第16课 反证法-2024-2025学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第16课 反证法 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解反证法的含义. 2.了解反证法的基本步骤. 3.会用反证法证明简单命题 4.了解定理“在同-平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行” ( 知识精讲 ) 知识点01 反证法 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 　 ( 能力拓展 )考点01 反证法 【典例1】用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：正确的顺序应为（　　） ①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°． A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【思路点拨】根据反证法的步骤即可判断． 【解析】解：反证法的步骤为：假设结论成立，推出矛盾，推出假设不成立，结论成立． 以上证明过程正确的步骤：③①②． 故选：D． 【点睛】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 【即学即练1】数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行、同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB＝∠EO'D”． 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图2，假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠EO′D． 依据（1）　同位角相等，两直线平行　 ，可得A′B′∥CD． 这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD， 这与基本事实（2）　经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行　 矛盾， 说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB＝∠EO′D． 【思路点拨】根据平行线的判定定理、平行公理解答即可． 【解析】解：证明：假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠EO′D． 依据（1）同位角相等，两直线平行，可得A′B′∥CD． 这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD， 这与基本事实（2）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB＝∠EO′D， 故答案为：同位角相等，两直线平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查的是反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．用反证法证明“若a∥b，b∥c，则a∥c”时，应假设（　　） A．a与c不平行 B．a∥b C．a⊥c D．a与b不平行，b与c不平行 【思路点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【解析】解：反证法证明“若a∥b，b∥c，则a∥c”时，应假设a与c不平行， 故选：A． 【点睛】本题考查的是反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 2．用反证法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠ABC＜90°”时，应先假设（　　） A．∠ABC≠90° B．AB≠AC C．∠ABC＞90° D．∠ABC≥90° 【思路点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，∠ABC＜90°的反面是∠ABC≥90°． 【解析】解：反证法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠ABC＜90°”时，应先假设∠ABC≥90°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 3．用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（　　） A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C 【思路点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【解析】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C时，首先应假设∠B＝∠C， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 4．用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设（　　） A．a不平行于b B．a平行于b C．a不垂直于c D．b不垂直于c 【思路点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，a∥b的反面是a不平行于b． 【解析】解：用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设a不平行于b， 故选：A． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5．用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设（　　） A．两直线不平行 B．同旁内角不互补 C．同旁内角相等 D．同旁内角不相等 【思路点拨】根据命题“同旁内角互补，两直线平行”得到应先假设结论不成立，本题得以解决． 【解析】解：由题意可得，反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，应先假设两条直线不平行， 故选：A． 【点睛】本题主要考查反证法，余角和补角，同位角、内错角、同旁内角，平行线的判定与性质，解答本题的关键要掌握：反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立． 6．命题“若△ABC中，AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”，若用反证法证明此命题时，应假设：　∠C＝90°　 ． 【思路点拨】根据反证法，从命题的结论反面出发进行假设进而得出答案． 【解析】解：命题“若△ABC中，AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”， 若用反证法证明此命题时，应假设：∠C＝90° 故答案为：∠C＝90°． 【点睛】此题主要考查了反证法，勾股定理，正确掌握反证法的第一步是解题关键． 7．用反证法证明：“若a≥b＞0，则a2≥b2”，应先假设 　a2＜b2　 ． 【思路点拨】根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答． 【解析】解：用反证法证明“若a≥b＞0，则a2≥b2”的第一步是假设a2＜b2， 故答案为：a2＜b2． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 8．对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 　四边形ABCD是平行四边形　 ． 【思路点拨】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 【解析】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】此题考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．” 9．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1+∠2　≠　 180°． 求证：直线l1与l2　不平行　 ． 证明：假设l1　∥　 l2， 则∠1+∠2　＝　 180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 这与　∠1+∠2≠180°　 矛盾，故　l1∥l2　 不成立． 所以　l1与l2不平行　 ． 【思路点拨】直接利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 【解析】已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1+∠2≠180°． 求证：直线l1与l2不平行． 证明：假设l1∥l2， 则∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 这与，∠1+∠2≠180°矛盾，故l1∥l2，不成立． 所以l1与l2不平行． 故答案为：≠，不平行，∥，＝，两直线平行，同旁内角互补；∠1+∠2≠180°，l1∥l2，l1与l2不平行． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的一般步骤是解题关键． 10．反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＜90°． 证明：假设 　∠B≥90°　 ． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C≥90°， ∴∠A+∠B+∠C＞180°， 这与 　三角形内角和定理或三角形的内角和等于180°相矛盾　 ． ∴　此假设　 不成立． ∴∠B＜90° 【思路点拨】根据反证法的证明步骤分析即可． 【解析】证明：假设∠B≥90°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C≥90°， ∴∠A+∠B+∠C＞180°， 这与三角形内角和定理或三角形的内角和等于180°相矛盾． ∴此假设不成立． ∴∠B＜90°， 故答案为：∠B≥90°；三角形内角和定理或三角形的内角和等于180°相矛盾；此假设． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，等边对等角及反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 题组B 能力提升练 11．用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应先作出的假设是（　　） A．一个三角形中有两个内角为钝角 B．一个三角形中三个内角都是钝角 C．一个三角形中至少有一个内角为钝角 D．一个三角形中至少有两个内角为钝角 【思路点拨】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可． 【解析】解：证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个内角为钝角． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反证法，三角形内角和定理，根据题意得出命题结论的反例是解答问题的关键． 12．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应先假设（　　） A．三个内角都大于60° B．三个内角都小于60° C．三个内角都不大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 【思路点拨】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三角形的三个内角都大于60°”． 【解析】解：∵命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”，即三角形的三个内角中存在一个或者多个角是小于等于60°的， ∴用反证法证明该命题时，应假设“三角形的三个内角都大于60°”． 故选：A． 【点睛】本题考查了反证法，三角形内角和定理，解答本题的关键明确：反证法是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而证明原命题成立． 13．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾； ②因此假设不成立，所以∠B＜90°； ③假设在△ABC中，∠B≥90°； ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°． 这四个步骤正确的顺序应是 　③④①②　 ．（填序号） 【思路点拨】根据反证法的一般步骤判断即可． 【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°， 2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°， 3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾， 4、因此假设不成立．∴∠B＜90°， 故答案为：③④①②． 【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 14．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．④则三角形的三个内角的和大于180°．这四个步骤正确的顺序是 　③④①②　 ． 【思路点拨】由反证法的步骤解答即可． 【解析】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°． 证明：假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°， 则三角形的三个内角的和大于180°， 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°． 则四个步骤正确的顺序是③④①②， 故答案为：③④①②． 【点睛】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 15．数学课上，学生提出如何证明以下问题： 如图，AB∥CD．求证：∠B+∠E+∠D＝360°． 老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设∠B+∠E+∠D≠360°， 如图，延长BE交CD的延长线于点F，G为DF延长线上一点． ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠EFG． ∵∠ABE+∠BED+∠CDE≠360°， ∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°， 这与“_____”相矛盾， ∴假设不成立， ∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°． 以上证明过程中，横线上的内容应该为 　三角形的外角和等于360°　 ． 【思路点拨】根据三角形的外角和等于360°解答即可． 【解析】证明：假设∠B+∠E+∠D≠360°， 如图，延长BE交CD的延长线于点F，G为DF延长线上一点， ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠EFG． ∵∠ABE+∠BED+∠CDE≠360°， ∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°， 这与“三角形的外角和等于360°”相矛盾， ∴假设不成立， ∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°． 故答案为：三角形的外角和等于360°． 【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 题组C 培优拔尖练 16．用反证法证明：在四边形中，至少有一个内角大于或等于90°，应先假设（　　） A．四边形中每一个内角都小于90° B．四边形中最多有一个内角不小于90° C．四边形中每一个内角都大于90° D．四边形中有一个内角大于90° 【思路点拨】至少有一个角不小于90°的反面是每个角都小于90°，据此即可假设． 【解析】解：用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°， 应先假设：四边形中的每个角都小于90°． 故选：A． 【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 17．下列说法，正确的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是真命题 C．两边分别相等的两个直角三角形全等 D．用反证法证明命题“三角形中不能有两个角是直角”，首先要假设“这个三角形中有两个角是直角” 【思路点拨】涉及了平行线的性质、逆命题及其判断、全等三角形的判定、反证法，根据相关知识进行逐项判断即可． 【解析】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误，不符合题意； B、“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，不是真命题，比如：（﹣3）2＞22，但﹣3＜2，故原说法错误，不符合题意； C、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原说法错误，不符合题意； D、用反证法证明命题“三角形中不能有两个角是直角”，首先要假设“这个三角形中有两个角是直角”，故原说法正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查判断命题的正确性，正确记忆相关知识点是解题关键． 18．命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与（　　）矛盾． A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D．垂直的定义 【思路点拨】根据反证法的一般步骤解答即可． 【解析】解：命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”， 用反证法证明时，最终推出与在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条矛盾， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 19．用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设　这五个数都小于　 ． 【思路点拨】熟记反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【解析】解：首先要假设这五个数都小于． 故答案为：这五个数都小于． 【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 20．用反证法证明下列问题： 如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分． 【思路点拨】利用反证法证明的第一步假设BD和CE互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出BE∥CD，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确． 【解析】证明：连接DE， 假设BD和CE互相平分， ∴四边形EBCD是平行四边形， ∴BE∥CD， ∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上， ∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即BD和CE不可能互相平分． 【点睛】此题主要考查了反证法的证明，根据反证法步骤得出假设BD和CE互相平分进而得出矛盾是解题关键． 21．如图，在△ABC中，AB、BC、AC均不相等，点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点． 求证：（1）四边形EFCD是平行四边形． （2）用反证法证明：线段EC与FD不垂直． 【思路点拨】（1）利用三角形中位线定理判定四边形BEFD的两组对边相互平行，则四边形EFCD是平行四边形． （2）假设线段EC与FD垂直．首先判定平行四边形EFCD是菱形．利用菱形的四边相等和三角形中位线定理推知BC＝AC．这与BC、AC均不相等相矛盾．推知该假设不成立． 【解析】证明：（1）∵点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点， ∴DE和EF都是△ABC的中位线． ∴ED∥BC，EF∥AC． ∴ED∥FC，EF∥DC． ∴四边形EFCD是平行四边形． （2）假设线段EC与FD垂直． 由（1）知，四边形EFCD是平行四边形，则平行四边形EFCD是菱形． ∴EF＝DE． 由（1）知，DE和EF都是△ABC的中位线， ∴DE＝BC，EF＝AC． ∴BC＝AC． ∴这与BC、AC均不相等相矛盾． ∴该假设不成立． ∴线段EC与FD不垂直． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，反证法以及平行四边形的判定定理，关键是掌握三角形中位线定理中的“三角形的中位线平行于第三边”． 22．设a，b，c是不全相等的任意实数，若x＝b2﹣ac，y＝c2﹣ab，z＝a2﹣bc．求证：x，y，z至少有一个大于零． 【思路点拨】假设x，y，z都小于零，列出算式，根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【解析】解：假设x，y，z都小于零， 则b2﹣ac+c2﹣ab+a2﹣bc＜0， 2b2﹣2ac+2c2﹣2ab+2a2﹣2bc＜0， （a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＜0， 这与偶次方的非负性相矛盾， ∴假设不成立， ∴x，y，z至少有一个大于零． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16课 反证法 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解反证法的含义. 2.了解反证法的基本步骤. 3.会用反证法证明简单命题 4.了解定理“在同-平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行” ( 知识精讲 ) 知识点01 反证法 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 　 ( 能力拓展 )考点01 反证法 【典例1】用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：正确的顺序应为（　　） ①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°． A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【即学即练1】数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行、同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB＝∠EO'D”． 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图2，假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠EO′D． 依据（1）　 　 ，可得A′B′∥CD． 这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD， 这与基本事实（2）　 　 矛盾， 说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB＝∠EO′D． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．用反证法证明“若a∥b，b∥c，则a∥c”时，应假设（　　） A．a与c不平行 B．a∥b C．a⊥c D．a与b不平行，b与c不平行 2．用反证法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠ABC＜90°”时，应先假设（　　） A．∠ABC≠90° B．AB≠AC C．∠ABC＞90° D．∠ABC≥90° 3．用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（　　） A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C 4．用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设（　　） A．a不平行于b B．a平行于b C．a不垂直于c D．b不垂直于c 5．用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设（　　） A．两直线不平行 B．同旁内角不互补 C．同旁内角相等 D．同旁内角不相等 6．命题“若△ABC中，AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”，若用反证法证明此命题时，应假设：　 　 ． 7．用反证法证明：“若a≥b＞0，则a2≥b2”，应先假设 　 　 ． 8．对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 　 　 ． 9．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1+∠2　 　 180°． 求证：直线l1与l2　 　 ． 证明：假设l1　 　 l2， 则∠1+∠2　 　 180°（　 　 ）． 这与　 　 矛盾，故　 　 不成立． 所以　 　 ． 10．反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＜90°． 证明：假设 　 　 ． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C≥90°， ∴∠A+∠B+∠C＞180°， 这与 　 　 ． ∴　 　 不成立． ∴∠B＜90° 题组B 能力提升练 11．用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应先作出的假设是（　　） A．一个三角形中有两个内角为钝角 B．一个三角形中三个内角都是钝角 C．一个三角形中至少有一个内角为钝角 D．一个三角形中至少有两个内角为钝角 12．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应先假设（　　） A．三个内角都大于60° B．三个内角都小于60° C．三个内角都不大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 13．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾； ②因此假设不成立，所以∠B＜90°； ③假设在△ABC中，∠B≥90°； ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°． 这四个步骤正确的顺序应是 　 　 ．（填序号） 14．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．④则三角形的三个内角的和大于180°．这四个步骤正确的顺序是 　 　 ． 15．数学课上，学生提出如何证明以下问题： 如图，AB∥CD．求证：∠B+∠E+∠D＝360°． 老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设∠B+∠E+∠D≠360°， 如图，延长BE交CD的延长线于点F，G为DF延长线上一点． ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠EFG． ∵∠ABE+∠BED+∠CDE≠360°， ∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°， 这与“_____”相矛盾， ∴假设不成立， ∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°． 以上证明过程中，横线上的内容应该为 　 　 ． 题组C 培优拔尖练 16．用反证法证明：在四边形中，至少有一个内角大于或等于90°，应先假设（　　） A．四边形中每一个内角都小于90° B．四边形中最多有一个内角不小于90° C．四边形中每一个内角都大于90° D．四边形中有一个内角大于90° 17．下列说法，正确的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是真命题 C．两边分别相等的两个直角三角形全等 D．用反证法证明命题“三角形中不能有两个角是直角”，首先要假设“这个三角形中有两个角是直角” 18．命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与（　　）矛盾． A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D．垂直的定义 19．用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设　 ． 20．用反证法证明下列问题： 如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分． 21．如图，在△ABC中，AB、BC、AC均不相等，点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点． 求证：（1）四边形EFCD是平行四边形． （2）用反证法证明：线段EC与FD不垂直． 22．设a，b，c是不全相等的任意实数，若x＝b2﹣ac，y＝c2﹣ab，z＝a2﹣bc．求证：x，y，z至少有一个大于零． 学科网（北京）股份有限公司 $$