则球的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，延长交于点，连接，，，则有四边形是矩形，故有，设球的半径为，则，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过作，延长交于点，连接， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 设球的半径为，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 故答案为：． 44．（2024·辽宁锦州·三模）已知，作图． 步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线． 步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C； 步骤3：连接，． 则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，平行线的判定和性质，根据四量关系定理求出，根据垂径定理的推论得出垂直平分，根据圆周角定理得出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】解：．由作图可知：， ，垂直平分，故选项A、C正确，不符合题意； B．为半圆的直径， ，， ， ，选项B正确，不符合题意； D．的度数未知，和互余， 不一定等于， 不一定等于，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 45．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，已知的半径为，弦与弦位于圆心的异侧，，，在上取点，连结并延长交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 连接，，根据，可得，即可得到，进而求得、的长度，再利用勾股定理即可求解 【详解】解：连接，，作于点， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， 故选：B 46．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题关键．连接，过点O作，交于点E，交于点F，，利用垂径定理，得到，再利用勾股定理，，，即可求出平底烧瓶的高度． 【详解】如图，连接，过点O作，交于点E，交于点F， ∵， ∴， 且易知平分， ∵， ∴， 在和中，， 由勾股定理得，， ∴该烧瓶的高度为． 故选：D 47．（2024·辽宁营口·一模）如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为 m． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为r， 由题意可知，， 在中，，， ， 解得． 经检验：是方程的解， 故答案为：． 48．（2024·辽宁·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【答案】26 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 49．（2024·辽宁鞍山·一模）如图，⊙的直径，是圆上任一点（、除外），的平分线交⊙于，弦过、的中点、，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵是的角平分线， ∴， ∴弧弧， ∴， 又∵是直径， ∴，即为等腰直角三角形． 连接，交于点，则， ∵，是，的中点， ∴， ∴，， 连接根据勾股定理，得 ，． 故答案为． 故选． 圆中切线的性质与判定综合 50．（2025·辽宁大连·一模）如图，是的直径，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的切线性质，圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理的应用．通过连接，利用切线性质得到垂直关系，证明，得到，再圆周角定理求出，最后在中应用勾股定理求得的长． 【详解】连接，, ，是的切线， ， 又， （定理）， ， 而（圆心角是圆周角的两倍）， ， 在中，， 是的直径，， ， 故答案为：． 51．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理可得，，，从而可得的周长，即可得解． 【详解】解：根据切线长定理可得：，，， ∴的周长， ∴的长是， 故选：B． 52．（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内切圆、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．首先根据勾股定理解得，设内切圆的半径为，根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵中，步，步，， ∴步， 设内切圆的半径为， ∵， ∴， 解得， ∴内切圆的直径是240步． 故选：B． 53．（2024·辽宁丹东·二模）阅读材料，中用元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价，书中问题与方程有密切联系，其记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形中，与分别相切．问题：过点B做圆的切线，切点为E，交于点F，若，且，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线性质，切线长定理，正方形的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键．设为与的切点，为与的切点，连接，，，根据圆的切线性质，和切线长定理得，，，，，由，得到，设半径为，则，，在中，利用，即可求解． 【详解】解：设为与的切点，为与的切点，连接，，， 是切线，、、是切点， ，，，，， 正方形中，，又， ， ， ， ，，，， 四边形为正方形， 设半径为，则，， 在中，， 解得． 故答案为：． 54．（2024·辽宁·模拟预测）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，与y轴相切于点O，将向上平移m个单位长度，当与直线AB第一次相切时，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出A、B的坐标，得到OA、OB的长，设平移后与直线相切与点E，与y轴相切于点F，连接，则四边形是矩形，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴，， ∴． 设平移后与直线相切与点E，与y轴相切于点F，连接，则四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，与y轴相切于点O， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查对直线与圆的位置关系，勾股定理，面积法求线段的长，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握面积法是解此题的关键． 圆中线段长度问题 55．（2024·辽宁·模拟预测）如图，内接于，是的直径．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键． 利用直径所对的圆周角是直角和圆周角定理得出是等腰直角三角形，利用三角函数比解直角三角形即可求出的长度． 【详解】解：是的直径， , 又 是等腰直角三角形， 解得，, 故选：A． 56．（2024·辽宁·模拟预测）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得． 【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵线段AB是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选A． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点． 57．（2024·辽宁·模拟预测）在中，四边形内接于，点A为中点，的直径的长为13，，则的长为（  ） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理．利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，根据垂径定理求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接相交于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点A为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 58．（2025·辽宁沈阳·零模）如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧和弦的关系、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题关键．取的中点，连接，易得，进而可得，在中，根据三角形三边关系可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，取的中点，连接， ∵弧长等于弧长的2倍， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得， ∴． 故选：C． 59．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理可得结论． 【详解】连接OD， ∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点， ∴OD⊥AC， 在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2， ∴OD=OB=2，AO=4， ∴∠ODB=∠OBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD=∠CBD， ∴∠ODB=∠CBD， ∴OD∥CB， ∴，即， ∴CD=． 故选B． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边对等角以及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线． 圆与正多边形综合 60．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，中心角的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 如图，设正n边形的边与内切圆相切于点M，连接，则，，根据求解即可． 【详解】解：如图，设正n边形的边与内切圆相切于点M，连接，则，， 由正多边形的性质可知，， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 61．（2025·辽宁抚顺·二模）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形，切线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 连接，先求出，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点作的切线， ∴， ∴， 故选：B． 62．（2024·辽宁大连·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ∵， ∴， 则， 故正十二边形的面积为， 圆的面积为， 用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键． 63．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，正五边形内接于，连接，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可． 【详解】∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 64．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　） A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2 【答案】D 【分析】先根据等边三角形的性质求出△OBC的面积，然后由地基的面积是△OBC的6倍即可得到答案 【详解】解：如图所示，正六边形ABCDEF，连接OB，OC，过点O作OP⊥BC于P， 由题意得：BC=4cm， ∵六边形ABCD是正六边形， ∴∠BOC=360°÷6=60°， 又∵OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键． 65．（2024·辽宁丹东·模拟预测）门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也称为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，图中以正六边形的对角线的中点O为圆心，为半径作，切于点，并交于点Q，若，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质，正多边形和圆等知识的综合运用．连接，，根据圆的切线的性质可得，设该圆的半径为，可求，过Q作于G，过D作于H，则四边形是矩形，可求，计算求解的长，进而可得，，通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，， ∵是的切线， ∴， 设该圆的半径为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 过Q作于G，过D作于H ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴该圆的半径为， 故答案为：． 66．（2024·辽宁营口·二模）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵正六边形的边长为2， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 67．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质．熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的所有边都相等，所有内角都相等，结合等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：五边形为正五边形， ，， ， ， 故选C． 圆与几何综合 68．（2025·辽宁·一模）如图，在外存在一点，过点作两条直线和交于、、、，点在上，满足，连接，，与交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，证明，得到，得到，结合，得到，进而得到，连接，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴或（舍掉）； 故选：C． 69．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在半径为5的中，点为外一点，过作两条直线分别与圆交于、、、四点（顺时针排列），过作，垂足为；，垂足为．若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判的性质是关键． 如图所示，连接，由垂径定理与勾股定理得到，由内接四边形的性质得到，可证明，得到，即，解得，解得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， 在中，，则，， 在中，，则， ∵点、、、四点在上， ∴四边形是内接四边形， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去）或， ∴， 故答案为： ． 70．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，是上一点，，，在过，，三点的上取点，连接，，则的值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，连接，证出，，得出，由等腰三角形的判定得出，求出的长，根据锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】如图，延长交于点，连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 71．（2024·辽宁·模拟预测）如图，内接于，为的直径，D为上一点（位于下方），交于点E，若， ，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点D作于点G，因为，构造，求出，则可求得；由相似得，则可求得，由勾股定理求得． 【详解】解：连接，过点D作于点G， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出是解题关键 72．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，是的外接圆，是直径，交于点，连接，若，则的长为（    ） A．8 B． C． D．10 【答案】D 【分析】连接OB、OC，OB交AC于点F，利用圆周角定理，三角函数值得到，设，，然后求出，，再利用勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：连接OB、OC，OB交AC于点F，如图， ∵， ∴，∠ACB=∠ADB=∠CAB， ∴， ∵是直径， ∴∠ABD=90°， ∴， 设，， ∴， ∵AB=BC，OA=OC， ∴OB⊥AC， ∴， ∴，， ∴， ∵∠CAB=∠CDB，∠ECD=90°， ∴， ∵， ∴， 在直角△ACD中，由勾股定理得 ， ∴， 解得：，（负值已舍去）； ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角函数，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的做出辅助线，从而进行分析． 圆中最值问题 73．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，，，射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，根据点关于的对称点为，可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，，从而可知点、、在以点为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，所以当最大时，的值最大，当旋转角时，点、、共线，线段为的直径，根据，可得圆的直径是，即可求出面积的最大值是． 【详解】解：如下图所示，连接， 点关于的对称点为， 是的垂直平分线， ，， 又， ， 点、、在以点为圆心，为半径的圆上， ， 优弧所对的圆心角是， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当最大时，的值最大， 当旋转角时，点、、共线，线段为的直径， 此时最大且， ， 则面积的最大值是． 故答案为：． 74．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，连接，设的延长线交于E，先求出点，点，点，由此得是的中位线，则，因此当为最小时，为最小，根据点与圆的位置关系可知为最小，然后再求出的长即可得出的最小值． 【详解】解：连接，设交于E，如图所示： 对于抛物线，当时，，当时，，或， ∴点，点，点， ∴， ∵点Q是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当为最小时，为最小， 根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最小， ∴当点P与点E重合时，为最小，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 75．（2024·辽宁大连·三模）己知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值，解题的关键是确定当圆心在线段上，取得最大值． 由题意知，当圆心在线段上，取得最大值，把点的坐标代入中，即可求得的值． 【详解】解：由题意知，当圆心在线段上，取得最大值， 此时直线过点， 把点坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 76．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 77．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，拋物线与轴交于A、B两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内的一动点，且满足，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（  ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】解方程得，利用抛物线的性质得到C点为的中点，再根据圆周角定理得到点P在以为直径的圆上，圆心Q点的坐标为，接着计算出，的半径为2，延长交于F，此时最大，最大值为，连接，利用三角形的中位线性质得到，从而得到的最大值． 【详解】解方程得， ∴， ∵抛物线的对称轴与x轴交于点C， ∴C点为的中点， ∵， ∴点P在以为直径的圆上，圆心Q点的坐标为，如图， ，的半径为2， 延长交于F，此时最大，最大值为， 连接， ∵M是线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当点P和点F重合时，的最大值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理． 78．（2024·辽宁大连·一模）如图，在边长为2的正方形中，点E在正方形内部且．连接，以、为边构造，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证明，得出，推导出点F的运动轨迹为半圆，再根据两点之间线段最短，推导出最小值． 【详解】连接和，   四边形是正方形， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， 点F在以为直径的圆上运动，圆心O为的中点， 如图所示，，即，   当且仅当C、F、O三点共线时，最小， ， 在中，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的最小值问题，正方形的性质，平行四边形的性质，圆周角定理及其推论，三角形全等的证明，正确作出辅助线，推导出F的运动轨迹是解题的关键． 79．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题关键搞清的运动轨迹，有，，可知，所以到的中点的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得的范围，从而确定它的最小值． 【详解】解：取的中点，作垂直于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是边长为7的正方形， ∴， ，，， ， ， 又，， ， ， ， 所以在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∴在中，由勾股定理可得， ， 当落在上时，取到等号， 即达到最小，最小值为； 故答案为． 【点睛】本题考查正方形的基本性质，和全等直角三角形的判定，解决此类问题的关键是判断动点的运动轨迹，然后利用三角形三边的关系判断何时取到最值． 80．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，， 如图所示，当点在上时，    ∵ ∴在为圆心，为半径的弧上运动， 当三点共线时，最短， 此时， 当点在上时，如图所示，    此时 当在上时，如图所示，此时    综上所述，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 81．（2024·辽宁·模拟预测）如图，，均是边长为的等边三角形，点D是边的中点，直线相交于点M．当 绕点D旋转时，线段的长的最小值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，的中点为O，连接，根据题意证明出，得到，A、D、C、M四点共圆，然后根据得到当M在线段与该圆的交点处时，线段最小，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，的中点为O，连接，    ∵，均是边长为的等边三角形，点D是边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴． ∴A、D、C、M四点共圆． 根据两点之间线段最短可得：，即， 当M在线段与该圆的交点处时，线段BM最小， 此时，，， 则． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆的有关知识等，解题的关键是得到当M在线段与该圆的交点处时，线段最小，． 82．（2024·辽宁·模拟预测）已知直线y=﹣x+7a+1与直线y=2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解方程组得P点坐标为（3a﹣1，4a+2），则可确定点P为直线y＝x+上一动点，设直线y＝x+与坐标的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），利用勾股定理计算出AB＝，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，证Rt△MBP∽Rt△ABO，利用相似比计算出MP＝，则PQ＝，即线段PQ的最小值为． 【详解】解方程组得， ∴P点坐标为（3a﹣1，4a+2）， 设x=3a﹣1，y=4a+2， ∴y＝x+， 即点P为直线y＝x+上一动点， 设直线y＝x+与坐标的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，）， ∴AB= 过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小． ∵∠MBP=∠ABO， ∴Rt△MBP∽Rt△ABO， ∴MP：OA=BM：AB，即MP：=：， ∴MP=，∴PQ=﹣1=， 即线段PQ的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了一次函数的性质和相似三角形的判定与性质． 83．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，在扇形中，，半径，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接、．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为____________． 【答案】 【分析】当EF取最小值时，E是OF的中点，根据是等边三角形可以求出BE，再利用弧长公式计算得到弧长 【详解】∵ CD长不变，∠AOB=90°，E为CD的中点， ∴ 点E的轨迹是以O为圆心，为半径的 作出如图所示，连接OF交于E，连接BF，此时O、E、F三点共线， ∴ EF的长度最小，最小值为，E为OF的中点， ∵点F是的三等分点 ∴ ∴ 为等边三角形 ∴ 在中， 又∵的长为 ∴ 阴影部分的周长为 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的定义，等边三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，弧长的计算公式，根据圆的定义判断出点E的轨迹以及E为OF中点时EF长最小是解题关键，涉及到动点结合最值考查首先应判断动点的轨迹，再依据基本事实求解． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题09 圆综合选填压轴83题 圆中角度问题 2 圆中弧长问题 6 圆中面积问题 10 圆中垂径定理及应用 15 圆中切线的性质与判定综合 17 圆中线段长度问题 19 圆与正多边形综合 21 圆与几何综合 24 圆中最值问题 26 圆中角度问题 1．（2025·辽宁沈阳·零模）如图，顶点A、B、C均在上，，则为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，为直径，弦交半径于点，连接，若，则的度数为 ． 4．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，是的直径，圆上的点与点，分布在直线的两侧，，则 ． 5．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是 ． 6．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，是上的四个点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形内接于，连接、是的直径， ，若，则的度数为（        ） A． B． C．45 D． 9．（2024·辽宁大连·一模）如图，在中，、、为半径，连接、、．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·辽宁沈阳·三模）如图，四边形内接于⊙O，是直径，D是弧的中点，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 12．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）    A． B． C． D． 13．（2024·辽宁大连·一模）如图，是的直径，点，是上的两点．若则的度数是 ． 14．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连结，若，则 度． 15．（2024·辽宁·模拟预测）如图，把剪成三部分，边放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 圆中弧长问题 16．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在中，，以边为直径的交边于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 17．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，，，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点，取所作两条直线的交点，以该交点为圆心，该交点到的距离为半径作弧交于，则弧的长为 ． 18．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点A，B．若长，，则的长是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·辽宁辽阳·一模）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·辽宁丹东·二模）某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（   ） A． B． C． D． 21．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（    ）      A． B． C． D． 22．（2024·辽宁辽阳·一模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在中，，，以为直径的⊙O交于点，点为线段上的一点，，连接并延长交的延长线于点，连接交⊙O于点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·辽宁·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2，马面裙可以近似的看作扇环，其中的长为，裙长为，圆心角，则的长为 m． 25．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 26．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交边于点，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交边于点E，再以A为圆心，长为半径画弧，交边于点F，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（） A．1 B． C．2 D． 圆中面积问题 27．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 28．（2025·辽宁·模拟预测）如图，一块正方形工件如图所示，工件的边长为，现在以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，将图中阴影部分单独切割，则阴影部分工件的面积为 ． 29．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）定义：连接平面内的一点与的边上的各点的所有线段中，最短的线段的长度为点到的距离，记为，当点点在边上时，规定，若是边长为2的等边三角形，则满足的所有点覆盖的图形的面积是 ． 30．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是 平方米． 31．（2024·辽宁铁岭·三模）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（   ）    A．1 B． C． D．2 32．（2024·辽宁锦州·二模）如图所示，扇形的半径长为3，，再以点A为圆心，长为半径作弧，交弧于点C，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 33．（2024·辽宁大连·三模）如图，在半径为2的中，为的一条弦，将所对的劣弧沿着翻折后恰好经过圆心，连接并反向延长交于一点，则如图所示的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 34．（2024·辽宁辽阳·三模）如图，，以为半径，O为圆心作圆交射线于点B．仍以为半径，分别以A和B为圆心作弧交于点C和D．顺次连接A，C，B，D，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 35．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，边长为2的正方形绕的中点O顺时针旋转后得到正方形，当点A的对应点落在对角线上时，点B所经过的路径与围成的阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 36．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，矩形中，，以O 为圆心，为半径作弧，且，则阴影部分的面积为（     ）    A． B． C． D． 37．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，以的直角边为直径的半圆O，与斜边交于点D，E是边的中点，连接．若，的长是方程的两个根，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 38．（2024·辽宁大连·一模）如图，在矩形ABCD中，，BC＝4，以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 39．（2024·辽宁营口·模拟预测）如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 40．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是 ． 41．（2024·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为 ． 42．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 圆中垂径定理及应用 43．（2025·辽宁·一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，，则球的半径为 ． 44．（2024·辽宁锦州·三模）已知，作图． 步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线． 步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C； 步骤3：连接，． 则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．垂直平分 D． 45．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，已知的半径为，弦与弦位于圆心的异侧，，，在上取点，连结并延长交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 46．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 47．（2024·辽宁营口·一模）如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为 m． 48．（2024·辽宁·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 49．（2024·辽宁鞍山·一模）如图，⊙的直径，是圆上任一点（、除外），的平分线交⊙于，弦过、的中点、，则的长是（　　） A． B． C． D． 圆中切线的性质与判定综合 50．（2025·辽宁大连·一模）如图，是的直径，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长是 ． 51．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（   ） A． B． C． D． 52．（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 53．（2024·辽宁丹东·二模）阅读材料，中用元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价，书中问题与方程有密切联系，其记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形中，与分别相切．问题：过点B做圆的切线，切点为E，交于点F，若，且，则的半径为 ． 54．（2024·辽宁·模拟预测）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，与y轴相切于点O，将向上平移m个单位长度，当与直线AB第一次相切时，则m的值是（    ） A． B． C． D． 圆中线段长度问题 55．（2024·辽宁·模拟预测）如图，内接于，是的直径．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 56．（2024·辽宁·模拟预测）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（    ） A． B．4 C．6 D． 57．（2024·辽宁·模拟预测）在中，四边形内接于，点A为中点，的直径的长为13，，则的长为（  ） A．7 B．8 C． D． 58．（2025·辽宁沈阳·零模）如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．以上结论都不对 59．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　） A．2 B． C． D． 圆与正多边形综合 60．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（   ） A． B． C． D． 61．（2025·辽宁抚顺·二模）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 62．（2024·辽宁大连·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A． B． C．3 D． 63．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，正五边形内接于，连接，则（   ）    A． B． C． D． 64．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　） A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2 65．（2024·辽宁丹东·模拟预测）门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也称为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，图中以正六边形的对角线的中点O为圆心，为半径作，切于点，并交于点Q，若，则该圆的半径为 ． 66．（2024·辽宁营口·二模）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为 ． 67．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 圆与几何综合 68．（2025·辽宁·一模）如图，在外存在一点，过点作两条直线和交于、、、，点在上，满足，连接，，与交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 69．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在半径为5的中，点为外一点，过作两条直线分别与圆交于、、、四点（顺时针排列），过作，垂足为；，垂足为．若，，，则的长为 ． 70．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，是上一点，，，在过，，三点的上取点，连接，，则的值为（     ）    A． B． C． D． 71．（2024·辽宁·模拟预测）如图，内接于，为的直径，D为上一点（位于下方），交于点E，若， ，，则的长为（    ） A． B． C． D． 72．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，是的外接圆，是直径，交于点，连接，若，则的长为（    ） A．8 B． C． D．10 圆中最值问题 73．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，，，射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是 ． 74．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是 ． 75．（2024·辽宁大连·三模）己知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 76．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 77．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，拋物线与轴交于A、B两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内的一动点，且满足，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（  ） A．5 B． C． D．3 78．（2024·辽宁大连·一模）如图，在边长为2的正方形中，点E在正方形内部且．连接，以、为边构造，连接，则线段的最小值为 ． 79．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ． 80．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．    81．（2024·辽宁·模拟预测）如图，，均是边长为的等边三角形，点D是边的中点，直线相交于点M．当 绕点D旋转时，线段的长的最小值是（　　）    A． B． C． D． 82．（2024·辽宁·模拟预测）已知直线y=﹣x+7a+1与直线y=2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（　　） A． B． C． D． 83．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，在扇形中，，半径，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接、．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为____________． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$