专题18 一元一次不等式（组）中的含参问题　训练　 2024—2025学年人教版数学七年级下册

专题18 一元一次不等式(组)中的含参问题 （压轴题常考题型精讲精练） 【知识考点 不等式与不等式组】 【压轴题常考题型梳理】 【题型01】 根据不等式的性质求参数的取值范围 【题型02】 利用一元一次不等式（组）的定义求参数 【题型03】 由一元一次不等式（组）解集的情况求参数 【题型04】 根据一元一次不等式（组）的有解或无解情况求参数 【题型05】 根据一元一次不等式（组）的同解情况求参数 【题型06】 根据一元一次不等式（组）的整数解情况求参数 【题型07】 已知一个不等式（组）的解集求另一个不等式（组）的解集 【题型08】 与一元一次不等式（组）有关的新定义中的参数问题 【题型09】 一元一次方程与一元一次不等式（组）的综合求值 【题型10】 二元一次方程组与一元一次不等式（组）的综合求值 【题型01】根据不等式的性质求参数的取值范围 1.（2024-2025七年级·广西南宁·期末）若关于x的不等式mx﹣x＞1﹣m的解集是x＜﹣1，则m的取值范围是（   ） A．m＞1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1 【答案】B 【分析】根据不等式的性质可得，两边同除以一个负数，不等号方向发生改变，即可求得结果． 【解答】解：将不等式化为， ∵不等号两边同时除以得到， ∴， 解得， 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 2.（2024-2025七年级·四川遂宁·期中）不等式的解集是那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在不等式两边都除以后，不等号的方向改变了，可得到，从而可得答案． 【解答】解： 的解集是， 在不等式的两边都除以：，不等号的方向发生了改变， 故选A． 【点评】本题考查的是不等式的基本性质以及解不等式，掌握以上知识是解题的关键． 3.（2024-2025七年级·福建泉州·期末）若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，两边同时乘一个负数不等号改变，求出a的取值范围． 【解答】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质． 4.（2024-2025七年级·四川德阳·期末）若，且，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件可得，先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【解答】解：∵，， ∴， 解得：而， ， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴t的取值范围是：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 5.（2024-2025七年级·安徽合肥·期中）若，且，，设， （1）用只含有的代数式表示，则 ； （2）t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质，二元一次方程中用一个未知数表示另一个未知数； （1）根据得到，代入计算即可； （2）根据，，把，代入得到，再确定t的取值范围． 【解答】解：（1）∵， ∴，． ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴，． ∴，． ∴． ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 【题型02】 利用一元一次不等式（组）的定义求参数 6．（2024-2025七年级下·全国·随堂练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出的值． 根据一元一次不等式的定义得出，求出的值即可． 【解答】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A． 7．（2023-2024七年级下·重庆江津·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】2 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 8.（2024-2025七年级·河南郑州·开学考试）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式定义求参数及解一元一次不等式，根据一元一次不等式定义先求出，代入原不等式求解即可得到答案，熟记一元一次不等式定义及一元一次不等式的解法步骤是解决问题的关键． 【解答】解： 是关于的一元一次不等式， ，且，解得， 题中的不等式为，解得， 故答案为：． 9．（2023-2024七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可． 【解答】∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 10.（2024-2025七年级·福建福州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【答案】  【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 利用一元一次不等式的定义得出且，由此解答即可． 【解答】解：是关于的一元一次不等式， ， 解得：， ，又，即， ． 【题型03】 由一元一次不等式（组）解集的情况求参数 11．（2024-2025七年级上·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B． 【分析】本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，得出或，然后关于a的不等式即可． 【解答】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：B． 12．（2023-2024七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：， 解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 13.（2023-2024七年级·湖北武汉·期末）已知关于x的不等式x﹣a＜0的最大整数解为3a+6，则a＝ ． 【答案】 【分析】求出不等式的解集，根据已知得出，求出，设，则，得出不等式组，求出即可． 【解答】解：解不等式得：， 关于的不等式的最大整数解为， ， 解得：， 为整数， 设，则， 即， 解得：， 为整数， ， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，解此题的关键是得出关于的不等式组． 14.（2023-2024七年级·河南南阳·期末）已知不等式组，要使它的解集中的任意x的值都能使不等式成立，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解不等式组得到解集，结合成立列式求解即可得到答案； 【解答】解：分别解不等式得， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：； 【点评】本题考查解不等式组及根据解集求参数，解题的关键是正确的求出不等式组的解集． 15.（2024-2025七年级·浙江宁波·期末）已知不等式的解是，则a＝ ． 【答案】 【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可． 【解答】∵ ∴，即， ∴ ∴或 ∴或 ∵不等式的解是， ∴应舍去， ∴，解得， 经检验，是方程的解． 故答案为：． 【点评】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解． 【题型04】 根据一元一次不等式（组）的有解或无解情况求参数 16.（2023-2024七年级·吉林松原·期中）若不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知不等式组无解，确定出k的范围即可． 【解答】解：∵不等式组无解， ∴k的范围为k≥2， 故选：A． 【点评】此题考查了不等式组的解集，熟练掌握确定每个不等式的解集是解本题的关键． 17.（2023-2024七年级·安徽合肥·期中）如果关于x的不等式组有解，且关于x的方程有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．－1 B．－3 C．－7 D．－8 【答案】B 【分析】解不等式组，若不等式组有解则其解的上限要比下限大，从而确定参数的范围；解方程可得，若方程有正整数解则；然后取满足条件的整数验证是否为正整数即可解答； 【解答】解：由不等式可得， 由不等式可得， ∴不等式组的解为， 若不等式组有解则，可得， 由可得， ∵方程有正整数解， ∴，可得， 当时，则，则，则， ∴符合条件的所有整数k的和， 故选： B． 【点评】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 18.（2023-2024七年级·广西梧州·期末）关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组有解且每一个的值均不在的范围中， ∴或， 解得：或， 不等式组有解集， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性质，逆向应用是本题的特点． 19.（2023-2024七年级·湖南株洲·期末）若不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组无解， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 20.（2023-2024七年级·广东广州·期中）已知关于x，y的不等式组有以下说法： ①若它的解集是1＜x≤4，则a＝4；②当a＝1时，它无解；③若它的整数解只有2，3，4，则4≤a＜5；④若它有解，则a≥2．其中所有正确说法的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可． 【解答】解：解不等式x﹣1＞0得，x＞1；解不等式x﹣a≤0得，x≤a，故不等式组的解集为：1＜x≤a． ①∵它的解集是1＜x≤4，∴a＝4，故本小题正确； ②∵a＝1，x＞1，∴不等式组无解，故本小题正确； ③∵它的整数解只有2，3，4，则4≤a＜5，∴4≤a＜5，故本小题正确； ④∵它有解，∴a＞1，故本小题错误． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键. 【题型05】 根据一元一次不等式（组）的同解情况求参数 21．（2024-2025七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先分别解两个不等式，再根据两个不等式的解解相同得关于m的方程，解方程即可得解． 【解答】解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵两个不等式的解集相同， ∴， 解得． 故选：C． 22.（2024-2025七年级·四川遂宁·期中）如果关于x的不等式和的解集相同，则a的值为 ． 【答案】7 【分析】解得，解得，由不等式和的解集相同，可得，计算求解即可． 【解答】解：，解得， ，解得， ∵不等式和的解集相同， ∴，解得， 故答案为：7． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 23.（2023-2024七年级·全国·期末）已知关于x的一元一次不等式与2﹣x＜0的解集相同，则m＝ ． 【答案】 【分析】首先计算出两个不等式的解集，再根据题意可得-6m+6=2，再解即可． 【解答】解：∵2﹣x＜0 ∴x＞2 3x-6m+12＜4x+6， 解得：x＞-6m+6， ∵关于x的一元一次不等式与2﹣x＜0的解集相同 ∴-6m+6=2， 解得： 故答案为： 【点评】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确确定两个不等式的解集． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）若不等式的解集与关于的不等式的解集相同，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查不等式的解集，掌握解不等式的方法是解题的关键．根据不等式的解集与关于的不等式的解集相同，然后根据题意建立一个关于的不等式，从而确定的范围即可． 【解答】解：不等式， 解得． 关于的不等式， 不等式的解集与关于的不等式的解集相同， 解得． 25.（2024-2025七年级·辽宁沈阳·期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【答案】(1)1 (2)或或 (3) 【分析】本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键． （1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 【解答】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵两不等式是同解不等式， ∴，解得：； （2）解：，解得：， ，解得：， ∵两不等式是同解不等式， ∴，即， ∵，是正整数， ∴为1或4或2， ∴或或； （3）解：，解得：， ∵不等式P和不等式Q是同解不等式， ∴， ，解得：， ∴， ∴，即，， ∴，即， ∴， ∴解得：， 即关于的不等式的解集为． 【题型06】 根据一元一次不等式（组）的整数解情况求参数 26．（2023-2024七年级下·安徽安庆·期中）若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．39 B．42 C．45 D．48 【答案】A． 【分析】本题考查一元一次不等式组整数解问题，先解不等式组，根据只有3个整数解，列不等式求解即可得到答案； 【解答】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有且只有3个整数解， 不等式组的解为：， ∴这3个整数数解为3，2，1， ，即， 解得， ∵k为整数， ∴k为12，13，14， ∴符合条件的所有整数k的和为：， 故选：A． 27．（2023-2024七年级·四川宜宾·期末）若关于x的一元一次不等式组，有3个非负整数解，则m的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中有3个非负整数解，确定出m的范围即可． 【解答】解：不等式组整理，得：， 解得：， 不等式组有3个非负整数解，即非负整数解为0，1，2， ， 解得：． 故选：A． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 28．（2023-2024七年级下·湖北·期末）已知关于x的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； ④若它有解，则． 其中正确的结论个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【解答】 解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， 若它的解集是，则， 解得：，故①符合题意； ②当时，，不等式无解，故②符合题意； ③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4， ∴， 解得：，故③不符合题意； ④若它有解，则， 解得：，故④符合题意； 综上所述，符合题意的有①②④，共个， 故选：C． 29．（2023-2024七年级下·广东江门·期中）已知关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和是 ． 【答案】15． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出a的值．首先求出不等式组的解集为，然后根据，可以求得a的值，从而可以得到所有满足条件的a的值之和． 【解答】 解：由不等式组得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∵a是正整数， ∴，，，，5 ∴所有满足条件的正整数a的值之和为：． 故答案为：15． 30．（2024-2025八年级上·湖南长沙·开学考试）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）是 阶不等式；   是 阶不等式组； （2）若关于x的不等式组  是4阶不等式组，求a的取值范围； （3）关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了求不等式组和不等式的整数解： （1）根据题目中的定义进行分析即可； （2）根据题目中的定义进行分析，可知整数解为1，2，3，4，从而可得出a的范围； （3）先解不等式得到，解方程得到，则，根据是阶不等式组，得到最大的正整数解为，再由得到，解方程求出m的值，进而求出p的取值范围即可． 【解答】（1）解：∵不等式有2个正整数解， ∴是2阶不等式； 解不等式组得， ∴这个不等式组有1个正整数解， ∴不等式组是1阶不等式； 故答案为：2，1； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组是4阶不等式组， ∴关于的不等式组有4个正整数解， ∴有4个正整数解， ∴；即； （3）解：解不等式组得， 解方程得， ∴， ∵是正整数， ∴m为偶数， ∵是阶不等式组， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴整数解为， ∴． 【题型07】 已知一个不等式（组）的解集求另一个不等式（组）的解集 31.（2024-2025七年级·湖北黄石·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【解答】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 32.（2024-2025七年级·浙江·期末）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】对不等式可得，其解集是，故有，所以；将其代入不等式中即可求得该不等式的解集． 【解答】解：不等式系数化1得， ，且＞0， 该不等式的解集为是， ， ， ∵＞0， ∴＞0， 解得， 将代入不等式得， ， 移项得， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点评】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算． 33.（2023-2024七年级·四川南充·期末）已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集为，则不等式bx＋a＜0的解集是 ． 【答案】 【分析】根据已知不等式的解集确定出a与b的关系，用b表示出a，代入所求不等式求出解集即可． 【解答】解：∵关于x的不等式ax＋b＞0的解集为x＜， ∴−＝且a＜0， 整理得：a＝−3b，b＞0， 代入所求不等式得：bx−3b＜0， 解得：x＜3． 故答案为：x＜3． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 34.（2024-2025七年级·广东珠海·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 由，可得，由不等式的解集为，则，即且，可求，则，整理得，计算求解即可． 【解答】解：， ∴， ∵不等式的解集为， ∴，即且， 解得，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 35.（2023-2024七年级·江苏·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是 ． 【答案】. 【分析】不等式的解集是，判断出a＜0且则可以得到，得到再解出不等式的解集即可． 【解答】解：∵不等式的解集是 根据不等式的性质可知，当时，不等式的解集为不符合题意 ∴可以判断出，即不等式的解集为 ∴，即且 即，则 ∴不等式的解集为 故答案为：. 【点评】本题考查了不等式的解集，熟悉不等式的性质是解题的关键． 【题型08】 与一元一次不等式（组）有关的新定义中的参数问题 36．（2023-2024七年级下·北京·期中）对于两个关于的不等式，若有且仅有一个整数，使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数“互联”．例如：不等式和不等式关于整数“互联”． （1）不等式和关于整数______“互联”； （2）若关于的不等式和关于整数“互联”， ①直接写出的值为______； ②求的最大值； （3）已知不等式和关于整数“互联”，直接写出的取值范围． 【答案】见解析 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法； （1）解不等式得，再根据“互联”的定义即可； （2）①根据定义可得； ②根据题意得，再根据“互联”的定义得； （3）根据题意得，解不等式组，即可求解． 【解答】（1）解：是，理由如下： 解不等式得， 满足条件的整数有且只有一个：，所以这两个不等式是“互联”的； 故答案为：3． （2）解：①解不等式，得 ∵关于的不等式和关于整数“互联”， ∴， 故答案为：． ②依题意，的整数解为， ∴ 解得： 故的最大值为； （3）解：若不等式和是关于整数 “互联”的， 则满足的整数有且只有一个，为 ∴ 解得： 37．（2023-2024七年级下·河南商丘·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）在不等式：①，②，③中，不等式的“云不等式”是_______（填序号）； （2）若关于x的不等式不是的“云不等式”，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）根据云不等式的定义即可求解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据云不等式的定义可得，解不等式即可求解； （3）分别求出两个不等式的解集，再根据“云不等式”的定义及有2个公共的整数解得，解关于不等式即可求解． 【解答】（1）解：解不等式得，解不等式得， 不等式和不等式有公共解，故①是不等式的“云不等式”； 不等式和不等式有公共解，故②是不等式的“云不等式”； 不等式和不等式没有公共解，故③不是不等式的“云不等式”； 故答案为：①②； （2）解：解不等式可得， 解不等式得， 关于的不等式不是的“云不等式”， ， 解得， 故的取值范围是； （3）解：解不等式可得， 解不等式得， 关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解， ， 解得， 故的取值范围是． 38．（2023-2024七年级下·山东德州·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖：不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． （1）下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______ ①； ②； ③； ④； （2）若关于的不等式被覆盖，求的取值范围； （3）若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查不等式的性质，解不等式（组）的方法，理解题目中的含义，掌握解不等式（组）的方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质，分别求出①②③④的解集，再根据材料提示的信息即可求解； （2）先解不等式得，再根据覆盖的定义即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当有解时，； 当无解时，；根据不等式的性质求解即可． 【解答】（1）解：①， 解得，； ②， 解得，； ③， 解得，； ④， 解第一个不等式得，，解第二个不等式得，， ∴不等式组无解； ∴被不等式覆盖的是③④， 故答案为：③④； （2）解：， 移项得， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵不等式被覆盖， ∴， 解得，； （3）解：∵不等式被覆盖， ∴当有解时，， 解得，； 当无解时，， 解得，； 综上所述，当或时，不等式被覆盖． 39．（2023-2024七年级下·湖南长沙·阶段练习）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围； （3）关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解新定义，正确解不等式组是解题关键． （1）先解不等式组A，进而得出A的解集中点值，再根据“中点包含”的定义判断即可； （2）先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出，求出C的解集中点值，再根据“中点包含”的定义求解即可； （3）先解不等式组E和不等式组F，求出E的解集中点值，再根据“中点包含”的定义求得，然后根据整数m之和为12，得到的可能取值，进而得出n的取值范围即可． 【解答】（1）解：不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下： 解不等式组A：，得：， ∴A的解集中点值为， ∵在不等式B：范围内， ∴不等式B对于不等式组A中点包含； （2）解：解不等式组C：，得：， 解不等式组D：，得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴不等式组C和不等式组D有解， ∴，解得：， ∴当时，不等式组C的解集为，不等式组D的解集为， ∵C的中点值为，且D对于不等式组C中点包含， ∴， 解得：， 又∵， ∴． 先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出，再求出 （3）解：解不等式组E：，得：， 解不等式组F：，得：， ∴E的中点值为， ∵不等式组F对于不等式组E中点包含， ∴，解得：， ∵所有符合要求的整数m之和为12， ∴整数m可取3、4、5，或、、0、1、2、3、4、5． ∴或． 40．（2023-2024七年级下·江苏泰州·期末）我们规定若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． 问题解决： （1）方程是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求的取值范围． 【答案】见解析 【分析】本题考查解不等式组和一元一次方程以及新定义的运算，掌握“关联方程”的定义是解题的关键． （1）分别求解一元一次方程和不等式组，根据定义判断即可； （2）分别求解一元一次方程和不等式组，根据定义“一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内”可得方程组，求解即可； （3）解不等式组可得，根据题意可得，求得m的取值范围，可得，，分情况讨论即可． 【解答】（1）解：不是，理由如下： ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不是“关联方程”； （2）由，得， 由，得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 即的取值范围是． （3）的解集为：， 不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解， ， 解得， ，， 当时，必须满足，m无解； 当时，必须满足，解得； 综上所述，． 【题型09】 一元一次方程与一元一次不等式（组）的综合求值 41.（2024-2025七年级·贵州六盘水·期中）若方程的解是负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解一元一次方程，然后根据已知方程的解是负数，可得，从而可得，最后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 方程的解是负数， ， ， ， ， 故选：A． 42.（2023-2024七年级·全国·期末）若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决． 【解答】解：由方程，得， 关于的方程的解为非负整数， ，得， ， 由①，得， 由②，得， 关于的不等式组有解， ，得， 由上可得，， 符合条件的整数的值为：，，，，， 符合条件的整数的值的和为：． 故选：C． 【点评】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程和不等式的方法． 43.（2023-2024七年级·甘肃兰州·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（   ）． A．2 B．7 C．11 D．10 【答案】D 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，由方程有非负整数解，确定出m的值，求出之积即可． 【解答】解：， 由①得：， 由②得， 由解集为，得到，即， 方程去分母得：，即， 由为非负整数，结合且为整数， ∴或， ∴符合条件的所有整数m的积为， 故选D． 【点评】本题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 44.（2023-2024七年级·江苏扬州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为____． 【答案】  【分析】见解析 【解答】解：不等式，即的解集为， ， 代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 【点评】根据已知不等式解集确定出的值，代入方程计算即可求出的值．本题考查了不等式的解法以及一元一次方程的解法，正确确定的值是关键． 45.（2023-2024七年级·河南洛阳·期中）已知关于x的方程：． (1)若方程的解是．那么？ (2)若该方程的解是负数，并且m是负整数，请你试求该方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入方程得到一个关于m的方程，求得常数即可； （2）求出关于x的方程，进一步探讨得出答案即可． 【解答】（1）把代入，得： ， 解得：． （2） 去分母得，， 解得：， ∵， ∴， ∴． ∵m是负整数， ∴， ∴． 【点评】此题考查了方程解的定义和解方程的步骤与方法，注意审清题意，正确理解方程的解． 【题型10】 二元一次方程组与一元一次不等式（组）的综合求值 46．（2023-2024七年级·重庆·期末）若关于x的不等式组恰有2个整数解，且关于x，y的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数m的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中恰有2个整数解，确定出m的范围，再由方程组有整数解，确定出满足题意的整数m的值，求出之和即可． 【解答】解：不等式组整理得：， 解得：-2＜x≤， ∵不等式组恰有2个整数解，即-1，0， ∴0≤＜1， 解得：-4≤m＜1，即整数m=-4，-3，-2，-1，0， 解方程组得：， ∵x，y为整数， ∴m+3=±1或±2或±4， 解得：m=-4或-2或-1， 则m值的和为-4-2-1=-7． 故选：D． 【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 47.（2024-2025七年级·黑龙江哈尔滨·期末）,为实数,若关于的方程组无解,则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组及一元一次不等式性质．熟练运算是解出本题的关键． 【解答】解:∵,整理得：, ∴把代入得, ,解得, ∵该方程组无解, ∴, ∴, ∴, ∴关于的不等式的解集为, ∴, 故选:C． 48.（2024-2025七年级·河北廊坊·期末）已知方程组 的解满足，则k的非负整数值为 【答案】0，1/1，0 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，先解二元一次方程组，得到，再把代入不等式，求出,即可得到k的非负整数值. 【解答】解： ①×2＋②×3得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得， ∴k的非负整数值为0，1 故答案为：0，1 49.（2023-2024七年级下·福建福州·期中）已知关于x、y的方程组的解满足x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)当m为何整数时，关于z的不等式的解为． 【答案】(1) (2)m的整数值为： ； 【分析】（1）解方程组得出x、y，由x为非负数，y为负数得出关于m的不等式组，解之可得； （2）先根据不等式的性质得出，解得，结合以上求出m的范围可得答案． 【解答】（1）解：解方程组得： 由题意知， 解得：； （2）解：由得：， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（1）得：， 则， ∴m的整数值为： ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 50．（2023-2024七年级下·四川内江·期中）阅读以下材料完成下列各题： 材料一： 解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． 阅读材料一，解决问题． （1）直接写出不等式的解集是_____； （2）求不等式的解集． 材料二： 对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，． 阅读材料二，解决问题． （3）求a、b的值； （4）若关于x的不等式组只有一个整数解，则t的取值范围； 综合应用∶利用以上两段材料解决下列问题 （5）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】见解析 【分析】（1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案； （2）根据有理数除法法则直接列不等式组求解即可得到答案； （3）由新定义可得，再解方程组即可； （4）由新定义可得，再结合不等式组只有一个整数解，可得，再进一步可得答案； （5）由新定义可得，解得：，结合，即，再进一步可得答案． 【解答】解：（1）∵， ∴或， 解得：或， ∴一元二次不等式的解集是或； （2）∵， ∴或， 解得：或无解， ∴一元二次不等式的解集是． （3）∵，，， ∴，整理得：， 解得：， （4）∵，而， ∴， 由①得：， 由②得：， ∵关于x的不等式组只有一个整数解， ∴整数解为3， ∴， ∴； （5）∵，而， ∴， 整理得：， 解得：， ∵，即， ∴或， 解得：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 一元一次不等式(组)中的含参问题 （压轴题常考题型精讲精练） 【知识考点 不等式与不等式组】 【压轴题常考题型梳理】 【题型01】 根据不等式的性质求参数的取值范围 【题型02】 利用一元一次不等式（组）的定义求参数 【题型03】 由一元一次不等式（组）解集的情况求参数 【题型04】 根据一元一次不等式（组）的有解或无解情况求参数 【题型05】 根据一元一次不等式（组）的同解情况求参数 【题型06】 根据一元一次不等式（组）的整数解情况求参数 【题型07】 已知一个不等式（组）的解集求另一个不等式（组）的解集 【题型08】 与一元一次不等式（组）有关的新定义中的参数问题 【题型09】 一元一次方程与一元一次不等式（组）的综合求值 【题型10】 二元一次方程组与一元一次不等式（组）的综合求值 【题型01】根据不等式的性质求参数的取值范围 1.（2024-2025七年级·广西南宁·期末）若关于x的不等式mx﹣x＞1﹣m的解集是x＜﹣1，则m的取值范围是（   ） A．m＞1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1 2.（2024-2025七年级·四川遂宁·期中）不等式的解集是那么（   ） A． B． C． D． 3.（2024-2025七年级·福建泉州·期末）若，且，则的取值范围是 ． 4.（2024-2025七年级·四川德阳·期末）若，且，设，则t的取值范围为 ． 5.（2024-2025七年级·安徽合肥·期中）若，且，，设， （1）用只含有的代数式表示，则 ； （2）t的取值范围为 ． 【题型02】 利用一元一次不等式（组）的定义求参数 6．（2024-2025七年级下·全国·随堂练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ） A． B． C．0 D．1 7．（2023-2024七年级下·重庆江津·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则 ． 8.（2024-2025七年级·河南郑州·开学考试）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 9．（2023-2024七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 10.（2024-2025七年级·福建福州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【题型03】 由一元一次不等式（组）解集的情况求参数 11．（2024-2025七年级上·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．（2023-2024七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 13.（2023-2024七年级·湖北武汉·期末）已知关于x的不等式x﹣a＜0的最大整数解为3a+6，则a＝ ． 14.（2023-2024七年级·河南南阳·期末）已知不等式组，要使它的解集中的任意x的值都能使不等式成立，则m的取值范围是 ． 15.（2024-2025七年级·浙江宁波·期末）已知不等式的解是，则a＝ ． 【题型04】 根据一元一次不等式（组）的有解或无解情况求参数 16.（2023-2024七年级·吉林松原·期中）若不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17.（2023-2024七年级·安徽合肥·期中）如果关于x的不等式组有解，且关于x的方程有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．－1 B．－3 C．－7 D．－8 18.（2023-2024七年级·广西梧州·期末）关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19.（2023-2024七年级·湖南株洲·期末）若不等式组无解，则的取值范围为 ． 20.（2023-2024七年级·广东广州·期中）已知关于x，y的不等式组有以下说法： ①若它的解集是1＜x≤4，则a＝4；②当a＝1时，它无解；③若它的整数解只有2，3，4，则4≤a＜5；④若它有解，则a≥2．其中所有正确说法的序号是 ． 【题型05】 根据一元一次不等式（组）的同解情况求参数 21．（2024-2025七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 22.（2024-2025七年级·四川遂宁·期中）如果关于x的不等式和的解集相同，则a的值为 ． 23.（2023-2024七年级·全国·期末）已知关于x的一元一次不等式与2﹣x＜0的解集相同，则m＝ ． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）若不等式的解集与关于的不等式的解集相同，求的值． 25.（2024-2025七年级·辽宁沈阳·期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【题型06】 根据一元一次不等式（组）的整数解情况求参数 26．（2023-2024七年级下·安徽安庆·期中）若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．39 B．42 C．45 D．48 27．（2023-2024七年级·四川宜宾·期末）若关于x的一元一次不等式组，有3个非负整数解，则m的取值范围是(   ) A． B． C． D． 28．（2023-2024七年级下·湖北·期末）已知关于x的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； ④若它有解，则． 其中正确的结论个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（2023-2024七年级下·广东江门·期中）已知关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和是 ． 30．（2024-2025八年级上·湖南长沙·开学考试）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）是 阶不等式；   是 阶不等式组； （2）若关于x的不等式组  是4阶不等式组，求a的取值范围； （3）关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 【题型07】 已知一个不等式（组）的解集求另一个不等式（组）的解集 31.（2024-2025七年级·湖北黄石·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 32.（2024-2025七年级·浙江·期末）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是 ． 33.（2023-2024七年级·四川南充·期末）已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集为，则不等式bx＋a＜0的解集是 ． 34.（2024-2025七年级·广东珠海·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是 ． 35.（2023-2024七年级·江苏·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是 ． 【题型08】 与一元一次不等式（组）有关的新定义中的参数问题 36．（2023-2024七年级下·北京·期中）对于两个关于的不等式，若有且仅有一个整数，使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数“互联”．例如：不等式和不等式关于整数“互联”． （1）不等式和关于整数______“互联”； （2）若关于的不等式和关于整数“互联”， ①直接写出的值为______； ②求的最大值； （3）已知不等式和关于整数“互联”，直接写出的取值范围． 37．（2023-2024七年级下·河南商丘·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）在不等式：①，②，③中，不等式的“云不等式”是_______（填序号）； （2）若关于x的不等式不是的“云不等式”，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 38．（2023-2024七年级下·山东德州·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖：不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． （1）下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______ ①； ②； ③； ④； （2）若关于的不等式被覆盖，求的取值范围； （3）若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围． 39．（2023-2024七年级下·湖南长沙·阶段练习）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围； （3）关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围． 40．（2023-2024七年级下·江苏泰州·期末）我们规定若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． 问题解决： （1）方程是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求的取值范围． 【题型09】 一元一次方程与一元一次不等式（组）的综合求值 41.（2024-2025七年级·贵州六盘水·期中）若方程的解是负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42.（2023-2024七年级·全国·期末）若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（ ） A． B． C． D． 43.（2023-2024七年级·甘肃兰州·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（   ）． A．2 B．7 C．11 D．10 44.（2023-2024七年级·江苏扬州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为____． 45.（2023-2024七年级·河南洛阳·期中）已知关于x的方程：． (1)若方程的解是．那么？ (2)若该方程的解是负数，并且m是负整数，请你试求该方程的解． 【题型10】 二元一次方程组与一元一次不等式（组）的综合求值 46．（2023-2024七年级·重庆·期末）若关于x的不等式组恰有2个整数解，且关于x，y的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数m的和为（   ） A． B． C． D． 47.（2024-2025七年级·黑龙江哈尔滨·期末）,为实数,若关于的方程组无解,则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 48.（2024-2025七年级·河北廊坊·期末）已知方程组 的解满足，则k的非负整数值为 49.（2023-2024七年级下·福建福州·期中）已知关于x、y的方程组的解满足x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)当m为何整数时，关于z的不等式的解为． 50．（2023-2024七年级下·四川内江·期中）阅读以下材料完成下列各题： 材料一： 解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． 阅读材料一，解决问题． （1）直接写出不等式的解集是_____； （2）求不等式的解集． 材料二： 对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，． 阅读材料二，解决问题． （3）求a、b的值； （4）若关于x的不等式组只有一个整数解，则t的取值范围； 综合应用∶利用以上两段材料解决下列问题 （5）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$