专题4.4 三角形的中位线与反证法（中考常考点分类专题）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题4.4 三角形的中位线与反证法（中考常考点分类专题） 第一部分【知识点与考点目录】 【知识点一】三角形的中位线 【考点1】与三角形中位线有关的求解问题....................................1 【考点2】与三角形中位线有关的证明........................................4 【考点3】三角形中位线的实际应用..........................................6 【知识点二】反证法 【考点4】反证法证明中的假设..............................................8 【考点5】用反证法证明命题................................................9 【知识点三】三角形的中位线与图形变换 【考点6】三角形的中位线与平移...........................................11 【考点7】三角形的中位线与旋转...........................................15 【考点8】三角形的中位线与折叠...........................................19 【考点9】三角形的中位线与最值...........................................23 第二部分【考点展示与方法点拨】 【知识点一】三角形的中位线 【考点1】与三角形中位线有关的求解问题 1．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    【答案】4 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 2．（2025·陕西西安·二模）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．延长交于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可． 解：延长交于H， ， ， ， 是的中位线， ， 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）在中，点为的中点，过点作于点，若点为的中点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查中位线有关的计算，勾股定理，取中点，连接，，则是中位线，是中位线，得到，，，最后在中利用勾股定理计算即可． 解：连接，取中点，连接，， ∵点为的中点， ∴是中位线， ∵，， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴是中位线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点2】与三角形中位线有关的证明 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定． （1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可； （2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立． 解：（1）解：直线l如图所示， ； （2）证明：补全图形，如图， 由（1）作图知，E为的中点， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，D，E，F分别是等边三角形三边的中点．下列三角形：①；②；③，其中，可以由经过一次轴对称变换得到的是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】证明，然后根据轴对称的性质解答即可． 解：∵D，E，F分别是等边三角形三边的中点， ∴是等边三角形的中位线， ∴， ∴， ∴沿直线轴对称可得，沿的垂直平分线轴对称可得，沿的垂直平分线轴对称可得， ∴可以由经过一次轴对称变换得到的是①；②；③． 故选：D． 【点拨】此题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，关键是根据轴对称的性质解答． 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ． 【答案】/37度 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 解：如图，延长交于点， ，、、分别是，，的中点， ， ∵，， ，， ∴， ， 解得． 故答案为：． 【考点3】三角形中位线的实际应用 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 解：∵D，分别是，的中点， ， ， 故选：． 3．（2024·广东汕头·一模）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用．利用三角形中位线定理“三角形的中位线是第三边的一半”即可求解． 解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：6． 【知识点二】反证法 【考点4】反证法证明中的假设 1．（2024·江苏南京·模拟预测）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设直角三角形中 ． 【答案】每个锐角都大于 【分析】此题考查了反证法，根据反证法的第一步是否定结论进行解答即可． 解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”， 第一步假设直角三角形中每个锐角都大于， 故答案为：每个锐角都大于45°． 2．（24-25八年级下·全国·期末）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应先假设这个直角三角形中（  ） A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于 C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于 【答案】D 【分析】本题考查反证法．熟练掌握反证法的第一步，假设结论不成立，是解题的关键．用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时， 应先假设每一个锐角都大于． 故选：D． 3．（24-25八年级上·河南周口·期末）牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一．我们用反证法证明命题“是无理数”时，应先假设 ． 【答案】是有理数 【分析】本题主要考查了反证法的应用，无理数，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤． 根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 解：我们用反证法证明命题“是无理数”时，应先假设是有理数． 故答案为：是有理数． 【考点5】用反证法证明命题 1．（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（    ） A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法 【答案】A 【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答． 解：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于． 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾． 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 以上步骤符合反证法的步骤． 故推理使用的证明方法是反证法． 故选：A． 【点拨】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 根据反证法的步骤即可判断． 解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查反证法的证明方法，反证法的步骤：首先假设反论题正确，然后依据规则进行推理，若出现与已知条件不符或与公理定理相矛盾的情形，即可证明反论题不成立，原命题正确． 第一步先假设和互相平分，根据平行四边形的判定和性质得到，即，与已知矛盾，从而证明原命题正确． 解：证明：连接．假设和互相平分． 和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在中，点D、E分别在、上， 与不可能平行，与已知矛盾， 故假设不成立，和不可能互相平分．   【知识点三】三角形的中位线与图形变换 【考点6】三角形的中位线与平移 1．（2005·山东潍坊·中考真题）如图，已知平行四边形及四边形外一直线，四个顶点到直线的距离分别为． （1）观察图形，猜想得出满足怎样的关系式？证明你的结论． （2）现将向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论． 【答案】（1）． 证明：连结，且相交于点， 为点到的距离， ∴OO1为直角梯形的中位线 ， ∴； 同理：． ∴． （2）不一定成立． 分别有以下情况： 直线过点时，； 直线过点与点之间时，； 直线过点时，； 直线过点与点之间时，； 直线过点时，； 直线过点与点之间时，； 直线过点时，； 直线过点上方时，． 解：（1）此题可以连接平行四边形的对角线，交点是O．作OO1⊥l于O1．根据梯形的中位线定理得到2OO1=DD1+BB1=b+d=AA1+CC1=a+c． （2）将l向上平移，分别有直线l过B点时；直线l过B点与D点之间时；直线l过D点时；直线l过C点与D点之间时；直线l过C点时；直线l过C点上方时．结合三角形的中位线定理和梯形的中位线定理进行分析． 2．（2024·河南开封·一模）如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，首先根据平移及平行四边形的性质确定，利用中点坐标公式得出，根据三角形中位线的判定确定点是线段边的中点，继而得到，从而确定向右平移个单位，据此得解． 解：，，都是的顶点， ∴，，， 即线段沿轴向右平移个单位得到线段，点是点的对应点，点是点的对应点， ∴， ∵点是线段边的中点， ∴点的坐标为，即， 过点作轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段边的中点， ∴， ∵将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上， 又∵，， ∴沿轴向右平移个单位， ∴． 故选：C． 3．（2024·河南周口·一模）如图，在中，，，，是的中位线，点在线段上，将沿着直线向右平移，使点与点重合，点的对应点依次为，连接，，当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或1 【分析】由题意得四边形、为平行四边形，推出，求出，，，，，，分两种情况：当时，此时四边形为菱形；当时，则；分别求解即可得出答案． 解：由平移的性质可得：，，，， 四边形、为平行四边形， ， 在中，，，，是的中位线， ，，，，， ，，， 点从点向的运动过程中，逐渐变小，当点与点重合时，点与点重合，此时，故最小为， 是等腰三角形， 当时，此时四边形为菱形， ， ； 当时，则， ， ， 为等边三角形， ， ， 综上所述，为或， 故答案为：或 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平移的性质、三角形中位线定理、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【考点7】三角形的中位线与旋转 1．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图，中，，、分别是边、的中点，将绕点旋转度得．  （1）判断四边形的形状，并证明； （2）已知，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见分析；（2） 【分析】（1）根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边可得，根据旋转的性质得出，根据内错角相等，两直线平行可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，结合题意推得，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形是菱形； （2）连接、，交于点，根据菱形的对角线垂直且平分可得，，，设，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出，根据题意可得，推得，整体代入求出，再根据菱形的面积公式代入计算即可． 解：（1）解：四边形是菱形， 证明：∵、分别是边、的中点， ∴， 又∵将绕点旋转度得， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，是边的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：连接、，交于点，如图：    ∵四边形为菱形， ∴，，， 设，， 在中，， 即， 根据，可得， 即， 故， ∴， 将代入，可得，， ∴四边形的面积为． 【点拨】本题考查了三角形中位线定理，旋转的性质，平行线的判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（21-22八年级下·山东济南·期末）如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD，，若，，E、F分别是AB和DC的中点，则（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】C 【分析】连接并延长，交延长线于，由，得，，又是中点，即可得，有，，即知，是的中位线，从而可得答案． 解：连接并延长，交延长线于，如图： ， ，， 是中点， ， ， ，， ， 是中点， 是的中位线， ，故C正确． 故选：C． 【点拨】本题考查三角形中位线，梯形中位线，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 3．（2023·河南驻马店·二模）如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】过点作，根据题意得出，分类讨论，当在内部时，根据三角形中位线的性质，即可得出，当在之外，由含度角的直角三角形的性质，在中，根据勾股定理即可求解． 解：如图所示，过点作， ∵等腰中， ∴，则， ∴， ∴ ， 点为的中点， ． 当时，分类讨论如下： 当在内部时，如图，点与边中点重合， 由中位线定理可知，此时； 当在之外，如图2， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， 又， ，在中，． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，分类讨论，分别画出图形是解题的关键． 【考点8】三角形的中位线与折叠 1．（2022·江苏扬州·中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则 ． 【答案】6 【分析】根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得MN是的中位线，最后由三角形的中位线求解． 解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点， ∴，． ∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴MN是的中位线， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：6． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，将非等腰的纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若点为边的中点，则下列结论：①是等腰三角形；②；③是的中位线，成立的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题利用了全等三角形的性质，对应角相等，平行线的性质．根据图形可知是对折而成，所以两三角形全等，可得，而是中点，故有，那么①可证；再利用是的外角，可证，那么，即是的中位线，②得证；利用，以及和的对折，可得，即也是等腰三角形，而，那么，故②不成立． 解：由于是对折而成，故， ， 又点为边的中点， ， ，即是等腰三角形，故①正确； 由于是对折而成，故， ， ， ， ∴，点也是的中点，故③正确； 同理可得也为等腰三角形，，由于是非等腰的， ， ∵ ∴， ②不成立． 故选：B． 3．（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理，三角形中位线，折叠，全等三角形的知识，解题的关键是根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理，求出，根据三角形的中位线的性质，求出，；分类讨论：当，为直角三角形，过点作交于点，根据等腰三角形三线合一，求出，根据勾股定理求出；当，为直角三角形，根据确定三角形的判定和性质，得，根据勾股定理，求出，即可． 解：∵中，，，， ∴， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴，， ∴， ∵沿着折叠，点的对应点为点， ∴，， 当时，为直角三角形，如图； ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作交于点， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，为直角三角形，如图， ∵，是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴不可能为直角． 综上所述，的长为或． 【考点9】三角形的中位线与最值 1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为． 解：四边形是矩形， ，， 点M，N分别是的中点， ，，，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，    则， 当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，，， ， 的最小值， 故选C． 【点拨】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 解：如图，过点B作于H，连接；    ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 ．    【答案】2.5 【分析】先求出，再取的中点，连接，，则为的中位线，进而得，再根据等边三角形的性质得，，据此可证点，，在同一条直线上，然后根据“垂线段最短”可得：当时，为最小，最后在中根据直角三角形的性质求出的长即可． 解：在中，，， 由勾股定理得：， 取的中点，连接，，如图所示：   点为的中点， 为的中位线， ， ， ，即， 为等边三角形，且点为的中点， ，， ，， ， 点，，在同一条直线上， 依题意可知：点在直线上运动， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最小， 在中，，， ． 的最小值为2.5． 故答案为2.5． 【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，证明点，，在同一条直线上，熟练掌握三角形的中位线定理，理解垂线段最短，直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 三角形的中位线与反证法（中考常考点分类专题） 【知识点一】三角形的中位线 【考点1】与三角形中位线有关的求解问题....................................1 【考点2】与三角形中位线有关的证明........................................2 【考点3】三角形中位线的实际应用..........................................3 【知识点二】反证法 【考点4】反证法证明中的假设..............................................3 【考点5】用反证法证明命题................................................4 【知识点三】三角形的中位线与图形变换 【考点6】三角形的中位线与平移............................................5 【考点7】三角形的中位线与旋转............................................5 【考点8】三角形的中位线与折叠............................................6 【考点9】三角形的中位线与最值............................................7 第二部分【考点展示与方法点拨】 【知识点一】三角形的中位线 【考点1】与三角形中位线有关的求解问题 1．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    2．（2025·陕西西安·二模）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）在中，点为的中点，过点作于点，若点为的中点，，，则的长为 ． 【考点2】与三角形中位线有关的证明 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，D，E，F分别是等边三角形三边的中点．下列三角形：①；②；③，其中，可以由经过一次轴对称变换得到的是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ． 【考点3】三角形中位线的实际应用 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东汕头·一模）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 【知识点二】反证法 【考点4】反证法证明中的假设 1．（2024·江苏南京·模拟预测）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设直角三角形中 ． 2．（24-25八年级下·全国·期末）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应先假设这个直角三角形中（  ） A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于 C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于 3．（24-25八年级上·河南周口·期末）牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一．我们用反证法证明命题“是无理数”时，应先假设 ． 【考点5】用反证法证明命题 1．（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（    ） A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 【知识点三】三角形的中位线与图形变换 【考点6】三角形的中位线与平移 1．（2005·山东潍坊·中考真题）如图，已知平行四边形及四边形外一直线，四个顶点到直线的距离分别为． （1）观察图形，猜想得出满足怎样的关系式？证明你的结论． （2）现将向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论． 2．（2024·河南开封·一模）如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南周口·一模）如图，在中，，，，是的中位线，点在线段上，将沿着直线向右平移，使点与点重合，点的对应点依次为，连接，，当是等腰三角形时，的长为 ． 【考点7】三角形的中位线与旋转 1．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图，中，，、分别是边、的中点，将绕点旋转度得．  （1）判断四边形的形状，并证明； （2）已知，，求四边形的面积． 2．（21-22八年级下·山东济南·期末）如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD，，若，，E、F分别是AB和DC的中点，则（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 3．（2023·河南驻马店·二模）如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为 ． 【考点8】三角形的中位线与折叠 1．（2022·江苏扬州·中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则 ． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，将非等腰的纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若点为边的中点，则下列结论：①是等腰三角形；②；③是的中位线，成立的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【考点9】三角形的中位线与最值 1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$