专题17 第11章不等式与不等式组之单元专项提升（重难点常考题型精讲精练） 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

专题17 不等式与不等式组单元专项提升 【3大考点11大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 不等式与不等式组】 【解题知识必备】 1.不等式的概念 一般地，用“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 3.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集． 4.解不等式：求不等式的解集的过程叫作解不等式。 5.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 6.一元一次不等式的定义 含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 7.一元一次不等式组的定义 把两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组． 8.一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 9.解不等式组 求不等式组的解集的过程叫解不等式组． 10.一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 不等式的概念 【题型02】 不等式的解与解集 【题型03】 不等式的基本性质 【题型04】 不等式在数轴中的运用 【题型05】 解一元一次不等式（组） 【题型06】 求一元一次不等式（组）的整数解 【题型07】 一元一次不等式（组）中的最值问题 【题型08】 一元一次不等式（组）求解中的错解复原问题 【题型09】 一元一次不等式（组）中的新定义问题 【题型10】 列一元一次不等式（组） 【题型11】一元一次不等式（组）的实际应用 【核心考点板块1 不等式的相关概念和基本性质】 方法与技巧： 1.不等式的相关概念 1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． 2)五种不等号的读法及其意义 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 3）不等式的解和解集 （1）不等式的解：是具体的未知数的值，不是一个范围。 （2）不等式的解集：是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中。 2.不等式的基本性质 1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． 2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【题型01】 不等式的概念 1.（2024-2025七年级·贵州六盘水·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2.（2024-2025七年级·青海海东·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 3.（2024-2025七年级·山东淄博·期末）若是不等式，则符号“□”不能是（   ） A． B． C． D． 4.（2024-2025七年级·辽宁沈阳·期末）某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（   ） A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克 C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克 5.（2024-2025七年级·湖南娄底·期末）对于下列结论：①x为自然数，则；②x为负数，则；③x不大于10，则；④m为非负数，则，正确的有 ． 【题型02】 不等式的解与解集 6.（2023-2024七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 7.（2023-2024七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 8．（2023-2024七年级下·四川眉山·期中）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 9.（2024-2025七年级·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 10.（2024-2025七年级·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 . 【题型03】 不等式的基本性质 11.（2024-2025七年级·宁夏银川·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 12.（2024-2025七年级·重庆江津·期末）若，，则下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 13.（2024-2025七年级·福建厦门·期末）如果，，那么下列不等式不成立的是（ ） A． B． C． D． 14．（2023-2024七年级下·江西上饶·期末）如果，则 （填“或”号） 15．（2023-2024七年级下·河南周口·期末）若，则 ．（填“<”或“>”） 【题型04】 不等式在数轴中的运用 16.（2023-2024七年级下·浙江温州·期中）如图，在数轴上表示的是下列哪个不等式(   ) A．x＞－2 B．x＜－2 C．x≥－2 D．x≤－2 17.（2024·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ） A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0 18.（2024-2025七年级·山东威海·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 19.（2024·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 20.（2023-2024七年级•永丰县•期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则 a＝ ． 【核心考点板块2 一元一次不等式（组）的解法】 方法与技巧： 1.一元一次不等式，一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式是属于不等式． 2.一元一次不等式组，形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 3.根据不等式的性质解一元一次不等式:基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 4.解一元一次不等式组 解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【题型05】 解一元一次不等式（组） 21．（2024-2025七年级·江苏连云港·期末）解不等式并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 22．（2022-2023七年级下·四川宜宾·期中）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 23．（2023-2024七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 24.（2024-2025七年级·江西上饶·期末）当x取何值时，代数式的值不小于与的和？ 25.（2024-2025七年级·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【题型06】 求一元一次不等式（组）的整数解 26.（2024-2025七年级·浙江宁波·期末）若关于的不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 27．（2022-2023七年级下·湖北十堰·期中）若关于x的不等式只有两个负整数解，则a满足的条件是 ． 28．（2023-2024七年级下·河南南阳·期末）若有理数满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和为 ． 29．（2023-2024七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的非负整数解是 ． 30．（2023-2024七年级下·北京·期中）若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；是 阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为 ； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 【题型07】 一元一次不等式（组）中的最值问题 31.（2024-2025七年级·甘肃定西·阶段练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最小正整数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 32.（2023-2024七年级·江苏镇江·期末）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是（   ） A． B．2 C． D．3 33.（2024-2025七年级·广东广州·期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是 ． 34.（2024-2025七年级·湖南长沙·期末）已知实数，满足，并且，，则的最大值是 ． 35.（2023-2024七年级下·山东泰安·阶段练习）一元一次不等式组的最大整数解是 ． 【题型08】 一元一次不等式（组）求解中的错解复原问题 36.（2023-2024七年级下·吉林松原·期末）以下是某同学解不等式的部分解答过程． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步… (1)以上解题过程中．第二步是依据________（运算律）进行变形的，第_____步开始出现错误． (2)请你写出完整的解答过程．并在数轴上表示不等式的解集． 37．（2023-2024七年级下·辽宁铁岭·期末）下面是小淇同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得    第一步 去括号，得．    第二步 移项，得．    第三步 合并同类项，得．    第四步 系数化为1，得    第五步 任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步正确的应是______． 任务二：请你直接写出正确的结果 38．（2023-2024七年级下·河南安阳·期末）圆圆解不等式的过程如下： 解：去分母得…第一步， 去括号得…第二步， 移项得…第三步， 合并同类项得…第四步， 系数化为1得…第五步， (1)以上运算步骤中，去分母的依据是__________； (2)以上解题过程中，第二步是依据__________（填写相关的运算律）进行变形的； (3)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (4)写出正确的解题过程 39．（2023-2024七年级下·山西长治·期末）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得． 第一步 解得． 第二步 由不等式②，得． 第三步 移项，得． 第四步 合并同类项，得    第五步 解得 第六步 所以，原不等式组的解集是． 第七步 任务一： （1）小明的解答过程中，第三步的依据是_______________________； （2）第______步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是____________． 40．（2023-2024八年级下·河南郑州·期末）以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程： 解不等式②，……第一步 ……第二步 ………第三步 ………第四步 (1)小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 步开始出现错误； (2)请你完成本题的解答： 解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示： 所以原不等式组的解集为 ． 【题型09】 一元一次不等式（组）中的新定义问题 41.（2024-2025七年级·贵州毕节·期中）规定：表示，中较小的数（，均为实数，且），例如：．若则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42.（2024-2025七年级·重庆北碚·期中）定义一种法则“*”：，如：．若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 44.（2024-2025七年级·河南洛阳·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”，其运算规则是：当时，；当时，．例如：，．有下列结论：①；②若，则x的取值范围是；③若，则x的取值范围是．其中结论正确的是 ．（填序号） 45．（2023-2024七年级下·湖南·期中）定义：表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，例如：，，；，，解决下列问题： (1)______，______． (2)若，则的取值范围是______；若，则的取值范围是______； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【核心考点板块3 一元一次不等式（组）的应用】 方法与技巧： 列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【题型10】 列一元一次不等式（组） 46.（2024-2025八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 47.（2023-2024七年级下·广东湛江·期末）与17的和比的5倍小，用不等式表示为 ． 48．（2024-2025七年级下·上海·阶段练习）“垃圾分类知多少”知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错扣5分，不答不扣分．小明得分要超过90分，且有2道未答．他至少要答对多少道题？若设小明答对了道题，则由题意可列不等式为 ． 49．（2023-2024七年级下·福建厦门·期末）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ． 50．（2023-2024七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【题型11】一元一次不等式（组）的实际应用 51．（2022-2023七年级下·陕西西安·期末）把一些书作为参加运动会获奖学生的奖品，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就不足3本，但不少于1本．求共有多少名学生获奖？ 52．（2024-2025七年级下·吉林·开学考试）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 53．（2022-2023七年级下·江苏镇江·期末）鸡兔同笼是同学们耳熟能详的问题，那么请大家研究一道新鸡兔同笼问题，阿凡提带了1500元去农场买鸡兔，鸡每只30元，兔每只20元．他发现有一笼鸡兔共有94只脚． (1)若鸡的数量是m只，则兔的数量是______（用含m的代数式表示）； (2)若笼中鸡兔不超过40只，则鸡最多是多少只？阿凡提带的钱够买这笼鸡兔吗？ 54.（2023-2024七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 55．（2022-2023七年级下·湖南湘西·期末）中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 不等式与不等式组单元专项提升 【3大考点11大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 不等式与不等式组】 【解题知识必备】 1.不等式的概念 一般地，用“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 3.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集． 4.解不等式：求不等式的解集的过程叫作解不等式。 5.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 6.一元一次不等式的定义 含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 7.一元一次不等式组的定义 把两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组． 8.一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 9.解不等式组 求不等式组的解集的过程叫解不等式组． 10.一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 不等式的概念 【题型02】 不等式的解与解集 【题型03】 不等式的基本性质 【题型04】 不等式在数轴中的运用 【题型05】 解一元一次不等式（组） 【题型06】 求一元一次不等式（组）的整数解 【题型07】 一元一次不等式（组）中的最值问题 【题型08】 一元一次不等式（组）求解中的错解复原问题 【题型09】 一元一次不等式（组）中的新定义问题 【题型10】 列一元一次不等式（组） 【题型11】一元一次不等式（组）的实际应用 【核心考点板块1 不等式的相关概念和基本性质】 方法与技巧： 1.不等式的相关概念 1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． 2)五种不等号的读法及其意义 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 3）不等式的解和解集 （1）不等式的解：是具体的未知数的值，不是一个范围。 （2）不等式的解集：是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中。 2.不等式的基本性质 1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． 2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【题型01】 不等式的概念 1.（2024-2025七年级·贵州六盘水·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个， 故选：B． 2.（2024-2025七年级·青海海东·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【解答】解：、不等式不含未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、不等式含有个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意； 、不等式不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：． 3.（2024-2025七年级·山东淄博·期末）若是不等式，则符号“□”不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义判断即可．熟练掌握用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式． 【解答】解：∵，，都是不等式， ∴选项B，C，D都不符合题意； ∵不是不等式， ∴选项A符合题意． 故选：A． 4.（2024-2025七年级·辽宁沈阳·期末）某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（   ） A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克 C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克 【答案】A 【分析】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义求解即可． 【解答】解：“每100克含钙>87毫克” 的含义是每100克含钙高于87毫克， 故选：A． 5.（2024-2025七年级·湖南娄底·期末）对于下列结论：①x为自然数，则；②x为负数，则；③x不大于10，则；④m为非负数，则，正确的有 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据自然数定义即可判断①，根据负数定义即可判断②，不大于10，即小于或等于可判断③，根据非负数定义即可判断④． 【解答】解：x为自然数，则，错误，不合题意； ②x为负数，则，正确，符合题意； ③x不大于10，则，错误，不合题意； ④m为非负数，则，正确，符合题意； 故答案为：②④． 【点评】本题考查了列不等式的知识，正确理解负数定义，非负数定义，自然数定义，不大于即小于或等于． 【题型02】 不等式的解与解集 6.（2023-2024七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【解答】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 7.（2023-2024七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【解答】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 8．（2023-2024七年级下·四川眉山·期中）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了不等式的解集的概念：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称为这个不等式的解集．根据不等式的解集的概念进行判断即可． 【解答】解：不等式的解集中，不包括的是， 故选：C． 9.（2024-2025七年级·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查不等式的解集．由，3均小于4可得． 【解答】解：由，3均小于3可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 10.（2024-2025七年级·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【解答】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型03】 不等式的基本性质 11.（2024-2025七年级·宁夏银川·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由此即可得到答案． 【解答】解：， ， ， ． 故选：B． 12.（2024-2025七年级·重庆江津·期末）若，，则下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的3个基本性质是解题的关键． 根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【解答】解：若，， A．，故A错误； B．，故B错误； C．，不能得出，故C错误； D．，故D正确； 故选：D． 13.（2024-2025七年级·福建厦门·期末）如果，，那么下列不等式不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质定理是解题的关键，注意不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的方向发生改变． 本题根据不等式的两条性质即可得出答案． 【解答】解：、根据“不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意； 、根据“不等式的两边同时除以同一个正数，不等号的方向不发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意； 、根据“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意； 、与，无法判断大小，故原题错误，符合题意． 故选：． 14．（2023-2024七年级下·江西上饶·期末）如果，则 （填“或”号） 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向要发生改变，即可得出结果． 【解答】解：∵， ∴； 故答案为：． 15．（2023-2024七年级下·河南周口·期末）若，则 ．（填“<”或“>”） 【答案】< 【分析】此题考查了不等式的性质，不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．据此进行解答即可． 【解答】解：， 不等式两边都乘以3得， 不等式两边都加上1得， 故答案为：< 【题型04】 不等式在数轴中的运用 16.（2023-2024七年级下·浙江温州·期中）如图，在数轴上表示的是下列哪个不等式(   ) A．x＞－2 B．x＜－2 C．x≥－2 D．x≤－2 【答案】C 【分析】见解析 【解答】根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可得到x≥-2． 故选C. 【点评】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题的关键，注意实点和虚点的区别． 17.（2024·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ） A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0 【答案】A 【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案． 【解答】解：由题意得：a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b， ∴1﹣2a＞1﹣2b， ∴A选项的结论成立； ∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b， ∴B选项的结论不成立； ∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3， ∴， ∴， ∴a+b＞0， ∴C选项的结论不成立； ∵ ∴， ∴D选项的结论不成立． 故选：A． 【点评】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识． 18.（2024-2025七年级·山东威海·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、不等式的基本性质，熟练掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义可得，且，再根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【解答】解：由实数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，，且， A．，是成立的，因此选项A不符合题意； B．由于，而，所以，是成立的，因此选项B不符合题意； C．由于，则，而，则，所以是成立的，因此选项C不符合题意； D．由于，则，而，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 19.（2024·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可． 【解答】解：∵，， ∴ ∵ ∴ A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键． 20.（2023-2024七年级•永丰县•期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则 a＝ ． 【答案】2 【分析】根据数轴上表示的解集确定出a的值即可． 【解答】解：根据数轴上的解集得：a＝2， 故答案为：2 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【核心考点板块2 一元一次不等式（组）的解法】 方法与技巧： 1.一元一次不等式，一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式是属于不等式． 2.一元一次不等式组，形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 3.根据不等式的性质解一元一次不等式:基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 4.解一元一次不等式组 解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【题型05】 解一元一次不等式（组） 21．（2024-2025七年级·江苏连云港·期末）解不等式并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)；数轴见解析 (2)；数轴见解析 【分析】本题主要考查了解不等式，根据不等式的性质解不等式，掌握解不等式的步骤是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并后再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可； （2）去括号，移项，合并后再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故不等式的解集为：； 在数轴上表示为： （2）解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故不等式的解集为：； 在数轴上表示为： 22．（2022-2023七年级下·四川宜宾·期中）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 23．（2023-2024七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】见解析， 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 解得， 解得， 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为． 24.（2024-2025七年级·江西上饶·期末）当x取何值时，代数式的值不小于与的和？ 【答案】 【分析】根据题意建立不等式，解不等式即可得到答案． 【解答】解：由题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， ∴当时，代数式的值不小于与的和． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，正确理解题意列出一元一次不等式是解题的关键． 25.（2024-2025七年级·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【解答】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【题型06】 求一元一次不等式（组）的整数解 26.（2024-2025七年级·浙江宁波·期末）若关于的不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式，先解一元一次不等式可得：，然后根据题意可得：，，从而进行计算即可解答． 【解答】， ， ， 不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解， ∴， ∴， 故选：C． 27．（2022-2023七年级下·湖北十堰·期中）若关于x的不等式只有两个负整数解，则a满足的条件是 ． 【答案】 【分析】求得不等式的解集为，根据关于x的不等式只有两个负整数解，即可得出，进而即可求出a满足的条件． 【解答】解：解不等式得：， 关于x的不等式只有两个负整数解， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，理解关于x的不等式的负整数解是，是解题的关键． 28．（2023-2024七年级下·河南南阳·期末）若有理数满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式组的整数解有：，，，，或，，， ∴或． 故答案为：或． 29．（2023-2024七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的非负整数解是 ． 【答案】3，2，1，0 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而求出非负整数解即可． 【解答】解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； ∴不等式组的非负整数解为：3，2，1，0； 故答案为：3，2，1，0． 30．（2023-2024七年级下·北京·期中）若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；是 阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为 ； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 【答案】(1)0，3 (2) (3)， 【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答； （2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解，然后可得a的取值范围； （3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到n的取值范围． 本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键． 【解答】（1）解：∵当时，则无正整数解， ∴是0阶不等式； ∵ ∴ ∴． ∴有3个正整数解，为1，2，3． ∴是3阶不等式组． 故答案为：0，3； （2）解：∵关于x的不等式是4阶不等式， ∴x有4个正整数解，为：1，2，3，4， ∴． 故答案为：； （3）解：∵关于x的方程的解是不等式的正整数解， ∴ ∴，， ∴m为偶数，且， ∴， ∴， ∴可得图如下所示： ∴的取值范围是． 【题型07】 一元一次不等式（组）中的最值问题 31.（2024-2025七年级·甘肃定西·阶段练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最小正整数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，根据实数3是不等式的一个解，可得的取值范围，从而可以求得可取的最小正整数，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【解答】解：由不等式，得， ∵实数3是不等式的一个解， ∴，得， ∴可取的最小正整数为， 故选：C． 32.（2023-2024七年级·江苏镇江·期末）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】解不等式可得，结合题意“实数3是不等式的一个解”，可得，解该不等式即可获得答案． 【解答】解：由不等式，得， ∵实数3是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴可取的最大整数为． 故本题选：C． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及解一元一次不等式，结合题意得到不等式是解题关键． 33.（2024-2025七年级·广东广州·期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，首先确定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【解答】解：不等式的解集是：， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3， ∴， ∴a的取值范围是． ∴整数a的最小值是10． 故答案为：10． 34.（2024-2025七年级·湖南长沙·期末）已知实数，满足，并且，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次方程和一元一次不等式的解法的综合运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确的计算；运用一次方程和一元一次不等式的解法进行求解即可． 【解答】解： 即， ， ， ， 即的最大值是 故答案为： 35.（2023-2024七年级下·山东泰安·阶段练习）一元一次不等式组的最大整数解是 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法． 求出不等式组的解集为，即可求出最大整数解． 【解答】解：解不等式，得 解不等式，得， 不等式组的解集为 不等式组的整数解有， 不等式组的最大整数解为2． 故答案为：2． 【题型08】 一元一次不等式（组）求解中的错解复原问题 36.（2023-2024七年级下·吉林松原·期末）以下是某同学解不等式的部分解答过程． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步… (1)以上解题过程中．第二步是依据________（运算律）进行变形的，第_____步开始出现错误． (2)请你写出完整的解答过程．并在数轴上表示不等式的解集． 【答案】(1)乘法分配律；三 (2)见解析；数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式： （1）根据解一元一次不等式的基本步骤进行判断即可； （2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类，最后未知数系数化为1． 【解答】（1）解：以上解题过程中．第二步是依据乘法分配律进行变形的，第三步开始出现错误． 故答案为：乘法分配律；三 （2）解：解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得：， 解得：， 在数轴上表示不等式的解集，如下： 37．（2023-2024七年级下·辽宁铁岭·期末）下面是小淇同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得    第一步 去括号，得．    第二步 移项，得．    第三步 合并同类项，得．    第四步 系数化为1，得    第五步 任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步正确的应是______． 任务二：请你直接写出正确的结果 【答案】任务一：①不等式性质2；②三， 任务二： 【分析】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式： 任务一：①根据不等式的性质作答即可；②第三步开始出错，移项时没有变号，写出正确的步骤即可； 任务二：解不等式即可． 【解答】解：任务一：①第一步的依据是不等式性质2； 故答案为：不等式性质2； ②第三步开始出错，移项时没有变号，正确的应是：； 故答案为：三，； 任务二：解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：， 系数化为1，得：． 38．（2023-2024七年级下·河南安阳·期末）圆圆解不等式的过程如下： 解：去分母得…第一步， 去括号得…第二步， 移项得…第三步， 合并同类项得…第四步， 系数化为1得…第五步， (1)以上运算步骤中，去分母的依据是__________； (2)以上解题过程中，第二步是依据__________（填写相关的运算律）进行变形的； (3)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (4)写出正确的解题过程 【答案】(1)不等式的基本性质2 (2)乘法的分配律 (3)一，去分母时整数没有乘以最小公倍数 (4)见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的基本性质，在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．掌握解一元一次不等式的步骤，正确在数轴上表示出不等式的解集是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质，进行计算即可解答； （2）根据乘法的分配律进行计算即可解答； （3）根据不等式的基本性质，进行计算即可解答； （4）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】（1）以上运算步骤中，去分母的依据是不等式的基本性质2； （2）以上解题过程中，第二步是依据乘法的分配律（填写相关的运算律）进行变形的； （3）第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时整数没有乘以最小公倍数； （4） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 39．（2023-2024七年级下·山西长治·期末）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得． 第一步 解得． 第二步 由不等式②，得． 第三步 移项，得． 第四步 合并同类项，得    第五步 解得 第六步 所以，原不等式组的解集是． 第七步 任务一： （1）小明的解答过程中，第三步的依据是_______________________； （2）第______步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是____________． 【答案】（1）不等式的基本性质2；（2）六，化系数为1时没有变号；（3） 【分析】本题考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1；依据：不等式的基本性质． 任务一： （1）第三步变形的依据是不等式的基本性质2；； （2）根据等式的性质可判断第五步错误 任务二： 通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集． 【解答】解：任务一： （1）第三步变形的依据是不等式的基本性质2； （2）明的解答过程中，第六步开始出现了错误，产生错误的原因是化系数为1时没有变号； 故答案为：（1）不等式的基本性质2；（2）六；化系数为1时没有变号； 任务二： 不等式组正确的解集是． 故答案为：． 40．（2023-2024八年级下·河南郑州·期末）以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程： 解不等式②，……第一步 ……第二步 ………第三步 ………第四步 (1)小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 步开始出现错误； (2)请你完成本题的解答： 解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示： 所以原不等式组的解集为 ． 【答案】(1)第一步 (2)，，见解析 【分析】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握运算规则是解题的关键． （1）根据运算法则进行解答即可； （2）根据运算法则计算得出解集画图即可． 【解答】（1）解：第一步， 等式两边同时乘以，故为； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 故该不等式解集为：， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示： 故该不等式解集为：． 【题型09】 一元一次不等式（组）中的新定义问题 41.（2024-2025七年级·贵州毕节·期中）规定：表示，中较小的数（，均为实数，且），例如：．若则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；由题意易得，然后求解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：； 故选B． 42.（2024-2025七年级·重庆北碚·期中）定义一种法则“*”：，如：．若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，，由，可得，计算求解即可． 【解答】解：由题意知，， ∵， ∴， 解得，， 故选A． 【点评】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式．解题的关键在于理解题意． 43．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得． 【解答】解：根据题意可知， 解得： 有且只有一个正整数解 解不等式①，得： 解不等式②，得： 故答案为：． 44.（2024-2025七年级·河南洛阳·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”，其运算规则是：当时，；当时，．例如：，．有下列结论：①；②若，则x的取值范围是；③若，则x的取值范围是．其中结论正确的是 ．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，解一元一次不等式，根据新定义可得，据此可判断①；根据新定义可得，解不等式即可判断②；当，即时，可得，当，即时，可得，两种情况分别求解即可． 【解答】解：①，故①错误； ②∵， ∴， ∴，故②正确； ③当，即时， ∵， ∴， 解得， ∴不符合题意； 当，即时， ∵， ∴， ∴ 解得，符合题意； 综上所述，x的取值范围是； ∴正确的有②③， 故答案为：②③． 45．（2023-2024七年级下·湖南·期中）定义：表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，例如：，，；，，解决下列问题： (1)______，______． (2)若，则的取值范围是______；若，则的取值范围是______； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)、的取值范围分别为， 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用和解二元一次方程组， （1）根据题目所给信息求解； （2）根据题意，容易得出、的取值范围； （3）先求出和的值，然后求出和的取值范围； 解题的关键是读懂题意，按照题目所给的信息求解． 【解答】（1）解：根据题意得： ，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴的取值范围是； ∵， ∴的取值范围是； 故答案为：；； （3）解：解方程组， 解得：， ∴、的取值范围分别为，． 【核心考点板块3 一元一次不等式（组）的应用】 方法与技巧： 列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【题型10】 列一元一次不等式（组） 46.（2024-2025八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【解答】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过3600元，可列， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列， 即可列不等式组为． 故选C． 47.（2023-2024七年级下·广东湛江·期末）与17的和比的5倍小，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．正确理解题意是解题关键．由题意知，不等式为，然后作答即可． 【解答】解：由题意知，不等式为， 故答案为：． 48．（2024-2025七年级下·上海·阶段练习）“垃圾分类知多少”知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错扣5分，不答不扣分．小明得分要超过90分，且有2道未答．他至少要答对多少道题？若设小明答对了道题，则由题意可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，此类题目注意提取不等关键词是解题的关键． 根据题意可得，小华答对题的得分：；小华答错的得分：然后根据华得分要超过90分列不等关系即可． 【解答】解：设小明答对了道题， 根据题意，得． 故答案是：． 49．（2023-2024七年级下·福建厦门·期末）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键．根据费用少于30元钱即可列出不等式即可． 【解答】解：小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本， 根据题意得：， 故答案为：． 50．（2023-2024七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【解答】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 【题型11】一元一次不等式（组）的实际应用 51．（2022-2023七年级下·陕西西安·期末）把一些书作为参加运动会获奖学生的奖品，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就不足3本，但不少于1本．求共有多少名学生获奖？ 【答案】共有6名学生获奖 【分析】设共有名学生获奖，则作为奖品的书共本，根据“如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就不足3本，但不少于1本”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再取其中的整数值，即可得出结论． 【解答】解：设共有名学生获奖，则作为奖品的书共本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， ． 答：共有6名学生获奖． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出不等式组是解题的关键． 52．（2024-2025七年级下·吉林·开学考试）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】(1)每本文学名著25元，每本人物传记20元； (2)人物传记至多买33本． 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系和不等式关系． （1），首先设每本文学名著元，每本人物传记元，然后根据题意列出二元一次方程组，从而得出答案； （2），设购买人物传记本，文学名著（）本，根据题意列出不等式，从而求出不等式的解，最后根据m为整数得出答案． 【解答】（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元， ， 解得， 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元． （2）解：设购买人物传记本，文学名著本， ， 解得：， 为整数， ， ∴人物传记至多买33本． 53．（2022-2023七年级下·江苏镇江·期末）鸡兔同笼是同学们耳熟能详的问题，那么请大家研究一道新鸡兔同笼问题，阿凡提带了1500元去农场买鸡兔，鸡每只30元，兔每只20元．他发现有一笼鸡兔共有94只脚． (1)若鸡的数量是m只，则兔的数量是______（用含m的代数式表示）； (2)若笼中鸡兔不超过40只，则鸡最多是多少只？阿凡提带的钱够买这笼鸡兔吗？ 【答案】(1) (2)鸡最多是33只，阿凡提带的钱够买这笼鸡兔 【分析】（1）根据鸡兔共有94只脚求解即可； （2）首先根据笼中鸡兔不超过40只列不等式求得，然后利用鸡每只30元，兔每只20元求解即可． 【解答】（1）∵鸡的数量是m只， ∴鸡一共有只脚， ∵鸡兔共有94只脚， ∴兔一共有只脚， ∴兔的数量是， 故答案为：； （2）∵笼中鸡兔不超过40只 ∴， 解得， ∴鸡最多是33只， ∴兔的数量是只， ∴ ∴阿凡提带的钱够买这笼鸡兔． 【点评】此题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，解题的关键是正确表示出兔的数量． 54.（2023-2024七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元 (2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答． （2）设生产B产品a件，生产A产品件，依题意，列式，然后解出，再结合a的值为非负整数，即可作答． 【解答】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 55．（2022-2023七年级下·湖南湘西·期末）中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨 (2)第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆；第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆；第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆．大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车辆，根据题意可以列出不等式组，从而可以求得有几种方案，然后求出各方案的费用即可得出结论． 【解答】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，则 ， 解得． 即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨； （2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车（）辆，由题意可得， 解得： 故有三种派车方案， 第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆； 第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆； 第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆． 元； 元； 元； ∵ ∴大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元． 学科网（北京）股份有限公司 $$