信息必刷卷05（北京专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（北京专用） 考情速递 中考·新动向：2025年北京市初中学业水平考试数学试题的命制，以“义务教育数学课程标准”为依据，结合北京市初中数学教学的实际，突出数学学科在立德树人根本任务中的独特作用，稳中求进，引导教学，实现教学和评价的良性互动。 中考·新考法：试题命制注重考查“四基”，试卷整体结构与近几年北京市初中学业水平考试数学试卷保持一致，考查学生对初中数学主干知识的掌握情况和在知识学习过程中核心素养的发展情况。空间观念主要考查的是学生对基本图形及其经运动变化形成的图形的形状、大小和位置关系的理解。如第1题、第8题、第15题、第27题和第28题等，以图形的旋转、轴对称等运动为背景，在不同水平上考查学生观察和探索经过运动变化形成的新图形的性质，以及运用发现的性质解决问题的能力。模型观念的考查侧重于根据生活情境抽象出数学问题，将问题中的数量关系用代数方法表示，求出结果并讨论结果的意义。如第21题，需要学生理解实际问题并将其转化为数学问题，建立方程或方程组模型，进行求解并讨论结果的意义，进而解决实际问题。应用意识的考查侧重于有意识地运用数学概念、原理和方法解决实际问题。如第16题，考查发现现实情境中蕴含的逻辑关系，结合所给数据设计符合实际要求的最优解决方案的能力。这些题目需要学生在学习中关注数学概念的现实背景，关注知识间的有机联系，形成有意义的知识结构。 中考·新情境：试卷创设了有代表性的现实情境和科技情境，反映了数学在社会生活中的广泛应用，将德育、美育、体育、劳动教育有机融入到试题中，引导学生德智体美劳全面发展，体现数学学科的育人价值。第6题，以北京数字经济算力中心的建设为背景，考查科学记数法和幂的运算，让学生直观感受到国家在科技和经济等领域中的快速发展，增强民族自豪感。第25题，以同龄人“用所学数学知识和人工智能软件设计水杯”的科技活动为背景，引导学生主动关注现代科技新发展，运用新技术创造美好生活。第21题，以检验某型号的汽车尾气排放是否符合国六排放标准6b阶段的真实情境为载体，将环保理念与数学知识有机结合，考查建立数学模型，解决实际问题的能力，增强学生的社会责任感。类似活动在学生的日常生活中有很多，试题引导学生发现生活之美，体会数学之用，形成积极向上的生活态度。 命题·大预测：试卷紧密联系教材，试题表述和设问符合教学实际，与学生学习经验一致，易于学生理解题意，利于学生作答和展示出自己的数学理解，引导教学用好教材，抓住学科本质。第7题，考查“作一个角等于已知角”的尺规作图方法的依据。素材源于教材，引导教师关注尺规作图的教学不能仅强调操作过程，更要帮助学生理解其背后的数学原理，体会尺规作图是以数学知识为基础的构造性思维活动。第23题考查的是演讲比赛情境中的数据分析和推断。学生需要结合问题中给出的数据，提取数据的中位数、众数、平均数、方差等数字特征，并解决问题。引导教师在教学中关注培养学生的数据观念和根据数据进行推断的能力。第27题作为一道几何综合题，考查的是学生灵活运用全等、相似、直角三角形的性质、旋转变换等知识解决问题的能力。试题的解法多样，为具有不同经验的学生提供更多的思考切入点。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线于点，射线在内部，射线平分，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．与互余 D．与互补 3．已知有理数m,n,e,f在数轴上的对应点的位置如图所示,则这四个数中,绝对值最小的是(  ) A． e B． n C．m D． f 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是 A． B． C． D． 5．某班体育委员的抽屉里有5个乒乓球，其中有三个是白色的，两个是黄色的，上体育课的时候，他随手从抽屉里同时拿了两个乒乓球，则他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的概率为（    ）． A． B． C． D． 6．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．老师设置了一个问题，让同学们体验“经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角”的作法． 问题：如图，用尺规过的边上一点（图1）作（图2）． 作图步骤已打乱，请同学们寻找出正确的排序． ①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点； ③以点为圆心，的长为半径作弧，与已画的弧交于点； ④作射线． 下列排序正确的是（    ） A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②①③④ 8．如图，正方形中，点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，连接，设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③；上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．分式有意义，则x的取值范围是 ． 10．因式分解：﹣3xy3+27x3y＝ ． 11．方程组的解是 ． 12．若点A（1，2）与点B（m，﹣2）关于原点对称，则m＝ ． 13．如图，在中，，平分，交于点，，且，则点到的距离为 ． 14．如图，与相切于点．点分别在，上，四边形为正方形，若，则 ． 15．如图，的边在轴上，，反比例函数的图象与交于点C，于点D，且，则k的值为 ．    16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需七道工序，加工要求如下：①工序须在工序A完成后进行，工序须在工序都完成后进行，工序须在工序都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 分钟． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）计算：． 18．（5分）（1）计算； （2）解不等式组：并写出它的所有整数解． 19．（5分）已知，求代数式的值． 20．（6分）小红发现，任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形．    已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小红设计的尺规作图过程， 作法：①作的垂直平分线，交斜边于点D；②作直线，则直线就是所求作的直线． 根据小红设计的尺规作图过程． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴．（①__________________）（填推理的依据） ∴．（②_________）（填推理的依据） ∵， ∴. ∴． ∴．（③_________）（填推理的依据） ∴和都是等腰三角形． 21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m是正整数，求关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0的根． 22．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CEBD，交AD的延长线于点E． (1)求证：∠ACD＝∠ECD； (2)连接OE，若AB＝1，tan∠ACD＝2．求OE的长． 23．（5分）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于、两点，于点．      (1)求证：与的切线； (2)若，，求和的长． 24．（6分）我国快递市场繁荣活跃，某快递公司为提高服务质量，对公司的业务量、公众满意度等数据进行统计分析．公司随机抽取了某日发往相邻城市的快递中的1000件，称重并记录每件快递的重量（单位：，精确到），下面给出了部分信息， ．每件快递重量的频数分布直方图（数据分成11组：，，，，，，，，，，）； ．在这一组的数据如下： ．这1000件快递重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 快递重量（单位：） 3．6 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)写出的值； (3)下面四个结论中， ①的值一定在这一组； ②的值可能在这一组； ③的值不可能在这一组： ④的值不可能在这一组， 所有正确结论的序号是 ； (4)该日此快递公司在全市揽收的快递包裹中有3800件发往相邻城市，估计这批快递的重量． 25．（5分）如图，已知，点D是边上一点，且，点P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足为E，连接，设． 通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整： (1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下： 0 1 2 3 4 5 6                               （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）； (2)自变量x的取值范围是_______； (3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： (4)结合函数图象解决问题：当时，的长约为________（结果精确到）． 26．（6分）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； (2)点，在抛物线上，若，求t的取值范围及的取值范围． 27．（7分）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 28．（7分）对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，若以点为圆心，为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”. 特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．    在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”的是 ； (2)点在直线上．存在点，是线段的“关联点”，也是线段的“强关联点”． ①直接写出点的坐标； ②动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段的“关联点”，也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（北京专用） 考情速递 中考·新动向：2025年北京市初中学业水平考试数学试题的命制，以“义务教育数学课程标准”为依据，结合北京市初中数学教学的实际，突出数学学科在立德树人根本任务中的独特作用，稳中求进，引导教学，实现教学和评价的良性互动。 中考·新考法：试题命制注重考查“四基”，试卷整体结构与近几年北京市初中学业水平考试数学试卷保持一致，考查学生对初中数学主干知识的掌握情况和在知识学习过程中核心素养的发展情况。空间观念主要考查的是学生对基本图形及其经运动变化形成的图形的形状、大小和位置关系的理解。如第1题、第8题、第15题、第27题和第28题等，以图形的旋转、轴对称等运动为背景，在不同水平上考查学生观察和探索经过运动变化形成的新图形的性质，以及运用发现的性质解决问题的能力。模型观念的考查侧重于根据生活情境抽象出数学问题，将问题中的数量关系用代数方法表示，求出结果并讨论结果的意义。如第21题，需要学生理解实际问题并将其转化为数学问题，建立方程或方程组模型，进行求解并讨论结果的意义，进而解决实际问题。应用意识的考查侧重于有意识地运用数学概念、原理和方法解决实际问题。如第16题，考查发现现实情境中蕴含的逻辑关系，结合所给数据设计符合实际要求的最优解决方案的能力。这些题目需要学生在学习中关注数学概念的现实背景，关注知识间的有机联系，形成有意义的知识结构。 中考·新情境：试卷创设了有代表性的现实情境和科技情境，反映了数学在社会生活中的广泛应用，将德育、美育、体育、劳动教育有机融入到试题中，引导学生德智体美劳全面发展，体现数学学科的育人价值。第6题，以北京数字经济算力中心的建设为背景，考查科学记数法和幂的运算，让学生直观感受到国家在科技和经济等领域中的快速发展，增强民族自豪感。第25题，以同龄人“用所学数学知识和人工智能软件设计水杯”的科技活动为背景，引导学生主动关注现代科技新发展，运用新技术创造美好生活。第21题，以检验某型号的汽车尾气排放是否符合国六排放标准6b阶段的真实情境为载体，将环保理念与数学知识有机结合，考查建立数学模型，解决实际问题的能力，增强学生的社会责任感。类似活动在学生的日常生活中有很多，试题引导学生发现生活之美，体会数学之用，形成积极向上的生活态度。 命题·大预测：试卷紧密联系教材，试题表述和设问符合教学实际，与学生学习经验一致，易于学生理解题意，利于学生作答和展示出自己的数学理解，引导教学用好教材，抓住学科本质。第7题，考查“作一个角等于已知角”的尺规作图方法的依据。素材源于教材，引导教师关注尺规作图的教学不能仅强调操作过程，更要帮助学生理解其背后的数学原理，体会尺规作图是以数学知识为基础的构造性思维活动。第23题考查的是演讲比赛情境中的数据分析和推断。学生需要结合问题中给出的数据，提取数据的中位数、众数、平均数、方差等数字特征，并解决问题。引导教师在教学中关注培养学生的数据观念和根据数据进行推断的能力。第27题作为一道几何综合题，考查的是学生灵活运用全等、相似、直角三角形的性质、旋转变换等知识解决问题的能力。试题的解法多样，为具有不同经验的学生提供更多的思考切入点。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形的概念是：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形的概念是：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，解题的关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合． 2．如图，直线于点，射线在内部，射线平分，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．与互余 D．与互补 【答案】D 【分析】根据垂直定义可得，从而可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而可得与不互余，再利用邻补角定义可得，从而利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， 射线平分， ， ， ， ， 与不互余， ， ， 与互补， 故A、B、C选项都不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，余角和补角，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 3．已知有理数m,n,e,f在数轴上的对应点的位置如图所示,则这四个数中,绝对值最小的是(  ) A． e B． n C．m D． f 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义进行判断． 【详解】e距离原点最近，绝对值最小; 故选：A 【点睛】本题考查了绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．也考查了数轴． 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解. 【详解】依题意得解得k＜5且k≠1， 故选B. 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知一元二次方程有两个不相等的实数根对应△＞0. 5．某班体育委员的抽屉里有5个乒乓球，其中有三个是白色的，两个是黄色的，上体育课的时候，他随手从抽屉里同时拿了两个乒乓球，则他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，先列表得到所有等可能的结果数有20种，所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的情况有：种，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：用，，表示三个白色乒乓球， ，表示两个黄色的乒乓球， 列表如下： 所有等可能的结果数有20种，他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的情况有：种， ∴恰好一个白色一个黄色的概率为． 故选A 6．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，题中：1亿． 【详解】解：100亿，， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，关键要正确确定a的值以及n的值． 7．老师设置了一个问题，让同学们体验“经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角”的作法． 问题：如图，用尺规过的边上一点（图1）作（图2）． 作图步骤已打乱，请同学们寻找出正确的排序． ①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点； ③以点为圆心，的长为半径作弧，与已画的弧交于点； ④作射线． 下列排序正确的是（    ） A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②①③④ 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是简单的尺规作图，掌握利用尺规作一个角等于已知角的方法是解题关键． 直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序． 【详解】解：正确的排序是： ②以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点； ①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，的长为半径作弧，与已画的弧交于点； ④作射线． 故选：D． 8．如图，正方形中，点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，连接，设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③；上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形三边关系等知识点，如图，延长交于点H，得出，利用勾股定理即可得出，故③正确，再将进行恒等变形即可判断①正确，然后利用三角形三边关系即可判断②正确，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长交于点H， ∵点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形， ∴，B，C，G三点共线，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴，故③正确，符合题意； ∵，， ∴，故①正确，符合题意； 在中， ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】x≠﹣ 【分析】根据分式有意义时分母不等于0，得到4x+7≠0，即可求得x的取值范围. 【详解】∵分式有意义， ∴4x+7≠0， 解得：x≠﹣， ∴x的取值范围是：x≠﹣． 故答案为：x≠﹣． 【点睛】此题考查分式有意义的条件，即分母不等于0,. 10．因式分解：﹣3xy3+27x3y＝ ． 【答案】﹣3xy（y+3x）（y﹣3x）． 【分析】先提取公因式﹣3xy，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：﹣3xy3+27x3y =﹣3xy（y2﹣9x2） =﹣3xy（y+3x）（y﹣3x）， 故答案为：﹣3xy（y+3x）（y﹣3x）． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和平方差公式因式分解的一般步骤是解题的关键． 11．方程组的解是 ． 【答案】 【分析】利用加减消元法解方程即可； 【详解】 ①-②得： 解得： 把代入②得： 解得： ∴方程组的解是 故答案为 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，一般有一个未知数的系数相同或者互为相反数时用加减消元法解方程. 12．若点A（1，2）与点B（m，﹣2）关于原点对称，则m＝ ． 【答案】-1 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【解答】∵点A(1,2)与点B(m,-2)关于原点对称， ∴m=-1. 故答案为-1. 【点睛】本题考查的是关于原点对称，熟练掌握关于原点对称的点的坐标是解题的关键. 13．如图，在中，，平分，交于点，，且，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等得到，再根据比例求出即可． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， 又平分，， ， ，且 ， ， 即点到的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，是解题的关键． 14．如图，与相切于点．点分别在，上，四边形为正方形，若，则 ． 【答案】 【分析】根据切线的性质和正方形的性质证得，，，进而得到，由勾股定理求出由平行线等分线段定理得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求出． 【详解】解：如图： 四边形为正方形， ，，，， 与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ，， 是的中位线， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线等分线段定理，三角形中位线定理等知识，综合运用这些知识是解决问题的关键． 15．如图，的边在轴上，，反比例函数的图象与交于点C，于点D，且，则k的值为 ．    【答案】 【分析】先求出，由于点D，则，由勾股定理得到，则点C的坐标是，代入即可得到k的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴点C的坐标是， 把点代入得到， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质、勾股定理等知识，求出点C的坐标是解题的关键． 16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需七道工序，加工要求如下：①工序须在工序A完成后进行，工序须在工序都完成后进行，工序须在工序都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 分钟． 【答案】28 【分析】本题考查有理数的运算，结合题意进行正确的推理是解题的关键． 【详解】解：假设这两名学生为甲，乙， 工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，且工序，都需要9分钟完成， 甲学生做工序，乙学生做工序，需要9分钟， 然后甲学生做工序，同时乙学生做工序， 乙学生工序完成后接着做工序， 此时需要9分钟， 最后甲学生做工序，乙学生同时做工序， 此时需要10分钟， 则（分钟）， 即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要28分钟． 故答案为：28． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）计算：． 【答案】 【分析】直接利用零指数幂的性质、立方根以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了实数运算，涉及到零指数幂的性质、立方根以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键． 18．（5分）（1）计算； （2）解不等式组：并写出它的所有整数解． 【答案】（1）（2）不等式组的解集为：；不等式组的整数解为： 【分析】本题主要考查求一元一次不等式组的整数解，以及实数的混合运算： （1）原式分别化简算术平方根，代入特殊三角形函数值，根据负整数指数幂法则，零指数幂法则以及绝对值代数意义化简各项后再进行合并即可得到答案； （2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为：； ∴不等式组的整数解为： 19．（5分）已知，求代数式的值． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再将变形为，代入求值即可． 【详解】解： ， ， ∴ ． 20．（6分）小红发现，任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形．    已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小红设计的尺规作图过程， 作法：①作的垂直平分线，交斜边于点D；②作直线，则直线就是所求作的直线． 根据小红设计的尺规作图过程． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴．（①__________________）（填推理的依据） ∴．（②_________）（填推理的依据） ∵， ∴. ∴． ∴．（③_________）（填推理的依据） ∴和都是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)线段垂直平分线上的点到线段两端得到距离相等；等边对等角；等角对等边 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，需分别以，两点为圆心，以大于的长度作弧，分别交于，两点，然后连接交于点； （2）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质与判定定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴．（线段垂直平分线上的点到线段两端得到距离相等） ∴．（等边对等角） ∵， ∴. ∴． ∴．（等角对等边） ∴和都是等腰三角形． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端得到距离相等；等边对等角；等角对等边 【点睛】本题考查垂直平分线的尺规作图与性质以及等腰三角形的相关证明；熟练掌握等腰三角形的判定方法是本题的解题关键． 21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m是正整数，求关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0的根． 【答案】（1）m＜2；（2）x1＝0，x2＝2 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m的不等式，解之可得； （2）由（1）中m的范围且m为正整数得出m的值，代入方程，解之可得． 【详解】（1）根据题意得：（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0， 解不等式得：m＜2； 所以m的范围为m＜2；； （2）由（1）得：m＜2 ∵m为正整数， ∴m＝1， 把m＝1代入原方程得：x2﹣2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝2． 【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题的关键． 22．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CEBD，交AD的延长线于点E． (1)求证：∠ACD＝∠ECD； (2)连接OE，若AB＝1，tan∠ACD＝2．求OE的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先证明四边形BCED是平行四边形，得到BD=CE=AC，再利用等腰三角形的性质即可证明； （2）过点O作OF⊥AD于点F，求得AB=CD=1，AD=BC=DE=2，再求得OF =，EF =3，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，∠ADC=90°，BC//DE， ∵CE//BD， ∴四边形BCED是平行四边形， ∴BD=CE， ∴AC=CE， ∴∠ACD=∠ECD； （2）解：过点O作OF⊥AD于点F，则F为AD的中点． ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=1，tan∠ACD=2， ∴AB=CD=1，AD=BC，tan∠ACD==2，OB=OD， ∴AD=2， 由（1）知四边形BCED是平行四边形， ∴AD=BC=DE=2， ∵OB=OD，OF⊥AD， ∴ OF=AB=，EF=DE+AD=3， ∴OE=． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记各性质并求出四边形BCED是平行四边形是解题的关键． 23．（5分）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于、两点，于点．      (1)求证：与的切线； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)详见解析 (2)，，详见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线截线段成比例定理等知识点， （1）连接，，求出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）先求出和，再根据勾股定理得出关于的方程，求出方程的解即可； 熟练掌握垂径定理，勾股定理，平行线截线段成比例定理是解决此题的关键． 【详解】（1）连接，，    ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2）连接，，    ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 24．（6分）我国快递市场繁荣活跃，某快递公司为提高服务质量，对公司的业务量、公众满意度等数据进行统计分析．公司随机抽取了某日发往相邻城市的快递中的1000件，称重并记录每件快递的重量（单位：，精确到），下面给出了部分信息， ．每件快递重量的频数分布直方图（数据分成11组：，，，，，，，，，，）； ．在这一组的数据如下： ．这1000件快递重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 快递重量（单位：） 3．6 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)写出的值； (3)下面四个结论中， ①的值一定在这一组； ②的值可能在这一组； ③的值不可能在这一组： ④的值不可能在这一组， 所有正确结论的序号是 ； (4)该日此快递公司在全市揽收的快递包裹中有3800件发往相邻城市，估计这批快递的重量． 【答案】(1)见解析 (2) (3)②④ (4)估计这批快递的重量为． 【分析】本题主要考查的是频数分布直方图、用样本估计总体、加权平均数、中位数和众数等知识点，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用数据总数减去其他组数据求出这一组的数据，然后补全统计图即可； （2）结合中位数的定义进行求解即可； （3）根据众数的定义并结合频数分布直方图可知：在的频数是，的频数是336，相对其他来说，都是远多于其他区间（的频数为15）的频数的，而众数是出现次数最多的一组数据，这是区间，不是具体数值，因此众数出现在这两个区间，的可能性都有的，且可能性较大，出现在，可能性还是有的，但可能性不大，自然众数不可能出现在，其频数都太小了，由此逐一判断各选项即可； (4)用样本估计整体即可． 【详解】（1）解：（件），补全的频数分布直方图如图所示： （2）解:∵前三组，即中的快递件数为：， ∴中位数在中， 根据这一组的数据如下：； 可知：． （3）解:结合频数分布直方图可知：在的频数是，的频数是336， 相对其他来说，都是远多于其他区间（的频数为15）的频数的， 而众数是出现次数最多的一组数据，这是区间，不是具体数值， ∴众数出现在这两个区间，的可能性都有的，且可能性较大， 出现在，可能性还是有的，但可能性不大， 自然众数不可能出现在，其频数都太小了， ∴①n一定在，说法太绝对，错误； ②n可能在，正确； ③n不可能出现，说法太绝对，错误； ④n不可能出现，正确； 故选：②④． （4）解:从平均数的角度来看：． 答：估计这批快递的重量为． 25．（5分）如图，已知，点D是边上一点，且，点P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足为E，连接，设． 通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整： (1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下： 0 1 2 3 4 5 6                               （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）； (2)自变量x的取值范围是_______； (3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： (4)结合函数图象解决问题：当时，的长约为________（结果精确到）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键． （1）当时，点运动到点处，此时点与点重合，即可求出长； （2）由，可得的取值； （3）描点，连线即可； （4）做出的图形，利求出交点纵坐标即的长． 【详解】（1）解：当时，点运动到点处，此时点与点重合， ， ； （2）∵， 即当点在点处时，， 当点在点处时，， ∴自变量的取值范围是， 故答案为：； （3）如图所示， （4）当时，，如图， 作的图象，与之前函数交于点，经测量点纵坐标约为， ∴长约为， 故答案为：． 26．（6分）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； (2)点，在抛物线上，若，求t的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)抛物线与轴交点的坐标为， (2)， 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解； （1）将点代入抛物线解析式，再根据得出，再求解即可； （2）再根据，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，． ∴抛物线与轴交点的坐标为． ∵点，在抛物线上，且， ∴， 解得． （2）解：由，， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 即． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． 综上所述，． ∵点在抛物线上， ∴，关于抛物线的对称轴对称，且． ∴，解得． ∴． ∴． 27．（7分）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 28．（7分）对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，若以点为圆心，为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”. 特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．    在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”的是 ； (2)点在直线上．存在点，是线段的“关联点”，也是线段的“强关联点”． ①直接写出点的坐标； ②动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段的“关联点”，也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或或； 【分析】（1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①设直线与线段的垂直平分线交于点C，求出，根据点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”，得出点P在直线上，，，证明，求出，得出点B的纵坐标为，即可求出结果； ②根据题意得出点D在以点A为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线上，点Q也在的垂直平分线上，画出图形，找出临界点，然后求出的取值范围，的范围即可． 【详解】（1）解：在的垂直平分线上取点，连接，使，以点为圆心，为半径作圆，交的垂直平分线于点，连接，，    则，， ∴为等边三角形， 此时在优弧上只能作一个等边三角形， ∴点是线段的“强关联点”， ∵当时，在优弧上任意作一个圆周角一定大于， ∴要使线段的“关联点”存在，， ∵不在线段的垂直平分线上， ∴点不是线段的“关联点”， 连接，，，，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的“关联点”， ∵， ∴， ∴点不是线段的“关联点”； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的“关联点”； （2）解：①设直线与线段的垂直平分线交于点C，如图所示：      把代入得：， ∴， ∴， ∵点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”， ∴点P在直线上，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴点B的纵坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴； ②∵， ∴点D在以点A为圆心，2为半径的圆上， ∵，， ∴点O、B在该圆上， 过点A作于点E， ∴， ∴垂直平分， ∴点Q在直线上， 根据解析①可知：， ∴当时， ∴， ∵点Q也在的垂直平分线上， ∴的垂直平分线必须与相交， 当时，的垂直平分线与的垂直平分线互相平行，此时的不符合题意， 根据解析（1）可知，当时，点Q不是的“关联点”， ∴要Q是的“关联点”，则， 即， 如图，取、，使，则点D在（不包括端点、）上时，不符合题意， ∴的取值范围是：或或，      作的垂直平分线交于点F，交于点Q， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，两点间距离公式，解题的关键是作出辅助线，理解题意，根据题意画出图形． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（北京专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A B A C D D 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，请把答案直接填写在横线上 9．x≠﹣ 10．﹣3xy（y+3x）（y﹣3x） 11． 12．-1 13．2 14． 15． 16．28 三、解答题:本大题有12个小题,共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（5分）【答案】 【详解】解： ． 18．（5分）【答案】（1）（2）不等式组的解集为：；不等式组的整数解为： 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为：； ∴不等式组的整数解为： 19．（5分）【答案】2 【详解】解： ， ， ∴ ． 20．（6分）【答案】(1)见解析 (2)线段垂直平分线上的点到线段两端得到距离相等；等边对等角；等角对等边 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴．（线段垂直平分线上的点到线段两端得到距离相等） ∴．（等边对等角） ∵， ∴. ∴． ∴．（等角对等边） ∴和都是等腰三角形． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端得到距离相等；等边对等角；等角对等边 21．（6分）【答案】（1）m＜2；（2）x1＝0，x2＝2 【详解】（1）根据题意得：（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0， 解不等式得：m＜2； 所以m的范围为m＜2；； （2）由（1）得：m＜2 ∵m为正整数， ∴m＝1， 把m＝1代入原方程得：x2﹣2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝2． 22．（5分）【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，∠ADC=90°，BC//DE， ∵CE//BD， ∴四边形BCED是平行四边形， ∴BD=CE， ∴AC=CE， ∴∠ACD=∠ECD； （2）解：过点O作OF⊥AD于点F，则F为AD的中点． ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=1，tan∠ACD=2， ∴AB=CD=1，AD=BC，tan∠ACD==2，OB=OD， ∴AD=2， 由（1）知四边形BCED是平行四边形， ∴AD=BC=DE=2， ∵OB=OD，OF⊥AD， ∴ OF=AB=，EF=DE+AD=3， ∴OE=． 23．（5分）【答案】(1)详见解析 (2)，，详见解析 【详解】（1）连接，，    ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2）连接，，    ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 24．（6分）【答案】(1)见解析(2)(3)②④(4)估计这批快递的重量为． 【详解】（1）解：（件），补全的频数分布直方图如图所示： （2）解:∵前三组，即中的快递件数为：， ∴中位数在中， 根据这一组的数据如下：； 可知：． （3）解:结合频数分布直方图可知：在的频数是，的频数是336， 相对其他来说，都是远多于其他区间（的频数为15）的频数的， 而众数是出现次数最多的一组数据，这是区间，不是具体数值， ∴众数出现在这两个区间，的可能性都有的，且可能性较大， 出现在，可能性还是有的，但可能性不大， 自然众数不可能出现在，其频数都太小了， ∴①n一定在，说法太绝对，错误； ②n可能在，正确； ③n不可能出现，说法太绝对，错误； ④n不可能出现，正确； 故选：②④． （4）解:从平均数的角度来看：． 答：估计这批快递的重量为． 25．（5分）【答案】(1)(2)(3)见解析(4) 【详解】（1）解：当时，点运动到点处，此时点与点重合， ， ； （2）∵， 即当点在点处时，， 当点在点处时，， ∴自变量的取值范围是， 故答案为：； （3）如图所示， （4）当时，，如图， 作的图象，与之前函数交于点，经测量点纵坐标约为， ∴长约为， 故答案为：． 26．（6分）【答案】(1)抛物线与轴交点的坐标为，(2)， 【详解】（1）解：当时，． ∴抛物线与轴交点的坐标为． ∵点，在抛物线上，且， ∴， 解得． （2）解：由，， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 即． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． 综上所述，． ∵点在抛物线上， ∴，关于抛物线的对称轴对称，且． ∴，解得． ∴． ∴． 27．（7分）【答案】(1)见详解(2)，理由见详解 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（7分）【答案】(1) (2)①；②或或； 【详解】（1）解：在的垂直平分线上取点，连接，使，以点为圆心，为半径作圆，交的垂直平分线于点，连接，，    则，， ∴为等边三角形， 此时在优弧上只能作一个等边三角形， ∴点是线段的“强关联点”， ∵当时，在优弧上任意作一个圆周角一定大于， ∴要使线段的“关联点”存在，， ∵不在线段的垂直平分线上， ∴点不是线段的“关联点”， 连接，，，，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的“关联点”， ∵， ∴， ∴点不是线段的“关联点”； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的“关联点”； （2）解：①设直线与线段的垂直平分线交于点C，如图所示：      把代入得：， ∴， ∴， ∵点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”， ∴点P在直线上，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴点B的纵坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴； ②∵， ∴点D在以点A为圆心，2为半径的圆上， ∵，， ∴点O、B在该圆上， 过点A作于点E， ∴， ∴垂直平分， ∴点Q在直线上， 根据解析①可知：， ∴当时， ∴， ∵点Q也在的垂直平分线上， ∴的垂直平分线必须与相交， 当时，的垂直平分线与的垂直平分线互相平行，此时的不符合题意， 根据解析（1）可知，当时，点Q不是的“关联点”， ∴要Q是的“关联点”，则， 即， 如图，取、，使，则点D在（不包括端点、）上时，不符合题意， ∴的取值范围是：或或，      作的垂直平分线交于点F，交于点Q， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$