数学（含PDF版，可直接打印）-2025年中考考前最后一课

第学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 定义 只有符号不同的两个数 任何一个数都有相反数，而但只有一个相反数 性质 相反数 正数的相反数是负数：负数的相反数是正数：0的相反数是 0. 多重符号化简 口读：奇负偶正 定义 数轴上表示数a的点到原点的距离 a>0 al=a 绝对值 代数意义 a=0a=0 a<0 al=-a 几何意义 是数轴上表示数a的点与原点的距宽 小数点移动的位数，即为10的常数的绝对值， 料学记数法 有球数 有限小数或无限结环小数 有理数与无理数 无理数 无限不循环小数 la20 a220 非负数 Va20(a20) 先进行须方和开方运算 再销乘除 运算题序 实数混合远算 最后算加减 如果遇到括号，则先进行括号里的运算 数与式热考内容 计算的过程中安注前符号问题 整式混合运算注意 运绮结果如果有同英项时，必须合并，从而得到最高的结果 分式混合运算注意 结果化为最简分式 二次根式 形如ya(a≥0)的试子 二次根式与分式的定义 写成合 分式 整式A和B B中有字母且不等于0 a”d=a (a")"=a m,n部是整数 幂的运算 (ab)'=ab" 公式■ 检在每个多 项武是吾区 有 完全平 分解 方公式 三检查 因试分解 十字相乘法 口快 首尾分解。交叉相乘，实验筛选，求和凑中 Da'.b-(a+by-2ab-(a-b).2ab (a+b了-a-bj+4ab 叫a-b.a-b-4e a+b时a--d+ ta-by-(a-b1 -40b 亮全平方公式常见变形 第学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 相同的数 0加、减 等式性质 等号两边同时 相同式子 等式仍然成立 ②乘.除 相同非0数 加.减 同一个数（式子） 不等式性质 不等号方向不变 两边同时 乘，除以 同一个正数 乘、除以 同一个负数 不等号方向改变 分式性质 同时 ×或+ 分子与分母 分式值 相同 非0整式 不变 0去分母 两边同乘最简公分母 化成整式方程 解法 目解整式方程 求出整式方程的解 有解 O验根 代入最简公分母 值≠0 值=0 无解 分式方程的解法 找出最简公分母 解分式方程的注意事项 去分母时不要漏乘项 方程与不等式（组 注意检验 0二次项系数化为1 直接开方法 步骤 日两边分别开方 配方法 步骤 化移配解 化一股形式 确定a,b,c的值 公式法 步 )热考考点 一元二次方程解法 求 因式分解法 化成(x+a)+b)=0 选择合适的代数式进行换元 将原方程转化为新变量的方程 换元法 步骤 解新变量的方程 将新变量的值转换回原变量 检验结果 a≠0 使用条件 △20 判别式 △=b2-4ac △>0一方程有两个不相等的实数根 △=0一方程有两个相等的实数根 △<0一方程无实数根 X+X= 6 根与系数的关系 关系 ax'+bx+c=0 (a#0) △20 XiX,=c 第学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第一象限 (4,+) 第二家限 (,+) 点坐标 第三象限 ,) 第四象限 , x轴b=0 轴上的点 轴 a=0 原点(0,0) 到x轴b 点到坐标轴的距高 特殊点坐标 y轴 a (a,b) 象限角平分线 一、三象限 a=b 上的点 a=-b 二、四象限 a+b=0 两点连线 与x轴平行 纵相等，横不等 与坐标轴平行 与y轴平行 横相等，纵不等 与原点对称 (-a,b) 函数热考知 (2-)2+(3-3为)月 距离公式 A(,功)和B(x,2) 坐标系内公式 中点坐标公式 (色，”) 函 共型 学创 取维范烟 数自变量 生式型 y=3x+2 全体实数 分式型 y“2 州母不最为零 二状根式型 y-+ 开方式大干或W丰零 的取值范围 负世营零)指的喜型 y成y=x 底数不最为零 分式根式型 1 开方式大干零 y5+行 正意：分母不能为0 第学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k>0 y随x的增大而增大 k<0 精x的增大而减小 b0 园增经过一，二，三家限 k>0 y储的陆大而增大 一次函数性质 b<0 图像经过一，三，四家限 b>0 图像是过一，二，四除限 一次法数 kc0 y博的培大而藏小 b《0像经过二，三，四限 x=0 与y轴交点(0，b) 与坐标别轴交点 y=0 与交点（个0】 双线两分支与,轴无银近，但不会与坐都轴相交 图像位于一，三象限 图像位西/停减性 k>0 每个象限内，随x的烟大布减小 齿像位于二四象闲 k<0 每个象限内，随x的增大而增大 反比制函数性质 函数热考知识 54=k2 k的几同意义(2种#础模型】 5阴影=图 a>0 图像 开和陶上 a>0 对称轴左侧 两的增大而减小 增减性 ?对称轴右侧 y陆的细大而信大 是值 有是小值 a陆大，开口磁小 二次函数性质 园像与因 密像 开扣向下 a0 对称轴左侧 y防x的增大而猫大 增减性 对称结右量 y德的增大而减下 是值 有最大值 第学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三边关系 两边之差<第三边<两边之和 判断三条线段能否组成三角形 量短的两边之和>第三边 性质 垂直平分线 垂直平分线上的点 到线段两个端点的距离相等 判定 到线段两个端点 在垂直平分线上 臣离相等的点 中线 斜边上的中线=斜边的一半 性质 角平分线上的点 到角两边的距离相等 角平分线 角内部到角两边 判定 距离相等的点 在角平分线上 内角和 公式 (a-2)×180 n:多边形边数 多边形 外角和 等于360° 与多边形边数无关 n边形对角线 条数 找第三边 s55 已知两边 找夹角SAS 形的性质热门考点 找直角 HL 一边为角的对边 找另一角 AAS 判定两个 已知一边、一角 找夹角的另一边 SAS 三角形全 一边是角的邻边 找夹边的另一角 ASA 等的思路 找边的对角 AAS 找夹边 ASA 已知两角 找其中一角的对边 AAS 等边对等角 性质 等腰三角形 三线合一 判定 等角对等边 性质 三个角相等 8等于60 等边三角形 三个角相等 一般三角形 判定 三条边相薄 等腰三角形 有一个角60 两锐角互余 斜边的中线等于斜边的一半 性质 30°角所对的边等于斜边的一半 两直角边的平方和等于斜边的平方 直角三角形的性质与判定 一个角是直角 两个内角互余 判定 三角形 一边上的中线等于这条边的一半 a+b=ci 帝学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 对边平行且相等 对角相等 平行四边形中 角 邻角互补 性质 对角线 互相平分 两条平行线之间 距高处处相等 平行四边形 两组对边分别平行 边 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 是平行四边形 判定 四边形 安 两组对角分别相等 对角线 互相平分 四个角都是直角 性质 对角线相等 矩形 有一个角是直角的平行四边形 角 有三个角是直角的四边形 图形的性质热门考点 判定 对角线 对角线相等的平行四边形 边 四条边都相等 性质 两条对角线互相垂直 对角线 菱形 每一条对角红平分一组对角 有一组邻边相等的平行四边形 必 判定 四条边都相等的四边形 对角线 互相垂直的平行四边形 边 四条边都相等 角 四个角都是直角 性质 相等 对角线 互相垂直平分 正方形 每条对角线平分一组对角 边 有一组邻边相等的矩形 判定 角 有一个角是直角的菱形 对角线互相垂直的矩形 对角线 对角线相等的菱形 第学科同 www.zxxk.com 让教与学更高效 不是直径 垂直于弦 平分弦 平分弦的直径 准论 平分滋所对的两条塑 重直于弦的直径 平分弦所对的两条弧 计算线段长度 构造Rta 长一半+结心距✉半轻 同弧或等弧 所对的圆心角/所对的弦相等 所对的相等 相等的墨心角 推论 两条弦相等 所对的圆心角/优弧/劣弧相等 所对的磁相等 圆的性质 半圆（成直径 一条所对的 所对的圆周角是直角 推论 90"的圆周角 所对的滋是直径 圆周角=所对圆心角的一半 圆内接四边形性质 对角互补 的长 司长 外角/中心角度数 领 利 5S号hg 对角线条数 边心 rco 内角和 (2X0 片海度益 =2)时 :诗形的边数 内角图+1附：)+过 图形性质的热门考 正多边形中元素的值 ,Ra。的美 财对+(，：：为直角三角形的三边长，已知其中个值，第 个可以助定理解) 相交 d<r一直线和圆有两个交点 性质 圆的切线垂直过切点的半径 相切 d=r一直线和圆有-个交点 经过半径外蝴 直线和圆 判定 是圆的切线 垂直于半径 相离 d>r直线和圆无公共点 弧长公式 12180 扇（号）形面积 题长与扇形面积公式 面积 R 圆性的面积 侧积 S=xrl 全祝 全面积 S=S.+S.=rl+r=r/+r） 第学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 先分析题目，读懂题意，相断塑且要求作什么 读题意后，再运用几种湛本作圆方法解决问道 尺规作面 切记作图中一定要保留作图接迹 轴时棕图形 定义 一个图形直线两旁重合 德对称 两个图彩沿一条直线折鱼。能够重合 成地对移 对位使段相等 性质 对位角阳等 对应点连线被对称陆重直平分 定义 一个图形与另图形重合 中心对称 中心对称图形定义 一个型形与白身重合 所经过对将中心 连结中心对府的两个型形的时称点 性质 两口城游中心平分 中心对称的两个图形全等 定义 墨形沿直线移动 平移前后的两个图形全等 平移 平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、粉应角相等 性质 任息两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）目相尊 对应点之间的拒意就是平移的巨离 定义 平查密形 绕点转动一个角度 配形全等放转前，后 转 性质 距宽相博 对应点到装转中心 对擅点一 实角一数转角 所连过贸的夹角 图形的变化 旋转中心 比例的性质 本性质一 君-oad=tc（bdso) 如图，点把线现AC分成两部分，如果一 黄金分割 点B为线现AC的黄全分制点 注意：一条线段有再个衡金分制点。它们是时称存在的 AB与AC(或8C与AB)的比成为金比 比植为 近黑值为0.618 0三边成比例 D两角分别相等 两边成比例 ●两边夹一角 相微三角形的耗定 爽角相等 0行好三角 与其它两 一条边的直线 边相交 所构成的三角形一原三角形 O斜边直角边成比例(R) 角 5 待裤角的三角卧酸通 0转化 面出平面蛋形 转化为解直角三角形 8求解 语选用视角三角函数 解直角三角形实际应用的步灌 数学问同题的落案 D得到搭案 实而问更的著案 第学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 t 算术平均数 特点 易受极端值的影响 n个数x1,2,,n的权分别是w1,w2,:wn 平均数 xw,txw:+.…+xW 加权平均数 w,+w,+..+w. 奇数个数 中间位置的数 求法 按顺序排列 偶数个数 中间两数之和的一半 中位数 特点 具有比好的代表性 定义 出现次放最多的数据 众数 特点 反饮数据的集中趋势 国+++国] 统计与概率 计算公式 方差 方差大 波动大 慧义 反映数据的波动程度 方差小 波动小 m:事件A出现的次数 公式法 P巴 n:所有事件的总数 概率的 列学法 数据较小 计算方法 列耒法 两步问题 不重不漏地列出所有可能结果 树状图法 三步以上问题 频率是既率的近似值，随着试验次数的增加，须率值会越来越接近慨率 用频率估计概率 0总体 要考察的全体对象 日个体 每一个考察对像 数据收集的各部分 自样本 复抽的个体组成 0样本容量 个体的数目 - 1 - - 2 - - 3 - 目 录 考点一 数与式（10考点+思维导图） - 4 - 考点二 方程（组）与不等式（组）（5考点+思 维导图） - 6 - 考点三 函数（16 考点+思维导图） - 8 - 考点四 图形的性质（22考点+思维导图） - 11 - 考点五 图形的变化（8考点+思维导图） - 15 - 考点六 统计与概率（6考点+思维导图） - 17 - 易错失分点一 数与式（12 个易错点） - 19 - 易错失分点二 方程与不等式（9个易错点）- 19 - 易错失分点三 函数（8个易错点） - 20 - 易错失分点四 图形的性质（25 个易错点） - 20 - 易错失分点五 图形的变化（3个易错点） - 22 - 易错失分点六 统计与概率（8个易错点） - 22 - 快解秒招一 线、角、相交线与平行线（14 大招） - 22 - 快解秒招二 三角形、四边形与圆（46 大招） - 23 - 解密题型一 数与式 - 26 - 解密题型二 方程与不等式 - 32 - 解密题型三 解直角三角形 - 43 - 解密题型四 图形变化 - 59 - 解密题型五 相似三角形 - 71 - 解密题型六 特殊平行四边形 - 97 - 解密题型七 圆的综合 - 120 - 解密题型八 函数综合 - 146 - 重难点一 新定义类问题 - 178 - 重难点二 阅读理解类问题 - 196 - 重难点三 跨学科类问题 - 224 - 重难点四 现实热点问题 - 240 - 重难点五 动点问题 - 254 - 重难点六 最值问题 - 283 - 【热考模型 1】一线三垂直模型 - 330 - 【热考模型 2】费马点模型 - 347 - 【热考模型 3】十字架模型 - 356 - 【热考模型 4】角含半角模型 - 366 - 【热考模型 5】手拉手模型 - 381 - 【热考模型 6】对角互补模型 - 402 - - 412 - 考前准备 1学生备考篇 考前准备 2中考前一天需要做哪些准备 考前准备 3解题策略心中过，从容应考稳发挥 - 412 - 考场解题篇 考场注意篇 1遇到不会的题要怎么办 考场注意篇 2如何克服丢失不该丢失的分 - 426 - 考后需要注意的事项 2025 年中考数学模拟预测卷 - 428 - 2025 年中考数学考前最后链接 - 458 - 2025 年中考数学押题预测卷链接 - 458 - 2025 年中考数学终极押题猜想链接 - 458 - - 4 - 考点一 数与式（10 考点+思维导图） 序号 考点自查 考查频率 命题形式 1 相反数和绝对值的概念和性质你记住了吗？ ★★ 选、填 2 你会用科学记数法表示较大/较小的数吗？ ★★★★ 选、填 3 二次根式、分式有意义的满足条件是什么？ ★ 选、填 4 实数非负性的三种形式是什么？ ★★★ 选、填 5 有理数和无理数的判断依据是什么？ ★ 选 6 实数混合运算的步骤是什么？ ★★★ 选、填、解 7 幂的混合运算法则是什么？ ★★ 选、填 8 整式/分式混合运算时注意什么？ ★★★ 选、填、解 9 因式分解的步骤？ ★★★ 选、填、解 10 乘法公式是否熟悉和完全平方公式的灵活应变？ ★★ 填、解 - 5 - - 6 - 考点二 方程（组）与不等式（组）（5考点+思维导图） 序号 考点自查 考查频率 命题形式 1 等式、分式、不等式的性质是什么？ ★ 选、填 2 解分式方程的步骤和注意事项？ ★★ 填、解 3 解一元二次方程的方法（5 种）？ ★★ 解 4 一元二次方程的判别式的意义？ ★★★ 选、填、解 5 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）？ ★★★ 选、填、解 - 7 - - 8 - 考点三 函数（16 考点+思维导图） 序号 考点自查 考查频率 命题形式 1 直角坐标系中各各象限内点坐标的特征？ ★★ 选、填 2 坐标轴上的点的特征掌握了吗？ ★★ 选、填 3 你能讲述两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征吗？ ★★ 选、填 4 你知道和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征吗？ ★★ 选、填 5 关于 x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征是什么？ ★★ 选、填 6 你掌握坐标系中的距离公式及中点坐标公式了吗？ ★★★ 选、填、解 7 函数自变量的取值范围常考的几种类型知道吗？ ★★★ 选、填 8 如何区分一次函数、反比例函数及二次函数？ ★ 选 9 一次函数图像和性质？ ★★★ 选、填、解 10 一次函数、二次函数及反比例函数和特殊三角形、特殊平行 四边形存在形问题，特殊角的存在性问题，相似三角形存在 性问题等综合题都知道做题方法了吗？ ★★★★★ 解 11 反比例函数的图像的特征？ ★★ 选、填 12 反比例函数中 k 的几何意义？ ★★★ 选、填 13 二次函数的性质二次函数的对称轴，顶点坐标，增减性等？ ★★★ 选、填 14 二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0）中 a，b，c 的含义？ ★★★ 选、填 15 求二次函数的最值时要考虑的问题？ ★★ 选、填 16 用待定系数法求函数解析式 ★★★★ 选、填、解 - 9 - - 10 - 11 考点四 图形的性质（22 考点+思维导图） 序号 考点自查 考查频率 命题形式 1 三角形的三边关系？ ★★★ 选、填 2 三角形的重要线段的性质和意义都清楚吗？ ★★★ 选、填、解 3 多边形的内角和公式和外角和？ ★★★ 选、填、解 4 多边形的对角线有关公式？ ★★ 选、填 5 多边形的截角问题的分类会吗？ ★ 选 6 角平分线的性质和垂直平分线的性质的运用？ ★★★ 选、填、解 7 全等三角形的的性质和判定方法？ ★★★★ 选、填、解 8 等腰三角形的性质是否熟悉，灵活运用？ ★★★ 选、填、解 9 等边三角形的性质和判定方法？ ★★★ 选、填、解 10 直角三角形的性质与判定方法？ ★★★ 选、填、解 11 平行四边形的性质和判定定理？ ★★★ 选、填、解 12 矩形的性质和判定定理？ ★★★ 选、填、解 13 菱形的性质和判定定理？ ★★★ 选、填、解 14 正方形的性质和判定定理？ ★★★ 选、填、解 15 是否掌握弧、弦、圆周角和圆心角之间的关系？ ★★ 选、填 16 垂径定理的模型构造，有关运算及常考的实际应用有哪些？ ★★★ 选、填 17 圆内接四边形的性质？ ★★ 选、填 18 圆内接正多边形的有关运算是否掌握？ ★ 选、填 19 点和直线与圆的位置关系是否会判断？ ★★ 选、填 20 是否掌握判定圆切线的方法？ ★★★★ 解 21 三角形的内切圆的有关于运算？切线长定理的巧用？ ★★ 选、填 22 弧长公式和扇形面积公式的有关运算？ ★★★ 选、填、解 - 12 - 13 - 14 - 15 考点五 图形的变化（8考点+思维导图） 序号 考点自查 考查频率 命题形式 1 初中阶段的 5 中尺规作图方法？作图的注意事项？ ★★★★ 选、解 2 平移﹑旋转﹑轴对称和中心对称的概念是什么？ 中心对称图形和轴对称图形的区分？ ★★★ 选 3 简述平移、轴对称、旋转的性质？ ★★★★ 选、填、解 4 比例线段的性质？黄金分割比？ ★★ 选、填 5 相似三角形的判定方法？ ★★★★ 选、填、解 6 对于“一线三等角”“手拉手模型”“对角互补模型”是否掌握？ ★★★★ 解 7 锐角三角形函数的特殊角的函数值是什么？ ★ 选、填 8 锐角三角函数常见的实际应用是否会解？ ★★★★ 解 - 16 - 17 考点六 统计与概率（6考点+思维导图） 序号 考点自查 考查频率 命题形式 1 众数﹑中位数和方差及平均数的运算及意义？ ★★ 选、填 2 求概率的方法，是否会运用“树状图”/“列表法”求概率？ ★★★★ 选、填、解 3 是否掌握运用频率估算概率方法？ ★★ 选、填 4 如何判断命题的真假？ ★ 选、填 5 如何区分总体、样本、样本容量、个体 ★★ 选、填 6 你能从统计图中获取相关信息吗？ ★★★ 选、填、解 - 18 - 19 易错失分点一 数与式（12 个易错点） 易错点 1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆，以及绝 对值与数的分类．每年必考． 易错点 2：化简绝对值时，没有判断绝对值符号中各个数或式子的正负； 易错点 3：用科学记数法表示数时，容易把 n 的值算错. 易错点 4：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在 较复杂的运算中，不注意顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误． 易错点 5：平方根、算术平方根、立方根的区别，填空题必考． 易错点 6：不能区分分式何时有意义，无意义或值为 0． 易错点 7：运用分式的基本性质时，要注意同乘（或除以）一个不等于 0 的整式 易错点 8：分式运算时要注意运算法则和符号的变化．当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分 解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式．填空题必考． 易错点 9：非负数的性质；几个非负数的和为 0，每个式子都为 0；整体代入法；完全平方式． 易错点 10：计算第一题必考．五个基本数的计算：0 指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简． 易错点 11：科学记数法．精确度，有效数字． 易错点 12：代入求值要使式子有意义．各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序． 易错失分点二 方程与不等式（9个易错点） 易错点 1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件． 易错点 2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为 0 的情况，还要关注解方程与方程组的基 本思想．（消元降次）主要陷阱是消除了一个带 x 公因式要回头检验． 易错点 3：运用不等式的性质 3 时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错． 易错点 4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为 0 导致出错． 易错点 5：关于一元二次不等式根的判别式的使用前提是：二次项系数不为 0 且△≥0． 易错点 6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错． - 20 易错点 7：分式方程增根产生的原因为最简公分母的值为 0． 易错点 8：不等式（组）的解的问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴． 易错点 9：利用函数图像求不等式的解集和方程的解． 易错失分点三 函数（8个易错点） 易错点 1：函数中各个待定系数表示的意义． 易错点 2：熟练掌握各种函数解析式的求法，有几个的待定系数就要几个点值． 易错点 3：利用图像求不等式的解集和方程（组）的解，利用图像性质确定增减性． 易错点 4：两个变量利用函数模型解实际问题，注意区别方程、函数、不等式模型解决不等领域的问题． 易错点 5：利用函数图像进行分类（平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形）以及分类的求解方法． 易错点 6：与坐标轴交点坐标一定要会求．面积最大值的求解方法，距离之和的最小值的求解方法，距离之 差最大值的求解方法． 易错点 7：数形结合思想方法的运用，还应该注意结合图像性质解题．函数图像与图形结合学会从复杂图形 分解为简单图形的方法，图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据． 易错点 8：自变量的取值范围：二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为 0，0 指数底数不为 0，其它 都是全体实数． 易错失分点四 图形的性质（25 个易错点） 易错点 1：三角形的概念以及三角形的角平分线、中线、高线的特征与区别． 易错点 2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”．最短距离的方法． 易错点 3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”． 易错点 4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定．着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等 的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合．边边角两 个三角形不一定全等． 易错点 5：两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线 段成比例，面积之比等于相似比的平方． 易错点 6：等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的 判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入． 易错点 7：运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单 - 21 的实际问题． 易错点 8：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种 解题方法． 易错点 9：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质． 易错点 10：直角三角形判定方法；三角形面积的确定与底上的高（特别是钝角三角形）． 易错点 11：三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值． 易错点 12：平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用．三角形的稳定性与四边形不稳定性． 易错点 13：平行四边形注意与三角形面积求法的区分．平行四边形与特殊平行四边形之间的转化关系． 易错点 14：运用平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分．对角线将四 边形分成面积相等的四部分． 易错点 15：平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，突出转化思想的渗透． 易错点 16：矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积 等的计算．矩形与正方形的折叠．（23 题必考） 易错点 17：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，掌握其中的不变与旋转一些性质．（18 题必考） 易错点 18：梯形问题的主要做辅助线的方法． 易错点 19：对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，两条弦 之间的距离也要考虑两种情况．（选择题最后一题考） 易错点 20：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题． 易错点 21：对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法（两 种方法）使用不熟练． 易错点 22：考查圆与圆的位置关系时，相切有内切和外切两种情况，包括相交也存在两圆圆心在公共弦同 侧和异侧两种情况，学生很容易忽视其中的一种情况．（25 题分类讨论） 易错点 23：与圆有关的位置关系把握好 d 与 R 和 R+r，R-r 之间的关系以及应用上述的方法求解； 易错点 24：圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，90 度的圆周 角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 易错点 25：几个公式一定要牢记：三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆的面积公式，圆 周长公式，弧长，扇形面积，圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转 化关系． - 22 易错失分点五 图形的变化（3个易错点） 易错点 1：轴对称、轴对称图形，及中心对称，中心对称图形的概念和性质把握不准． 易错点 2：图形的轴对称或旋转问题，要充分运用其性质解题，即运用图形的“不变性”，在轴对称和旋转中 角的大小不变、线段的长短不变． 易错点 3：将轴对称与全等混淆，关于直线对称与关于轴对称混淆． 易错失分点六 统计与概率（8个易错点） 易错点 1：中位数、众数、平均数的有关概念理解不透彻，错求中位数、众数、平均数． 易错点 2：在从统计图获取信息时，一定要先判断统计图的准确性．不规则的统计图往往使人产生错觉，得 到不准确的信息． 易错点 3：对普查与抽样调查的概念及它们的适用范围不清楚，造成错误． 易错点 4：极差、方差的概念理解不清晰，从而不能正确求出一组数据的极差、方差． 易错点 5：概率与频率的意义理解不清晰，不能正确的求出事件的概率． 易错点 6：平均数、加权平均数、方差公式，扇形统计图的圆心角与频率之间的关系，频数、频率、总数之 间的关系．加权平均数的权（部分省份不做要求）可以是数据、比分、百分数，还可以是概率（或者频率）． 易错点 7：求概率的方法．（1）简单事件；（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或 者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（3）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率． 易错点 8：判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合． 快解妙招一 线、角、相交线、平行线（14大招） 大招 1.如果平面上有 n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画 出 条 大招 2.平面上的 n 条直线最多可把平面分成 个部分. - 23 大招 3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为 条. 大招 4.线段(或延长线)上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 大招 5.有公共端点的 n条射线所构成的交点的个数一共有 大招 6.如果平面内有 n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n(n-1)个. 大招 7.如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成 n(n-1)对对顶角. 大招 8.平面上若有 n(n≥3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出 个. 大招 9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°. 大招 10.平面上有 n条直线相交，最多交点的个数为 大招 11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 大招 12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直. 大招 13.已知AB∥CD，则 图示 结论 ∠ABC+∠BCD+∠CDE=360° ∠BCD=∠ABC+∠CDE ∠BCD=∠CDE-∠ABC 大招 14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半. 快解妙招二 三角形、四边形与圆（46大招） 大招 1.在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角 形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 大招 2.三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半. 大招 3.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 90°加上第三个内角的一半. 大招 4.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 90°减去第三个内角的一半. 大招 5.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差(的绝对值)的一半. - 24 大招 6.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结 两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用 外角定理证题. 大招 7.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 大招 8.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 大招 9.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 大招 10.截长补短作辅助线的方法：1）截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 2）补短法：延长较短线段和较长线段相等. 大招 11.证明两条线段相等的步骤： ①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 ②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等. ③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形. 大招 12.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角(等角)的余角相等来证明两个角相等. 大招 13.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 大招 14.条件不足时延长已知边构造三角形. 大招 15.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 大招 16.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰 归”. 大招 17.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角 形. 大招 18.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件. 大招 19.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角 两边距离相等证题. 大招 20.有等腰三角形时常用的辅助线： 1)作顶角的平分线，底边中线，底边高线；2)有底边中点时，常作底边中线； 3)将腰延长一倍，构造直角三角形解题；4)常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线. 5)常过一腰上的某一已知点做底的平行线. 6)常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形---等边三角形. - 25 大招 21.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来. 大招 22.有垂直时常构造垂直平分线。 大招 23.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题. 大招 24.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半. 大招 25.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差。 大招 26.有平行线时常作平行线构造平行四边形 大招 27.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 大招 28.平 行四边形一边 (或这边所在的直线 )上的任意一点与对边的两个端点 的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半. 大招 29.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等. 大招 30.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边形、 菱形、矩形、正方形、菱形. 大招 31.当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形. (1)有特殊角时，如有30°、45°、60°、120°、135°角时. (2)涉及有关锐角三角函数值时，构造直角三角形经常通过作垂线来实现. 大招 32.等腰直角三角形斜边的长等于直角边的√2 倍. 大招 33.在含有 30°角的直角三角形中，60°角所对的直角边是 30°角所对的直角边的√3倍.(即 30°角所对的直角边是几，另一条直角边就是几倍√3. 大招 34. 有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造 Rt△，用勾股，求长度. 大招 35.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 大招 36.有弧中点(或证明是弧中点)时，常有以下几种引辅助线的方法： (1)连结过弧中点的半径；(2)连结等弧所对的弦；(3)连结等弧所对的圆心角. 大招 37.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 大招 38.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角。 大招 39.有等弧时常作辅助线有以下几种：(1)作等弧所对的弦；(2)作等弧所对的圆心角；(3)作等弧所对的圆周 角. 大招 40.有弦中点时，常构造三角形中位线. - 26 大招 41.圆上有四点时，常构造圆内接四边形. 大招 42.遇到弦时，常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端 点．（作用:①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角.） 大招 43.遇到有切线时常常添加过切点的半径(连结圆心和切点) 大招 44.遇到证明某一直线是圆的切线时： 1. 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径． 2. 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心(即作半径)，再证其与直线垂直． 大招 45.遇到两相交切线时(切线长)，常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点． 大招 46.遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线 解密题型一 数与式 【考情分析】数与式的考查在中考中占据着举足轻重的地位，其题型多样，包括选择题、填空题以及计算题， 几乎覆盖了所有中考数学试卷。从内容上看，主要集中在对有理数、实数、整式、分式、根式及其运算的全 面考察。有理数的运算、正负数的概念、科学记数法的应用、分式的化简与计算、幂的运算规则以及根式的 性质与运算，都是高频考点。特别是在科学记数法上，题目往往结合最新的科技进展或社会热点数据，如航 天成就中的距离数据，考查学生对大数字处理的能力。此外，数与式的题目还常涉及新定义运算，这类题目 要求学生具备快速理解并应用新知识的能力，体现了对学生逻辑思维与创新能力的重视。 值得注意的是，数与式的题目在难度设置上较为均衡，既有基础知识的直接应用，也有需要深入分析与 综合应用的题目。选择题与填空题往往侧重于基础知识的考查，而计算题则更加注重学生的运算能力与解 题步骤的规范性。 【满分技巧】 一、实数及其运算的满分技巧 1. 牢记基本概念：数轴、相反数、绝对值、倒数等，特别注意 0 的特殊性。 2. 运算规则：有理数加法、减法、乘法、除法及乘方运算需熟练掌握，尤其是符号的处理。 3. 科学记数法：把一个数 A 表示成 10na 的形式（其中 1≤|a|＜10，n 为整数），这种记数法叫做科学记 数法。确定 a 和 n 的方法是关键，需多练习。 - 27 二、整式与因式分解的满分技巧 1. 整式运算：掌握加减乘除及乘方运算，注意同类项的合并及去括号法则。 2. 因式分解：常用方法有提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法等。需通过 大量练习提高熟练度。 三、分式的满分技巧 1. 分式化简：利用因式分解将分子分母化简，再约分。 2. 分式运算：掌握分式加减乘除的运算法则，特别是通分和约分的应用。 四、二次根式的满分技巧 1. 理解二次根式的概念和性质，特别是最简二次根式的条件。 2. 掌握二次根式的加减乘除运算，注意化简和有理化分母。 五、化简求值 1. 理解并熟练掌握分式的基本运算法则至关重要。分式的加减乘除是化简求值的基础，牢记“先乘除，后 加减”的运算顺序，确保每一步运算的正确性。在分式相加减时，关键是找到最简公分母进行通分；分式相 乘除时，则需将分子分母分别相乘或颠倒除式后再相乘，最后约分化简为最简分式或整式。 2. 因式分解是化简求值中常用的重要工具。无论是分子还是分母，若为多项式，应首先考虑因式分解。常 用的因式分解方法包括提公因式法和公式法，如平方差公式和完全平方公式。通过因式分解，可以有效地约 简分式，使计算变得更加简便。 3. 代入求值时要保证分式的有意义性。在代入具体数值之前，务必检查化简后的分式是否有意义，即分母 不为零。若题目中给定字母的取值范围或条件，需先确定该值是否使分式有意义，再进行代入计算。此外， 有时题目会要求从几个给定数值中选择合适的数值代入，此时应逐一检查每个数值是否符合要求。 5. 整体代入法是化简求值中一种高效的方法。当直接代入字母的值较为复杂时，可以考虑将已知条件变形， 整体代入化简后的表达式中。这种方法需要敏锐的观察力和灵活的思维，通过适当的变形，使计算过程更加 简洁明了。 6. 规范解题步骤和书写格式。中考注重过程评价，清晰的解题步骤和规范的书写不仅能帮助自己在检查过 程中快速定位错误，还能给阅卷老师留下良好的印象，避免不必要的失分。在答题时，应按照“原式=化简 过程=代入计算=最终结果”的步骤书写，每一步都要详细明了。 六、应对中考的策略 1. 仔细审题：数与式的题目往往因一字之差而解法迥异，务必仔细审题，理解题意。 2. 规范答题：步骤清晰，书写工整，避免因书写不规范而丢分。 3. 检查复核：完成题目后，务必检查计算过程和结果，避免低级错误。 - 28 4. 压轴题应对：中考压轴题往往涉及数与式的综合应用，需具备良好的数形结合思想、分类讨论思想和转 化思想。平时多练习此类题目，提高解题能力。 通过以上技巧的掌握和运用，结合大量的练习和总结，考生完全可以在中考数与式部分取得满分。关键 在于对基本概念和运算规则的熟练掌握，以及对各种题型的深入理解和灵活应用。 【2025 年中考模拟预测】 1．（2025·海南三亚·一模）2025 年 1 月 7 日，长征三号乙运载火箭成功将实践二十五号卫星发射升空，标 志着 2025 年中国航天发射任务的“开门红”．该火箭主要用于发射高轨航天器，并计划在 2025 年保持高密 度发射，完成小行星探测等十几次重大任务．长征三号乙运载火箭的载重高达11500千克，用科学记数法 表示为（ ）千克． A． 41.15 10 B． 31.15 10 C． 51.15 10 D． 311.5 10 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成 10na 的形式，其 中  1 10a ， n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小 数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时， n 是正整数；当原数的绝对值小于1时， n 是负整 数．据此解答即可． 【详解】解：长征三号乙运载火箭的载重高达11500千克，用科学记数法表示为 41.15 10 千克． 故选：A． 2．（2025·安徽淮北·二模）下列运算正确的是（ ） A． 24 5m m m  B． 2 1 1 2 4 2 m m m    C． 8 2 4m m m  D．  23 5m m 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是熟练掌 握相应的运算法则及其应用．根据运算法则，对每一个选项进行计算排除即可． 【详解】解：A、 4 5m m m  ，故选项计算错误，不符合题意； B、 2 1 1 2 4 2 m m m    ，故选项计算正确，符合题意； C、 8 2 6m m m  ，故选项计算错误，不符合题意； D、  23 6m m ，故选项计算错误，不符合题意； 故选：B． - 29 3．（2025·辽宁·一模）矩形相邻两边的长分别为 3 cm， 5 cm ，设其面积为 2cmS ，则S 的值（ ） A．在 1 和 2 之间 B．在 2 和 3 之间 C．在 3 和 4 之间 D．在 4 和 5 之间 【答案】C 【分析】本题考查了矩形，二次根式的乘法，无理数的估算等知识，先根据矩形面积公式和二次根式的乘 法法则求出 215 cmS  ，然后根据“夹逼法”求解即可． 【详解】解∶∵矩形相邻两边的长分别为 3 cm， 5 cm ， ∴其面积为 23 5 15 cmS    ， ∵ 9 15 16  ， ∴ 9 15 16  ，即3 15 4  ， ∴S 的值在 3 和 4 之间， 故选∶C． 4．（2025·宁夏银川·一模）分解因式： 24 36x   . 【答案】   4 3 3 x x 【分析】本题考查分解因式，涉及提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，根据多项式结构特征，先 提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案，综合运用提公因式法及公式法分解因式是解决问题的 关键． 【详解】解： 24 36x       24 9 4 3 3x x x    故答案为：   4 3 3 x x ． 5．（2025·湖北黄冈·一模）要使二次根式 8 n 在实数范围内有意义，则符合条件的正整数 n 的值可以 是 ．（写出一个即可） 【答案】5（答案为不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．根据二次根式的被开方数是非负 数求出的取值范围，写出一个符合题意的即可． 【详解】解： 8 n 有意义， 8 0,n   - 30 解得 8n  ， 即 n 的值可以是 5（答案为不唯一）． 故答案为：5（答案为不唯一）． 6．（2025·江苏苏州·一模）计算： (1)  02 50 1 3   (2) 1 1 5 3 20 3 cos30 2           【答案】(1)9 (2) 13 2 53 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘法法则和零指数幂的意义计算即可； （2）利用绝对值的性质、负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别运算，再合并即可 求解． 【详解】（1）解：原式 100 1  10 1  9 ； （2）解：原式 33 5 2 2 3 2 5      3 5 3 2 5   13 3 2 5  ． 7．（2025·重庆·二模）计算： (1)     22 2 2x y x y y x    ； (2) 2 2 4 16 2 2 2 x x x x x        ． 【答案】(1) 2 23 4 5x xy y  (2) 2 4 x x  【分析】本题考查了整式的运算和分式的混合运算，解题的关键是： （1）根据完全平方公式、多项式乘以多项式法则以及合并同类项法则计算即可； 目 录 考点一 数与式（10考点+思维导图） - 4 - 考点二 方程（组）与不等式（组）（5考点+思维导图） - 6 - 考点三 函数（16考点+思维导图） - 8 - 考点四 图形的性质（22考点+思维导图） - 11 - 考点五 图形的变化（8考点+思维导图） - 15 - 考点六 统计与概率（6考点+思维导图） - 17 - 易错失分点一 数与式（12个易错点） - 19 - 易错失分点二 方程与不等式（9个易错点） - 19 - 易错失分点三 函数（8个易错点） - 20 - 易错失分点四 图形的性质（25个易错点） - 20 - 易错失分点五 图形的变化（3个易错点） - 22 - 易错失分点六 统计与概率（8个易错点） - 22 - 快解秒招一 线、角、相交线与平行线（14大招）- 22 - 快解秒招二 三角形、四边形与圆（46大招） - 23 - 解密题型一 数与式 - 26 - 解密题型二 方程与不等式 - 32 - 解密题型三 解直角三角形 - 43 - 解密题型四 图形变化 - 59 - 解密题型五 相似三角形 - 71 - 解密题型六 特殊平行四边形 - 97 - 解密题型七 圆的综合 - 120 - 解密题型八 函数综合 - 146 - 重难点一 新定义类问题 - 178 - 重难点二 阅读理解类问题 - 196 - 重难点三 跨学科类问题 - 224 - 重难点四 现实热点问题 - 240 - 重难点五 动点问题 - 254 - 重难点六 最值问题 - 283 - 【热考模型1】一线三垂直模型 - 330 - 【热考模型2】费马点模型 - 347 - 【热考模型3】十字架模型 - 356 - 【热考模型4】角含半角模型 - 366 - 【热考模型5】手拉手模型 - 381 - 【热考模型6】对角互补模型 - 402 - - 412 - 考前准备1学生备考篇 考前准备2中考前一天需要做哪些准备 考前准备3解题策略心中过，从容应考稳发挥 - 412 - 考场解题篇 考场注意篇1遇到不会的题要怎么办 考场注意篇2如何克服丢失不该丢失的分 - 426 - 考后需要注意的事项 2025年中考数学模拟预测卷 - 428 - 2025年中考数学考前最后链接 - 458 - 2025年中考数学押题预测卷链接 - 458 - 2025年中考数学终极押题猜想链接 - 458 - 考点一 数与式（10考点+思维导图） 序号 考点自查 考查频率 命题形式 1 相反数和绝对值的概念和性质你记住了吗？ ★★ 选、填 2 你会用科学记数法表示较大/较小的数吗？ ★★★★ 选、填 3 二次根式、分式有意义的满足条件是什么？ ★ 选、填 4 实数非负性的三种形式是什么？ ★★★ 选、填 5 有理数和无理数的判断依据是什么？ ★ 选 6 实数混合运算的步骤是什么？ ★★★ 选、填、解 7 幂的混合运算法则是什么？ ★★ 选、填 8 整式/分式混合运算时注意什么？ ★★★ 选、填、解 9 因式分解的步骤？ ★★★ 选、填、解 10 乘法公式是否熟悉和完全平方公式的灵活应变？ ★★ 填、解 考点二 方程（组）与不等式（组）（5考点+思维导图） 序号 考点自查 考查频率 命题形式 1 等式、分式、不等式的性质是什么？ ★ 选、填 2 解分式方程的步骤和注意事项？ ★★ 填、解 3 解一元二次方程的方法（5种）？ ★★ 解 4 一元二次方程的判别式的意义？ ★★★ 选、填、解 5 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）？ ★★★ 选、填、解 考点三 函数（16考点+思维导图） 序号 考点自查 考查频率 命题形式 1 直角坐标系中各各象限内点坐标的特征？ ★★ 选、填 2 坐标轴上的点的特征掌握了吗？ ★★ 选、填 3 你能讲述两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征吗？ ★★ 选、填 4 你知道和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征吗？ ★★ 选、填 5 关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征是什么？ ★★ 选、填 6 你掌握坐标系中的距离公式及中点坐标公式了吗？ ★★★ 选、填、解 7 函数自变量的取值范围常考的几种类型知道吗？ ★★★ 选、填 8 如何区分一次函数、反比例函数及二次函数？ ★ 选 9 一次函数图像和性质？ ★★★ 选、填、解 10 一次函数、二次函数及反比例函数和特殊三角形、特殊平行四边形存在形问题，特殊角的存在性问题，相似三角形存在性问题等综合题都知道做题方法了吗？ ★★★★★ 解 11 反比例函数的图像的特征？ ★★ 选、填 12 反比例函数中k的几何意义？ ★★★ 选、填 13 二次函数的性质二次函数的对称轴，顶点坐标，增减性等？ ★★★ 选、填 14 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0）中a，b，c的含义？ ★★★ 选、填 15 求二次函数的最值时要考虑的问题？ ★★ 选、填 16 用待定系数法求函数解析式 ★★★★ 选、填、解 考点四 图形的性质（22考点+思维导图） 序号 考点自查 考查频率 命题形式 1 三角形的三边关系？ ★★★ 选、填 2 三角形的重要线段的性质和意义都清楚吗？ ★★★ 选、填、解 3 多边形的内角和公式和外角和？ ★★★ 选、填、解 4 多边形的对角线有关公式？ ★★ 选、填 5 多边形的截角问题的分类会吗？ ★ 选 6 角平分线的性质和垂直平分线的性质的运用？ ★★★ 选、填、解 7 全等三角形的的性质和判定方法？ ★★★★ 选、填、解 8 等腰三角形的性质是否熟悉，灵活运用？ ★★★ 选、填、解 9 等边三角形的性质和判定方法？ ★★★ 选、填、解 10 直角三角形的性质与判定方法？ ★★★ 选、填、解 11 平行四边形的性质和判定定理？ ★★★ 选、填、解 12 矩形的性质和判定定理？ ★★★ 选、填、解 13 菱形的性质和判定定理？ ★★★ 选、填、解 14 正方形的性质和判定定理？ ★★★ 选、填、解 15 是否掌握弧、弦、圆周角和圆心角之间的关系？ ★★ 选、填 16 垂径定理的模型构造，有关运算及常考的实际应用有哪些？ ★★★ 选、填 17 圆内接四边形的性质？ ★★ 选、填 18 圆内接正多边形的有关运算是否掌握？ ★ 选、填 19 点和直线与圆的位置关系是否会判断？ ★★ 选、填 20 是否掌握判定圆切线的方法？ ★★★★ 解 21 三角形的内切圆的有关于运算？切线长定理的巧用？ ★★ 选、填 22 弧长公式和扇形面积公式的有关运算？ ★★★ 选、填、解 考点五 图形的变化（8考点+思维导图） 序号 考点自查 考查频率 命题形式 1 初中阶段的5中尺规作图方法？作图的注意事项？ ★★★★ 选、解 2 平移﹑旋转﹑轴对称和中心对称的概念是什么？ 中心对称图形和轴对称图形的区分？ ★★★ 选 3 简述平移、轴对称、旋转的性质？ ★★★★ 选、填、解 4 比例线段的性质？黄金分割比？ ★★ 选、填 5 相似三角形的判定方法？ ★★★★ 选、填、解 6 对于“一线三等角”“手拉手模型”“对角互补模型”是否掌握？ ★★★★ 解 7 锐角三角形函数的特殊角的函数值是什么？ ★ 选、填 8 锐角三角函数常见的实际应用是否会解？ ★★★★ 解 考点六 统计与概率（6考点+思维导图） 序号 考点自查 考查频率 命题形式 1 众数﹑中位数和方差及平均数的运算及意义？ ★★ 选、填 2 求概率的方法，是否会运用“树状图”/“列表法”求概率？ ★★★★ 选、填、解 3 是否掌握运用频率估算概率方法？ ★★ 选、填 4 如何判断命题的真假？ ★ 选、填 5 如何区分总体、样本、样本容量、个体 ★★ 选、填 6 你能从统计图中获取相关信息吗？ ★★★ 选、填、解 易错失分点一 数与式（12个易错点） 易错点1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆，以及绝对值与数的分类．每年必考． 易错点2：化简绝对值时，没有判断绝对值符号中各个数或式子的正负； 易错点3：用科学记数法表示数时，容易把n的值算错. 易错点4：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误． 易错点5：平方根、算术平方根、立方根的区别，填空题必考． 易错点6：不能区分分式何时有意义，无意义或值为0． 易错点7：运用分式的基本性质时，要注意同乘（或除以）一个不等于0的整式 易错点8：分式运算时要注意运算法则和符号的变化．当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式．填空题必考． 易错点9：非负数的性质；几个非负数的和为0，每个式子都为0；整体代入法；完全平方式． 易错点10：计算第一题必考．五个基本数的计算：0指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简． 易错点11：科学记数法．精确度，有效数字． 易错点12：代入求值要使式子有意义．各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序． 易错失分点二 方程与不等式（9个易错点） 易错点1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件． 易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想．（消元降次）主要陷阱是消除了一个带x公因式要回头检验． 易错点3：运用不等式的性质3时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错． 易错点4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错． 易错点5：关于一元二次不等式根的判别式的使用前提是：二次项系数不为0且△≥0． 易错点6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错． 易错点7：分式方程增根产生的原因为最简公分母的值为0． 易错点8：不等式（组）的解的问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴． 易错点9：利用函数图像求不等式的解集和方程的解． 易错失分点三 函数（8个易错点） 易错点1：函数中各个待定系数表示的意义． 易错点2：熟练掌握各种函数解析式的求法，有几个的待定系数就要几个点值． 易错点3：利用图像求不等式的解集和方程（组）的解，利用图像性质确定增减性． 易错点4：两个变量利用函数模型解实际问题，注意区别方程、函数、不等式模型解决不等领域的问题． 易错点5：利用函数图像进行分类（平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形）以及分类的求解方法． 易错点6：与坐标轴交点坐标一定要会求．面积最大值的求解方法，距离之和的最小值的求解方法，距离之差最大值的求解方法． 易错点7：数形结合思想方法的运用，还应该注意结合图像性质解题．函数图像与图形结合学会从复杂图形分解为简单图形的方法，图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据． 易错点8：自变量的取值范围：二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0，0指数底数不为0，其它都是全体实数． 易错失分点四 图形的性质（25个易错点） 易错点1：三角形的概念以及三角形的角平分线、中线、高线的特征与区别． 易错点2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”．最短距离的方法． 易错点3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”． 易错点4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定．着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合．边边角两个三角形不一定全等． 易错点5：两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方． 易错点6：等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入． 易错点7：运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题． 易错点8：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法． 易错点9：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质． 易错点10：直角三角形判定方法；三角形面积的确定与底上的高（特别是钝角三角形）． 易错点11：三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值． 易错点12：平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用．三角形的稳定性与四边形不稳定性． 易错点13：平行四边形注意与三角形面积求法的区分．平行四边形与特殊平行四边形之间的转化关系． 易错点14：运用平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分．对角线将四边形分成面积相等的四部分． 易错点15：平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，突出转化思想的渗透． 易错点16：矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算．矩形与正方形的折叠．（23题必考） 易错点17：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，掌握其中的不变与旋转一些性质．（18题必考） 易错点18：梯形问题的主要做辅助线的方法． 易错点19：对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，两条弦之间的距离也要考虑两种情况．（选择题最后一题考） 易错点20：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题． 易错点21：对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法（两种方法）使用不熟练． 易错点22：考查圆与圆的位置关系时，相切有内切和外切两种情况，包括相交也存在两圆圆心在公共弦同侧和异侧两种情况，学生很容易忽视其中的一种情况．（25题分类讨论） 易错点23：与圆有关的位置关系把握好d与R和R+r，R-r之间的关系以及应用上述的方法求解； 易错点24：圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 易错点25：几个公式一定要牢记：三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆的面积公式，圆周长公式，弧长，扇形面积，圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转化关系． 易错失分点五 图形的变化（3个易错点） 易错点1：轴对称、轴对称图形，及中心对称，中心对称图形的概念和性质把握不准． 易错点2：图形的轴对称或旋转问题，要充分运用其性质解题，即运用图形的“不变性”，在轴对称和旋转中角的大小不变、线段的长短不变． 易错点3：将轴对称与全等混淆，关于直线对称与关于轴对称混淆． 易错失分点六 统计与概率（8个易错点） 易错点1：中位数、众数、平均数的有关概念理解不透彻，错求中位数、众数、平均数． 易错点2：在从统计图获取信息时，一定要先判断统计图的准确性．不规则的统计图往往使人产生错觉，得到不准确的信息． 易错点3：对普查与抽样调查的概念及它们的适用范围不清楚，造成错误． 易错点4：极差、方差的概念理解不清晰，从而不能正确求出一组数据的极差、方差． 易错点5：概率与频率的意义理解不清晰，不能正确的求出事件的概率． 易错点6：平均数、加权平均数、方差公式，扇形统计图的圆心角与频率之间的关系，频数、频率、总数之间的关系．加权平均数的权（部分省份不做要求）可以是数据、比分、百分数，还可以是概率（或者频率）． 易错点7：求概率的方法．（1）简单事件；（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（3）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率． 易错点8：判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合． 快解妙招一 线、角、相交线、平行线（14大招） 大招1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出条 大招2.平面上的n条直线最多可把平面分成个部分. 大招3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为条. 大招4.线段(或延长线)上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 大招5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有 大招6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n(n-1)个. 大招7.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n(n-1)对对顶角. 大招8.平面上若有n(n≥3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出个. 大招9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°. 大招10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为 大招11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 大招12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直. 大招13.已知AB∥CD，则 图示 结论 ∠ABC+∠BCD+∠CDE=360° ∠BCD=∠ABC+∠CDE ∠BCD=∠CDE-∠ABC 大招14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半. 快解妙招二 三角形、四边形与圆（46大招） 大招1.在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 大招2.三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半. 大招3.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90°加上第三个内角的一半. 大招4.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90°减去第三个内角的一半. 大招5.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差(的绝对值)的一半. 大招6.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 大招7.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 大招8.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 大招9.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 大招10.截长补短作辅助线的方法：1）截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 2）补短法：延长较短线段和较长线段相等. 大招11.证明两条线段相等的步骤： ①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 ②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等. ③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形. 大招12.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角(等角)的余角相等来证明两个角相等. 大招13.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 大招14.条件不足时延长已知边构造三角形. 大招15.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 大招16.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”. 大招17.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形. 大招18.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件. 大招19.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题. 大招20.有等腰三角形时常用的辅助线： 1)作顶角的平分线，底边中线，底边高线；2)有底边中点时，常作底边中线； 3)将腰延长一倍，构造直角三角形解题；4)常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线. 5)常过一腰上的某一已知点做底的平行线. 6)常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形---等边三角形. 大招21.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来. 大招22.有垂直时常构造垂直平分线。 大招23.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题. 大招24.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半. 大招25.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差。 大招26.有平行线时常作平行线构造平行四边形 大招27.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 大招28.平行四边形一边(或这边所在的直线)上的任意一点与对边的两个端点 的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半. 大招29.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等. 大招30.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形. 大招31.当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形. (1)有特殊角时，如有30°、45°、60°、120°、135°角时. (2)涉及有关锐角三角函数值时，构造直角三角形经常通过作垂线来实现. 大招32.等腰直角三角形斜边的长等于直角边的√2倍. 大招33.在含有30°角的直角三角形中，60°角所对的直角边是30°角所对的直角边的√3倍.(即30°角所对的直角边是几，另一条直角边就是几倍√3. 大招34. 有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度. 大招35.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 大招36.有弧中点(或证明是弧中点)时，常有以下几种引辅助线的方法： (1)连结过弧中点的半径；(2)连结等弧所对的弦；(3)连结等弧所对的圆心角. 大招37.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 大招38.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角。 大招39.有等弧时常作辅助线有以下几种：(1)作等弧所对的弦；(2)作等弧所对的圆心角；(3)作等弧所对的圆周角. 大招40.有弦中点时，常构造三角形中位线. 大招41.圆上有四点时，常构造圆内接四边形. 大招42.遇到弦时，常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点．（作用:①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角.） 大招43.遇到有切线时常常添加过切点的半径(连结圆心和切点) 大招44.遇到证明某一直线是圆的切线时： 1. 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径． 2. 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心(即作半径)，再证其与直线垂直． 大招45.遇到两相交切线时(切线长)，常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点． 大招46.遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线 解密题型一 数与式 【考情分析】数与式的考查在中考中占据着举足轻重的地位，其题型多样，包括选择题、填空题以及计算题，几乎覆盖了所有中考数学试卷。从内容上看，主要集中在对有理数、实数、整式、分式、根式及其运算的全面考察。有理数的运算、正负数的概念、科学记数法的应用、分式的化简与计算、幂的运算规则以及根式的性质与运算，都是高频考点。特别是在科学记数法上，题目往往结合最新的科技进展或社会热点数据，如航天成就中的距离数据，考查学生对大数字处理的能力。此外，数与式的题目还常涉及新定义运算，这类题目要求学生具备快速理解并应用新知识的能力，体现了对学生逻辑思维与创新能力的重视。 值得注意的是，数与式的题目在难度设置上较为均衡，既有基础知识的直接应用，也有需要深入分析与综合应用的题目。选择题与填空题往往侧重于基础知识的考查，而计算题则更加注重学生的运算能力与解题步骤的规范性。 【满分技巧】 一、实数及其运算的满分技巧 1. 牢记基本概念：数轴、相反数、绝对值、倒数等，特别注意0的特殊性。 2. 运算规则：有理数加法、减法、乘法、除法及乘方运算需熟练掌握，尤其是符号的处理。 3. 科学记数法：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。确定a和n的方法是关键，需多练习。 二、整式与因式分解的满分技巧 1. 整式运算：掌握加减乘除及乘方运算，注意同类项的合并及去括号法则。 2. 因式分解：常用方法有提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法等。需通过大量练习提高熟练度。 三、分式的满分技巧 1. 分式化简：利用因式分解将分子分母化简，再约分。 2. 分式运算：掌握分式加减乘除的运算法则，特别是通分和约分的应用。 四、二次根式的满分技巧 1. 理解二次根式的概念和性质，特别是最简二次根式的条件。 2. 掌握二次根式的加减乘除运算，注意化简和有理化分母。 五、化简求值 1. 理解并熟练掌握分式的基本运算法则至关重要。分式的加减乘除是化简求值的基础，牢记“先乘除，后加减”的运算顺序，确保每一步运算的正确性。在分式相加减时，关键是找到最简公分母进行通分；分式相乘除时，则需将分子分母分别相乘或颠倒除式后再相乘，最后约分化简为最简分式或整式。 2. 因式分解是化简求值中常用的重要工具。无论是分子还是分母，若为多项式，应首先考虑因式分解。常用的因式分解方法包括提公因式法和公式法，如平方差公式和完全平方公式。通过因式分解，可以有效地约简分式，使计算变得更加简便。 3. 代入求值时要保证分式的有意义性。在代入具体数值之前，务必检查化简后的分式是否有意义，即分母不为零。若题目中给定字母的取值范围或条件，需先确定该值是否使分式有意义，再进行代入计算。此外，有时题目会要求从几个给定数值中选择合适的数值代入，此时应逐一检查每个数值是否符合要求。 5. 整体代入法是化简求值中一种高效的方法。当直接代入字母的值较为复杂时，可以考虑将已知条件变形，整体代入化简后的表达式中。这种方法需要敏锐的观察力和灵活的思维，通过适当的变形，使计算过程更加简洁明了。 6. 规范解题步骤和书写格式。中考注重过程评价，清晰的解题步骤和规范的书写不仅能帮助自己在检查过程中快速定位错误，还能给阅卷老师留下良好的印象，避免不必要的失分。在答题时，应按照“原式=化简过程=代入计算=最终结果”的步骤书写，每一步都要详细明了。 六、应对中考的策略 1. 仔细审题：数与式的题目往往因一字之差而解法迥异，务必仔细审题，理解题意。 2. 规范答题：步骤清晰，书写工整，避免因书写不规范而丢分。 3. 检查复核：完成题目后，务必检查计算过程和结果，避免低级错误。 4. 压轴题应对：中考压轴题往往涉及数与式的综合应用，需具备良好的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想。平时多练习此类题目，提高解题能力。 通过以上技巧的掌握和运用，结合大量的练习和总结，考生完全可以在中考数与式部分取得满分。关键在于对基本概念和运算规则的熟练掌握，以及对各种题型的深入理解和灵活应用。 【2025年中考模拟预测】 1．（2025·海南三亚·一模）2025年1月7日，长征三号乙运载火箭成功将实践二十五号卫星发射升空，标志着2025年中国航天发射任务的“开门红”．该火箭主要用于发射高轨航天器，并计划在2025年保持高密度发射，完成小行星探测等十几次重大任务．长征三号乙运载火箭的载重高达千克，用科学记数法表示为（    ）千克． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：长征三号乙运载火箭的载重高达千克，用科学记数法表示为千克． 故选：A． 2．（2025·安徽淮北·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则及其应用．根据运算法则，对每一个选项进行计算排除即可． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算正确，符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·辽宁·一模）矩形相邻两边的长分别为，，设其面积为，则的值（   ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查了矩形，二次根式的乘法，无理数的估算等知识，先根据矩形面积公式和二次根式的乘法法则求出，然后根据“夹逼法”求解即可． 【详解】解∶∵矩形相邻两边的长分别为，， ∴其面积为， ∵， ∴，即， ∴的值在3和4之间， 故选∶C． 4．（2025·宁夏银川·一模）分解因式： . 【答案】 【分析】本题考查分解因式，涉及提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，根据多项式结构特征，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案，综合运用提公因式法及公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 5．（2025·湖北黄冈·一模）要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案为不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，写出一个符合题意的即可． 【详解】解：有意义， 解得， 即的值可以是5（答案为不唯一）． 故答案为：（答案为不唯一）． 6．（2025·江苏苏州·一模）计算： (1) (2) 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘法法则和零指数幂的意义计算即可； （2）利用绝对值的性质、负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别运算，再合并即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（2025·重庆·二模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算和分式的混合运算，解题的关键是： （1）根据完全平方公式、多项式乘以多项式法则以及合并同类项法则计算即可； （2）先通分再化简． 【详解】（1）原式 （2）原式． 8．（2025·江苏苏州·一模）化简：，并从，1，2中任取一个数作为a的值，求代数式的值． 【答案】，3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， 由题意得，，， 则，， ， 当时，原式． 9．（2025·广东深圳·一模）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】（1）B；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解； 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B （2）由已知可得，则， ∴，即， ∵， ∴ 解密题型二 方程与不等式 【考情分析】方程与不等式部分主要包括一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程以及一元一次不等式（组）。其中，一元一次方程和二元一次方程组的解法和应用几乎是每年必考内容，而一元二次方程的求解和不等式（组）的应用也是高频考点。具体来看，方程与方程组的分值约占中考数学总分值的25%，不等式与不等式组的分值则稳定在5%至8%之间。 1. 选择题与填空题：这类题型主要考查基础知识和简单计算能力。一元一次方程的解法、不等式的基本性质以及简单的方程与不等式应用常以选择题或填空题形式出现。例如，通过数轴表示不等式的解集，或判断方程实数根的个数。 2. 解答题：解答题则更侧重于考查学生的逻辑思维和应用能力。二元一次方程组的实际应用题，如方案设计、行程问题、商品销售等，常以解答题形式出现。一元二次方程的求解，尤其是根的判别式的应用，也是解答题的常见内容。此外，列不等式（组）解决实际问题，如资源分配、成本控制等，同样受到命题者的青睐。 【命题趋势】近年来，中考方程与不等式的命题趋势显示出以下几个特点： 1. 实际应用题的比重增加：题目越来越注重将数学知识与实际生活相结合，考查学生运用方程与不等式解决实际问题的能力。例如，通过设计用水计划、货物运输方案等情境，考查学生建立数学模型的能力。 2. 综合能力的考查：题目不再单一考查某个知识点，而是将多个知识点融合在一起，考查学生的综合分析和解决问题的能力。例如，结合几何知识，利用方程求解几何图形的面积或角度。 3. 思维能力的考查：除了基础计算，题目更加重视考查学生的逻辑推理和创造性思维。例如，通过不等式的性质，进行推理判断，或通过方程组的解，分析变量的取值范围。 【满分技巧】在备战中考数学的征程中，方程与不等式无疑是考试中的重头戏。掌握其核心技巧不仅能帮助同学们在这部分拿到满分，还能提升整体的数学思维能力。以下是针对中考方程与不等式的满分技巧，希望能为大家的复习提供有效的指导。 一、基础概念要夯实 无论是方程还是不等式，基本概念的理解和掌握是解题的前提。要确保对一元一次方程、一元二次方程、分式方程以及各类不等式的概念、性质和基本解法了如指掌。只有基础扎实，才能在复杂的题目中灵活运用。 二、解方程的技巧 1. 一元一次方程：这类方程较为简单，但要注意移项、合并同类项等基本操作的正确性。特别要注意等式两边同除以一个数时，这个数不能为零。 2. 一元二次方程：解这类方程时，可运用配方法、公式法或因式分解法。熟练掌握这些方法，能快速准确地求解。此外，二次方程的判别式（Δ=b²-4ac）决定了方程的实数根的个数，要牢记其应用。 3. 分式方程：解分式方程的关键在于去分母，将其转化为整式方程。但要注意检验所得的解是否为增根（即使分母为零的根）。 三、解不等式的技巧 1. 一元一次不等式：与解一元一次方程类似，但要注意当不等式两边同乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。 2. 一元二次不等式：解二次不等式时，可先求出对应二次方程的根，然后根据根的情况确定不等式的解集。图像法（数形结合）也是一个有效的解题工具，通过画出二次函数的图像，能直观地得到不等式的解集。 四、方程与不等式的关系应用 方程与不等式有着密切的联系，这种关系在解题中常常被利用。例如，求参数的取值范围时，可以将不等式问题转化为方程问题，通过找到“边界”来确定取值范围。此外，分类讨论题中也常利用方程与不等式的关系，结合数轴进行分析，确保分类不遗漏、不重复。 五、实际应用题的解题步骤 列方程（组）或不等式解应用题是中考的常见题型。其一般步骤为： 1. 审题：仔细阅读题目，理解题意，找出已知条件和未知量。 2. 设元：设未知数，并用字母表示。 3. 列方程（组）或不等式：根据题目中的等量关系或不等关系，列出方程（组）或不等式。 4. 求解：解所列的方程（组）或不等式。 5. 检验作答：检验所得的解是否符合实际意义，并给出最终答案。 【2025年中考模拟预测】 1．（2025·四川广安·二模）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，然后分别表示行驶的时间，最后由“乙同学比甲同学提前到达活动地点”建立方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为： 由题意得：， 故选：A． 2．（2025·西藏拉萨·一模）关于的方程在实数范围内有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解、一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．分两种情况：①和②，根据一元一次方程的解、以及一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：①当，即时， 方程为，解得，在实数范围内有实数根，符合题意； ②当，即时， ∵关于的方程在实数范围内有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得； 综上，的取值范围是， 故选：A． 3．（2025·山东·模拟预测）关于的方程的一个根为0，则实数的值是（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程，方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，根据方程解的定义得到，再解关于a的方程，即可确定a的值． 【详解】解：把代入方程中， 得， 解得， 当时，原方程为，则是方程的根，符合题意； 故选：D． 4．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 5．（2025·四川成都·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解及代数式求值．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再将变形为，最后整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∵ ． 故答案为：． 6．（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得，得：且， ∵关于的方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故答案是：且． 7．（2025·广东深圳·二模）已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ． 【答案】13或/13或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是分类讨论． 解一元二次方程，分类讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解： 解得， 当为的两直角边时，第三条边长为； 当为的一条直角边和一条斜边时，第三条边长为； 故答案为：13或． 8．（2025·宁夏吴忠·一模）关于的不等式组的解是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到关于m的不等式，解之即可得到答案． 【详解】解； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解是， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【答案】(1) (2)A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元 (3)该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）根据第一周和第二周的销售额建立方程组求解即可； （2）设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元，根据用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等建立方程求解即可； （3）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，分别求出售出A型车和B型车的销售额，二者求和可得w关于x的函数关系式，再列不等式求出m的取值范围，进而根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元， 根据题意得， 解得： 经检验是原分式方程的解． （元） 答：A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元． （3）解：设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元， 由题意得：， 由，解得， 取整数，，10，11，12， ∵随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时（元）． 答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元． 10．（2025·四川达州·一模）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根及的值． 【答案】(1) (2)当时，另一个根为；当时，另一个根为5 【分析】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的解、根的判别式． （1）根据方程有两个实数根，则，求解即可． （2）把代入，得出关于m的方程求解即可求出m值，再把m值代入方程，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：把代入，得， 解得：或， 分以下两种情况： 当时，方程为， 解得或， 此时另一个根为； 当时，方程为， 解得或， 此时另一个根为5； 综上所述，当时，另一个根为；当时，另一个根为5． 11．（2025·山东青岛·一模）（1）求不等式组的整数解． （2）用配方法解方程：． （3）已知二次函数的图象与轴有交点，求的取值范围． 【答案】（1），，，0，1，2；（2），；（3）且． 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解、因式分解法解一元二次方程、抛物线与x轴的交点、根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）首先分别计算出两个不等式组的解集，再求得公共解，然后找出符合条件整数解即可． （2）先将方程化成一般式，然后利用十字相乘法求解即可； （3）根据二次函数定义二次项系数非0，与x轴有交点，据此列不等式求解即可． 【详解】解：（1）， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为， 故整数解是，，，0，1，2． （2）， ， ， ∴或， ，． （3）依题意得：，解得：， ， 解得且． 12．（2025·四川南充·模拟预测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为0或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，结合题意可列出关于k的等式，解出k即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意得， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∴的值为0或． 13．（2025·广西南宁·一模）某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等． (1)求每套A型储能锂电池系统的进价； (2)该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？ 【答案】(1)每套A型系统进价为1万元 (2)该公司购买A型系统最少5套 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解决本题的关键． （1）设每套A型系统进价为万元，列出分式方程，解方程即可； （2）设该公司决定购买A型系统套，则B型系统购买套，根据总费用不超过20万元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A型系统进价为万元， 则每套B型系统进价为万元． 依题意，得，解得， 检验：把代入， 所以是原分式方程的解． 答：每套A型系统进价为1万元． （2）解：每套B型系统进价为（万元）， 设该公司决定购买A型系统套，则B型系统购买套． ，解得． 所以的最小整数解为5． 答：该公司购买A型系统最少5套． 解密题型三 解直角三角形 【考情分析】中考对解直角三角形的考查主要集中在以下几个方面： 1. 三角函数的应用：包括正弦、余弦、正切等三角函数的概念及其在解直角三角形中的具体应用。学生需熟练掌握特殊角的三角函数值，并能灵活运用这些值进行线段长度、角度等的求解。 2. 实际应用问题：此类题目往往结合生活实际，如测量高度、距离、角度等，要求学生将实际问题转化为数学模型，通过解直角三角形来求解。常见的题型包括仰角、俯角问题，坡度、坡角问题，以及方向角问题等。 3. 与其他几何知识的综合：解直角三角形常与三角形、四边形、圆等几何知识相结合，形成综合性较强的题目，考查学生的综合运用能力。 【命题趋势】近年来，中考解直角三角形的命题趋势呈现出以下特点： 1. 注重基础与细节：题目在考查基础知识的同时，更加注重学生对细节的把握，如单位的换算、计算过程的准确性等。 2. 强调实际应用：越来越多的题目将解直角三角形的知识与实际生活相结合，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。 3. 题型创新：为了考查学生的创新思维和综合运用能力，命题者在题型设计上不断创新，如引入新的背景、设置多步骤求解等。 【解题方法】 1. 求三角函数的值： （1）当已知直角三角形中一个锐角的三角函数值求其余角的三角函数值时，一般通过设参数求解也可以在草纸上画出图形，结合图形计算. （2）在网格中求锐角的三角函数值时，一般根据网格的特点，先找出(或构造出)包含该锐角的直角三角形，然后利用勾股定理计算出所需直角三角形的边长，最后根据定义求解. （3）当所求角所在直角三角形的边长不确定或所求角位于非直角三角形中时，可通过几何图形的性质(全等或相似或圆周角定理及其推论等)进行等角代换，通过求等角的三角函数值得到所求角的三角函数值. （4）有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. （5）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 2. 解直角三角形实际应用的解题方法： 1）实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长. 2）利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数. 3）方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，需要添加辅助线.在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程(组)来求解. 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 【满分技巧】 模型一：“背对背”型 常见图示(基础) 关系式 “背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高． 求BC的长：BC＝BD＋CD ⇒BC 求BC的长：BC＝BE＋EF＋FC ⇒BC 【模型分析】若三角形内角（或外角）中有已知角，通过作三角形内的高，构造出两个直角三角形，利用三角函数分别表示出相关线段的长度，计算求解． 常见图示（变式(“面对面”)型） 关系式 求AB的长： Rt△BCD⇒BC⇒Rt△ABC⇒AB 求BE的长： BE＝BC＋EF－FC ⇒BE 【模型分析】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题关键。等量关系：在和中，BC为公共边，BC=BC。 模型二：“母子”型 常见图示（变式） 关系式 常见图示（基础型） 关系式 求BD的长： BD＝CD－BC ⇒BD 求AB的长： AB＝AD－BD ⇒AB 求AB的长： AB＝BE＋AE ⇒AB 求AE的长： AE＝AC－CE ⇒AE 【2025年中考模拟预测】 1．（2025·四川广安·二模）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算及旋转的性质．先用扇形的面积减去的面积，再用扇形的面积减去上面的计算结果即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴． 在中，，， ∴，， ∴， ∵， ， 故选：D． 2．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识．先求出，，过点D作交延长线于点E，证明，得到，设,则，，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：∵在中，，， ，； 过点D作交延长线于点E， ，， ， ， ， 设, 则，， ∵， 即， 解得， 即的长为， 故选B． 3．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知在中，，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，点G为的中点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，添加辅助线构造直角三角形，是解决问题的关键． 由题意可知，，过点作，交于，则，，过点作，交于，则，可知，得，则，设，，得，，，则，可得，再根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 过点作，交于，则，， 过点作，交于，则， ∴， ∴，则， ∵，则设，， ∴，，， 则， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·湖北武汉·三模）如图是水槽水龙头的侧面图，矩形为水槽侧面，宽，深，排水口位于的中点．在水槽边正上方安装水管，水龙头．按水龙头安装要求，水流需直接对准排水口确保水快速排入管道．测得，，则安装的水管的长为 ．（精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质；过点A作于H，过点B作于，证明四边形是矩形，得到，，再求出的度数，进而求出的度数，解得到的长，进而求出的长，再解求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于H，过点B作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 在中，， ， ∴； ∵，排水口位于的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴安装的水管的长为， 故答案为：． 5．（2025·山西运城·二模）在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道．我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白．如图为“海巡08”轮某次海道测量示意图，其吃水深度米，测得海底山丘C与E两点到船底探测器的声音往返所用时间分别为秒和秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度，，，，点B、C、D三点在一条直线上．（图中点A，M，B，C，D，E在同一平面内，参考数据：，，结果精确到1米）    (1)本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？ (2)试求海底山丘CE的坡度是多少？ 【答案】(1)海平面距离海底的深度是米； (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解坡度概念是关键． （1）先求解，结合，再进一步可得答案； （2）如图，过作于，连接，结合题意可得：，，求解，结合，进一步求解，，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴（米）； ∴海平面距离海底的深度是米； （2）解：如图，过作于，连接，结合题意可得： ，， ∵，，    ∴，， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴海底山丘CE的坡度是． 6．（2025·宁夏固原·二模）如图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．打开后备厢如图，车后盖落在处，与水平面的夹角． (1)求打开后备用后，车后盖最高点到地面的高度． (2)若小明爸爸的身高为米，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 【答案】(1) (2)没有碰头的危险，理由见解析 【分析】（）过点作于，根据正弦的定义求出即可得到答案； （）过点作于点，求出，根据余弦的定义求出，进而求出点到地面的距离，比较大小即可； 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于， 在中，，， ∵， ∴， ∴点到地面的距离为， 答：车后盖最高点到地面的距离为； （2）解：没有碰头的危险，理由如下： 如图，过点作于点， 在中，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到地面的距离为， ∴， ∴没有碰头的危险． 7．（2025·安徽淮南·二模）如图，小明家在公寓楼中，小区中新修了高为的活动中心楼，小明测得公寓楼与活动中心楼的距离为，站在点A处测得活动中心楼的顶端D的仰角为，公寓楼的顶端B的仰角为，小明的观测点N距地面．求公寓楼的高度（精确到）． 参考数据：，，，，， 【答案】公寓楼的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．过点作于点，于点．则，，，，，在中，在中，解直角三角形得，由可得出答案． 【详解】解：过点作于点，于点． 则，，，， ∵， ∴， 在中，， 则， 在中，， ∴， ∴公寓楼的高度约为． 8．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，某渔船向正东方向以海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，小时后渔船到达处，测得小岛在北偏东方向，已知小岛周围海里范围内有暗礁．（参考数据：，结果保留整数） (1)求处与小岛之间的距离； (2)渔船在处改变航行线路，沿南偏东方向继续航行，通过计算说明渔船途中是否有触礁的危险？ 【答案】(1)处与小岛之间的距离约为海里； (2)渔船途中有触礁的危险，理由见解析． 【分析】本题主要考查了解直角三角形．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出线段的长度． 过点作，交的延长线于点，设海里，利用锐角三角函数可得：，解方程可得：，根据可求处与小岛之间的距离； 过点作于点，利用锐角三角函数求出的长度，根据的长度与海里之间的大小关系判断即可． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， 由题意得，，，海里， 设海里， 在中，， 海里，海里， 海里， 在中，， 解得：， （海里）， 处与小岛之间的距离约为海里； （2）解：如下图所示，过点作于点， 由题意得，， 在中，， 海里 ， ， 渔船途中有触礁的危险． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）在阳光明媚的一天，某“综合实践”小组开展了测量物体高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．如图，高楼的旁边有一座小山丘．某一时刻，高楼AB的影子顶端恰好落在小山丘的山顶处，测得高楼落在平地上的影长米．落在斜坡上的影长米，坡角为（即），小山丘的高为，它的背坡的坡度．在小山丘的山顶处有一棵高为4米的小树，此时，小树的顶端的影子恰好落在地面处，并测得米．已知，点B，C，E，F，H在同一条直线上，点G，D，E也在同一条直线上，求楼的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】楼的高度为米． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，过点作于点，求出，证明四边形为矩形，得到，再证明，得到，即，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由题意知， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：楼的高度为米． 10．（2025·重庆·一模）如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在A点登船，沿水路游览沿途风光：路线二：先坐观光车从A至B，沿途游览，再在B点登船，沿水路游览沿途美景，已知点C在点A的东北方向，点C在点B的北偏东方向，点B在点D的南偏西方向，点D在点C的南偏东方向，相距20千米．（参考数据：，，） (1)求的距离（结果保留根号）； (2)小聪和小明同时从点A出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为20千米/小时，观光车的速度为15千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，说明理由．（结果精确到） 【答案】(1)千米 (2)小明先到达点 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． （1）过点作，交延长线于点，先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据计算即可得； （2）过点作，交延长线于点，交于点，过点作于点，先根据平行线的性质、三角形的内角和定理可得，再在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得，的长，然后根据两条路线的长度和速度计算时间，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， 由题意得：，，千米， 在中，千米，千米， 在中，千米， 则千米， 答：的距离为千米． （2）解：如图，过点作，交延长线于点，交于点，过点作于点， 由题意得：，，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，千米，千米， 在中，千米，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴小聪选择路线一所需时间为（小时）， 小明选择路线二所需时间为（小时）， 因为， 所以小明先到达点． 解密题型四 图形变化 【考情分析】中考数学中的图形变化问题，主要包括旋转、翻折和平移三种基本形式，是中考数学中的重要考点之一。这类题目不仅考查学生的基础几何知识，还着重检测学生的空间想象能力、动手操作能力以及问题解决能力。图形变化问题常以选择题、填空题和操作题的形式出现。选择题和填空题主要考查学生对基本概念、性质和简单应用的理解，而操作题则更侧重于考查学生的实际操作能力和解题过程的逻辑性。命题形式灵活多变，往往结合具体情境，考查学生在复杂图形中识别和应用基本变换的能力。 【考查知识点】近年来，中考图形变化问题的命题趋势愈加注重考查学生的综合应用能力和创新思维。题目往往不再局限于单一变换，而是将旋转、翻折、平移等多种变换形式结合，考查学生在复杂情境下的应变能力和解题策略。此外，题目常融入实际生活背景，增加问题的趣味性和应用性，同时也提高了题目的难度。 1. 旋转：主要考查旋转中心、旋转方向和旋转角度的确定，以及旋转前后图形的对应关系。题目常涉及旋转后的图形位置、角度计算和全等关系的判定。 2. 翻折：重点考查轴对称图形的性质和翻折后图形的全等关系。常要求学生利用翻折前后的不变要素，如对称轴、对应点的位置关系等，解决角度、长度计算问题。 3. 平移：主要考查平移的方向和距离，以及平移后图形的位置关系。题目往往涉及平移前后图形的全等性、对应点的坐标变化和平移过程中图形所覆盖的面积计算。 【解题方法】为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关的问题，下面以近几年中考题为例说明其解法，供大家参考。 1.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离。 2.平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等。 3.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角． 4.旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角 5.翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180°后所形成的新的图形的变化。 6.翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。 【满分技巧】 1.图形的平移变换：图形的平移变换也是近年来中考中的常考点，平移后得两图形全等，找出对应边、对应角。 2.图形的翻折变换：图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形结合。翻折变换的实质是对称，翻折部分得两图形全等，找出对应边、对应角；再结合勾股定理、相似的性质和判定解题。 3.图形的旋转变换：几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形结合。解决旋转变换问题。首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后对应的两个图形全等来解题。 【2025年中考模拟预测】 1．（2025·陕西咸阳·二模）如图，将沿向右平移得到，与交于点G，且点D是的中点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要查了解直角三角形，平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形，平移的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 在中，根据锐角三角函数可得，再由平移的性质可得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 由平移的性质得：， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴． 故选：B 2．（2025·陕西汉中·一模）在平面直角坐标系中，直线关于y轴对称的直线为，则直线、直线与x轴围成的三角形面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查求直线与坐标轴围成的三角形的面积，先求出直线与轴、轴的交点坐标，再求出关于轴对称的交点坐标，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得， 当时，， ∴直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， ∴直线与轴的交点关于y轴对称的坐标为，直线过点， ∴直线、直线与x轴围成的三角形面积为， 故选：C． 3．（2025·广东江门·一模）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 4．（2025·辽宁·一模）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 轴对称的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质逐项排除即可． 【详解】解：、∵， ∴， 由对称得， ∵，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴，结论正确，故不符合题意； 、不一定等于结论错误，故符合题意； 、由对称得：， ∴，， ∵，分别是底边，的中点， ∴，， ∴， ∴，结论正确,故不符合题意； 、如图，过点作， ∴， ∵， ∴， 由对称得， ∴， 同理可证，， ∴，结论正确，故不符合题意， 故选：． 5．（2025·河南洛阳·一模）如图，在中，直径是圆上一点，将弧BC沿BC折叠，折叠后的弧恰好经过点，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长的计算，折叠问题，关键是求出，证明． 作半径于N，由折叠的性质得到，得到，由，求出，得到，由弧长公式求出的长，即可求出阴影的周长． 【详解】解：作半径于N， 由折叠的性质得到，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影的周长==． 故选A． 6．（2025·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线的中点O在坐标原点上，，，轴，将菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，点D的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 过点B作轴于点E，证得是等边三角形，得到， ，由是对角线的中点，得到，根据，得到，勾股定理求出，得到，根据旋转的规律得第秒旋转结束时，菱形旋转了，一周是，旋转了周半，此时点D到达了点B的初始位置，即可得到点D的对应点的坐标是． 【详解】解∶如图所示，过点B作轴于点E， 四边形是菱形， ． ， 是等边三角形． ，． 是对角线的中点， ． 轴， ． 轴， ． ． ． ． 菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转， 第秒旋转结束时，菱形旋转了． ， 旋转了周半，此时点D到达了点B的初始位置． 点D的对应点的坐标是． 故选∶C． 7．（2025·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，，，连接，E、M分别在边、上，交于点F，交于点N，若点B关于的对称点与点D关于的对称点重合于点O处，则的长为 ． 【答案】4 【分析】连接、、、，记与的交点为P，与的交点为H，如图，易得与均为等边三角形，和分别为和的高，，设，，则，，即，则，进而可得． 【详解】解：连接、、、，记与的交点为P，与的交点为H，连接交于，如图， 在菱形中，，则，， 则，，， ∵， ∴，则为等边三角形， ∵点，点关于的对称，， ∴为等边三角形，同理均为等边三角形，， ∴， 设，， 则，同理， 即，则， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，轴对称的性质，勾股定理等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为a，，根据折叠的性质得出，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a， ∴， ∵折叠， ∴， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴ ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 9．（2025·安徽淮南·二模）在由若干个小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（格点是网格线的交点）． (1)画出关于轴对称的； (2)将向下平移个单位长度得到，画出； (3)已知内有一点，则经过上述两种图形变换后的对应点的坐标是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图平移变换、作图轴对称变换，熟练掌握关于坐标轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据关于坐标轴对称的性质找到对应点作图，即可得出答案； （2）根据平移的性质找到对应点作图，即可得出答案； （3）利用关于轴对称即横坐标变为相反数，纵坐标不变，向下平移个单位长度即纵坐标减，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）的坐标为， 故答案为：． 10．（2025·山东聊城·一模）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，准备直角三角形纸片，，，， 第二步，D是上一点，沿折叠，点C的对应点是点． 根据以上操作，甲、乙两名同学各自做出了如下图所示的两个图形，并共同进行了探究，请你根据两位同学折出的图形解决下列问题． (1)如图1，若点C恰好落在上，求的长度． (2)如图2，若点D是边的中点，沿着中线折叠，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设，根据折叠的性质可知：，，即，再在运用勾股定理可得，即，然后在中运用勾股定理列方程求解即可； （2）如图：过点D作，则，由已知条件可得以及勾股定理可得，然后证明可得，然后运用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：设， 根据折叠的性质可知：，， ． 在中，，， ， ． 在中，， ∴，， 的长度为． （2）解：如图：过点D作，则， 为中线， ． 在中，， ∵点D是边的中点，沿着中线折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ，即，解得：． 为等腰三角形， ，． 解密题型五 相似三角形 【考情分析】相似三角形问题在中考中占据重要地位，常以综合题形式出现，尤其在压轴题中频繁涉及。这类题目不仅测试学生对基本概念和定理的理解，还着重考查其逻辑推理和问题解决能力。考查重点主要包括相似三角形的判定定理和性质定理，其中判定定理涵盖平行线判定法、两角相等法、三边成比例法及两边成比例且夹角相等法。此外，直角三角形相似的特殊判定方法也是高频考点。从题型分布来看，相似三角形题目多样，既有直接考查判定条件的选择题和填空题，也有需要结合其他知识点（如二次函数、几何图形等）进行综合解答的简答题。值得注意的是，与二次函数结合的相似三角形问题近年来成为中考热门考点，这类题目通常难度较大，对学生的数学思维和解题技巧提出较高要求。此外，动点产生的相似三角形问题也是常见题型，它要求学生具备动态思维和数形结合的能力。学生在应对相似三角形问题时常见的难点主要集中在两个方面：一是在复杂图形中识别相似三角形，这需要学生具备较强的图形观察能力和空间想象力；二是利用相似三角形解决实际问题，这要求学生能够将理论知识灵活应用于具体情境中。此外，部分学生在解题过程中存在逻辑不严密、推理步骤跳跃等问题，导致失分。 【满分技巧】 一、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决 二、相似三角形的判定方法： 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 三边成比例的两个三角形相似 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 4 两角分别相等的两个三角形相似 解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； 5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 【常见模型】 【2025年中考模拟预测】 1．（2025·江苏淮安·一模）如图，菱形是一块绿化带，，．其中阴影部分是正方形的花圃，且点E、F、G、H在菱形的四条边上．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出菱形的面积，再求出正方形的面积，小鸟落在花圃上的概率是．再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ 设、相交于点O，与相交于点P，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵菱形的对角线互相平分， ∴，， 设正方形的边长为，则，， ∴， 解得：， ∴， ∴小鸟落在花圃上的概率． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，几何概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（   ） ①点坐标为；②直线的表达式为；③；④点的横坐标为，其中说法正确的为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，利用正方形的性质求出点和的坐标即可判断①；利用待定系数法得出直线的函数解析式即可判断②；利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可判断③；再依次求出点，…，的纵坐标，发现规律即可判断④． 【详解】解：分别过点作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∵四边形和四边形是正方形，且， ∴点的坐标为，点的坐标为，故①正确； 将和的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为，故②正确； 由题意可知， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 过点作x轴的垂线，垂足为P， 设 ∴点坐标可表示为， 将点坐标代入直线函数解析式得， ， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得，点的纵坐标为， …， ∴点的纵坐标为， 代入，即可求得， ∴点的横坐标为，故④正确． 故选：C． 3．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，反比例函数的图象经过两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】C 【分析】利用点的坐标求出反比例函数和一次函数的解析式，通过解析式求出交点的坐标，再利用相似三角形的判定与性质得，则可求出点纵坐标，进而求出相关三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：将代入得， ， 反比例函数的解析式为， 将代入得， ， ∴点坐标为， 假设直线的解析式为，将两点坐标代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点坐标为， 连接，如图， ， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ， ∴点纵坐标为4， ∴， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数相结合，反比例函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各函数的性质，并会通过坐标求出三角形的面积． 4．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，，是上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段（点的对应点为），连接．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，先在中根据勾股定理求出，然后证明，求出，然后在中根据勾股定理求出，在中根据勾股定理求出，根据旋转的性质求出，最后在中根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过B作于H， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，矩形中，点为边的中点，连接，点为边上一点，连接交于点，若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，延长交的延长线于点，过点作于点，可证，可得，即得，得到，进而得到，利用勾股定理得，又由余角性质可得，由三角函数得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·福建泉州·一模）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点，连结． (1)若，，，试求的值； (2)若，求证：的值是“黄金比”． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得出点坐标、反比例函数解析式，再将点坐标代入解析式即可求出； （2）证明，由相似三角形的性质可得，设，其中，则，推得，，，，由点、在图象上可得，配方法解一元二次方程求出的值即可得证． 【详解】（1）解：当时，得， ，， 点， 点在的图象上， ， ， ， ，(舍去)， ． （2）证明：过点作轴于点， 又轴， ， ， ， ， ， 设，其中，则， ，，，， 点、在图象上， ， ， ， ， ，（舍去）， 即， 的值是“黄金比”． 【点睛】本题考查的知识点是反比例的函数图象与性质、配方法解一元二次方程、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握反比例的函数图象与性质． 7．（2025·湖北武汉·三模）（1）【提出问题】如图1，在中，为边上一点，为边上一点，且．求证：； （2）【探究问题】如图2，在中，，是的中点，于点，连接，．若，求的值； （3）【拓展问题】如图3，在中，，是的中点，是边上一点．若，，直接写出的值．      【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形判定与性质、四点公圆、圆周角定理、解直角三角形等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）直接根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论； （2）根据已知条件以及等腰三角形的性质说明A、E、D、C四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等可得，进而得到，再结合已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后代入化简即可解答； （3）如图：过A作延长线于点M，过C作交于点N，易得可得，再结合是的中点可得，设，则，，；再证明可得，进而得到，再解直角三角形可得、，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴A、E、D、C四点共圆，且圆心即为的中点， ∵（同弧所对的圆周角相等 ） ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵D是中点， ∴， 把代入，得到：， ∴． 在中，根据勾股定理， 将代入可得：， ∵， ∴； （3）如图：过A作延长线于点M，过C作交于点N， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴，即， ∵， ∴设，则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴在中，． 8．（2025·辽宁·一模）是边长为的等边三角形，点在边上，点在边的延长线上，且，延长交于点． (1)将问题特殊化：如图，当为的中点时，求的长． (2)将问题一般化：如图，当时，求的长． (3)将问题再拓展：如图，点在边上，且，若此时满足，连接并延长交于点，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等边三角形的性质可得，，则有，，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解； （）过点作，交于点，证明是等边三角形，通过性质证明，又，则，故有，即，最后由线段和差即可求解； （）过点作，交于点，与（）同理可得是等边三角形，，再证明，则，即，然后通过求出的值即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，交于点， 与（）同理可得是等边三角形，， ∴， 由，设，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去） ∴． 9．（2025·广东深圳·二模）综合与探究 【课本回顾】如图1，在中，中线，，于点，点叫做的重心． 【知识探究】 （1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路： 思路一 思路二 第一步 如图3，取中点，连接，证明； 如图4，作平行交延长线于点，先证明，再证明； 第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系 图形表达                                   在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；（若用其他思路解决问题，则写第3种） 【问题解决】 （2）在中，为直径，点是上一点（不与点，重合）． ①如图Ⅱ，若点是弦的中点，交于点，则的值为 　　； ②如图Ⅲ，在①的条件下，若，求的值； ③如图，若，，为弦上一动点，过作，交于点，交于点．设，，直接写出与的函数关系式． 【答案】（1），见解析；（2）①；②；③ 【分析】（1）根据提供的思路证明即可； （2）①证明为的重心即可得解； ②由前述结论可得，根据这一关系设参数，利用勾股定理将、和表示出来即可得解； ③作，将和用含的式子表示出来，再用建立关于和的等式即可． 【详解】解：（1）线段与存在固定的数量关系为，理由： 思路一：取中点，连接，如图， ，， 为的中位线， ，． ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 思路二：作交延长线于点，如图， ， ． 在和中， ， ， ， ， ． ，， ， ， ； （2）①连接，如图， ，， 为的重心， ， ， ． 故答案为：； ②连接、， 由（1）知：， 设，则， ，， ， ． ， 由（1）知：． ． ③如图，连接， 是的直径， ， ， 如图所示，过点作于点，交于， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，，，， ， ， ， 即，整理得． 与的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 10．（2025·山东聊城·一模）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，准备直角三角形纸片，，，， 第二步，D是上一点，沿折叠，点C的对应点是点． 根据以上操作，甲、乙两名同学各自做出了如下图所示的两个图形，并共同进行了探究，请你根据两位同学折出的图形解决下列问题． (1)如图1，若点C恰好落在上，求的长度． (2)如图2，若点D是边的中点，沿着中线折叠，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设，根据折叠的性质可知：，，即，再在运用勾股定理可得，即，然后在中运用勾股定理列方程求解即可； （2）如图：过点D作，则，由已知条件可得以及勾股定理可得，然后证明可得，然后运用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：设， 根据折叠的性质可知：，， ． 在中，，， ， ． 在中，， ∴，， 的长度为． （2）解：如图：过点D作，则， 为中线， ． 在中，， ∵点D是边的中点，沿着中线折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ，即，解得：． 为等腰三角形， ，． 11．（2025·河南南阳·模拟预测）三角形的相似为线段之间的关系提供了更多的变化，也让数学变得更加精彩．请完成以下探究： (1)如图1，和均为直角三角形，，与相交于点，线段之间有什么样的数量关系？ (2)如图2，和均为等腰三角形，，且，则线段之间有什么样的数量关系？ (3)如图3，四边形中，为对角线上一点，且，请探究四边形四条边长与两条对角线之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可得出结论； （2）证明，得到，易证，推出，即可得出结论； （3）设交点为O，易证，进而证明，得到，求出，推出，证明，，推出，由变形即可得到． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 设交点为O， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 解密题型六 特殊平行四边形 【考情分析】特殊平行四边形作为初中数学的重要内容，在中考数学中占据着举足轻重的地位。 1. 考查内容方面，特殊平行四边形主要包括矩形、菱形和正方形。矩形的考查重点在于其四个角都是直角、对角线相等且互相平分的性质，以及相关的判定定理。菱形的考查侧重于四条边相等、对角线互相垂直平分的性质，及其判定方法。正方形的考查则综合了矩形和菱形的所有性质，包括四个角是直角、四条边相等、对角线相等且互相垂直平分等，同时涉及多种判定条件。此外，中考还会考查特殊平行四边形与全等三角形、相似三角形、函数等知识的综合应用。 2. 题型分布上，特殊平行四边形的题目类型多样。选择题和填空题主要考察基础概念、性质和简单的计算，如角度的求解、边长的判断等。证明题则要求学生能够灵活运用特殊平行四边形的性质和判定定理，进行逻辑推理和证明。求相关计算题往往需要结合几何图形的特点，运用勾股定理、三角函数等知识求解线段长度、面积等。条件探索题和几何动态问题则更加注重学生的思维能力和解题技巧，要求学生通过分析图形的变化，探索满足特定条件的解。与函数结合的题目则具有一定的综合性，考查学生的数形结合能力。 3. 命题趋势来看，近年来中考对特殊平行四边形的考查越来越注重知识的综合性和灵活性。一方面，题目不再局限于单一的特殊平行四边形，而是将矩形、菱形、正方形等多种图形进行组合，要求学生能够准确识别并运用不同图形的性质解决问题。另一方面，与全等三角形、相似三角形、函数等知识的结合越来越紧密，考查学生的综合运用能力。此外，几何动态问题和条件探索题的出现频率逐渐增加，这类题目能够更好地考查学生的思维能力和创新意识。 【满分技巧】 1. 熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定 2. 掌握方程思想与数形结合 在解决特殊平行四边形的计算问题时，经常需要运用方程思想。通过设未知数，利用勾股定理、三角函数等建立方程，然后求解。同时，数形结合思想也是不可或缺的。根据题意画出准确的图形，标记已知条件和未知量，有助于直观理解问题，找到解题途径。 3. 善于转化与综合应用 特殊平行四边形的题目往往与其他几何知识（如三角形全等、相似、三角函数等）综合在一起考察。因此，善于将问题转化为熟悉的模型，综合运用各种几何知识进行推理和计算，是解决复杂问题的关键。例如，在解决涉及正方形的问题时，可以将其转化为四个全等的等腰直角三角形来处理。 4. 注意分类讨论思想 在解题过程中，如果题目条件没有明确指出图形的具体位置或情况，往往需要分类讨论。例如，在求点到直线的距离、线段的长度等问题时，可能需要考虑不同的位置关系。分类讨论能够确保解题的完整性和准确性，避免漏解。 【2025年中考模拟预测】 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，为的对角线上一点，过点作，的平行线，分别交，，，于四点，连结．若的面积为，则的面积为（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，再证出四边形、四边形、四边形和四边形都是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，，，则，由此即可得． 【详解】解： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形、四边形、四边形和四边形都是平行四边形， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选：B． 2．（2025·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（    ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理等知识．由题意知，，如图1，在上取点，使，连接，，则，由，，可得，，即、、三点共线，如图2，则四边形是矩形，则，由勾股定理得，计算求解即可，明确时，点的位置是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 的平分线交于点， ， 如图1，在上取点，使，连接，， ， ，， 与的距离为6， ， ， 如图2，则四边形是矩形， ，， ，，， 四边形为正方形， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， ，， 由勾股定理得， 故选：D． 3．（2025·重庆·一模）如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，作于点，设，则，利用证明，推出，在中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 作于点， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 4．（2025·山东·一模）如图，在中，，过点A作交于点E，设的长为的长为y，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值是2， 故选：B． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在数学活动课上，小雨同学的数学活动报告单部分信息如下表，根据表中信息可知小雨同学所得的结论中正确的个数是（   ） 主题 矩形纸片折叠后相关结论探究 方案 如图，沿折痕折叠纸片，使点恰好落在边上的点，点的对应点为点． 结论 （）；（）；（）为等腰三角形；（）若，则 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形的性质和折叠的性质可判断（）（），再由平行线的性质和等腰三角形的判定可判断（），设，，由勾股定理和线段和差可判断（）． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 由折叠性质可知，，，，，，故（）正确； ∴，，故（）正确； ∴， ∴为等腰三角形，故（）正确； 由， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故（）正确； 综上可知：（）（）（）（）正确，共个， 故选：． 6．（2025·安徽淮南·二模）如图，矩形的对角线，交于点，点在边上，连接，点是的中点，连接，，下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B．若是等边三角形，且点是的中点，则 C．若平分，，则 D．若，点是的三等分点，则的值为7或 【答案】D 【分析】对于A，当，可知垂直平分，可得，再结合三角形中位线及矩形的性质即可判断；对于B，由是等边三角形，可知，，进而可知，，再结合结合三角形中位线即可判断；对于C，先证明，再结合A选项的结论即可判断；对于D，分两种情况：当时，当时，结合勾股定理及斜边上中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的中位线， ∴，选项A正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，选项B正确； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，由选项A知， ∴，选项C正确； 当时，如图1， ∵点是边的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵点是边的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为7或，选项D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，垂直平分线的性质，中位线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 7．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，，点D是延长线上一点，以为邻边作． （1）连接，则面积为 ． （2）连接，则的周长最小值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）利用平行四边形的性质易得，得到等底等高，即等底等高，由，，求出的面积，即可得到结果； （2）作，且，连接，先证得，得到点直线上运动，当最小时，的周长最小，过点作的对称点，连接、，则，，当点在线段上时，最小，的周长最小，进而利用勾股定理计算即可； 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴等底等高， ∴等底等高， ∴的面积相等， ∵，， ∴的面积为， ∴面积为：； 故答案为：； （2）作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴点直线上运动， ∵，， ∴为定值， ∵的周长为， ∴当最小时，的周长最小， 过点作的对称点，连接、，则：，， ∴， ∴当点在线段上时，有最小值为的长，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵到的距离为， ∴， 在中， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，轴对称求最小值．能够正确做出辅助线是解题的关键． 8．（2025·云南·三模）如图所示，在四边形中，，点为上一点，且，过点作交的延长线于点，连接，且，连接交于点．    (1)求证：； (2)连接，若，求证：四边形是菱形； (3)若，设，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）由已知得；由题中两个平行条件得四边形是平行四边形，则有，则可得结论成立； （2）由（1）知四边形是平行四边形，则有；再由可证明，则，得，可得四边形是平行四边形；再证明四边形是平行四边形，由，即可证明四边形是菱形； （3）证明，得，进而得；由可得；即；由，最后得关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，， ， ， ； ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ； （2）证明：如图，由（1）知四边形是平行四边形， ， ， ，   ， ， ， 在和中， ， ， ，即， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （3）解：由（2）知 ， ； ， ， ， ， ， 由（1）知四边形是平行四边形， ， ； ， ； ， ； ， ， ， 即 ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 故． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 9．（2025·广西河池·一模）【课本再现】 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明过程如下：取边中点G，连接．在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点， ∴， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【问题解决】 （1）如图1，四边形是正方形，E是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点F，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】 在等边中，E为边上一点，G为延长线上一点，过点E作，交的平分线于点M． （2）如图2，当点E在边的中点位置时，猜想与的数量关系：_______； （3）如图3，若把条件“E是边的中点”改为“E为上任意一点”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3），证明见解析． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）如图：在取点G，使得，连接．则，然后根据正方形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图：在取的中点H，，然后根据等边三角形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图：在取点H，使得，连接．则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1），证明如下： 如图：在取点G，使得，连接．则， ∴ ∵在正方形中， ∴，， ∴，即， ∵交正方形外角的平分线于点F， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2），证明如下： 如图：在取的中点H，， ∵点E在边的中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， ∵为的平分线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3），证明如下： 如图：在取点H，使得，连接．则是等边三角形， ∴，，即， ∴，即， ∵为的平分线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．（2025·广西南宁·一模）综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形． （1）直接写出面积与面积的数量关系； （2）在图2的网格中画出的外中点． 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 （5）见解析 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质求解； （2）取格点P、M、N，连接，使B、C、A分别是的中点即可； （3）连接，根据三角形中位线的性质得出，，，．则，．即可由平行四边形的判定定理得出结论； （4）方法一：连接，证明，得同理，，，则，即． 方法二：连接分别交于点；过A作于点，交于点．证明，四边形为平行四边形．则．所以．．则． （5）取格点P、Q、M、N，连接，使B、C、D、A分别是的中点即可． 【详解】解：（1）∵是三边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，即为所求； （3）如图，连接， 分别是的中点， ，． 同理：，． ，． 四边形是平行四边形． （4）方法一：连接， ， ． 又为中点， ． ，即． 同理，，， ，即． 方法二：连接分别交于点；过A作于点，交于点． ， ． 又为中点， ． ，． 又，， 四边形为平行四边形． ． ． 同理：． ． （5）如图所示，四边形即为所求．（画出一种即可） 【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，中点四边形，平行四边形的判定，三角形的面积等知识，熟练掌握三角形的中位线的性质和相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 解密题型七 圆的综合 【考情分析】圆的综合问题作为中考数学的重要组成部分，近年来在各地中考数学试卷中占据着显著的位置。圆的综合问题在中考中通常以选择题、填空题及解答题的形式出现。其中，解答题因其涉及知识点多、解题步骤复杂，往往占据较大分值，成为拉开考生成绩差距的关键题型。此外，圆的综合问题有时也会作为压轴题出现，进一步增加了考试的挑战性。圆的综合问题在中考中的难度普遍较高，尤其是解答题部分。题目往往涉及多个知识点的综合运用，需要学生具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。同时，部分题目还会结合实际问题背景，增加题目的复杂性和灵活性，对学生的数学建模能力也提出了一定要求。 【考点重点】 1. 切线的性质与判定：这是圆的综合问题中的高频考点，主要考查学生能否正确运用切线的判定定理（即经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）进行证明。 2.  圆中的线段长度计算：此类题目要求学生熟练掌握垂径定理、勾股定理、相似三角形等知识点，通过作辅助线、构建直角三角形或利用相似关系来求解线段长度。 3.  角度计算与转化：涉及圆周角定理、圆心角与圆周角的关系等，考查学生对角度之间转换的灵活应用。 4.  弧长、扇形面积及圆锥侧面积的计算：这类题目主要考查学生对弧长公式、扇形面积公式及圆锥侧面积公式的掌握和应用能力。 5.  圆与三角形的综合问题：包括三角形的外接圆、内切圆的性质，以及圆内接四边形的性质等，考查学生综合运用几何知识解决问题的能力。 【解题策略】 1. 熟练掌握基础知识：包括圆的基本性质、定理及推论等，这是解决圆的综合问题的前提。 2.  注重图形分析：在解题过程中，要善于观察图形特征，利用已知条件进行合理的图形变换和辅助线添加，以简化问题。 3.  灵活运用解题方法：根据题目类型选择合适的解题方法，如利用勾股定理解决线段长度问题，利用相似三角形进行角度或线段比例的转换等。 4.  强化训练与总结：通过大量的练习，熟悉各类题型的解题思路和技巧，并及时总结归纳，形成自己的解题策略和方法体系。 【满分技巧】 一、四点共圆：模块一：辅助圆思想 平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础． 几何条件：． 辅助圆：以O为圆心、OA为半径作圆． ∵，∴点B、C在上． 几何条件：,． 辅助圆：以O为圆心、OC为半径作圆． ∵，，∴点A、D在上． 模块二：四点共圆的判定（一） 判定定理①（常用）：如图，若，则A、B、C、D四点共圆. 特别地，若，则BC为直径. 判定定理②（常用）：如图，若，则A、B、C、D四点共圆. 特别地，若，则为直径. 判定定理③：（相交弦定理的逆定理）如图，若，则、、、四点共圆. 判定定理④：（割线定理的逆定理）如图，若，则、、、四点共圆. 二、证明切线的7种方法：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法 1、 连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径,简称“连半径，证垂直” 2、 作垂直,证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直，证半径” 类型一、有公共点：连半径，证垂直 方法1、勾股定理逆定理法证垂直 方法2、特殊角计算法证垂直 方法3、等角代换法证垂直 方法4、平行线性质法证垂直 方法5 全等三角形法证垂直 类型二、无公共点:做垂直，证半径 方法6 角平分线的性质法证半径 方法7 全等三角形法证半径 【2025年中考模拟预测】 1．（2025·河南南阳·一模）清代文人魏崧在《壹是纪始》中写到：“不倒翁起始于唐朝”．现在“不倒翁”已成为益智的玩具．如图：“不倒翁”平面示意图是由等边与围成的图形．已知：，等边的中心是的圆心．则这个“不倒翁”的平面示意图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接、、，过点作于点，根据等边三角形的性质及等边三角形的中心可得，，，，继而得到，，，，则点、、共线，由勾股定理得，求得，由锐角三角函数的定义得，，求得∴，，然后计算即可． 【详解】解：如图，连接、、，过点作于点， ∵等边的中心是的圆心，， ∴，，，， ∴， ，， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ， ∴， ， ∴这个“不倒翁”的平面示意图的面积为： ． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及等边三角形中心的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，扇形的面积以及组合图形的面积等知识点．掌握等边三角形中心的性质及锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（2025·河南许昌·二模）如图，在正六边形中，连接，以点为圆心，的长为半径作，再以点为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算．连接，交于点，证明为等边三角形，，求解，，，，结合即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵正六边形， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，，， ∴， 同理：， ∴，， ∴， ∴ ； 故选：B． 3．（2025·湖南娄底·二模）如图，在菱形中，，内切于菱形，则的面积与菱形的面积之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，菱形的性质，解直角三角形等知识，正确添加常用辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 设、、上的切点分别为，连接，则，再说明是直角三角形，分别用表示出的长，最后根据面积法求解即可． 【详解】解：如图：设、、上的切点分别为，连接，则， ∵内切于菱形， ， 平分，平分， ， ， ∵菱形中，， ∴， ， ， ， ， ， 故选：D． 4．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，利用勾股定理求解即可判断②；过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，利用三角形的面积公式求得，进而求得可判断③；取的中点，连接、，利用三角形的中位线求得，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，即， 解得； 当时，则，即， 解得， 综上，当与相似时，或，故①错误； ②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为，故②正确； ③过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度， 由得， ∴， ∴点到距离的最小值为，故③正确； ④取的中点，连接、， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为， 过O作于H，则，又， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴的最大值是，故④正确， 综上，结论正确的是②③④， 故选：B． 5．（2025·山东威海·一模）如图，是的外接圆，弦交于点，，，过点作于点，延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】首先得出，进而得出为等边三角形，由已知得出的长，进而得出的长，再求出的长，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 如图：作于点M， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，． ∴， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心定与性质、等边三角形的判断与性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质、垂径定理等知识点，求得的长是解题的关键． 6．（2025·河南南阳·一模）为了提高中考体育加试足球项目成绩，加强备战意识．某校举行了足球比赛，在其中一场比赛中，一名中场队员带球奔向对方球门，同时，同队的甲、乙两个前锋分别冲到了A点和B点（点B在所对的优弧上，点A在所对优弧内） (1)仅从射门角度越大，进球机会就越大考虑，该中场球员将球传给甲还是乙？为什么？（运用所学的数学知识写出理由） (2)若，，．求点A到球门的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1)将球传给甲，理由见解析 (2) 【分析】（1）延长与圆交于点C，连接，先由圆周角定理可得，再由三角形外角性质可得，，从而可得答案； （2）过点A作于点D，设为，可得，，在中，，可得，求得，即可求解． 【详解】（1）解：将球传给甲． 理由如下：延长与圆交于点C，连接， 与同对． ， ， ， ∴将球传给甲； （2）解：过点A作于点D， 设为， 在中， ， ， 在中，， ， ， 解得：， 答：点A到球门的距离约为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 7．（2025·江苏淮安·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可； （2）根据三角函数的定义得到，求得，再求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， ∴， 又为的直径， ， ， 又∵， ， ∴是的切线； （2）解：， ， ， 又， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 8．（2025·江苏淮安·一模）如图，的直径垂直弦于点E，且，动点P是延长线上一点，交于点Q，连接交于点F． (1)当Q是弧的中点时，求证：； (2)设（1）的条件下，，，请写出y关于x的函数表达式，并说明理由；在 (3)连接，若是以为腰的等腰三角形，试求的长． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的定义，同弧所对的圆周角相等等，熟知圆的相关知识和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）连接，易证，由易得，进而即可得证； （2）连接，易求得，证，得到，进而求出和，即可得解； （3）分类讨论，或，先根据勾股定理求出和以及的长，从而得到的长，在利用圆内接四边形对角互补证，代入求出即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵Q是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，且为直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴，即； （3）解：①当时， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ②当时， 在中，， ∴， 在中，， 同理可得， ∴，即， 解得； 综上，的长为或． 9．（2025·福建泉州·一模）如图，点A、E在上，与的夹角为，连结，过A点作的切线． (1)试求的度数（用含有n的代数式表示）； (2)在的延长线上取一点D，以线段为一边作矩形，点C在射线上． ①当时，在n的变化过程中，探究线段与、之间是否存在某固定的数量关系？若存在，试求出它们的数量关系；若不存在，请说明理由； ②连结，当时，试求出的值． 【答案】(1) (2)①存在，；② 【分析】（1）由题意易得，然后根据切线的性质可进行求解； （2）①连结交于点，由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； ②连结，由题意先得到点在线段上，过作，垂足为，则，，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：①存在，； 连结交于点， 在矩形中，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； ②连结， ∵， ∴不妨设，则，，， ， 又， ， 点在线段上； 过作，垂足为，则，， 方法一： 又矩形中，， ， ， ，， ， ， ， 在矩形中，，， ； 方法二： ，， ， ， 设，则， ， 在中，， 在中，， ， 解得， ，， 在矩形中，， ． 【点睛】本题主要考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、矩形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、矩形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，内接于，连接，的度数为度 (1)的度数为______度； (2)如图2若，，求证：四边形为菱形； (3)如图3在（2）的条件下，作直径，连接，在上取点G，连接并延长交于点F，在上取点E，连接，平分，，，求弦的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)． 【分析】（1）在优弧上取点，连接和，利用圆周角定理定理求得的度数，再利用圆内接四边形的性质求解即可； （2）利用（1）的结论求得，证明四边形为平行四边形，根据，即可证明四边形为菱形； （3）延长至N，，连接，作于H，证明，推出，，证明，设，则，，作并交延长线于点，解，求得，得到，再解，求得，证明，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，在优弧上取点，连接和， ∵的度数为度， ∴的度数为n度， ∵四边形内接于， ∴度， 故答案为：； （2）证明：， ， ， ， 又， ， ， ， ， 且， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为菱形； （3）解：延长至N，，连接，作于H， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 作并交延长线于点， ∵， ∴，则， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 作并于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 11．（2025·广东深圳·二模）如图（1）所示，已知在中，，O在边上，点F是边中点，以O为圆心，为半径的圆分别交，于点D，E，连接交于点G． (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，连接，如果，，，求边的长； (3)连接，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角得出，等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，即可得证； （2）设，则，由（1）可得则，等量代换得出，进而证明，得出，在中，，则，解方程即可求解； （3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，证明，得出，设，根据，得出，可得，连接交于点，证明在与中，，得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图： 由，，点F边中点，设，，则， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ， 在中，， ∴， ∴， 解得： 或 （舍去）， ∴； （3）解：①当时，点G与点D重合，不符合题意，舍去； ②当 时，延长交于点P，如图所示， ∵点F是的中点，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∴，a，， 在与 中， ，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明是解题的关键． 解密题型八 函数综合 【考情分析】二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般3-4题，其中有1-2道大题．所占分值大约25分左右．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结． 【满分技巧】 1．把握二次函数所有考点的做题技巧 (1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； (2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； (3)根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合； (4)二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 2.二次函数的压轴题主要考向： （1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）等）． （2）最值问题（线段、周长、面积） 3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略： （1）线段最值（周长）问题——斜化直策略 （2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略 （3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题 （4）线段差——三角形三边关系或函数 （5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论 （6）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法 【2025年中考模拟预测】 1．（2025·湖北武汉·三模）已知，是关于的函数，函数，的图象存在两个或两个以上的公共点，则称函数与具有性质，以下函数与具有性质的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，依次画出图象，即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、如图： 与只有一个公共点，故选项不符合题意； B、如图： 与只有一个公共点，故选项不符合题意； C、如图： 与有三个公共点，故选项符合题意； D、如图： 与只有一个公共点，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·安徽淮北·二模）已知抛物线经过，两点，则： （1）若，则 ； （2）若，则a的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征． （1）先由抛物线解析式求出对称轴为直线，再根据得，解方程即可； （2）根据点A、B和对称轴的位置关系，分四种情况讨论，分别列出不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为：直线，， ， 解得； （2）， 抛物线开口向上，且对称轴为：直线， ， 分以下四种情况讨论： ①当点A，B在对称轴的左侧时，由题意可得， 解得； ②当点A，B在对称轴的右侧时，由题意可得， 解得； ③当点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧时，， 此不等式组无解； ④当点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧时，， 解得， 综上，或． 3．（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点. （1）若点是的中点，则 ； （2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 . 【答案】 18 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出、的坐标是解题的关键． （1））由正方形的边长是6和中点，得到点的坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）由正方形的边长是6，得到点的横坐标和点的纵坐标为6，根据三角形的面积列方程得到两点坐标，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵正方形的边长是6，点是的中点， ∴点的坐标为， ∴，即； （2） ∵正方形的边长是6， ∴，， ∴，， ∵的面积为16， ∴， ∴或（舍去）， ∴，，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值， ∵， ∴，又， ∴，即的最小值为. 4．（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 5．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点F为抛物线上一点，点E为直线上一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)点F的坐标为，，， 【分析】此题考查了二次函数图象和性质、平行四边形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）画出图形根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴将，，代入得： ， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）∵点F为抛物线上一点， 设， ∵点E为上一点， 设， 当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时， ，解得或， ∴点F的坐标为，，，． 6．（2025·安徽宿州·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点，，连接． (1)求a，b的值． (2)P是抛物线上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得的面积恰好为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)M（不与点A，C重合）是线段上的一个动点，过点M作轴，垂足为D．延长，交抛物线于点E，过点E作，垂足为F，求周长的最大值． 【答案】(1)， (2)存在．点， (3)的周长的最大值为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积综合题、二次函数的周长线段综合题，数形结合是解题的关键． （1）把点，分别代入函数解析式得到方程组，解方程组即可； （2）设点，根据题意得到，解一元二次方程即可得到答案； （3）求直线的解析式为．设点，则点，得到，，则的周长．根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，， ∴ 解得 （2）存在．由（1），得，， ∴二次函数的解析式为． 令，得， 解得，． ∵二次函数的图象与x轴交于点A，B， ∴点，， ∴． 设点， ∴， ∴， 解得，， ∴点，． （3）令，得， ∴点， 设直线AC的解析式为 解得 ∴直线的解析式为． 设点，则点， ∴． ∵点， ∴． ∵， ∴． ∵轴， ∴∥轴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∵ ∴当时，的周长有最大值，最大值为， ∴的周长的最大值为． 7．（2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)①为所有实数，点的坐标为；②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形 【分析】（1）把点，点的坐标代入，利用待定系数法求解即可； （2）假设存在点关于抛物线的对称点，结合题意可知，的中点在抛物线上，进而求得，即可得点的坐标； （3）①设点关于抛物线的对称点为，得的中点为，代入抛物线解析式可得，即可求解； ②由题意得，由①可知，，，求得，，，分三种情况当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，结合菱形的性质分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）存在，点的坐标为，理由如下： 假设存在点关于抛物线的对称点， ∵点在抛物线的对称轴上 ∴， 又∵的中点在抛物线上，且， ∴在抛物线上， 对于，当，， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）①设点关于抛物线的对称点为， ∴的中点为， ∵的中点在抛物线上， ∴， ∴， 则为所有实数，点的坐标为； ②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵对称轴为直线，， ∴， 由①可知，，， ∴，，， 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，解得或， 此时，或，； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 8．（2025·安徽滁州·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线以及直线的函数解析式． (2)若是抛物线的顶点，求点到直线的距离． (3)已知是抛物线上的一动点，是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图1，过点作轴，交于点，连接，，首先求出，然后求出，设点到直线的距离为，求出，进而求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况：当点在轴上方时，当点在轴下方时，然后分别解直角三角形求解即可． 【详解】（1）将点，代入， 得解得 抛物线的函数解析式为． 令，解得， 点． 设直线的函数解析式为， 则解得 直线的函数解析式为； （2）如图1，过点作轴，交于点，连接，． 由（1），可得点，则点， ， ． 设点到直线的距离为． 点，， ， ． （3）存在． 如图，过点作于点． 点，，， ，，， ， ， ， ． 设点，过点作轴于点． 根据题意，分两种情况： ①如图2，当点在轴上方时，则，． ， ， 解得（舍去），， 点． ②如图3，当点在轴下方时，则，． ， ， 解得（舍去），， 点． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数综合题，待定系数法求出二次函数解析式，解直角三角形等知识，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式． 9．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解； （2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可； （3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点， ， 解得：， ； （2）解：设点， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的表达式为：， 即点， ， ， ， 时，开口向下，当时，有最大值， ； （3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况： 当时，过作于点，则点为的中点，即， ， ， ，（舍去）； 当时， ， ， ，（舍去）， 综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 10．（2025·四川南充·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，（舍去），，（舍去）， ∴或； （3）解：存在符合条件的点，理由如下： ∵轴， ∴设，且， 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵和相似，且， ∴或， 当时，则，且， ∴，即：， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． 11．（2025·四川达州·一模）如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当的值最大时，点的坐标为，最大值为 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点； （1）根据抛物线与轴交于，对称轴：直线，列方程组求解即可； （2）先求出直线解析式为，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，得到，则，再求出，设，则，，代入计算求最大值即可； （3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾，据此得到不存在以为顶点的四边形为正方形． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则，令，则，解得， ∴，， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 过作轴交直线于，过作轴交直线于，则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为； （3）解：不存在，理由如下： 过作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方， ∴在内部， ∴， 假设存在以为顶点的四边形为正方形， ∴必定是等腰直角三角形， ∴或，与矛盾， ∴假设不成立， ∴不存在以为顶点的四边形为正方形． 12．（2025·河南驻马店·一模）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)点是坐标轴上的一点，点是平面内一点，是否存在点、使得四边形是矩形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（）将点代入直线，可求得点坐标，即可求得，再由直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形， 即可求出点的坐标； （）作轴于点，轴于点，证明，利用相似三角形的性质得出，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则即为的最小值，然后利用勾股定理即可求解； （）分当点在轴上时，当点在轴上时，过点作轴于点，再利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∵直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形，、是它们的交点， ∴、关于原点对称， ∴； （2）解：如图，作轴于点，轴于点， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则即为的最小值， ∵，， ∴， ∴， 故的最小值为； （3）解：存在，理由如下： 当点在轴上时，如图， 设点的坐标为， 过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 由平移的性质可求； 当点在轴上时，过点作轴于点，如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 由平移的性质可求； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，中心对称性质，最短问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，掌握知识点的应用及分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 13．（2025·江苏无锡·一模）如图，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点坐标为 (3)存在，点坐标为或 【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键． （1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式． （2）过作的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标． （3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标． 【详解】（1）解：把点代入中， ∴， 解得，， ∴． （2）解：作于，于， 当时，， ∴点坐标为， 设解析式为：， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴点坐标为． （3）解：作过三点的圆，连接，作于， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（不合题意舍去），， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为或． 重难点一 新定义类问题 【考情分析】中考数学中的新定义问题作为一种独特的题型，近年来逐渐成为各地中考数学试卷中的亮点和难点。这类问题以其创新性和灵活性，不仅考查学生对基础知识的掌握，更着重考查其阅读理解能力、知识迁移能力以及创新思维。从近年来的中考数学试卷来看，新定义问题的出现频率逐渐增加，且难度和灵活性也在不断提升。尽管有消息称由于难度较大，部分地区的试卷可能会调整该题型的考查方式，但总体趋势表明，新定义问题仍然是考查学生综合能力和创新思维的重要手段。因此，考生和家长应做好充分准备，不要放松对新定义题型的复习和训练。 【题型特点】新定义问题通常涉及定义新的数学概念、运算或规则，这些定义往往基于学生已学的数学知识，但以一种全新的方式呈现。题目类型多样，包括数与式、方程与不等式、函数、几何等各个领域。其特点主要体现在以下几个方面： 1. 创新性：题目构思新颖，定义独特，要求学生跳出传统思维模式，理解和应用新定义。 2. 综合性：新定义问题往往融合多个知识点，考查学生对知识的综合运用能力。 3. 隐蔽性：新定义通常隐藏在复杂的题干中，需要学生具备较强的阅读理解能力，从中提取关键信息。 【解题策略】 1. 阅读理解能力：新定义问题的题干较长，包含大量信息，学生需要快速准确地理解新定义的内涵，并将其转化为数学语言。 2.  知识迁移能力：学生需将新定义与已学知识相联系，通过类比、转化等方法，将新问题转化为熟悉的问题进行解决。 3. 创新思维能力：新定义问题鼓励学生发挥创造力，探索新的解题方法和思路，培养其创新思维能力。 【2025年中考模拟预测】 1．（2025·河南开封·二模）定义新运算：．例如：．则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先根据新定义得到，再把方程化为一般式为，然后计算根的判别式的值，再根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：方程化为， 一元二次方程化为一般式为， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 2．（2025·河南鹤壁·一模）对于实数a，b，定义运算“★”：，已知关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先求得，根据题意得出关于x的一元二次方程，然后根据根的判别式得出，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程恰好有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：B． 3．（2025·湖南湘潭·模拟预测）设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式：①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了分式的化简，各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可． 【详解】解：①根据新定义得，，， ∵， ∴， 即， 故①不成立； ②，， ∵， ∴， 故②不成立； ③，， ∴， 故③成立； ④，， ∵， ∴． 综上，成立的有③． 故选：A． 4．（2024·山东泰安·二模）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，函数的最大值是8 C．当时，直线与该图象恰有三个公共点 D．关于x的方程的所有实数根的和为3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，由，是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得的值可判断A错误；根据图象可判断B错误；由图象可判断C正确；由题意可得或，利用根与系数的关系可判断D错误．利用数形结合的思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，是函数图象和x轴的交点， ∴， 解得：， ∴， 故A错误； 由图象可得，函数没有最大值，故B错误； 如图，当时，直线， 当时，，当时，，则， 即直线，与x轴交于点，与y轴交于点，如图， 此时直线与该图象恰有三个公共点， 故C正确； 关于x的方程，即或， 当时，， 当时，， ∴关于x的方程的所有实数根的和为，故D错误， 故选：C． 5．（2025·河南信阳·一模）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转性质，平移性质，勾股定理，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点向上平移2个单位为，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵，过点作轴于点， 则， ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为， 故选：A． 6．（2025·四川南充·模拟预测）定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有 个． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 利用题中的新定义运算化简不等式组，求出解集，即可求出整数解的个数． 【详解】解：， 将不等式组化简得， 解得， 解得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，共个， 故答案为：． 7．（2025·安徽蚌埠·二模）定义：若点把线段分成两部分，且满足较长线段是较短线段的倍，则称点为线段的青铜分割点．已知点是线段的青铜分割点，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，二次根式的计算，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．由已知条件不能确定点在线段上的位置，故要分情况讨论：当时，及当时，然后进行求解即可． 【详解】解：分两种情况考虑， ①当时， 根据题意设，则， ∵， ∴， 解得， 即； ②当时， 同理可得， 故答案为：或． 8．（2025·安徽滁州·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“三方数”．例如：，就是一个“三方数”．将“三方数”从小到大排列． (1)第个“三方数”是________；第个“三方数”是________； (2)请判断是“三方数”吗？并说明理由． 【答案】(1)；； (2)是“三方数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，代数式的规律探索，解题关键是利用平方差公式和已知条件得到第（是正整数）个“三方数”的代数式． （1）根据题意依次列出前面几个“三方数”，并得到规律，即可求解； （2）利用规律列出第（是正整数）个“三方数”，代入并求解，即可判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 故答案为：；； （2）解：是“三方数”，理由如下： 由（1）可知第（是正整数）个“三方数”是， 当时， 解得：， 故是“三方数”． 9．（2025·辽宁铁岭·一模）定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个顶点，则函数是的“勾股函数”，函数经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，此时函数的最大值记为，最小值记为，则称是的“”值． 已知：在平面直角坐标系中，，轴． (1)如图，若点的坐标为，． ①一次函数是的“勾股函数”吗？若是，说明理由并求出的“”值；若不是，请说明理由． ②是否存在反比例函数是的“勾股函数”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，二次函数是的“勾股函数” ①若二次函数经过两点，求的“”值． ②若二次函数经过两点，且的“”值，直接写出的值． 【答案】(1)（1）①一次函数是的“勾股函数”，2；②5 (2)①存在，；②的值为4或或 【分析】本题考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． （1）①先求出A、B的坐标，然后根据的“勾股函数”的定义判断即可；根据一次函数的性质求出， ，最后根据的“”定义求解即可； ②根据的“勾股函数”的定义判断即可； （2）①先求出点C的坐标，然后根据待定系数法求出的解析式，根据二次函数的性质求出， ，最后根据的“”定义求解即可； ②先求出顶点坐标，然后分情况讨论：第一种情况，点B在点A上方，即，（i）当点B和点A在对称轴左侧；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即；第二种情况，点B在点A下方，即，（i）当点B和点A在对称轴右侧，即，解得；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即，讨论即可． 【详解】（1）解：①一次函数是的“勾股函数”， 由轴，点C坐标为，，可得： 点A的坐标为，点B的坐标为， ∵和这两点都在直线上， ∴一次函数是的“勾股函数”， ∵， ∴一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴的“”值为2； ②存在，理由如下： ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴点A和点B在同一个反比例函数图象上， ∴反比例函数是的“勾股函数”，且； （2）解：①∵点A的坐标为，点B的坐标为，，轴， ∴， ∵二次函数经过A，C两点， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴当或2时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， ∴，即的“”值为； ②∵二次函数经过A，B两点， ∴将，代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 由， ∴顶点坐标为：， 第一种情况，点B在点A上方，即， （i）当点B和点A在对称轴左侧，即，解得， 此时随x的增大而减小， ∴，， ∴， ∴， 解得：， （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴，都舍掉； 第二种情况，点B在点A下方，即， （i）当点B和点A在对称轴右侧，即，解得， 此时随x的增大而增大， ∴，， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴； （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：，， 又， ∴； 综上所述，m的值为4，，． 10．（2025·辽宁抚顺·二模）对于函数定义变换：当时，函数值不变；当时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换后的函数称为原函数的“变换函数”． 如：一次函数，变换函数为． (1)已知反比例函数，请写出它的“变换函数”的表达式； (2)已知二次函数，点在它的“变换函数”的图象上，求a的值； (3)在平面直角坐标系内，有点，，将二次函数沿y轴方向平移t个单位长度（向上平移时，向下平移时），平移后的函数记为． ①若的“变换函数”经过点M，求t的值； ②若的“变换函数”与线段恰有两个公共点，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)或1 (3)①t的值为；②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解． （1）根据“变换函数”的定义即可得解； （2）令，求出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线开口方向求出其关联函数解析式，将分别代入其关联函数解析式中求解； （3）①将点和他关于x轴的对称点为代入，求解即可； ②作线段关于x轴对称的线段，由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，结合图象求解． 【详解】（1）解：反比例函数的变换函数为； （2）解：令，解得，． ∴抛物线与x轴的交点坐标为，． ∵， ∴抛物线的开口向上． ∴变换函数为． 将点代入，得． 解得，． 将点代入，得． 解得． ∴a的值为或1； （3）解：①由题意，得，点关于x轴的对称点为， ∴将点代入，得； 将点代入，得． 综上所述，t的值为； ②∵， ∴抛物线的开口向上，顶点的坐标为，对称轴为直线． 如图，作线段关于x轴对称的线段． ∵点，关于直线对称， ∴抛物线过点M时必过点N．同理可得抛物线过点时必过点． 如图1，当抛物线过点和点时，有2个交点，由①知． 如图2，当抛物线过点M和点N时，有4个交点，由①知． ∴当时，的“变换函数”与线段恰有两个公共点（如图3所示）． 当抛物线的顶点在线段上时，此时，解得． 当时，． ∵，∴此时有3个交点． 当抛物线的顶点在线段上时，此时，解得．此时有1个交点， ∴当时，的“变换函数”与线段恰有两个公共点（如图4所示）． 综上所述，t的取值范围为或． 11．（2025·安徽合肥·一模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图1，在菱形中，E是的中点，连接，将沿翻折到，延长交于点P，请写出图中的所有“筝形”； (2)如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”其他条件不变，求的值； (3)如图3，在矩形中，是边的中点，连接，将沿翻折到，点P是线段上一点，若四边形是“筝形”，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得到，即四边形是“筝形”；再根据菱形的性质结合折叠的性质得到，连接，由E是的中点，得到，推出，求出，得到，即四边形是“筝形”； （2）同理（1）可证四边形是“筝形”，设，则正方形边长为，利用勾股定理求出，连接，证明是直角三角形，利用正切的定义可得，求出，勾股定理求出，即可解答； （3）延长交于点，连接，同理（1）可证四边形是“筝形”，当重合时，四边形是“筝形”，同理（2）得是直角三角形，，，求出，勾股定理求出，即可得到此时的长． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，即四边形是“筝形”； 由折叠的性质得：， 即四边形是“筝形”； 由折叠的性质得：， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即四边形是“筝形”； 综上，图中的“筝形”有； （2）解：同理（1）得：四边形是“筝形”， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 连接， ∵四边形是“筝形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交于点，连接， 同理（1）可证四边形是“筝形”， 当重合时，四边形是“筝形”， 同理（2）得是直角三角形，， ∴， ∵在矩形中，是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线，理解“筝形”的定义是解题的关键． 12．（2025·宁夏银川·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”，如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“平方点”． (1)如图2，已知在四边形中，平分于点E，，求证：点E是中边上的“平方点”； (2)如图3，是的内接三角形，点E是中边上的“平方点”，延长交于点D，若，求证：； (3)如图4，在中，，，，过点D作于点D，点E是边上的“平方点”，求线段BE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)5或8 【分析】本题考查了定义新运算，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． （1）先证，得，再由平分，得，即可得答案； （2）由点E是中边上的“平方点”得，再证，得，可得，即可得答案； （3）先求出的长，设，得，解答即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 平分， ， ， 点E是中BD边上的“平方点”； （2）证明：点E是中边上的“平方点”， ， 是的内接三角形， ，， ， ， ， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， 设，由题意得：，， ， 解得：，， 的长为5或． 重难点二 阅读理解类问题 【考情分析】阅读理解类问题通常文字篇幅较长，信息量大，涉及多种数学知识与逻辑关系。这类题目不仅考查学生的数学基础，更注重考查其阅读能力、信息提取能力、逻辑推理能力及问题解决能力。题目往往通过提供新的数学定义、定理、公式或实际情境，要求学生迅速理解并应用这些新知识解决相关问题。从近年的中考数学试卷来看，阅读理解类问题的出现频率逐年增加。以河北、南京、上海、广东等地为例，这类题型在试卷中的占比不断提升，形式也更加灵活多样。例如，2024年河北中考数学试卷中，阅读理解类问题在选择题和填空题中均有体现，注重考查学生对新知识的快速理解和应用。而在南京，阅读理解类问题则常与几何综合、函数综合等题型相结合，考查学生的综合素养。 【解题策略】面对阅读理解类问题，考生首先需要保持冷静，认真仔细地阅读题目，理解题目所提供的全部信息。其次，要善于提取关键信息，建立数学模型，将新知识与已学知识进行有效迁移。在解题过程中，要注重逻辑推理，逐步分析，确保每一步的推理都准确无误。最后，要养成检查的习惯，确保答案的合理性和准确性。 【2025年中考模拟预测】 1．（2025·山东青岛·一模）阅读材料：已知点 和直线，则点到直线的距离可用公式 计算．例如：求点到直线的距离．其中，，所以点到直线的距离为，根据以上材料，有下列结论：①点到直线的距离是；②直线和直线的距离是；③若点是抛物线上的点，则点到直线距离的最小值是．④抛物线上存在两个点到直线的距离是；其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的坐标的运用，平行线的性质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键． ①利用点到直线的距离公式求出即可；②从直线上找一个点，求出该点到的距离，即为两条平行线的距离；③利用点到直线的距离公式求出点的坐标，即可作出判断；④求得直线与抛物线有一个交点时的m的值，即可求得直线的解析式，从直线上找一个点，求出该点到的距离，即为点P到直线距离的最小值； ④利用点到直线的距离公式求出点的坐标，即可作出判断． 【详解】解：①直线， ∴点到直线的距离是，故①正确； ②∵直线和的k值相等，都等于 ∴直线与直线平行， 根据 “平行线间距离相等”找出直线上的一点， ∴点到直线的距离，故②正确； ③设直线向上平移m个单位与抛物线有一个交点，则平移后的直线为， 令，则， ∴，即， 解得， ∴平移后的直线为， 找出直线上一点， ∴点到直线的距离， ∴若点P是抛物线上的点，则点P到直线距离的最小值是，故③正确； ④设点是抛物线的点，到直线的距离是， 则， ∴， ∴，即， 当时，此方程无解； 当时，解得，或 ∴抛物线上存在两个点到直线的距离是； 故④正确； 所以正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 2．（2025·山东临沂·模拟预测）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． 比较大小： （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式混合运算的运算法则是解题的关键． 根据阅读材料，可以将与变形，从而可以求得与的大小关系． 【详解】解：，， ∵， ∴，即． 故答案为：． 3．（2025·湖北·一模）教材内容一 七年级下《不等式与不等式组》中的“阅读与思考”——用求差法比较大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有； 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 教材内容二 八年级上《整式的乘法与因式分解》中的“完全平方式”节选 你能根据图2和图3中图形的面积说明完全平方公式吗？ 阅读以上材料完成下列任务： 问题探究 对于图2我们进一步的探讨． （1）______；______； （2）比较与的大小，并说明理由： 拓展运用 （3）应用以上结果，求的最小值． 【答案】（1）能，（2）（3）2 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，分式的求值： （1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上2个长方形的面积，得到完全平方公式，直接利用面积公式求出即可； （2）作差法比较与的大小即可； （3）利用（2）的结论，利用，即可得出结果． 【详解】解：（1）能，图2：大正方形的面积； 图3：， ∴； 由图可知：； （2）由（1）知：， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴的最小值为2． 4．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)； (2)三角形纸片的周长是； (3)． 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 故答案为：； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ；， （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆与内心、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形” （1）阅读：当已知矩形A的边长分别为6和1时， 小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为 由题意得方程：，化简得：， ∵， ∴， ∴矩形A存在对半矩形B． 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： 消去y化简后也得到： 然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长 （2）如果已知矩形A的边长分别为3和2，请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对半矩形B． （3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题，如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形A的面积为　　　；周长为　　　． ②对半矩形B的两边长为　　　． （4）在第（3）题的图形中，若点在双曲线上，轴，轴，垂足分别为B、C．连接，将沿若折叠，点C落在点P处，求点P的坐标，并判断点P是否落在双曲线上 【答案】（2）不存在对半矩形B，理由见解析；（3）①12，24；②，；（4）点P不在双曲线上，理由见解析 【分析】（2）设所求矩形的一条边是x，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，整理用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可； （3）①结合图像求得一次函数解析式为和反比例函数解析式，结合一次函数解析式和反比例函数解析式，可得矩形B的两边之和以及面积，即可求得矩形A的面积和周长；②联立一次函数和反比例函数，利用公式法可求出满足条件的矩形B的两边长； （4）设和交于点N，由折叠的性质和矩形的性质得，则有，设，则，利用勾股定理求得a，进一步得到，即可求得和，得到点代入，等式不成立，即可判断点P不在双曲线上． 【详解】解：（2）设所求矩形的一边是x，则另一边为， 由题意得方程：， 化简得：， ∵， ∴原方程无解， 则满足要求的矩形B不存在． （3）①设直线的关系式为，把，代入得：， 解得：， 则一次函数解析式为， 设反比例函数解析式为，把代入得：，解得：， ∴反比例函数解析式为， 根据一次函数解析式可得：，根据反比例函数解析式可得：， ∴矩形B的两边之和为6，面积为6， ∴矩形A的面积为，周长为：； 故答案为：12，24； ②把代入得， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴对半矩形B的两边长为，． 故答案为：，； （4）设和交于点N， 由得， ∴，设，则， 在中，，解得， ∴， 作轴，垂足为E， ∵轴， ∴， ∴， 则，解得，， 那么，点代入，等式不成立 故点P不在双曲线上． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程、一次函数和反比例函数的性质、折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和相似三角形的性质，解题的关键是利用函数图象得函数解析，并熟练掌握上述性质． 6．（2024·广东珠海·三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务. “整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值. 小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可. 小善：由①，得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得， 所以原方程组的解为 张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务. (1)任务一：解方程组 (2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、抛物线与x轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键. （1）直接运用整体代入消元法解答即可； （2）先将代入得，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可. 【详解】（1）解： 由①得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，解得， 所以原方程组的解为. （2）解：将代入得 拋物线与轴有唯一的交点， ，解得， 抛物线的解析式为. 7．（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 通过思考，小丽得到以下3种方法： 方法1    方程的两根为，，可得函数的图像与x轴的两个交点横坐标为、，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集． 方法2    不等式可变形为，问题转化为研究函数与的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是、3；的图像在的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集． 方法3    当时，不等式一定成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系… 任务： (1)不等式的解集为_____________； (2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A.分类讨论    B.转化思想    C.特殊到一般        D.数形结合 (3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答． 【答案】(1) (2)D (3)图像见解析，不等式的解集为 【分析】（1）如图1，作的图像，由方法1可知，不等式的解集为； （2）由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法； （3）如图2，作函数与的图像，由图像可得，的解集为，或，进而可得的解集． 【详解】（1）解：如图1，作的图像，    由方法1可知，不等式的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法， 故选：D； （3）解：如图2，作函数与的图像，    由图像可得，的解集为，或， 综上，的解集为． 【点睛】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像．解题的关键在于理解题意并正确的作函数图象． 8．（2025·广西·一模）【综合与实践】 【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性． 素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点． 素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形． 【特例感知】 （1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）； （2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________； 【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤： 第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，； 第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处； 第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形． 小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形． 【问题解决】 （3）请你证明小军的上述结论是否正确； （4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明． 【答案】（1）小军选的高跟鞋送给妈妈是合适的；（2）；（3）小军的结论正确，见解析；（4）见解析 【分析】（1）如图，计算，，结合选择范围为：，可得答案； （2）由，可得，进一步可得答案； （3）证明，可得，，证明即可； （4）求解正方形的面积为，求解，可得矩形为，可得结论． 【详解】解：（1）如图， ∵小军妈妈的身高是，下半身长．小军选择高跟鞋， ∴，， ∴，， ∵误差在范围内符合题意， ∴选择范围为：， ∴小军选择高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果； （2）∵在黄金矩形中，长， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）∵由对折可得：四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∴，， ∴， ∴矩形为黄金矩形； （4）∵正方形，， ∴正方形的面积为， ∵矩形，， ∴， ∴矩形为， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，矩形的性质，黄金矩形的含义，二次根式的混合运算，理解题意是关键． 9．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． (2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． (3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3)20 【分析】（1）根据三角形中位线的性质以及平行四边形的判定即可得到答案； （2）先证明，，，得到，，有，，再证明，，从而知道，同理可证，，最后推出； （3）先证明，得到，由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和可知，，接着证明，然后在中利用勾股定理求得，求得答案． 【详解】（1）解：三角形的中位线平行且等于底边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，理由如下： 如图2，连接， ，分别为，的中点， ，（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）， 同理可得，， ，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 同时可得，连接，同理可得， ． 故答案为：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 同理可证，， ． （3）解：连接，，如图， 和是等边三角形， ，，， ， ， ， ； 由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和， ； ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为20； 故答案为：20． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．（2025·江苏宿迁·一模）阅读理解，并完成下列问题： 【阅读】如图，是的中线，点是上一点，连接交于点，若，求的值． 解：过点作，交于点F； ， ， ， 点是的中点， 是的中位线， 设，则， ， ． 【理解】某数学兴趣小组在研究上面问题时，发现如下结论： （1）当时，则 ，； （2）当时，则 ； （3）当时，则 ，并说明理由． 【拓展】如图，在中，，动点从点出发，沿、以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动，连接交于点，设运动时间为的面积为．求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】理解：（1）；（2）；（3）；拓展： 【分析】理解： （1）过点P作，交于点F，利用题干中的方法解答即可； （2）过点P作，交于点F，利用题干中的方法解答即可； （3）过点P作，交于点F，利用题干中的方法解答即可； 拓展： 利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①点P在边上时，过点D作于点F，利用平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理求得的面积，利用相似三角形的判定与性质和题干中的方法求得，再利用同高的三角形的面积比等于底的比的性质解答即可；②点P在边上时，过点B作于点H，类比①的方法解答即可． 【详解】解：理解：（1）过点P作，交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）过点P作，交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （3）过点P作，交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 拓展：①点P在边上时，过点D作于点F，如图， 由题意得：． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴； ②点P在边上时，过点B作于点H，如图， 由题意得：， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 综上，y与t的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质比例的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，分类讨论的思想方法，本题是阅读型题目，正确连接题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 11．（2025·山西长治·模拟预测）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 若两个三角形中有一组角相等或互补，则称这两个三角形为共角三角形，小明发现共角三角形的面积与边之间存在着特殊的关系：已知和为共角三角形，当或时， 小明的证明过程（部分）如下： 证明：分以下三种情况讨论． a．当，且是直角三角形时，如图1，点D，E分别在边上 则， b．当且不是直角三角形时，如图2，点D，E分别在边上，分别过点C，E作于点G，于点H，则， ∵． ． ∴ ∴ c．当（时），如图3分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则 任务 (1)请将图3的证明过程补充完整． (2)如图4，在平行四边形中，点E在边上，且，F是边的中点．若，则_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识． （1）当（时），如图3，分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则，证明，则，则，即可得到结论； （2）过点作交的延长线于点H，过点D作于点M，则，证明，则，由题意可证明，，，得到，求出即可． 【详解】（1）证明：当（时），如图3，分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作交的延长线于点H，过点D作于点M，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵F是边的中点，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 12．（2025·广西河池·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则， ∴， ∴． 同理可得，， 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． (1)求的面积； (2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形—方向角问题、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握方向角的概念以及正确使用材料中的结论是解题的关键． （1）根据题意知：，，然后利用材料中锐角三角形的面积公式并代入数据计算即可； （2）先证明是等边三角形，分别求出，在中，由材料中结论②得并代入数据计算即可． 【详解】（1）解：由题意知：海里，海里， 由结论①知： ． ∴的面积为平方海里． （2）解：如图： 由（1）知， ∴是等边三角形， ∴海里， 又∵， ∴， 由题意知， ∴， 由题意可得：， ∴海里． 重难点三 跨学科类问题 【考情分析】中考数学跨学科类问题近年来逐渐成为考试命题的重要方向，这类问题不仅考查学生的数学知识，还强调与其他学科知识的融合与应用，体现了素质教育中对综合能力和创新思维的要求。 【命题趋势】中考数学跨学科类问题的命题趋势主要体现在以下几个方面： 1. 融合多学科知识：数学与物理、化学、生物、艺术、文史等学科的融合越来越多，题目背景常常涉及科技、传统文化、环境保护等现实问题。例如，利用数学知识解决物理中的力学问题，或者通过几何学分析传统艺术品的构造。 2. 强调实际应用：题目往往以实际生活或社会热点为背景，要求学生运用数学知识解决实际问题。如通过数据分析社区垃圾分类情况，或者设计无人机表演路径等。 3. 注重创新思维：跨学科问题通常需要学生具备较高的思维灵活性和创新能力，能够在新情境下理解和应用所学知识。例如，新定义的数学运算或符号，要求学生在理解的基础上进行推理和计算。 【2025年中考模拟预测】 1．（2023·河南商丘·一模）在物理学中，电阻表示导体对电流阻碍作用的大小，电阻的单位是欧姆（）．比欧姆大的单位还有千欧，兆欧，吉欧．它们之间的换算关系是：，，．教室内的白炽灯正常工作时的电阻约为．数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2．（2021·云南曲靖·二模）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习醇类化学式时，甲醇化学式为，乙醇化学式为，丙醇化学式为 ，按此规律，当碳原子的数目为（为正整数）时，醇类的化学式通式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型中的数字的变化类，确定碳原子的变化找出氢原子的变化规律是解题的关键． 设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为，列出部分的值，根据数值的变化找出变化规律“”依次规律即可解答． 【详解】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为， 观察发现规律：，，，…， ∴． ∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为． 故选B． 3．（2025·河南周口·一模）小明在物理课上学习了物态变化相关知识后，自己在家中进行了“探究冰熔化时温度变化规律”的实验，并绘制了如图所示的此物质变化时的温度−时间图像．已知，冰在熔化过程中，温度不变．根据图像，下列说法错误的是（    ） A．冰的整个熔化过程持续了 B．第时，冰仍在熔化，处于固液共存的状态 C．由图像可知，冰在第时全部熔化成水 D．由图像可知，冰的熔点是 【答案】B 【分析】本题考查函数图像，从函数图像中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、冰的整个熔化过程持续了；原说法正确，不符合题意； B、第时，冰已经全部熔化，处于液体状态；原说法错误，符合题意； C、由图像可知，冰在第时全部熔化成水；原说法正确，不符合题意； D、由图像可知，冰的熔点是；原说法正确，不符合题意； 故选B． 4．（2025·山东临沂·一模）氧化还原反应是化学学科的核心内容之一，对推动科技进步具有重要意义．氧化还原反应分为氧化反应和还原反应，这两种反应同时进行，通常一种物质化合价升高代表其发生了氧化反应，化合价降低代表其发生了还原反应．从以下四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是（   ） 反应一：    反应二： 反应三：        反应四： A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画树状图求事件发生的概率，根据化学方程式可知反应三和反应四中的元素只发生的氧化反应，从树状图中可以看出共有中等可能出现的情况，其中反应三和反应四同时出现的只有种，所以从四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是． 【详解】解：反应一中元素的化合价降低了， 反应一中元素发生了还原反应， 反应二中元素的化合价有升高的也有降低的， 反应二中元素既有氧化反应又有还原反应， 反应三中元素的化合价升高了， 反应三中元素发生了氧化反应， 反应四中元素的化合价升高了， 反应四中元素发生了氧化反应， 反应三和反应四中的元素只发生的氧化反应， 画树状图如下： 从树状图中可以看出共有中等可能出现的情况，其中反应三和反应四同时出现的只有种， 从四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是． 故选：D ． 5．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据，，，，求出，因为将减小，故把代入算出调整后的，即可作答． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵将减小， ∴调整后的， ∵电流表示数才能为0， ∴， ∵，，， 则， 解得， ∴， 即增大， 故选：A． 6．（2025·河南濮阳·一模）随着我国经济的发展，人们生活水平日益提高，我国出现了越来越多的潜水爱好者．为了保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图（1）所示的水压表和深度表．图（2）是某深度表的工作原理简化电路图，电源电压且恒定不变，定值电阻，是阻值随水的深度h（单位：m）变化而变化的电阻，其阻值（单位：Ω）与水的深度h的变化关系图象如图（3）所示，允许通过的最大电流为． 信息：①欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． ②串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和， 下列说法正确的是（    ） A．深度表在水面以上时，的阻值大于 B．的阻值随水深的增大而增大 C．闭合开关，深度表在水面下处时，电路中的电流为 D．闭合开关，该深度表能浸入水中的最大深度为 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的应用，根据图象和已知条件确定阻值与水的深度的比例关系，进而利用函数的性质解答即可． 【详解】解：A. 图（2）是阻值随水的深度h变化而变化，水面上边阻值不变为，说法错误； B. 的阻值随水深的增大而减小，说法错误； C. 闭合开关，深度表在水面下处时，的阻值为，电路中的电流为，说法错误； D. 闭合开关，当电流最大时，的阻值为，根据函数图象得到该深度表能浸入水中的最大深度为，说法正确； 故选：D． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）某工厂利用传送带运送货物，为研究传送带运行情况，记录了不同货物质量（单位：）与传送带电机输入功率（单位：）的相关数据，如表所示： 货物质量 …… 电机输送功率 …… (1)求出电机输送功率与货物质量之间的函数表达式； (2)已知物理中功率的计算公式（为牵引力，为传送带速度），传送带速度保持不变．当运输质量为的货物时，根据（1）中所得函数表达式求出此时电机输送功率，再据此计算传送带对货物的牵引力的大小． 【答案】(1) (2)电机输送功率为，牵引力 【分析】本题考查函数的表达式，函数的值，规律探索，熟练根据题意得出关于的规律是解题的关键． （1）先得出得出关于的规律，即可得出与之间的函数表达式； （2）将代入即可求出，再利用，即可求解． 【详解】（1）解：由当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴电机输送功率与货物质量之间的函数表达式为； （2）解：当时，， ∵，， ∴， 答：电机输送功率为，传送带对货物的牵引力F为． 8．（2025·山东青岛·模拟预测）1824年，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将两节的干电池，一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 【答案】(1)滑动变阻器的最大电阻为 (2)670元 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一次函数的应用． （1）设滑动变阻器的最大电阻是．根据“滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了．”列出分式方程，求解即可； （2）设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．根据“滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍”列出不等式，得到．列出y关于m的一次函数，根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意可列方程： ， 解得：， 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个． 由题意知： ， 解得：， 总费用 ，即， ∵ ， ∴ y随m的增大而减小． ∵ m是整数，                      ∴ 当时，y最小，此时，（元）， 答：学校买这批仪器至少要花费670元． 9．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)相邻刻线间的距离为5厘米 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：， 解得：； （4）解：由任务一可知：， ∴， ∴； （5）解：由（4）可知， ∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 10．（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】 项目主题：学科融合－用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律： 物体到凸透镜距离 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒 大于2倍焦距 大于1倍焦距小于2倍焦距 缩小 倒立 2倍焦距 2倍焦距 等大 倒立 大于1倍焦距小于2倍焦距 大于2倍焦距 放大 倒立 小于焦距 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： 任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①______，②____； 任务二：凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心的距离是时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出与的关系式： 任务三： （1）根据任务二的关系式得出下表： 物距 8 10 12 14 16 像高 12 6 4 2.4 其中______； （2）请在坐标系中画出它的图像： （3）根据函数关系式，结合图像写出1条你得到的结论： ____________________________________________________． 【答案】任务一：①；，任务二：，任务三：（1）3，（2）见解析，（3）当时，随着的增大而减小． 【分析】任务一：①由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解，任务二：由，整理得到，代入，即可求解，任务三：（1）将代入，即可求解，（2）根据描点法，即可求解，（3）根据反比例函数的增减性，即可求解， 本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质，解题的关键是：读懂题意，列出关系式． 【详解】解：任务一：①根据题意得：矩形， ∴， 根据题意得：与平行， 则， ∴，即：， 设，则，， 由题意得， ∴， ∴，即：，解得：， ∴， ∵， ∴， 任务二：∵，即：，解得：， ∴， 任务三：（1）当时，， ∴， （2）作图如下： （3）当时，随着的增大而减小， 故答案为：任务一：①；，任务二：，任务三：（1）3，（2）见解析，（3）当时，随着的增大而减小． 11．（2023·江西吉安·三模）学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． (1)求入射角的度数． (2)若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解； （）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，设法线为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴入射角约为； （2）解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴光线从空气射入水中的折射率， 答：光线从空气射入水中的折射率． 12．（2024·广东揭阳·三模）在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图． (1)如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，其中只有开关不能正常闭合，若闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是________； (2)如图2，在图1的电路图中，各元件运作情况与（1）相同，新增一个开关组B，该组三个元件均能正常使用，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，用树状图或列表法求小灯泡发亮的概率； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键； （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中可以使灯泡发亮的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小灯泡发亮的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中可以使灯泡发亮的结果有：，，共2种， 闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有9种等可能的结果，其中小灯泡发亮的结果有：，，共2种， 小灯泡发亮的概率为． 13．（2024·云南·模拟预测）在一次化学实验课上，李老师准备了（镁）、（铝）、（锌）、（银）四种银白色金属，这四种金属外表相似，无法直接区分种类．李老师让同学们随机选择一种金属与盐酸（）反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而与盐酸不会发生反应）． (1)小明从四种金属中随机选择一种，恰好选到铝金属的概率是 ； (2)小明和小红各自从四种金属中随机选择一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式 （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及二人所选金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，选到的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共9种， 二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 重难点四 现实热点问题 【考情分析】近年来，中考数学试卷愈发注重实际生活热点类问题的考查，这类题目不仅能够检验学生的基础知识掌握情况，更能体现学生运用数学知识解决实际问题的能力。 【考查形式】实际生活热点类问题在中考数学中通常以应用题的形式出现，涵盖多个数学知识点，并与现实生活紧密联系。常见的考查内容包括但不限于以下几个方面： 1. 数据统计与概率：结合新冠疫情等社会热点，考查学生对数据的收集、整理、分析及概率计算的能力。 2. 方程与不等式：以生活中的实际问题为背景，如物资调配、方案设计等，考查学生列方程或不等式解决问题的能力。这类题目往往需要学生将实际问题转化为数学模型，再进行求解。 3. 函数问题：结合生活中的变量关系，如成本与收益、时间与距离等，考查学生建立函数模型并进行分析的能力。常见的题型包括一次函数、二次函数的应用，以及函数与几何图形的结合。 4. 几何问题：利用几何图形的性质解决实际问题，如图案设计、最值问题等。这类题目要求学生具备扎实的几何知识，并能将抽象的几何概念应用于具体情境中。 【命题趋势】 1. 贴近生活：实际生活热点类问题往往选取学生熟悉的生活场景或社会热点事件作为背景，使题目更加贴近学生的实际生活，增强题目的真实感和趣味性。 2. 注重综合：这类题目通常涉及多个知识点的综合运用，要求学生具备较强的知识迁移能力和问题解决能力。例如，一道题目可能同时考查数据统计、方程求解和函数分析等多个知识点。 3. 强调创新：随着教育改革的深入，中考数学越来越注重考查学生的创新思维和探究能力。实际生活热点类问题往往具有一定的开放性和探究性，鼓励学生从不同角度思考问题，提出多样化的解决方案。 【2025年中考模拟预测】 1．（2025·四川成都·一模）电影《哪吒2》深受人们喜欢，截止到2025年3月23日，票房达到153亿，则数据153亿科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．这里． 【详解】解：． 故选：B． 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）人类对宇宙的探索从未停止，航天梦凝聚了人类对未知的好奇，也充分体现了人类的科技水平．人类正朝着星辰而奋斗．而要实现飞天梦，少不了人类对天体力学的研究，艾萨克•牛顿是人类历史上最伟大的数学家，物理学家之一．在天体力学方面，他对万有引力进行了阐述．他推导得出万有引力的计算公式为：．其中，引力常量G由另一位科学家卡文迪许通过实验测量得出： ，则引力常量G可用科学记数法表示为：（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 3．（2025·山东枣庄·一模）如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（Δ）组成如下图案： 结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当正整数 时，使得红色无人机（〇）比黄色无人机（△）的个数多台． 【答案】8 【分析】本题考查了图形规律，根据题意总结规律是解题的关键，根据所给图形，分别求出图形中〇和△的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第个图案中〇的个数为，△的个数为； 第个图案中〇的个数为，△的个数为； 第个图案中〇的个数为，△的个数为； …， 所以第个图案中〇的个数为个，△的个数为（）个． 由得， （舍去），， 所以的值为． 故答案为：． 4．（2025·甘肃平凉·一模）年月日，中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛世界羽联巡回赛超级赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时（点在抛物线对称轴右侧），乙选手在处扣球成功，则点到轴的水平距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令即，然后解一元二次方程即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：令， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点到轴的水平距离是， 故答案为：． 5．（2025·广东深圳·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1) (2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动车的每千米行驶费用为0.11元；②购买纯电动车年费用更低 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数四则混合运算的应用，列代数式等知识，根据题意准确列分式方程是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）①纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元，据此列出分式方程，解方程并检验即可；②分别计算燃油车年费用和纯电动车年费用，计算后即可得到答案． 【详解】（1）纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元） （2）①由题意得： 经检验：是该分式方程的根； 燃油车每千米行驶费用为：（元）； 纯电动车的每千米行驶费用为：（元） 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元． ②当行驶里程为时， 燃油车年费用为：（元） 纯电动车年费用为：（元）    选纯电动车年费用更低． 答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低． 6．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．    根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用： （1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴    （2）解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 7．（2025·陕西西安·二模）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； (2)求线段对应的函数表达式； (3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 【答案】(1)6，3 (2) (3)17秒 【分析】本题考查一次函数的应用、解绝对值方程、解一元一次方程，掌握路程、速度、时间之间的关系，待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键． （1）根据速度路程时间计算即可； （2）根据时间路程速度求出乙无人机飞行段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段对应的函数表达式即可； （3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可． 【详解】（1）解：甲无人机的速度是（米/秒），乙无人机的速度是（米/秒）． 故答案为：6，3． （2）解：甲无人机飞行段用时（秒），（秒）， ∴， 设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， ， 解得：， ∴线段对应的函数表达式为． （3）解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为． 当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，， 由与乙无人机的高度差为9米得：， 解得， ∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒． 8．（2025·河南周口·一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功点火发射，将3名航天员送入太空．某航天模型商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知商店老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元． (1)求“神舟”模型和“天宫”模型的进货单价； (2)该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元 (2)当购进67个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润是4399元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元．因为购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元，然后列式计算，即可作答． （2）先根据该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．列出，再结合每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，进行列式计算，最后结合一次函数的性质，即可作答． 【详解】（1）解：设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元． 由题意得， 解得， 答：“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元． （2）解：设购进个“神舟”模型，则购进个“天宫”模型． 由题意得． 解得， 依题意，设利润为元． 由题意得． ， 随的增大而减小． 为正整数， 当取最小值67时，利润取得最大值，为（元）． 答：当购进67个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润是4399元． 9．（2025·贵州六盘水·一模）滨滨和妮妮是2025年亚洲冬季运动的吉祥物，寓意“哈尔滨欢迎您”．某商店以每件35元的价格购进吉祥物滨滨，以每件50元的价格出售，经统计，2025年1月份的销售量为200件．从2月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价为x元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为______件；（用含x的式子表示） (2)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)降价2.5元时，月销售利润最大，最大利润是3125元 【分析】本题考查了二次函数的应用以及列代数式． （1）（1）利用月销售量该款吉祥物每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出月销售量； （2）利用总利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的二次函数，运用二次函数的性质即可得出结论 【详解】（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件． 故答案为：； （2）解：设总利润为w，则有： ， ∵， ∴当时，有最大值，为3125， ∴降价2.5元时，月销售利润最大，最大利润是3125元 10．（2025·河南·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 【答案】(1)购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， (2)元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 即（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， （2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个， 则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且， 11．（2025·安徽安庆·一模）2025年亚冬会在哈尔滨举行．亚布力滑雪场初级赛道截面图，如图所示，平台长10米，滑道长400米，滑道的坡角，雪场电梯坡角，点、、在同一条直线上．已知，，运动员滑下后从点走到点的速度为50米/分，坐电梯从到点的速度为100米/分． (1)求雪场电梯的长度． (2)计算运动员从点走到点，再坐电梯从到点，所需的时间．（，，，，，结果保留整数） 【答案】(1)224米 (2)运动员从点走到点，再坐电梯从点到点所需时间大约需要6分钟 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点．在中，解直角三角形得米，由矩形性质得，在中，利用直角三角形的性质即可得解； （2）在中，解直角三角形得米，由矩形性质得，米，在中，解直角三角形得米，米，从而即可得解． 【详解】（1）解：过点作于点． 在中，，， （米） ∵四边形是矩形， ∴ 在中，，， ∴（米） （2）解：在中，，， （米） ∵四边形是矩形， ∴ ∴（米） 在中 ∵， ∴（米） ∴（米） ∴所需总时间为：（分钟） 答：运动员从点走到点，再坐电梯从点到点所需时间大约需要6分钟． 12．（2025·贵州黔东南·一模）2025年央视春节联欢晚会中机器人参与表演的《秧》令人印象深刻，随着科技发展，机器人逐步走进我们的生活，给生产活动带来了极大的助力．如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上肢类似．如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂米，大臂米，移动基座米，当，时： (1)求大、小臂连接处B到移动基座的水平距离； (2)求点C到工作台的高度的长． 参考数据：，， 【答案】(1)大、小臂连接处B到移动基座的水平距离为3米 (2)点C到工作台的高度的长为米 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的意义是解题的关键． （1）根据锐角的三角函数的意义求解； （2）先根据锐角函数的意义求出，再根据线段的和差求解． 【详解】（1）解：如图过点B作，交的延长线于点E， ， ， 在中，， ， 大、小臂连接处B到移动基座的水平距离为3米； （2）解：延长交的延长线于点F， 由（1）得， 在中，， ， 四边形为矩形， ， 又， ， ，即， ， 在中，， ， ， 点C到工作台的高度的长为米． 13．（2025·陕西汉中·一模）2025年3月28日缅甸级强震发生后，中国政府第一时间宣布启动紧急人道主义救援行动，中国云南救援队成为了首支抵达缅甸的外国救援队伍．为了增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，测试卷共有10道题，测试后随机抽取该校20名学生，将他们答对题目的数量进行统计，并将统计结果整理成如下统计图： 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)所抽取学生答对题目数量的众数为________道，中位数为________道； (2)求所抽取学生答对题目数量的平均数； (3)若该校共有800名学生，请你估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有多少名？ 【答案】(1)10，8 (2)所抽取学生答对题目数量的平均数为8道 (3)估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有240名 【分析】本题考查了求众数、中位数、平均数、用样本估计总体，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义即可求解； （2）根据平均数的定义即可求解； （3）先计算答对10题学生的占比，再乘以800即可得出答案． 【详解】（1）解：由统计图可得，所抽取学生答对题目数量的众数为10道，中位数为8道． 故答案为：10；8． （2）解：（道）， ∴所抽取学生答对题目数量的平均数为8道． （3）解：（名）， ∴估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有240名． 重难点五 动点问题 【考情分析】动点问题作为中考数学的压轴题型之一，历来受到命题者的青睐。这类题目以其综合性强、难度系数大而著称，主要考查学生的逻辑思维、空间想象以及数学洞察力。动点问题主要分为三类：点动、线动和形动。其中，点动问题最为常见，涉及到的知识点包括函数与三角形、四边形的结合，图形的变换以及方程的应用。具体考查重点如下： 1.  是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）：此类题目要求学生根据动点的运动轨迹，判断是否存在满足特定条件的三角形。解题过程中常需利用勾股定理、相似三角形的性质等。 2.  是否存在四边形（平行四边形、梯形等）：考查学生对各种四边形性质的理解与应用，特别是平行四边形的判定定理。 3.  三角形与已知三角形相似或全等：这类题目要求学生通过动点的运动，找出与已知三角形相似或全等的三角形，通常需要分情况讨论。 4. 三角形与已知三角形的面积关系：涉及面积的计算，常需利用三角形的面积公式及相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识点。 【解题策略】 1. 假设存在法：先假设所求对象存在，根据题意列出方程，若能解出符合条件的解，则存在；反之，则不存在。 2.  分类讨论法：根据动点的不同位置或三角形的不同顶点进行分类讨论，确保所有可能情况均被考虑到。 3.  数形结合法：利用图形的直观性，结合代数方法（如方程、函数）解决问题，这是解答动点问题的核心方法。 4. 特殊值法与极限思想：在某些情况下，通过选取特殊值或考虑极限位置，可以简化问题，找到解题的突破口。 【2025年中考模拟预测】 1．（2025·河南郑州·一模）如图，一动点从的点出发，在三角形的内部（含边上）沿直线运动次，第一次到点，第二次到点，第三次到点，设点运动路程为，，与的函数图象如图所示，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是根据图象列出数量关系式． 根据图象可知当时，，即点与点重合，从而求出则，当时，，当运动到时，路程增加，且，则可知为中点，与重合，作于点，连接并延长交于点，则有垂直平分，然后通过相似三角形的判定与性质得出为中点，设，则，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得：当时，，即点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当运动到时，路程增加，且， 则可知为中点，与重合， 作于点，连接并延长交于点，如图， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴为中点， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴， 故选：． 2．（2025·黑龙江大庆·一模）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（　　） A． B． C．平行四边形的周长为42 D．当时，的面积为24 【答案】D 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息．根据图象可直接判断A和B；由平行四边形的周长公式可判断C；由三线合一得，由勾股定理求出，求出，进而求出的面积可判断D． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A不正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B不正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C不正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图， 此时的面积是面积的一半， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D正确，符合题意． 故选：D． 3．（2025·河北石家庄·一模）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图-1所示，动点从点出发，沿路径匀速运动，速度为，点到达终点后停止运动，的面积与点的运动时间的关系如图-2所示，以下结论：①；②；③点从点运动到点需要，正确的结论是（   ） A．③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查观察函数图象，动点问题和面积结合．根据题意先通过函数图象得到，，再分别利用面积逐一分析判断即可． 【详解】解：由题意和函数图象可知：，， 当点与重合时，， ∴，解得：，①正确， 当点与重合时，，解得：，②错误， ∴， ∴， ∵， ∴点从点运动到点需要，③正确， 故选：C． 4．（2025·安徽安庆·一模）如图，正方形边长为6，点是边的中点，点在上，且，动点从点沿、运动到点，过点作于点，作于点，记点运动的路程为，四边形的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的变化列出函数解析式. 结合原图形上动点在不同的线段上运动得到不同的关系式，再根据不同的关系式得到不同的图象，最后结合所给选项进行分析即可. 【详解】解： 如图，延长线段交于点，则 ,，由勾股定理得， ， ， ∴，，该区间解析式为二次函数，图象为抛物线，开口向下； 当时，，该区间解析式为一次函数，随的增大而减小； 故选：A. 5．（2024·河南·三模）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程，    ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：4 6．（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为． （1）当点P和点Q相遇时，t的值为 ； （2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为 ． 【答案】 或4 或 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用． （1）由题意知，，当点P和点Q第一次相遇时，，列方程计算即可；当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，列式计算即可； （2）先求出以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是，再分两种情况讨论：当，即点P，Q相遇前；当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，分别求出结果即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ①当点P和点Q第一次相遇时，，即， 解得； ②当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C， 此时， 即当点P和点Q相遇时，t的值为或4； 故答案为：或4； （2）如图， 矩形的面积为， ∴以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是， 当，即点P，Q相遇前， ， 则， 解得； 当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前， ， 则， 解得． 综上，当或时，以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的． 故答案为：或． 7．（2025·河南周口·二模）如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理．分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形，分别利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 如图，过点作与，则四边形是矩形，， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 8．（2025·河南许昌·一模）如图，在中，，点D为斜边上一动点，点B关于直线的对称点为点E，连接，，当时，的值为 ． 【答案】或 【分析】该题考查了轴对称，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，分为①如图，当点D在斜边的中点时，②如图，当点E在斜边上时，分别求解即可． 【详解】解：①如图，当点D在斜边的中点时， 根据轴对称可得， ∵在中，， ∴，， ∴，即为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，符合题意， 此时； ②如图，当点E在斜边上时， 则， 设， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，符合题意， 此时； 故答案为：或． 9．（2025·江苏苏州·模拟预测）数轴上点表示，点表示，点表示，点表示．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为_________；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离_________（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离_________（用含有的代数$$