信息必刷卷05（上海专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷（上海专用） 数学·参考答案 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B A C C C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．5 8．且 9．/ 10． 11． 12．560 13． 14． 15． 16． 17．①③④ 18．， 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 解：选择①、②、③： ； 选择①、②、④：.............................10分（其他情况正确也是10分） ； 选择①、③、④： ； 选择②、③、④： ． 20．（本题满分10分） 解： 解不等式①，得，.............................2分 解不等式②，得.............................2分 该不等式组得解集为，.............................4分 非正整数解为，0．.............................2分 21．（本题满分10分） （1）解：如图，点 为所作； .............................5分 （2）解：设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴．.............................5分 22．（本题满分10分） 解：（1）设y2关于x的函数解析式为y2＝kx＋b， 根据题意，得：， 解得； ∴y2＝1.25x﹣12.5；.............................5分 （2）1号车的速度为：30÷30＝1千米/分钟， 设1号车出发x分钟后到达郊野公园，则： x＝1.25x﹣12.5， 解得x＝50， 故汽车从学校到郊野公园停车场行驶的路程为：50×1＝50（千米）．.............................5分 23．（本题满分12分） （1）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形．.............................4分 （2）如图： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴① ∵，， ∴，.............................4分 ∴即② 由①×②得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即．.............................4分 24．（本题满分12分） 解：（1）根据题意，得，解得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3； ∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4， ∴该抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．.............................4分 （2）如图1， 由y＝﹣x2＋2x＋3，得C（0，3），B（3，0）． 设直线CD的解析式为y＝kx＋3，则k＋3＝4，解得k＝1， ∴y＝x＋3； 当四边形PBDC是梯形时，则PB∥CD， 设直线PB的解析式为y＝x＋m，则3＋m＝0，解得m＝﹣3， ∴y＝x﹣3． 由，得，， ∴P（﹣2，﹣5）．.............................4分 （3）如图2， 作PH⊥x轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使＝tan∠HPF＝，连接PF． 由（2）得，直线PB的解析式为y＝x﹣3，则G（0，﹣3）， ∴OB＝OG＝3． ∵PH∥OG， ∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°， ∴∠HPF＝45°＋∠FPB； ∵tan（∠PBO＋∠PEO）＝， ∴45°＋∠PEO＝45°＋∠FPB， ∴∠PEO＝∠FPB， 又∵∠PBE＝∠FBP（公共角）， ∴△PBE∽△FBP， ∴，BE•BF＝PB2， ∵HF＝PH＝×5＝， ∴BF＝﹣2﹣3＝， 又∵PH＝BH＝5， ∴PB2＝52＋52＝50， ∴BE＝50， 解得BE＝， ∴OE＝3＋＝．.............................4分 25．（本题满分14分） （1）证明：如图1中，连接OD，过点O作OH⊥EF于H． ∵BF⊥EF，AE⊥EF，OH⊥EF， ∴BF∥OH∥AE， ∵OA=OB， ∴HF=HE， ∵OH⊥CD， ∴CH=DH， ∴CF=DE；.............................4分 （2）连接OD，过点O作OH⊥CD于H，设AB交CD于J． ∵BF⊥CD，AE⊥CD， ∴∠BFJ=∠AEJ=90°， ∵∠BJF=∠AJE， ∴△BFJ∽△AEJ， ∴， ∴， ∴OJ=OB-BJ=5-， ∵OH∥AE， ∴∠JOH=∠BAE=30°， ∴OH=OJ•cos30°=， ∵OH⊥CD， ∴DH=CH= ∴；.............................6分 （3）如图1，当点A、B位于直线CD同侧时， ∵OH=（BF+AE）=（m+n）， 在Rt△ODH中，OD2=OH2+DH2， ∴52=（m+n）2+l2， ∴（m+n）2+l2=100， ∴， 如图2中，当点A、B位于直线CD两侧时，OH=|m-n|， 在Rt△ODH中，OD2=OH2+DH2， ∴52=（m-n）2+l2， ∴（m-n）2+l2=100， ∴， 综上所述，或．.............................4分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（上海专用） 考情速递 中考·新动向：《上海市教育委员会关于 2025 年本市高中阶段学校招生工作的若干意见》明确命题方向为“核心素养与能力导向”，减少记忆性试题，增加探究性题目；《2025 年上海市初中数学课程终结性评价指南》强调“数学建模””数据分析" 等新增考点. 中考·新考法：第21题解直角三角形问题结合画图、尺规作图. 中考·新情境：19题计算题“菜单式”设问，增强计算考点灵动性 命题·大预测预测2025年中考还会考查数形结合、画图与尺规作图，题目难度可能有所提升，考试将更加注重对考生实际应用能力的考察。 备考方向： 1、加强基础知识学习：考生应加强对基础知识的掌握和学习，确保在考试中能够准确、快速地解答基础题目。 2、提高解题能力：考生应注重提高自己的解题能力，尤其是针对难度较高的题目，要学会运用所学知识进行综合分析，找出解题的关键点。 3、关注实际应用：考生应关注实际工作、生活中的热点问题，了解相关领域的最新动态和趋势，以便在考试中能够更好地应对实际应用类题目。 4、多做模拟题：考生可以通过多做模拟题来熟悉考试题型和难度，提高自己的应试能力和自信心。同时，还可以通过分析模拟题的答案和解题思路来发现自己的不足之处，有针对性地进行弥补。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．的相反数是（ ▲ ） A． B．﹣ C． D． 2．下列运算正确的是（ ▲ ） A． B． C． D． 3．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ▲ ） A． B． C． D． 4．如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为，，，其中是，的平均数，则的值为（ ▲ ） A． B． C． D． 5．某中学足球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别为（ ▲ ） 年龄（单位岁） 14 15 16 17 18 人数 2 4 5 3 2 A．15，16 B．16，16.5 C．16，16 D．17，16.5 6．如图，点A是外一点，分别与相切于点B、C，点D在上、已知，则的度数是（ ▲ ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．方程的解是 ▲ ． 8．已知，那么 ▲ ． 9．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ▲ ． 10．在平面直角坐标系中，点和点都在反比例函数的图象上，则 ▲ ． 11．在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同．如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是 ▲ ． 12．如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ▲ ． 13．七（1）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理如下表（部分）： 月均用水量x/m3 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 x＞20 频数/户 12 20 3 频率 0.12 0.07 若该小区有800户家庭，据此估计该小区月均用水量不超过10m3的家庭约有 ▲ ．户． 14．如图，已知点是的重心，过点作，分别交、于点、，如果设，，那么用、表示 ▲ ． 15．如图，已知与相交于A、B两点，的半径长为2，的半径长为3，如果的圆心在上，那么公共弦的长为 ▲ ． 16．如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是 ▲ ．（写出所有正确结论的序号） ①；②；③阴影部分的面积为4；④若，则． 17．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ▲ ． 18．如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为 ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 在下列四个式子中，任选三个式子求和： ①； ②； ③； ④． 20．（本题满分10分） 解不等式组：，并求它的非正整数解． 21．（本题满分10分） 如图，已知在中，，，． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的长． 22．（本题满分10分） 某校九年级学生从学校乘车前往郊野公园春游，1号车于上午8点出发，2号车晚10分钟出发，设1号车的行驶时间为x分钟，行驶的路程为y1千米，2号车的行驶路程为y2千米，y1、y2关于x的部分函数图象如图所示． （1）求y2关于x的函数解析式； （2）如果2号车与1号车同时到达郊野公园的停车场，求汽车从学校到郊野公园停车场行驶的路程 23．（本题满分12分） 已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连结交于点，如果，求证：． 24．（本题满分12分） 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D． （1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝时，求OE的长． 25．（本题满分14分） 已知：⊙O的半径长是5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．分别过点A、B向直线CD作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当点A、B位于直线CD同侧，求证：CF＝DE； （2）如图2，当点A、B位于直线CD两侧，∠BAE＝30°，且AE＝2BF，求弦CD的长； （3）设弦CD的长为l，线段AE的长为m，线段BF的长为n，探究l与m、n之间的数量关系，并用含m、n的代数式表示l． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（上海专用） 考情速递 中考·新动向：《上海市教育委员会关于 2025 年本市高中阶段学校招生工作的若干意见》明确命题方向为“核心素养与能力导向”，减少记忆性试题，增加探究性题目；《2025 年上海市初中数学课程终结性评价指南》强调“数学建模””数据分析" 等新增考点. 中考·新考法：第21题解直角三角形问题结合画图、尺规作图. 中考·新情境：19题计算题“菜单式”设问，增强计算考点灵动性 命题·大预测：预测2025年中考还会考查数形结合、画图与尺规作图，题目难度可能有所提升，考试将更加注重对考生实际应用能力的考察。 备考方向： 1、加强基础知识学习：考生应加强对基础知识的掌握和学习，确保在考试中能够准确、快速地解答基础题目。 2、提高解题能力：考生应注重提高自己的解题能力，尤其是针对难度较高的题目，要学会运用所学知识进行综合分析，找出解题的关键点。 3、关注实际应用：考生应关注实际工作、生活中的热点问题，了解相关领域的最新动态和趋势，以便在考试中能够更好地应对实际应用类题目。 4、多做模拟题：考生可以通过多做模拟题来熟悉考试题型和难度，提高自己的应试能力和自信心。同时，还可以通过分析模拟题的答案和解题思路来发现自己的不足之处，有针对性地进行弥补。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．的相反数是（ ▲ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据相反数的定义，进行作答，即可求解； 【详解】解：的相反数是， 故选：B； 2．下列运算正确的是（ ▲ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方计算后判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ▲ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解”是解题关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式来进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； B、结果不是整式的乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； C、结果是整式的乘积的形式，是分解因式，符合题意； D、结果中含有分式，不是分解因式，不符合题意； 故选：C． 4．如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为，，，其中是，的平均数，则的值为（ ▲ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平均数及二次根式的运算．根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 则． 又， ∴， ∴． 故选：A． 5．某中学足球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别为（ ▲ ） 年龄（单位岁） 14 15 16 17 18 人数 2 4 5 3 2 A．15，16 B．16，16.5 C．16，16 D．17，16.5 【答案】C 【分析】本题考查统计综合，涉及求众数、中位数求法，结合统计表，由众数、中位数的求法即可得到答案．熟记众数、中位数的定义与求法是解决问题的关键． 【详解】解：由表可知，16岁的人数最多有5人，则这些队员年龄的众数是16， 足球队16名队员， 这些队员年龄的中位数是第8名、第9名年龄的平均值，则由表可知，第8名、第9名年龄都是16岁， 这些队员年龄的中位数是16， 故选：C． 6．如图，点A是外一点，分别与相切于点B、C，点D在上、已知，则的度数是（ ▲ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理定理等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 如图：连接，由切线的性质得，进而由四边形的内角和得，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵分别与相切于点B，C， ∴， ∵， ∴， ∵点D在上， ∴． 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．方程的解是 ▲ ． 【答案】， 【分析】本题考查了解无理方程，先把无理方程转化为有理方程，再解出有理方程，最后检验即可得答案． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， 经检验， ，是原方程的解， ∴原方程的解为，， 故答案为∶ ，． 8．已知，那么 ▲ ． 【答案】5 【分析】本题考查求函数值．将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：5． 9．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ▲ ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 10．在平面直角坐标系中，点和点都在反比例函数的图象上，则 ▲ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，代入点求得含参数的函数解析式是解题的关键． 把点点和点代入，得出，即可求解． 【详解】解：把点和点代入得， ， ∴， 故答案为：． 11．在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同．如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查概率公式，根据题意和题目中的数据，可以计算出任意摸出一个球恰好为红球的概率． 【详解】解：由题意可得， 任意摸出一个球恰好为红球的概率， 故答案为：． 12．如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，两点之间，线段最短等．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．先确定点关于直线对称的点的坐标，连接与直线的交点即为点，再求出直线的解析式，联立方程组，求出两直线的交点坐标即可． 【详解】解：作点关于直线对称的点，连接，如图： ∵点与点关于直线对称， ∴， 故， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 即点是与直线的交点； ∵点关于直线对称点坐标为， ∴点关于直线对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵点是直线与直线的交点， 故联立方程组， 解得：， 即点的坐标为． 故答案为：． 13．七（1）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理如下表（部分）： 月均用水量x/m3 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 x＞20 频数/户 12 20 3 频率 0.12 0.07 若该小区有800户家庭，据此估计该小区月均用水量不超过10m3的家庭约有 ▲ ．户． 【答案】560 【分析】根据=总数之间的关系求出5＜x≤10的频率,再用整体样本的百分比即可得出答案. 【详解】解:根据题意得:=100(户), 15<x≤20的频数是0.07100=7(户), 5<x≤10的频数是:100-12-20-7-3=58(户), 则该小区月均用水量不超过10m的家庭约有=560(户); 故答案为:560. 【点睛】此题考查了用样本估计总体和频数、频率、总数之间的关系,掌握=总数,样本容量=整体样本的百分比是本题的关键. 14．如图，已知点是的重心，过点作，分别交、于点、，如果设，，那么用、表示 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，向量的线性运算．熟练掌握三角形重心的性质和相似三角形的性质是解题的关键． 连接，并延长交于M，因为点是的重心，则，由，可得，，所以，即，再由可求解． 【详解】解：连接，并延长交于M，如图， ∵点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知与相交于A、B两点，的半径长为2，的半径长为3，如果的圆心在上，那么公共弦的长为 ▲ ． 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是关键．延长交于点，连接，则为的直径，求出，证明， 在中，，得到，即可得到． 【详解】解：延长交于点，连接，则为的直径， ∴，， ∴ ∵ ∴垂直平分， ∴， 在中， ∴， ∴ 故答案为： 16．如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是 ▲ ．（写出所有正确结论的序号） ①；②；③阴影部分的面积为4；④若，则． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系； ①首先根据抛物线与轴交于、两点，可得方程有两个不相等的实数根，进而得； ②根据抛物线的图象，可得时，，即，据此判断即可； ③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积底高，求出阴影部分的面积是多少即可； ④根据函数的最小值是，判断出时，a、b的关系即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴结论①正确； ∵时，， ∴， ∴结论②不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， ∴结论③正确； ∵，， ∴， ∴结论④正确． 综上，结论正确的是：①③④． 故答案为：①③④． 17．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质、轴对称性质、平行四边形的性质及勾股定理等，确定点、的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解． 【详解】解：的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点是点关于的对称点， 过点作，且使， 连接交于点，取，连接、，则点、为所求点， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长的最小值， 则， 则的周长的最小值为， 故答案为：． 18．如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识点．在中，由勾股定理可得，则，，，由的面积是的3倍，可知，即，得，过点作于点，结合折叠的性质解直角三角形可求得在中，，，，进而可证得，可得，则，得，由即可求解．根据折叠的性质解直角三角形证得是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， 则，， ∵为的中点， ∴， ∵的面积是的3倍， ∴，即， ∴， 由折叠可知，，，，， 过点作于点， 在中，， ， 在中，， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 在下列四个式子中，任选三个式子求和： ①； ②； ③； ④． 【答案】或或或 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据题意，选择三个式子相加，再化简求值，即可得到结果． 【详解】解：选择①、②、③： ； 选择①、②、④： ； 选择①、③、④： ； 选择②、③、④： ． 20．（本题满分10分） 解不等式组：，并求它的非正整数解． 【答案】，非正整数解为，0 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的解法是解题的关键． 先解不等式①得，解不等式②得，得到不等式组的解集，再写出不等式组的非正整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得 该不等式组得解集为， 非正整数解为，0． 21．（本题满分10分） 如图，已知在中，，，． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，即可； （2）设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则，解直角三角形求出，再求出，勾股定理求出，证明，求出，由即可解答． 【详解】（1）解：如图，点 为所作； （2）解：设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合运用以上知识点是解题的关键． 22．（本题满分10分） 某校九年级学生从学校乘车前往郊野公园春游，1号车于上午8点出发，2号车晚10分钟出发，设1号车的行驶时间为x分钟，行驶的路程为y1千米，2号车的行驶路程为y2千米，y1、y2关于x的部分函数图象如图所示． （1）求y2关于x的函数解析式； （2）如果2号车与1号车同时到达郊野公园的停车场，求汽车从学校到郊野公园停车场行驶的路程 【答案】（1）y2＝1.25x﹣12.5；（2）50千米 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出1号车的速度，再结合（1）的结论列方程解答即可． 【详解】解：（1）设y2关于x的函数解析式为y2＝kx＋b， 根据题意，得：， 解得； ∴y2＝1.25x﹣12.5； （2）1号车的速度为：30÷30＝1千米/分钟， 设1号车出发x分钟后到达郊野公园，则： x＝1.25x﹣12.5， 解得x＝50， 故汽车从学校到郊野公园停车场行驶的路程为：50×1＝50（千米）． 【点睛】本题考查一次函数与正比例函数的实际应用．根据图象利用待定系数法求出解析式是解答本题的关键． 23．（本题满分12分） 已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连结交于点，如果，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）先证，由，得，即可解答． （2）由四边形为菱形，得，由，得①，②，由①×②得，，再证和，得到． 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． （2）如图： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴① ∵，， ∴， ∴即② 由①×②得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即． 24．（本题满分12分） 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D． （1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝时，求OE的长． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2＋4，（1，4）；（2）（﹣2，﹣5）；（3） 【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线的解析式，再由对称轴x＝＝1，列方程组求出a、b的值； （2）四边形PBDC为梯形时，则PB∥CD；先求CD所在直线的解析式，再根据两个一次函数一般式中的k值相等求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程，解方程组求出点P的坐标； （3）过点P作x轴的垂线，构造以P为顶点且一个锐角的正切值为的直角三角形，再利用相似三角形的性质求OE的长． 【详解】解：（1）根据题意，得，解得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3； ∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4， ∴该抛物线的顶点D的坐标为（1，4）． （2）如图1， 由y＝﹣x2＋2x＋3，得C（0，3），B（3，0）． 设直线CD的解析式为y＝kx＋3，则k＋3＝4，解得k＝1， ∴y＝x＋3； 当四边形PBDC是梯形时，则PB∥CD， 设直线PB的解析式为y＝x＋m，则3＋m＝0，解得m＝﹣3， ∴y＝x﹣3． 由，得，， ∴P（﹣2，﹣5）． （3）如图2， 作PH⊥x轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使＝tan∠HPF＝，连接PF． 由（2）得，直线PB的解析式为y＝x﹣3，则G（0，﹣3）， ∴OB＝OG＝3． ∵PH∥OG， ∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°， ∴∠HPF＝45°＋∠FPB； ∵tan（∠PBO＋∠PEO）＝， ∴45°＋∠PEO＝45°＋∠FPB， ∴∠PEO＝∠FPB， 又∵∠PBE＝∠FBP（公共角）， ∴△PBE∽△FBP， ∴，BE•BF＝PB2， ∵HF＝PH＝×5＝， ∴BF＝﹣2﹣3＝， 又∵PH＝BH＝5， ∴PB2＝52＋52＝50， ∴BE＝50， 解得BE＝， ∴OE＝3＋＝． 【点睛】本题考查二次函数解析式、一次函数、锐角三角函数、相似三角形的判定．利用同角锐角三角函数转换角的关系是解题的关键， 25．（本题满分14分） 已知：⊙O的半径长是5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．分别过点A、B向直线CD作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当点A、B位于直线CD同侧，求证：CF＝DE； （2）如图2，当点A、B位于直线CD两侧，∠BAE＝30°，且AE＝2BF，求弦CD的长； （3）设弦CD的长为l，线段AE的长为m，线段BF的长为n，探究l与m、n之间的数量关系，并用含m、n的代数式表示l． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）； （3）或． 【分析】（1）如图1中，连接OD，过点O作OH⊥EF于H．证明HF=HE，HD=HC，即可解决问题． （2）连接OD，过点O作OH⊥CD于H，设AB交CD于J．利用相似三角形的性质求出BJ，OJ，OH，再利用勾股定理，可得结论． （3）分两种情形：如图1，当点A、B位于直线CD同侧时，如图2中，如图2，当点A、B位于直线CD两侧时，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，连接OD，过点O作OH⊥EF于H． ∵BF⊥EF，AE⊥EF，OH⊥EF， ∴BF∥OH∥AE， ∵OA=OB， ∴HF=HE， ∵OH⊥CD， ∴CH=DH， ∴CF=DE； （2）连接OD，过点O作OH⊥CD于H，设AB交CD于J． ∵BF⊥CD，AE⊥CD， ∴∠BFJ=∠AEJ=90°， ∵∠BJF=∠AJE， ∴△BFJ∽△AEJ， ∴， ∴， ∴OJ=OB-BJ=5-， ∵OH∥AE， ∴∠JOH=∠BAE=30°， ∴OH=OJ•cos30°=， ∵OH⊥CD， ∴DH=CH= ∴； （3）如图1，当点A、B位于直线CD同侧时， ∵OH=（BF+AE）=（m+n）， 在Rt△ODH中，OD2=OH2+DH2， ∴52=（m+n）2+l2， ∴（m+n）2+l2=100， ∴， 如图2中，当点A、B位于直线CD两侧时，OH=|m-n|， 在Rt△ODH中，OD2=OH2+DH2， ∴52=（m-n）2+l2， ∴（m-n）2+l2=100， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，平行线等分线段定理，勾股定理，梯形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识并能够灵活应用． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$