期末重难点真题特训之压轴满分题型（100题17个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

期末重难点真题特训之压轴满分题型（100题17个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、算术平方根、立方根有关的规律探索有关的规律探索题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 2．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根． 【答案】195112的立方根是58 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定195112的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：①，，又， 能确定195112的立方根是个两位数．              ②195112的个位数是2，又， 能确定195112的立方根的个位数是8．             ③如果划去195112后面的三位112得到数195， 而，则，可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5，              因此195112的立方根是58． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·甘肃陇南·阶段练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 5．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】(1)①，；②；； (2) 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，实数的运算，利用平方根的含义解方程，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答． （1）①根据表格信息可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，从而可得答案； ②根据①中规律解答即可； （2）把化为，可得，，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：①由题意可得：表格中；； ②∵，， ∴； ∵， ∴． （2）解： 移项得：， 是无理数， ，， 解得：，　　 ； ∴或． 压轴满分题二、与实数运算相关的规律题 6．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）设 ，，， (1) ； (2)，，…， 则 ； (3)求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与实数运算相关的规律题，关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． （1）观察题中的几个计算结果，即可求解； （2）观察题中的几个计算结果，即可求解； （3）根据（2）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，，…， ∴， 故答案为：； （3）解：可得， ∴ ． 7．（23-24七年级下·四川广元·期中）已知有理数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是的差倒数是，如果是的差倒数，是的差倒数是的差倒数．．．依此类推，解答下面的问题： (1)___________，___________，___________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了差倒数的定义及数列循环规律的应用，解题的关键是找出数列的循环周期并利用周期计算总和． （1）根据差倒数定义依次计算； （2）确定数列循环周期，计算单个周期和，结合总项数求总和． 【详解】（1）由题知， 故答案为：； （2）根据（1）的计算结果可知， 所以从开始相邻三个数的和为定值． 又， 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键． （1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可； （2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可； （3）根据（2）中规律化简即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③ 根据以上规律可得第④个等式是：． （2）解：根据以上规律可得第n个等式是：． （3）解： ． 9．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律的探究． （1）利用题中等式的计算规律得到的结果为； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和； （3）根据规律得到，，，，，相加即可求解． 【详解】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 10．（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考探索数字规律及立方根的含义，利用平方根的含义解方程，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． （4）根据相反数的定义可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：当时，则，反之也成立； （3）解：∵与的值互为相反数， 则， 解得． （4）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 压轴满分题三、不等式（组）组含参计算问题 11．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）对于任意实数，定义一种关于的运算：．例如：． (1)若，求的取值范围； (2)若关于的不等式组的解集为满足，求的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义列出关于x的不等式，求解即可； （2）根据新定义得到，求出，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可； （3）根据新定义得到，然后得到求解即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得； （2）根据题意得， 解得 ∵关于的不等式组的解集为满足 ∴， ∴， ∴； （3）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得． 【点睛】此题考查了新定义运算，解不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌握以上知识点． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 【答案】(1)①5，②是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． （1）①求出不等式组A的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组B的解集判断即可求解； （2）求出不等式组C和D的解集，进而得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：①， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组A的解集中点值为； 故答案为：5 ②∵在的范围内， ∴不等式B对于不等式组A是中点包含． 故答案为：是 （2）解：， 解得：， ∴不等式组A的解集中点值为， ， 解得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·江西九江·期中）若一个不等式组有解且解集为；则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于x的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为_________； ②不等式组对于不等式组_________（填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． 【答案】(1)5；是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． （1）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （2）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：① 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组的解集中点值为， 故答案为：5． ②不等式组：，不等式组的解集中点值为5， 不等式组对于不等式组中点包含， 故答案为：是． （2）解：不等式组：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组的解集中点值为； 不等式组：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组对于不等式组中点包含， ， ． 14．（24-25七年级下·福建福州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 ①如果，那么或者； ②如果，那么或者； ③如果，那么或者． 素材2 范例：解不等式． 由不等式可得：不等式组（1）或不等式组 （2），解不等式组（1）得，解不等式组（2）得， 不等式的解集为或． 任务一 解方程： 任务二 求满足不等式的所有整数解； 任务三 关于的不等式组有且只有2个整数解，并且它们都是任务一中方程的解，求的取值范围． 【答案】（1）或；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解不等式组，熟练掌握解不等式是解题关键． 任务一：仿照题意的素材1，把方程转化为或，计算即可求解； 任务二：仿照题意的素材2，把不等式转化为关于的不等式组，解不等式组，即可求解； 任务三：先求出原不等式组的解集，再由和都是原不等式组的解，可得关于的不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：任务一：， 或，解得：或； 任务二： 可得不等式组（1）或不等式组（2）， 解不等式组（1）得：，不等式组（2）无解， 满足不等式的所有整数解为或； 任务三：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 有且只有2个整数解，且是或， ， 解得：． 15．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【答案】(1)(1)； (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的性质和解二元一次方程组，仔细阅读材料，理解解题过程是解题的关键． （）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值； 由得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （）根据题意求得，，然后利用不等式的性质求解的取值范围，从而得到关于，的方程组求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的取值范围是， ∴， 解得：． 压轴满分题四、一元一次不等式（组）的新定义计算 16．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足不等式，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据新定义列出方程组是解题的关键． （1）根据新定义运算，结合，列出方程组即可求解； （2）先根据新运算法则列出关于x，y的方程组，用含m的式子表示出x，y，再根据即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， 解得：； （2）解：由题意得，， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 17．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围为或． 【分析】本题考查解一元一次不等式，新定义，解题的关键是明确题意，利用新定义解答． （）根据“”的定义，可得，然后求解即可； （）根据题意，分情况讨论，即时和时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：当时，即， ∴， ， ∴， ∴的取值范围为； 当时，即， ∴， ， ∴， ∴的取值范围为； 综上可知：的取值范围为或． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：三个关于的整式、、，若的解集为，则称它们构成“不等式”．例如：三个整式，，，有的解集为，则称，，构成“不等式”． (1)整式、、，可以构成“不等式”吗？请说明理由． (2)若三个关于的整式、、，可以构成“不等式”，求的值． (3)若，，构成“不等式”，求关于的不等式组的解集． 【答案】(1)可以，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了不等式组的应用，理解“不等式”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先列不等式求解，再根据“不等式”等定义判断即可； （2）根据“不等式”的定义分三种情况列不等式，根据不等式的性质和解集分别求解即可； （3）根据“不等式”的定义列不等式，求出，，，再分别解不等式组中的等式，最后根据同小取小得到解集即可． 【详解】（1）解：可以，理由如下： ， 解得：， 即整式、、，可以构成“不等式”； （2）解：三个关于的整式、、，可以构成“不等式”， ①当时，即， 则，且， 解得：； ②若，即， 则，且， 解得：（舍）； ③若，即， 则，且， 解得：； 综上可知，的值为或． （3）解：若，，构成“不等式”， 则， 即， 所以， 化简，得， 将代入，得， 所以， 由不等式，得， 即， 解得：； 由不等式，得， 解得：， 所以该不等式组的解集为． 19．（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“友好解”． (1)请判断方程的解是不是不等式的“友好解”； (2)若关于的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，请直接写出的最小整数值． 【答案】(1)方程的解是不等式的“友好解” (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解是不等式的解， ∴方程的解是不等式的“友好解”； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得， ∵， ∴， ∴，即， 由，得． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 20．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． (1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【详解】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 压轴满分题五、二元一次方程组的错解复原问题 21．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解，而小亮把方程②抄错了，从而得到错解，请你求出正确答案. 【答案】. 【分析】小明把方程①抄错了，则求得的解满足方程②，小亮把方程②抄错了，则求得的解满足方程①，从而可得关于a、b的方程组，求出a、b，再把a、b的值代入方程组，解方程组即可得答案. 【详解】解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解， 所以是bx+ay=19的正确解， 所以b+7a=19， 小亮把方程②抄错了，从而得到错解， 所以是ax+by=16的正确解， 所以-2a+4b=16， 解方程组得， 所以原方程组为， ①+②得：7x+7y=35，即x+y=5③， ②-①得：3x-3y=3，即x-y=1④， ③+④得：2x=6， x=3， 把x=3代入①得：6+5y=16， y=2， 所以原方程组的正确解为. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确理解方程组解的意义以及解二元一次方程组的方法是解题的关键. 22．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）（1）已知关于的方程组与有相同的解，求方程组的解及的值． （2）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二元一次方程组综合，涉及同解二元一次方程组求参数问题，读懂题意，由所给方程组得到系数确定的二元一次方程组求解即可得到答案，熟练掌握同解方程问题的解法是解决问题的关键． （1）由题中两个方程组同解，得到新的二元一次方程组，解方程后，将代入含参数的方程，构成参数方程组求解即可得到答案； （2）解，设被墨水污染的为，点为，为，将方程组的解代入同解方程组解得，再结合题意构造新的二元一次方程组求解即可得到答案． 【详解】解：（1）方程组与有相同的解． 联立得方程组，解得，代入得，解得； （2）， 由②－①，得． 把代入②，得，解得， 方程组的解为， 设被墨水污染的为，点为，为． 这个方程组的解是， ， ． 看错了第二个方程中的的系数，求出的解是， ， ，解得， 原方程组为． 23．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进行求解． 根据题意将代入方程②求出b，把代入①求出a，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵小明看错了方程①中的，所以满足方程②， 即，解得， ∵小红看错了方程②中的，所以满足方程①， 即，解得， ∴． 24．（24-25七年级下·山西临汾·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的，的值； (2)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组、求代数式的值． 根据甲、乙二人求出的方程组的解，把甲求出的解代入方程中求出，把乙求出的方程组的解代入方程中，求出的值即可； 由（1）可得原方程组为，解方程组求出正确的、的值，再把求出的正确的解代入代数式中求值即可． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：； 把代入， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可得原方程组为， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 解得原方程组的正确解为， ． 25．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演，可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)____；____； (2)按照正确的a、b求出原方程组的解． 【答案】(1)1， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组； （1）由二元一次方程组的解得是②的解，是①的解，即可求解； （2）用加减消元法解方程组，即可求解； 理解二元一次方程组的解，能熟练解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 是②的解， 解得：， 是①的解， ， 解得：， 故答案为：，； （2）解：原方程组为 ①得， ③， ③②得 ， 解得：， 将代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 压轴满分题六、二元一次方程组的新定义计算 26．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 27．（23-24七年级下·广东中山·期中）新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析 (2)或6 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据方程，即可得到，即可得出结论； （2）先解二元一次方程组，根据新定义，得到关于的绝对值方程，进行求解即可． 【详解】（1）具有“邻好关系”．理由如下：方程组 由②得． 所以方程组的解具有“邻好关系”； （2）解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即． 所以或， 所以或6． 28．（23-24七年级下·湖北十堰·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，． (1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （2）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，解得：， ∵， ∴， 解得：． （2）解：由题意得：的解为， 由方程组得：， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解等知识点，根据新定义列出二元一次方程组、利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． 29．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】(1)19 (2)30元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解． 【详解】（1）解：解： 得，， 得，； （2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：解：根据新定义运算得， 得， ∴． 30．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读材料】： 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；． 已知：；． 材料二：“已知x，y均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ，， ∵x，y是非负数，即，， ，，． 【回答问题】： (1)求出a，b的值； (2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围； (3)已知x，y，z都为非负数，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由新定义运算的含义结合已知条件建立方程组，再解方程组可得答案； （2）先表示，再根据，是非负数，可得且可得，而，再结合不等式的性质可得答案； （3）由新定义运算的含义可得，可得，仿照（2）的方法建立不等式组可得，再结合，再结合x的范围求解即可； 【详解】（1）解：∵；，， ∴， ∴解方程组得：； （2）∵， ， ，是非负数， 即， ， ∵， ∴ ， ． （3）∵，，而， ∴，解得：， ∵，，都为非负数， ∴，解得：， ∴ ； 当时，原式， 当时，原式， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，三元一次方程组的应用，代数式的最大值与最小值的计算，新定义运算的含义，理解题意，建立合适的方程组与不等式组是解本题的关键． 压轴满分题七、利用平移的性质解决问题 31．（23-24七年级下·全国·课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】根据两点之间线段最短，利用平移思想进行作图即可． 【详解】解：如图所示：    （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为； （2）分别在和上截取河的宽度； （3）连接，分别交和于点和； （4）过点和分别作和的垂线段，垂足分别为和； （5）连接和．则桥建在和处才能使两村之间的路程最短． 【点睛】本题考查最短路径问题．解题的关键是掌握两点之间线段最短，利用平移思想进行转化求解． 32．（23-24七年级下·广东中山·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； (2)方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 【答案】(1)651 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，平方根的定义等知识． （1）由题意，草地的长减小，宽不变，因而可求得草地的面积； （2）设宽，则长为，根据面积公式即可得关于x的方程，由平方根的定义即可求得x，再对x的值进行估算，若满足题意即可，否则不行． 【详解】（1）解：由题意，小路的左边线向右平移就是它的右边线即小路的宽为， 则草地的长减小，宽不变， 面积为； 故答案为：651． （2）能，理由如下： 设宽，则长为， 依题意有：， ∵， ∴， 符合长在到之间，宽在到之间， ∴这个篮球场能用做比赛． 33．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图（每个小正方形边长均为1）． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)请画出沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (3)求平移过程中线段扫过的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特征，平移的性质，熟悉掌握平移的方法是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可； （2）根据题意平移即可； （3）分别求出向作平移和向上平移扫过的面积即可． 【详解】（1）解：由图可得：，，； （2）解：沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后如图所示：即为所求， （3）解：沿轴向左平移个单位长度扫过的面积， 沿轴向上平移3个单位长度扫过的面积， 所以扫过的面积为． 34．（2024七年级下·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 35．（23-24七年级下·浙江台州·期末）平面直角坐标系中，已知A（﹣1，5），B（﹣3，1），C（1，0）． （1）求△ABC的面积；（提示：三角形ABC的面积可以看作一个长方形的面积减去一些小三角形的面积） （2）在x轴上找一点P，使△PAC的面积等于△ABC面积的2倍； （3）将线段AB沿水平方向以每秒1个单位的速度平移至MN（A对应M、B对应N），几秒后，△MNO的面积与△ABC面积相等？ 【答案】（1）9 （2）P（，）或(，） （3）1或8秒 【分析】（1）由面积和差关系可求解． （2）先求出AC解析式，可求点E坐标，由三角形面积公式可求解． （3）由面积和差关系可求解． 【详解】（1）由题意做出辅助线可得： ∴ （2）由题意可得： ∴ ∴ ∴P（，）或(，﹣） （3）设秒后，△MNO的面积与△ABC面积相等， ∴ 若向左移动，则M（-1-t，5），N（-3-t，1） ∴ 解得 若向右移动，则M（-1+t，5），N（-3+t，1）(t＞3) ∴ 解得 答：1秒或8秒后，△MNO的面积与△ABC面积相等． 【点睛】本题主要考查了坐标的平移和三角形面积的应用，运用等量代换，三角形的面积建立等式是解题的关键． 压轴满分题八、点坐标规律探索 36．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）如图，正方形的边长为4，过它的中心建立平面直角坐标系（中心在原点上），各边和坐标轴平行或垂直．    (1)试写出正方形四个顶点的坐标； (2)从中你发现了什么规律，请举例说明（写出一个即可）． 【答案】(1)，，， (2)答案见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可得，结合图象即可得出点的坐标； （2）根据点的坐标进行对比即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，设正方形与y轴的交点为E、F，与x轴的交点为M、N， ∵正方形的边长为4，且中心为坐标原点， ∴， ∴，，，，    （2）解：点A与点B的横坐标相同，纵坐标互为相反数；点B与点C纵坐标相同，横坐标互为相反数；点C与点D横坐标相同，纵坐标互为相反数；点B与点D横坐标和纵坐标互为相反数（答案不唯一）． 【点睛】本题考查规律型中的点的坐标，熟练掌握正方形的性质得出，并结合点的坐标的特点是解题的关键． 37．（24-25七年级下·山西朔州·期中）【问题情境】 数学课上，老师让同学们探究平面直角坐标系中不重合的两点和点，当横坐标相同或纵坐标相同时，判断直线与轴之间的位置关系及求和两点之间的距离，并把和两点之间的距离记为． 【探究结论】 ①若，则轴，且； ②若，则轴，且． 【结论应用】 (1)已知点和点，则线段的长度为__________； (2)已知点，当轴，时，求点的坐标； (3)已知点，点，轴，求点的坐标． 【答案】(1)8 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的位置关系，两点间的距离公式等知识，解题的关键是： （1）根据A、B横坐标相同，则求解即可； （2）根据轴，则C、D纵坐标相同，等于C、D横坐标差的绝对值求解即可； （3）根据轴，则M、N的横坐标相等求解即可． 【详解】（1）解：∵点和点， ∴线段的长度为， 故答案为：8 （2）解：∵点，轴， ∴D在纵坐标为， 又， ∴D的横坐标为或， ∴D的坐标为或； （3）解：∵点，点，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 38．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 (3)或 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． （1）根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每5次一个循环，据此即可求解． （2）根据（1）中规律求出点和点的坐标，即可求解； （3）根据（1）中规律求出点的坐标，再根据点距离点5个单位长度，且轴，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ∴横坐标为对应的运动次数减3， 纵坐标依次为：，每5次一个循环， 则点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； 故答案为：． （2）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：2； ∴， 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； ∴， 故从点到点的平移方式是：先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． （3）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：； ∴， ∵点距离点5个单位长度，且轴， ∴，即， 或，即， 综上，或． 39．（2025·安徽铜陵·三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案． 图形 图1 图2 图3 图4 ．．． 小正方形的个数 6 12 20 ．．． (1)观察以上图形，完成表格； (2)将图如图放置到平面直角坐标系中，则点的坐标是________； (3)不难发现点，，，，，在同一直线上，连接，利用面积法求图需要小正方形的个数． 【答案】(1)30 (2) (3)图需要小正方形的个数为个． 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现小正方形个数变化的规律是解题的关键． （1）观察前三个图，找到规律，即可求解； （2）观察前三个点的坐标，找到规律，即可求解； （3）根据图形，找到规律，即可求解． 【详解】（1）解：图1，小正方体的个， 图2，小正方体的个， 图3，小正方体的个， 图4，小正方体的个， 故答案为：30； （2）解：，，， 观察得到规律：每个点的横坐标是其角标的2倍，横坐标是其角标加2， ∴； 故答案为：； （3）解：如图， 图1，小正方体的面积，小正方体的个数6个， 图2，小正方体的面积，小正方体的个数12个， 图3，小正方体的面积，小正方体的个数20个， 图4，小正方体的面积，小正方体的个数30个， 图4，小正方体的面积，小正方体的个数个， 答：图需要小正方形的个数为个． 40．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点A出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发： ①若点、均沿长方形的边界顺时针方向运动，为何值时，、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； ②若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标． 【答案】(1)， (2)时，、两点相遇，此时，两点的坐标为 (3)①时，、两点相遇，相遇时、所在位置的坐标为；②若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，时，、两点相遇，相遇时、所在位置的坐标为 【分析】（1）根据非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，即可进行解答； （2）根据题意可得，相遇时，两点的路程和等于长方形的周长，列出方程求解即可； （3）根据题意可得，点A和点D距离为6，①相遇时，点Q比点P多运动6个单位长度，列出方程求解即可；②相遇时，点Q比点P多运动14个单位长度，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵． 又∵． ∴，． （2）∵ ， 即时，、两点相遇． 此时点P所走路程：， ∵， ∴在边相遇， ∵，，点A的坐标为 ∴点D的坐标为 ∴相遇时横坐标为：，纵坐标为：， 此时，两点的坐标为． （3）①由题意：∵， ∴， ， 此时点P所走的路程∶， ∵， ∴在边相遇， ∵点A的坐标为，， ∴， 相遇时横坐标为：，纵坐标为：， 、的坐标为． ②由题意：∵，， ∴， ∴， ， 此时点P所走的路程∶， ∵， ∴在边相遇， ∵， 相遇时横坐标为：，纵坐标为：， 、的坐标为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，解题的关键是将其看作追击问题，根据题意列出方程求解． 压轴满分题九、二元一次方程组的实际综合应用 41．（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 42．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． 填空：a=______，b=______，c=______； d=______，e=______，f=______． 【答案】(1)x=-1，y=1 (2)0，-1，5；5，4，10 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，列方程组可求出a，b，c的值；设图丙中三个空格中的数分别为d，e，f的值． 【详解】（1）由题意得 ， 解得 ． （2）设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，由题意得 ， 整理得 ， 解得 ． 故答案为：0，-1，5； 设图丙中三个空格中的数分别为m，n，h，由题意得 ， 整理得 ， 解得 ． 故答案为：5，4，10． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． 43．（2025·安徽合肥·二模）乡村振兴局深入推进种植业振兴行动之际，某超市积极践行社会责任，依托自身供应链优势精准帮扶农户拓展销售渠道．已知九月份山核桃的售价40元/千克，苹果的售价20元/千克，这两种农产品的销售总额达到20000元．十月份时，山核桃售价单价保持不变，销量比九月份增加了，苹果的销售单价降价，销量却比九月份增加了． (1)设九月份山核桃的销量为x千克，苹果的销量为y千克，请用含x，y的代数式填表（填化简后的结果）： 月份 山核桃销售额/元 苹果销售额/元 销售总额/元 九月份 20000 十月份 _______ _______ (2)若十月份两种农产品的销售总额比九月份的总销售额增加5200元，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是列代数式，二元一次方程组的应用； （1）由销售额等于单价乘以数量分别计算即可；再由销售总额等于两种农产品的销售额之和可得答案； （2）根据九月份两种农产品的销售总额达到20000元，十月份两种农产品的销售总额比九月份的总销售额增加5200元，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：九月份山核桃销售额为元， 十月份苹果销售额为元， ∴销售总额为元， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：． 44．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； (3)最多可加工铁盒19个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解； （2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张， 正方形铁片张； 故答案为：，； （2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得 ， 解得 故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片）， 9张做正方形铁片可做（片）， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 45．（24-25七年级下·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 【答案】（1）；；20； （2） （3）边长 【分析】本题主要考查整式的运算与图形，一元一次方程，二元一次方程组的运用，理解图示中线段的关系，由数量关系正确列式求解是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为，根据周长计算方法列方程求解即可； （2）由题意可得，设图2中长方形的长为，宽为，由此列二元一次方程组求解即可； （3）设，，则，，根据 ，，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为， ∴列方程， 解得，， ∴正方形的边长为， 故答案为：，，； （2）由（1）可知，， ∴， 设图2中长方形的长为，宽为， ∴， 解得，， ∴ ∴图2中每块小长方形的面积； （3）“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙）， ∴设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴小正方形的边长为． 压轴满分题十、一元一次不等式组的实际综合应用 46．（2025·山西·模拟预测）太原滨河自行车专用车道自2021年5月1日投入使用以来，已成为市民骑行健身的打卡地，使自行车销量大增．今年春天，某自行车专营店购进A，B两种品牌的自行车共50辆，A，B两种品牌的自行车进价分别为1000元/辆和750元/辆．在销售过程中发现，A品牌自行车的利润率为，B品牌自行车的利润率为．若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500元，那么此次最少购进多少辆A品牌自行车．（提示：利润率利润进价） 【答案】此次最少购进20辆A品牌自行车 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设购进品牌自行车辆，则购进品牌自行车辆，分别表示出A品牌自行车和B品牌自行车的利润，再根据总利润不低于29500元列出不等式求解即可． 【详解】解：设购进品牌自行车辆，则购进品牌自行车辆， 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 所以的最小值为20， 答：此次最少购进20辆A品牌自行车． 47．（2024·湖南益阳·模拟预测）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的． （1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？ （2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2）千米． 【分析】（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，从而可得某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，再根据“路程速度时间”、“开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得； （2）先求出甲、乙两个工程队每天对其施工的长度，再设甲工程队后期每天施工千米，根据“整个工程提早3天以上（含3天）完成”建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，则某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟， 由题意得：， 解得， 则（千米），（千米）， 答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米； （2）由题意得：甲工程队每天对其施工的长度为（千米）， 乙工程队每天对其施工的长度（千米）， 设甲工程队后期每天施工千米， 则， 解得， 即， 答：甲工程队后期每天至少施工千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键． 48．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 49．（23-24七年级下·全国·单元测试）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下： 每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格 及以下 a元/ 1.40元/ 超过不超过的部分 b元/ 1.40元/ 超过的部分 6.00元/ 1.40元/ [说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费] 已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元． (1)求a，b的值． (2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型求解． （1）根据表格收费标准，及小王家4、5两月用水量、水费，可得出方程组，解出即可； （2）先判断用水量超过，继而再由水费不超过225，可得出不等式，解出即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 整理得：， 解得：； （2）解：当用水量为时，水费为：元，元， ∵， ∴小王家6月份的用水量超过， 设小王家6月份用水量为， 由题意得：， 解得：， ∴小王家6月份最多用水． 50．（23-24七年级下·四川成都·期末）为了市民游玩方便，准备在风阳湖市政森林公园内的环形路上提供免费游览车服务，如图是游览车路线图，已知间的路程为米，间的路程为米，间的路程为米，间的路程为米，现有有号，号两游览车分别从出口A和景点同时出发，号车逆时针、号车顺时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上，下车的时间忽略不计)，两车速度均为米/分．    探究：设行驶时间为分． （1）当时，分别写出号车，号车在下半圈环线离出口A的路程，(米)与(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路程少于米时的取值范围； （2）为何值时，号车第三次恰好经过景点，并直接写出这一段时间内它与号车相遇过的次数． 应用：已知游客小双在上从景点向出口A走去，步行的速度是米/分，当行进到上一点(不与点， A重合)时，刚好与号车迎面相遇，设的路程为s米，写出他原地等候乘号车到出口A所花时间与的函数关系式，并直接写出在什么范围内时，等候乘号车能更快到达． 【答案】探究：（1），，； （2）号车第三次恰好经过景点，这一段时间内它与号车相遇的次数为次； 应用：，． 【分析】（1）根据信息列出，米与分的函数关系式，两车相距的路程少于米时间介于相遇前相距400米的之间和相遇后相距400米的时间之间，据此得解； （2）根据题意先求出号车第三次恰好经过景点行驶的路程为：，即可求出时间，根据题意求出两车第一次相遇的时间为：，再求出第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为：，即可求出答案． 应用：先得出两车的相遇地点是不变的，相遇地点分别在出口A到景点C的路程一半位置和在景点C到出口A的路程一半位置，在出口A到景点C的路程一半位置时，的路程为米，再分①，② ，③三种情况讨论，找出1号车的位置，从计算出小双原地等候乘号车到出口A所花时间T为．又分和两种情况，根据等候乘号车能更快到达列出不等式，从而得到s的取值范围． 【详解】探究：（1）解：由题意，得，， 当相遇前相距米时， ， ， 当相遇后相距米时， ， ， 当两车相距的路程少于米时的取值范围； （2）解：由题意得： 号车第三次恰好经过景点行驶的路程为：(米)， 号车第三次经过景点需要的时间为：(分钟)， 两车第一次相遇的时间为：(分钟)， 第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为：(分钟)， 两车相遇的次数为：(次)， 这一段时间内它与号车相遇的次数为：次； 应用：∵两车的速度一样，景点A到景点C的路程占整圈的一半， ∴1号车到达景点C时，2号车也到达出口A，接着1号车到达出口A时，2号车也到达景点C，如此反复…… ∴它们的相遇地点是不变的，相遇地点分别在逆时针方向从出口A到景点C的路程一半位置和逆时针方向从景点C到出口A的路程一半位置． 根据题意在逆时针方向从出口A到景点C的路程一半位置时，的路程为米， ①当时，两车未相遇，且到相遇点的路程相等， 此时两车相距的路程是：米，这也是1号车到达小双的位置的路程． ∴他原地等候乘号车到出口A所花时间为：， ②当时，两车刚好相遇，小双无需等待直接上车， ∴他原地等候乘号车到出口A所花时间为：，(也适合情况①可合并) ③当时，两车已经相遇，且到相遇点的路程相等， 此时两车相距的路程是：米， 1号车到达小双的位置的路程是：(米) ∴他原地等候乘号车到出口A所花时间为：； 综上所述：小双原地等候乘号车到出口A所花时间与的函数关系式为：， 当时，由于等候乘号车能更快到达， 故， 解得：， ∴s的取值范围是； 当时，由于等候乘号车能更快到达， 故， 解得：(舍去)， 综上所述：当时，等候乘号车能更快到达． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，根据公式正确列出函数解析式，方程和不等式． 压轴满分题十一、利用平行线的性质探究角的关系 51．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图，已知，刘老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出，的平分线？小明的思路是先将刻度尺如图所示摆放确定点，利用刻度尺在射线上量得，再使边与边重合，使确定点，连接，则如图所示射线即为的平分线．请你说明小明的思路有没有道理？说明理由． 【答案】小明的思路有道理，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由操作可知，由等边对等角得，根据得，所以，即可得解． 【详解】解：小明的思路有道理，理由如下： 由操作可知， ， ， ， ， 平分． 52．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C． (1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点D． ①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)①不变，②与之间的数量关系是：或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）延长到E，由得，进而得，再根据平分得，然后根据平行线的性质得，据此可得的度数； （2）①延长到E，设，根据角平分线的定义得，，再根据得，进而得，，再根据平分，得，然后根据可得结论； ②（ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，根据，得，进而得，，，然后由平分得，则，据此得；（ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，再根据，得，进而得，，，，然后根据平分得，则，据此可得．综上所述即可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：延长到E，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：①点P在点A左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下： 延长到E，如图2所示： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ②与之间的数量关系是：或，理由如下： （ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，如图3所示： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，如图4所示： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 53．（24-25七年级下·河北邢台·期中）（1）问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请对说明理由； ②拓展探究：请对说明理由． （2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理推论，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②如图所示，过点作， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 54．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线交于一点P． (1)如图2，若和，则 ； (2)如图2，写出，和三个角之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，点M，N分别在上，点P是之间，右侧任意一点，连接，则的数量关系为 ；（不需要写解答过程） (4)如图4，在（3）条件下，之间，左侧再取一点Q，连接，若使得，求与的数量关系．（用n表示） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）过点P作，根据平行线的性质进行求解即可； （2）同法（1）进行求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质，进行求解即可； （4）设，得到，，由（2）（3）的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：过点P作（点R在点P的左侧），如图2所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图2所示，过点P作（点R在点P的左侧），如图2所示： ∵， ∴，       ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 理由如下： 过点P作（点S在点P的左侧），如图3所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （4）设， ∵，， ∴，， 由（2）的结论得：， 由（3）的结论得：， ∴，                    ∴， ∴． 55．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． （1）如图，，探索与，之间的关系． 阅读理解： 如图1，过点作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，转化成，，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知，则________． （3）如图3，已知，，与之间数量关系是_______________． （4）如图4，已知，，则________． 深化拓展： （5）如图5，已知，点为平面内一点，于．过点作于点，求证：． 【答案】方法运用：（2）360；（3）；（4）20 深化拓展：（5）见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解题意，正确作出辅助线是解题关键． 方法运用： （2）过点作，易得，结合“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案； （3）过点作，，根据“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”可得，，即可获得答案； （4）过点作，结合“两直线平行，同旁内角互补”求得 ，的值，即可获得答案； 深化拓展： （5）过点作，结合“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”以及“直角三角形两锐角互余”，可得，即可证明结论． 【详解】解：方法运用： （2）过点作，如下图， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：360； （3）过点作，如下图， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （4）过点作，如下图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20； 深化拓展： （5）证明：过点作，如下图， 则， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 压轴满分题十二、平行线中动点问题 56．（23-24七年级下·湖北十堰·期中）如图，，定点E，F分别在直线，上，平行线，之间有一动点P． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点Q，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论； （2）当点在的右侧时，画出图形，过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论； （3）分两种情况讨论，①如图，当在的左侧时，如图，当在的右侧时，再结合（1）（2）的结论进一步求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图，当点在的右侧时，， 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）①如图，当在的左侧时， 平分，平分， ， ， 由（1）可知，， ， 由（2）可知，， ， 解得， 如图，当在的右侧时， 平分，平分， ， ， 由（1）可知，， ， 由（2）可知，， ， 解得， 综上：为或． 57．（24-25七年级下·天津和平·期中）已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分，． (1)如图1，当时，________； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求证：； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)55 (2)①证明见解析；②或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，垂线的定义．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的定义，并分类讨论是解题的关键． （1）结合题目条件，求出，进而根据平行线的性质可得答案； （2）①过点P作，则，由平行线的性质及角的关系得到，再由垂线的定义即可证明结论； ②分和两种情况，画图求解即可； 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：55； （2）解：①过点P作，如图， 则， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，的度数为或． 58．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】[发现]平行，理由见解析；[探究] ；[延伸]或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，通常需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法． [发现]根据角平分线的定义分别求出，，可得，即可判定平行； [探究] 过M作，根据平行公理可得，利用两直线平行，内错角相等推出，再根据求出，最后根据角平分线的定义求出； [延伸]分平分，平分，两种情况，结合[探究]中的结论，结合角平分线的定义可得结果． 【详解】解：[发现]平行，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； [探究]如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； [延伸]如图，若平分， ∴， 同上可得：， ∴， ∴，即； 若平分， ∴， 同上可得：， ∴； 综上：与之间的数量关系为或． 59．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知：直线，直线分别交于点，交于点． (1)如图，点、分别在、上，点在线段上（其中点不与、重合），若，，求的度数． (2)如图，点、分别在、上，动点在射线上运动（其中点不与、重合），请探究，，三者之间的关系，画图并证明你的结论． (3)如图，点在点的左侧，点在射线（点在点下方且不与、重合）上运动时，与的两个角的平分线相交于点，其中与交于点，则______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；②，画图并证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质性质，三角形的内角和定理及角平分线定义，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键。 （1）由平行线的性质得，再根据三角形的内角和定理即可得解； （2）分点在上和点在的延长线上两种情况，利用平行线的性质求解即可； （3）过点作，设交于，与交于．先证明，结合角平分线得．由，得，．进而证明，从而即可得解。 【详解】（1）解：如图，∵，， ∴， ∴ ． 在中，∵，， ∴ ； （2）解：①． 如图，点在上时，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②． 如图，点在的延长线上时，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，过点作，设交于，与交于． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． ∵， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 60．（23-24七年级下·河北唐山·期中）已知：如图，直线与分别相交于点E，F． (1)如图1，若，则和的位置关系为 ． (2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系． ①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：如图2，过点P作， 则（         ） ∵（已知），（作图）， ∴（         ） ∴ ∴（         ） 即； ②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系； ③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系． 【答案】(1) (2)①见解析；②；③ 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）对顶角得到，，则，进而可得结果； （2）①根据解题过程进行作答即可；②如图3，过点P作，求解过程同①；③如图4，过点P作，求解过程同①． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为：平行； （2）①解：如图2、过点P作， 则（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知），（作图）， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． ∴． ∴（等式的性质）． 即； 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；等式的性质； ②解：； 如图3，过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴； ③解：， 如图4，过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． 压轴满分题十三、平行线中的翻折问题 61．（2025七年级下·全国·专题练习）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质； （1）由平行线的性质结合轴对称的性质可得答案； （2）由平行线的性质证明，结合折叠的性质可得，从而可得结论； 【详解】（1）解： ． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴， ∴． 62．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，点M，N分别在长方形纸条的边和上，将长方形纸条沿折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点，，折叠后与相交于点E． (1)若，求的度数； (2)设，． ①请用含α的代数式表示β； ②当α的值为_________时，是等边三角形；当α的值为______时，是直角三角形． 【答案】(1) (2)①②，是等边三角形；时，是直角三角形． 【分析】（1）根据题意，得长方形纸条，折叠性质，得，，结合，利用平行线的性质求的度数即可； （2）①根据(1)得，根据折叠的性质，得即，解答即可． ②根据是等边三角形，得到，结合，解得；当是直角三角形时，． 【详解】（1）解：∵将长方形纸条进行折叠， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）①根据(1)得，根据折叠的性质，得即， 故． ②解：根据是等边三角形，得到，又， 解得； 当是直角三角形时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，平行线的性质，特殊三角形的性质，熟练掌握折叠性质，平行线性质是解题的关键． 63．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知，直线PQMN，点C是直线PQ和MN之间的一点． (1)如图1，点D，E分别在PQ，MN上，∠1和∠2为锐角，求证：∠C=∠1+∠2； (2)把一块三角板ABC（其中∠A=30°，∠C=90）按如图2放置，点D，E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDQ的度数； (3)如图3，将（2）中的三角板进行适当的转动，把射线EM沿直线AC翻折，交BC于点F，试判断∠BDQ和∠FEN有何数量关系?写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60° (3)∠BDQ，理由见解析 【分析】1）过C作CH∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C＝∠1＋∠2； （2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论； （3）根据邻补角的定义以及翻折的性质，可得，由（1）的结论可得∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论． 【详解】（1）如图1，过C作CH∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴CH∥MN， ∴∠1＝∠DCH，∠2＝∠ECH， ∴∠DCE＝∠DCH＋∠ECH＝∠1＋∠2． （2）∵∠AEN＝∠A＝30°， ∴∠MEC＝30°， 由（1）可得，∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°， ∴∠PDC＝90°−∠MEC＝60°， ∴∠BDQ＝∠PDC＝60°； （3）∠BDQ，理由如下 射线EM沿直线AC翻折，交BC于点F， 即 ∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°， ∠BDQ＝∠PDC ∠BDQ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及翻折的性质，对顶角相等，邻补角的定义等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解． 64．（24-25七年级下·福建漳州·期中）综合与实践 学习了平行线之后，小林同学通过折纸的方式，可以过直线外一点画这条直线的平行线．如图1，点为纸片上直线外一点． 下面是具体操作过程： 第一步：如图2，沿过点的直线翻折，使直线在折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到折痕； 第二步：如图3，展开纸张，画出折痕，继续沿过点的直线翻折，使折痕在新折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到新折痕； 第三步：如图4，展开纸张，画出新折痕； 此时新折痕与直线平行． 请根据上面的材料，完成下列任务： (1)第一步操作得到的折痕与直线的位置关系是_____； (2)关于新折痕与直线平行的依据，下列说法正确的是_____（填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等． (3)如图5，于点于点是直线上两点（点位于点左侧），连接，其中，，求的度数． 【答案】(1)； (2)①； (3)． 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行线的判定与性质； （1）由对折可得折痕与直线所夹的角为，从而可得答案； （2）由对折可得，，从而可得答案； （3）先求解，再证明，结合平行线的性质可得答案. 【详解】（1）解：第一步操作得到的折痕与直线的位置关系是； （2）解：由题意得： ，， 所以，可以利用同位角相等，两直线平行得到：， 故选：① （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴. 65．（23-24七年级下·江西赣州·期末）我们定义：如图1，直线a，b被直线c所战（a，b，c不交于同一点），若直线a，c所成的四个角中有一个角与直线b，c所成的四个角中的一个角相等，如，则称直线c是直线a，b的等角线． 【初步感知】 （1）如图2，在图①，②，③中，直线c是直线a，b的等角线的是___________（填序号）； 【探究应用】 （2）如图3，点E，F分别为长方形ABCD的边AD，BC的点，且点E不与点A，D重合，点F不与点B，C重合，将长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点的位置，的延长线交直线BC于点G． 图3               备用图 ①直线AB，EF，中，直线___________是直线与直线BC的等角线，并请说明理由； ②直线与直线BC交于点G，随着折痕EF的变动，当直线EG是直线AB，BC的等角线时，求的度数（提示：三角形的内角和为）． 【答案】（1）①③；（2）①EF，理由见解析；②， 【分析】此题考查了平行线和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握平行线和折叠的性质及其应用． （1）根据题中a与c的夹角b与c的夹角度数，结合所给的定义逐一判断即可； （2）①由折叠性质可知，再根据平行线的性质求出角度相等，判断即可； ②当直线是直线、的等角线分情况画出图形即可求解． 【详解】解：（1）图中，与所成的角为：，，，，与所成的角为，，，，则或， ∴直线是直线、的等角线， 图中，与所成的角为：，，，，与所成的角为，，，，没有角相等， ∴直线不是直线、的等角线， 图中，与所成的角为：，，，，与所成的角为，，，，，则或， ∴直线是直线、的等角线， 故答案为：； （2）①，理由： 由折叠性质可：， 四边形是长方形． ， 直线是直线与的等角线． ②如图， 设直线与的延长线得交点为H， 当直线是直线、的等角线时， 山折叠性质可知：， 四边形是长方形， ． ， 直线是直线、的等角线， ． ． 如图， 设直线与的延长线得交点为H． 当直线是直线、的等角线时． 由折叠性质可知：， 四边形是长方形． ， ， 直线是直线、的等角线， ， ． 的度数为：，． 压轴满分题十四、平行线的性质与判定综合应用 66．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图1，已知点是外一点，连接，． (1)已知，求的度数． (2)如图2，已知，试说明：． (3)如图3，已知，点在点的右侧，，．平分，平分，，交于点，点在与两条平行线之间，求． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由三角形内角和即可求解； （2）过点C作，则有；再结合得，从而有，而，由此即可得出结论； （3）由角平分线的条件得：，；过点E作，则；结合有，则有，由即可求解． 【详解】（1）解：由三角形内角和知：， ∴； （2）解：如图，过点C作， 则， 即； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， 即； （3）解：∵平分，平分， ∴，； 如图，过点E作，则； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 67．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）已知：如图1，点B在上，． (1)求证：； (2)如图2，平分，过点C作于点F． ①补全图形； ②若，设，，求x，y之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）过点P作，得，再根据，得出，即可解得． （2）①根据题意补全图形即可． ②过点F作，得到，根据已知得，再由垂直定理得，再由，得到，由（1），可得，再根据三角形内角和定理得，即可解答． 本题考查了平行线的判断与性质，角平分线的性质，垂直定理，三角形外角和定理，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点P作． ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． （2）解：①依题意，补全图形： ； ②过点F作． ∴， ∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 68．（24-25七年级下·广东东莞·期中）【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：； 【类比探究】 （）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系； 【学以致用】 （）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数． 【答案】（）证明见解析；（）；（） 【分析】（）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，过点作，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 69．（24-25七年级下·河北唐山·期中）（1）【感知】如图1，，点在直线与之间，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整． 证明：如图1，过点作， ，（___________①___________） （已知），（辅助线作法）， ，（②） ___________③___________，（___________④___________） ， ； （2）【探究】当点在如图2的位置时，其他条件不变，则___________度； （3）【应用】如图3，延长线段交直线于点，已知，，直接写出的度数． 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②平行于同一直线的两条直线平行；③；④两直线平行，内错角相等；（2）360；（3） 【分析】（1）过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，即可得出结论； （2）过点E作，则，由平行线的性质得出，即可得出结论； （3）过点E作，则，由平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（已知），（辅助线作法）， ∴，（平行于同一直线的两条直线平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵， ∴；（等量代换）    （2）证明：过点E作，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴；    （3）解：过点E作，如图    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线和熟练运用平行线的性质是解题的关键． 70．（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求． （1）按照小明的思路，求度数； 问题迁移： （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键． （1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作，如图所示， ， ， ，， ，， ，， ； （2）， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 压轴满分题十五、平行模型的综合问题 71．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 72．（23-24七年级下·福建厦门·期末）将一把直尺和一副三角板如图放置，三角板的直角边，与直尺的一边分别相交于点，，连接交于点，．三角板的初始位置点与点重合，将三角板从点出发沿射线方向平移，平移过程中边始终在边所在直线上．    (1)当三角板位于初始位置时，简化抽象出如图所示的模型．已知，，，，若平分，求的度数； (2)如图，在点从点平移到点的过程中，若，过点分别向，作垂线，垂足分别是点，，探究线段，，的关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点G作，先由角平分线的定义得到，再证明得到，，则； （2）如图所示，连接，根据得到，再由，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点G作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴；    （2）解：，证明如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键． 73．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据平行线的性质得出，进而得出，则，即可求证；②根据光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行，得出，即可解答； （2）根据题意推出，过点C作，则，推出，易得，则，根据直角三角形连锐角互补即可解答． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶． （2）解：∵是与入射镜筒壁平行，， ∴， ∴， 过点C作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 74．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）（1）感知发现：在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当∥时，可以得到结论：在学习逆命题时，发现原命理是真命题，逆命题不一定是真命题，于是兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：∥，请写出证明过程． 利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题： （2）综合与实践:在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图已知两直线，且∥和直角三角形，，，创新小组的同学发现，说明理由． （3）实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出答案． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】过点作，想办法证明，可得结论； 利用中结论，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】证明：过点作， ， ， ，， ， ， ； 证明： 由可知，， ， ， ； 解：结论：． 理由：平分， ， ， ， ， 由可知，， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 75．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）根据角平分线的定义得到，，再根据（1）中结论可作出判断； （5）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图③， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4）如图④，∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∴， 故答案为：； （5），理由： 如图⑤，过C作，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴ 压轴满分题十六、平移的综合应用 76．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上． （1）将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，补全△A′B′C′； （2）若连结AA′、BB′，则这两条线段之间的关系是 　 　（数量关系及位置关系）；四边形AA′B′B的面积为 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）平行且相等，14． 【分析】（1）根据网格结构找出点A′、C′的位置，然后顺次连接即可； （2）连接AA′、BB′,根据平移的性质可得对应点的连线互相平行且相等；然后运用割补法解答即可． 【详解】解：（1）如图：△A′B′C′为所求； （2）由平移的性质可得：AAʹ与BBʹ关系是平行且相等； 如图：四边形AA′B′B的面积为：6×4-×2×3-×1×4-×2×3-×1×4=14． 【点睛】本题主要考查了平移作图、平移的性质、不规则图形的面积等知识点，掌握几何图形平移的特征以及运用割补法求面积成为解答本题的关键． 77．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全； (2)连接，则这两条线段之间的关系是__________； (3)画出的中线AE． 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等； (3)见解析． 【分析】（1）将点A、C分别向左平移2个单位、向上平移4个单位得出其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据平移变换的性质可得答案； （3）根据三角形中线的概念求解即可． 【详解】（1）如图所示，△A′B′C′即为所求． （2）根据平移变换的性质知，这两条线段之间的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等； （3）如图所示，BE即为所求； 【点睛】本题主要考查作图−平移变换，解题的关键是掌握平移变换的概念和性质． 78．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是，，将三角形进行平移后，点的对应点为，点的对应点是，点的对应点是． (1)画出平移后的三角形并写出，的坐标； (2)写出由三角形平移得到三角形的过程； (3)求出三角形的面积． 【答案】(1)图见解析，， (2)先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 (3) 【详解】（1）如图所示，即为所求： ∴，； （2）先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； （3）如图所示： ， 答：的面积是． 79．（23-24七年级下·广西玉林·期中）如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)（-1 ，0），（3 ，0） (2)存在这样的，使得四边形的面积等于9，理由见解析 (3)为定值，故其值不会变化，理由见解析 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解； （2）由平移的性质可得点C（0，2），点D（4，2），OA＝1，OB＝2，OC＝2，CD＝4，由面积关系可求解； （3）分点N在线段OB上，点N在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点A和点的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）； （2）解：存在． 过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示： 由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2）， ∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ， 设M点坐标为（0，t），连接MD、OD， ∴OM=t， ∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9， ∴，即，解得t=3， 存在这样的，使得四边形的面积等于9； （3）解：不变． 理由如下： 当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t， 过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD， ∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ， ∴= S△OND+S△OMD = = =3-2t+2t =3， 当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD， ∴为定值，故其值不会变化． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，非负式性质求解，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 80．（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点． (1)以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 　 　； (2)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 　 　，长方形的面积为 　 　； (3)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 　 　（线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？ 【答案】(1)（10，6） (2)（14，6），36 (3)（﹣12t+60）或（12t﹣60），t＝2 【分析】（1）根据长方形的性质，坐标的确定方法求解即可． （2）运动2秒相当于图形向右平移4cm，确定坐标即可，计算出的长度，计算面积即可． （3）分0≤t≤5和t＞5两种情况计算即可． 【详解】（1）∵AB＝10cm，BC＝6cm， ∴C的坐标为（10，6）， 故答案为：（10，6）． （2）∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒， ∴点C向右平移4cm， ∵C（10，6）， ∴（14，6）， 故答案为：（14，6）． ∵AB＝10，＝4， ∴＝6， ∴长方形的面积为36（）． 故答案为：36． （3）当t≤5时，如图： ∵＝AB﹣＝10﹣2t， ∴长方形的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（）， 当t＞5时，如图： ∵＝﹣AB＝2t﹣10， ∴长方形的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（）， 故答案为：（﹣12t+60）或（12t﹣60）； 当t≤5时，如图： 长方形的面积为﹣12t+60， △面积的3倍为， 由题意得：﹣12t+60＝18t， 解得t＝2； 当t＞5时，如图： 同理可得：12t﹣60＝18t， 解得t＝﹣10（舍去）， ∴t＝2． 【点睛】本题考查直角坐标系，涉及长方形形性质，三角形面积等，解题的关键是画出图形，用含t的代数式表示相关线段的长度． 压轴满分题十七、平面直角坐标系中面积综合 81．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，已知点，，， (1)求出点的坐标；（提示：根据面积求） (2)在轴上存在一点，使得三角形的面积是三角形的面积的3倍，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了点坐标与图形，熟练掌握三角形的面积关系是解题关键． （1）先根据点的坐标可得，三角形的边上的高为，三角形的边上的高为2，再根据建立方程，解方程即可得； （2）设点的坐标为，求出，，再利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，三角形的边上的高为，三角形的边上的高为2， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：由题意，可设点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴三角形的边上的高为， 由（1）可知，， ∵三角形的面积是三角形的面积的3倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标是或． 82．（24-25七年级下·广东汕头·期中）长方形的位置如图所示，点的坐标为，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位；点同时从点出发向点移动，速度为每秒2个单位，设运动时间用表示． (1)直接写出点、的坐标； (2)证明在点、移动过程中，四边形的面积一直保持不变． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)证明见解析 【分析】本题考查坐标与图形的性质、割补法求四边形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据点坐标的定义求解，即可解题； （2）根据列式计算，即可证明在点、移动过程中，四边形的面积一直保持不变． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：四边形的面积不变．证明如下： ∵ ． ∴四边形的面积不变． 83．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）综合与实践 【问题背景】 在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）求的面积． 【解决问题】 （2）若，，，求四边形的面积． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标． 【拓展延伸】 （4）在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）9；（3）（4）或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数量掌握图形面积与点的坐标之间的关系是解题的关键． （1）根据点的坐标可得轴，点B到的距离为，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求求出的面积，再求出A、B坐标，进而求出的面积即可得到答案； （3）先求出的长，则可得点N横坐标，根据列式求出的长即可得到答案； （4）求出的面积，进而得到四边形面积，则可得到三角形的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）∵点坐标为，点坐标为 ∴轴， ∵点坐标为， ∴点B到的距离为， ∴； （2）当，，时，，， ∴， ∴， ∴； （3）∵，点M是中点， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点N的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， ∵三角形的面积等于四边形面积的3倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． 84．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中有两点，现将点A向上平移7个单位长度，得到对应点C，连接，交x轴于点M，连接． (1)如图1，点C的坐标是_______； (2)如图1，与x轴的位置关系是_______； (3)如图2，P是线段上的一个动点（不与点A，M，C重合），连接，，请你探究三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)平行 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形变换—平移，坐标与图形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质求出点C的坐标即可解答； （2）根据点C和B的纵坐标相同，即可得到与x轴平行解答即可； （3）分点P在线段上和点P在线段上两种情况，过点P作，即可得到轴，进而得到，，再根据角的和差解题即可； 【详解】（1）解：点A向上平移7个单位长度点的坐标为，即为， 故答案为：； （2）∵点，点， ∴与x轴的位置关系是平行， 故答案为：平行； （3）当点P在上时，过点P作， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴； 当点P在上时，过点P作， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴； 综上所述，或． 85．（24-25七年级下·天津和平·期中）如图1，点，且满足．         (1)直接写出M、N的坐标：M________，N________； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①当时，求的面积； ②当时． （Ⅰ）用代数式表示的面积和； （Ⅱ）求证：； ③如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点G为的角平分线上一点，且满足，请将图2补全，并直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①1；②，；（Ⅱ）证明见解析；③或 【分析】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）由非负数的性质可得：，，从而可得答案； （2）①求出此时的长，进而得到的长，再根据三角形面积计算公式求解即可； ②（Ⅰ）求出此时的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）所求可得，再根据图形面积之间的关系可证明结论； ③先根据题意补全图形，设，设，则，再求出，的度数，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， 解得：，， ∴点， 故答案为：； （2）解：①当时，点Q的运动路程为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②（Ⅰ）由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴， ∴； ③如图，补全图形如下： 当点在上方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， 如图，∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 1．（2025·山西吕梁·二模）关于x的不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的解集在数轴上表示的方法，先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解得， 在数轴上表示为： 故选：C． 2．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为1．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 观察图形，从水平方向看，两个边长为的部分长度和等于，即；从垂直方向看，的长度与相等，即．将这两个等量关系组合，得到方程组； 【详解】解：水平方向：观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即．   垂直方向：从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减（因图形无缝拼接），即， 综上，符合条件的二元一次方程组为． 故选：A． 3．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）某班学生最喜欢的一项球类运动的统计表和扇形统计图如图所示，其中统计表不小心被撕掉一部分，下列推断不正确的是（   ） A．足球所在扇形的圆心角度数为 B．该班喜欢乒乓球的人数占总人数的 C．m与n的和为52 D．该班喜欢羽毛球的人数不超过13人 【答案】D 【分析】本题考查了扇形统计图与统计表信息关联，从扇形统计图与统计表中获取信息是解题的关键．根据乒乓球的人数与扇形统计图圆心角的度数求得总人数，根据足球的人数比上总人数，即可判断B选项，判断出足球所在扇形的圆心角度数，即可判断出A选项， 足球与乒乓球的人数的占比即可判断C选项，根据扇形统计图可知，进而即可判断D选项． 【详解】解：乒乓球的人数有14人，扇形统计图中圆心角的度数为，则总人数为：人， ，故B选项正确 足球有10人，则足球所在扇形的圆心角度数为，故A选项正确， ∴，故C选项正确， 根据扇形统计图可知， 所以该班喜欢羽毛球的人数超过人，故D选项不正确， 故选D． 4．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 5．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第n次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则n的值为（   ） A．504 B．505 C．2021 D．2025 【答案】B 【分析】此题主要考查了代数式，图形的变化规律，以及一元一次方程，根据图形变化规律得出长度的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，再找出长度的规律，然后根据所求得出数字变化规律，再根据规律列出方程求解n的值． 【详解】解：∵，第1次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时，， 第2次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时， 以此类推，第n次平移后，． ∵的长度为2025， ∴， 解得：， 故选：B． 6．（2025·河北保定·一模）点在数轴上的位置如图所示，设点对应的数为，若，则符合条件的的整数值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用的取值范围推出的取值范围，从而推出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴符合条件的整数值为：； 故答案为：． 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．二元一次方程组的解看成，解出x，y即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴把关于二元一次方程组看作关于和 的二元一次方程组， ∴， 解得：， 则二元一次方程组的解是， 故答案为： 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，若点A的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化，正确得出平移规律是解题关键．利用已知对应点平移距离进而得出答案． 【详解】解：∵线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，点A的对应点的坐标为， ∴点A向右平移5个单位，向下平移1个单位， ∴点B的对应点的坐标为：． 故答案为：． 9．（2025·江苏盐城·一模）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上．已知，，则的度数为 ． 【答案】36 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：36． 10．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，所得的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受到启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形，请你仿照上面的探究方法，比较 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，估算无理数的大小，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出的整数部分是3，即可解答求解． 【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， ∴（负值舍去）， ∵，即， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·北京·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定， (1)___，___，___； (2)___． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查新定义，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键． （1）根据题意得到符号表示不超过的最大整数，指的小于等于的最大整数，结合无理数的估算方法即可求解； （2）根据题意，将原式分为，，，结合新定义的计算即可求解． 【详解】（1）解：用符号表示不超过的最大整数，指的小于等于的最大整数，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：； （2）解：， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）高远中学要了解全校学生对不同类别电视节目的喜爱情况，围绕“在体育、新闻、动画、娱乐四类电视节目中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图．其中最喜欢娱乐类电视节目的人数占被抽取人数的．请你根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，抽取的学生共有多少名？ (2)通过计算补全条形统计图； (3)如果全校共有3000名学生，请你估计全校学生中最喜欢体育类电视节目的学生有多少名？ 【答案】(1)50名 (2)见解析 (3)660名 【分析】本题考查条形统计图，理解频数、频率、总数之间的关系是解决问题的关键． （1）由喜欢娱乐类节目的频数和所占的百分比，可求出调查人数； （2）求出喜欢新闻节目的人数即可补全条形统计图； （3）求出喜欢体育类节目所占的百分比，利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：（名）， 答：在这次调查中，一共抽取了50名学生； （2）解：（名）， 补全条形统计图如下： （3）解：（名）， 答：全校3000名学生中最喜欢体育类电视节目的学生大约有660名． 13．（24-25七年级下·陕西延安·期中）园林部门为了对某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游景区有树龄百年以上的古松树4棵（分别用表示），古槐树6棵（分别用表示）．为了加强对这些古树的保护，园林部门根据该旅游景区示意图（如图所示），建立适当的平面直角坐标系，将4棵古松树的位置用坐标表示为． (1)根据建立的平面直角坐标系，写出6棵古槐树的位置所对应的坐标； (2)已知在的北偏西，115米处，试用表示方向的角和距离描述相对于的位置． 【答案】(1)，，，，，； (2)在的南偏东，且相距115米处 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键． （1）先根据点坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系即可；写出6棵古槐树的坐标即可； （2）据方位角的概念，可得答案． 【详解】（1）解：画出平面直角坐标系如图所示∶ 有平面直角坐标系可知：6棵古槐树的坐标分别为∶，，，，，； （2）解：∵在的北偏西，115米处， ∴在的南偏东，115米处． 14．（24-25七年级下·重庆潼南·期中）根据以下素材，完成任务 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的型打印机与型打印机的购买清单，如表所示： 型数量（台） 型数量（台） 总费用（元） 2023年 10 20 26000 2024年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家咨询，得知今年型打印机单价不变，型打印机打八折优惠． 问题解决 任务一 计算商品单价 （1）若2023年与2024年购进的型与型打印机的单价不变，求购进型打印机与型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 （2）总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 【答案】任务一：购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元；任务二：有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 任务一：根据素材一的表格列方程组求解； 任务二：根据“总务处预计将3800元采购经费正好用完”列方程，再求正整数解 【详解】解：任务一：设购进A型打印机的单价为x元，B型打印机的单价是y元， 则：， 解得：， 答：购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元； 任务二：设购买A型打印机a台，B型打印机b台， 则：， ∴方程组的正整数解为：或， ∴有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台 15．（24-25七年级下·吉林·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)①；②与所成锐角的度数为 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解；②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：过点F作交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：①如图，作，则， ，， ， 故答案为：； ② 过点E作， 由题意可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：与所成锐角的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（100题17个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、算术平方根、立方根有关的规律探索有关的规律探索题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 2．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根．                             3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 4．（24-25七年级下·甘肃陇南·阶段练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 5．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 压轴满分题二、与实数运算相关的规律题 6．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）设 ，，， (1) ； (2)，，…， 则 ； (3)求 的值． 7．（23-24七年级下·四川广元·期中）已知有理数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是的差倒数是，如果是的差倒数，是的差倒数是的差倒数．．．依此类推，解答下面的问题： (1)___________，___________，___________； (2)求的值． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 9．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 10．（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 压轴满分题三、不等式（组）组含参计算问题 11．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）对于任意实数，定义一种关于的运算：．例如：． (1)若，求的取值范围； (2)若关于的不等式组的解集为满足，求的值； (3)若，求的取值范围． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 13．（24-25七年级下·江西九江·期中）若一个不等式组有解且解集为；则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于x的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为_________； ②不等式组对于不等式组_________（填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． 14．（24-25七年级下·福建福州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 ①如果，那么或者； ②如果，那么或者； ③如果，那么或者． 素材2 范例：解不等式． 由不等式可得：不等式组（1）或不等式组 （2），解不等式组（1）得，解不等式组（2）得， 不等式的解集为或． 任务一 解方程： 任务二 求满足不等式的所有整数解； 任务三 关于的不等式组有且只有2个整数解，并且它们都是任务一中方程的解，求的取值范围． 15．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 压轴满分题四、一元一次不等式（组）的新定义计算 16．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足不等式，求m的取值范围． 17．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：三个关于的整式、、，若的解集为，则称它们构成“不等式”．例如：三个整式，，，有的解集为，则称，，构成“不等式”． (1)整式、、，可以构成“不等式”吗？请说明理由． (2)若三个关于的整式、、，可以构成“不等式”，求的值． (3)若，，构成“不等式”，求关于的不等式组的解集． 19．（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“友好解”． (1)请判断方程的解是不是不等式的“友好解”； (2)若关于的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，请直接写出的最小整数值． 20．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 压轴满分题五、二元一次方程组的错解复原问题 21．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解，而小亮把方程②抄错了，从而得到错解，请你求出正确答案. 22．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）（1）已知关于的方程组与有相同的解，求方程组的解及的值． （2）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 23．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 24．（24-25七年级下·山西临汾·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的，的值； (2)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 25．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演，可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)____；____； (2)按照正确的a、b求出原方程组的解． 压轴满分题六、二元一次方程组的新定义计算 26．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 27．（23-24七年级下·广东中山·期中）新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 28．（23-24七年级下·湖北十堰·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，． (1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 29．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 30．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读材料】： 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；． 已知：；． 材料二：“已知x，y均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ，， ∵x，y是非负数，即，， ，，． 【回答问题】： (1)求出a，b的值； (2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围； (3)已知x，y，z都为非负数，，，求的取值范围． 压轴满分题七、利用平移的性质解决问题 31．（23-24七年级下·全国·课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）    32．（23-24七年级下·广东中山·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； (2)方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 33．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图（每个小正方形边长均为1）． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)请画出沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (3)求平移过程中线段扫过的面积． 34．（2024七年级下·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 35．（23-24七年级下·浙江台州·期末）平面直角坐标系中，已知A（﹣1，5），B（﹣3，1），C（1，0）． （1）求△ABC的面积；（提示：三角形ABC的面积可以看作一个长方形的面积减去一些小三角形的面积） （2）在x轴上找一点P，使△PAC的面积等于△ABC面积的2倍； （3）将线段AB沿水平方向以每秒1个单位的速度平移至MN（A对应M、B对应N），几秒后，△MNO的面积与△ABC面积相等？ 压轴满分题八、点坐标规律探索 36．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）如图，正方形的边长为4，过它的中心建立平面直角坐标系（中心在原点上），各边和坐标轴平行或垂直．    (1)试写出正方形四个顶点的坐标； (2)从中你发现了什么规律，请举例说明（写出一个即可）． 37．（24-25七年级下·山西朔州·期中）【问题情境】 数学课上，老师让同学们探究平面直角坐标系中不重合的两点和点，当横坐标相同或纵坐标相同时，判断直线与轴之间的位置关系及求和两点之间的距离，并把和两点之间的距离记为． 【探究结论】 ①若，则轴，且； ②若，则轴，且． 【结论应用】 (1)已知点和点，则线段的长度为__________； (2)已知点，当轴，时，求点的坐标； (3)已知点，点，轴，求点的坐标． 38．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 39．（2025·安徽铜陵·三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案． 图形 图1 图2 图3 图4 ．．． 小正方形的个数 6 12 20 ．．． (1)观察以上图形，完成表格； (2)将图如图放置到平面直角坐标系中，则点的坐标是________； (3)不难发现点，，，，，在同一直线上，连接，利用面积法求图需要小正方形的个数． 40．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点A出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发： ①若点、均沿长方形的边界顺时针方向运动，为何值时，、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； ②若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标． 压轴满分题九、二元一次方程组的实际综合应用 41．（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 42．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． 填空：a=______，b=______，c=______； d=______，e=______，f=______． 43．（2025·安徽合肥·二模）乡村振兴局深入推进种植业振兴行动之际，某超市积极践行社会责任，依托自身供应链优势精准帮扶农户拓展销售渠道．已知九月份山核桃的售价40元/千克，苹果的售价20元/千克，这两种农产品的销售总额达到20000元．十月份时，山核桃售价单价保持不变，销量比九月份增加了，苹果的销售单价降价，销量却比九月份增加了． (1)设九月份山核桃的销量为x千克，苹果的销量为y千克，请用含x，y的代数式填表（填化简后的结果）： 月份 山核桃销售额/元 苹果销售额/元 销售总额/元 九月份 20000 十月份 _______ _______ (2)若十月份两种农产品的销售总额比九月份的总销售额增加5200元，求x，y的值． 44．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 45．（24-25七年级下·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 压轴满分题十、一元一次不等式组的实际综合应用 46．（2025·山西·模拟预测）太原滨河自行车专用车道自2021年5月1日投入使用以来，已成为市民骑行健身的打卡地，使自行车销量大增．今年春天，某自行车专营店购进A，B两种品牌的自行车共50辆，A，B两种品牌的自行车进价分别为1000元/辆和750元/辆．在销售过程中发现，A品牌自行车的利润率为，B品牌自行车的利润率为．若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500元，那么此次最少购进多少辆A品牌自行车．（提示：利润率利润进价） 47．（2024·湖南益阳·模拟预测）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁 路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的． （1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？ （2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 48．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 49．（23-24七年级下·全国·单元测试）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下： 每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格 及以下 a元/ 1.40元/ 超过不超过的部分 b元/ 1.40元/ 超过的部分 6.00元/ 1.40元/ [说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费] 已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元． (1)求a，b的值． (2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？ 50．（23-24七年级下·四川成都·期末）为了市民游玩方便，准备在风阳湖市政森林公园内的环形路上提供免费游览车服务，如图是游览车路线图，已知间的路程为米，间的路程为米，间的路程为米，间的路程为米，现有有号，号两游览车分别从出口A和景点同时出发，号车逆时针、号车顺时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上，下车的时间忽略不计)，两车速度均为米/分．    探究：设行驶时间为分． （1）当时，分别写出号车，号车在下半圈环线离出口A的路程，(米)与(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路程少于米时的取值范围； （2）为何值时，号车第三次恰好经过景点，并直接写出这一段时间内它与号车相遇过的次数． 应用：已知游客小双在上从景点向出口A走去，步行的速度是米/分，当行进到上一点(不与点， A重合)时，刚好与号车迎面相遇，设的路程为s米，写出他原地等候乘号车到出口A所花时间与的函数关系式，并直接写出在什么范围内时，等候乘号车能更快到达． 压轴满分题十一、利用平行线的性质探究角的关系 51．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图，已知，刘老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出，的平分线？小明的思路是先将刻度尺如图所示摆放确定点，利用刻度尺在射线上量得，再使边与边重合，使确定点，连接，则如图所示射线即为的平分线．请你说明小明的思路有没有道理？说明理由． 52．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C． (1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点D． ①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 53．（24-25七年级下·河北邢台·期中）（1）问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请对说明理由； ②拓展探究：请对说明理由． （2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______． 54．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线交于一点P． (1)如图2，若和，则 ； (2)如图2，写出，和三个角之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，点M，N分别在上，点P是之间，右侧任意一点，连接，则的数量关系为 ；（不需要写解答过程） (4)如图4，在（3）条件下，之间，左侧再取一点Q，连接，若使得，求与的数量关系．（用n表示）           55．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． （1）如图，，探索与，之间的关系． 阅读理解： 如图1，过点作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，转化成，，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知，则________． （3）如图3，已知，，与之间数量关系是_______________． （4）如图4，已知，，则________． 深化拓展： （5）如图5，已知，点为平面内一点，于．过点作于点，求证：． 压轴满分题十二、平行线中动点问题 56．（23-24七年级下·湖北十堰·期中）如图，，定点E，F分别在直线，上，平行线，之间有一动点P． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点Q，请直接写出的度数． 57．（24-25七年级下·天津和平·期中）已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分，． (1)如图1，当时，________； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求证：； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 58．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 59．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知：直线，直线分别交于点，交于点． (1)如图，点、分别在、上，点在线段上（其中点不与、重合），若，，求的度数． (2)如图，点、分别在、上，动点在射线上运动（其中点不与、重合），请探究，，三者之间的关系，画图并证明你的结论． (3)如图，点在点的左侧，点在射线（点在点下方且不与、重合）上运动时，与的两个角的平分线相交于点，其中与交于点，则______（直接写出结果）． 60．（23-24七年级下·河北唐山·期中）已知：如图，直线与分别相交于点E，F． (1)如图1，若，则和的位置关系为 ． (2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系． ①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：如图2，过点P作， 则（         ） ∵（已知），（作图）， ∴（         ） ∴ ∴（         ） 即； ②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系； ③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系． 压轴满分题十三、平行线中的翻折问题 61．（2025七年级下·全国·专题练习）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 62．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，点M，N分别在长方形纸条的边和上，将长方形纸条沿折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点，，折叠后与相交于点E． (1)若，求的度数； (2)设，． ①请用含α的代数式表示β； ②当α的值为_________时，是等边三角形；当α的值为______时，是直角三角形． 63．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知，直线PQMN，点C是直线PQ和MN之间的一点． (1)如图1，点D，E分别在PQ，MN上，∠1和∠2为锐角，求证：∠C=∠1+∠2； (2)把一块三角板ABC（其中∠A=30°，∠C=90）按如图2放置，点D，E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDQ的度数； (3)如图3，将（2）中的三角板进行适当的转动，把射线EM沿直线AC翻折，交BC于点F，试判断∠BDQ和∠FEN有何数量关系?写出你的结论并说明理由． 64．（24-25七年级下·福建漳州·期中）综合与实践 学习了平行线之后，小林同学通过折纸的方式，可以过直线外一点画这条直线的平行线．如图1，点为纸片上直线外一点． 下面是具体操作过程： 第一步：如图2，沿过点的直线翻折，使直线在折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到折痕； 第二步：如图3，展开纸张，画出折痕，继续沿过点的直线翻折，使折痕在新折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到新折痕； 第三步：如图4，展开纸张，画出新折痕； 此时新折痕与直线平行． 请根据上面的材料，完成下列任务： (1)第一步操作得到的折痕与直线的位置关系是_____； (2)关于新折痕与直线平行的依据，下列说法正确的是_____（填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等． (3)如图5，于点于点是直线上两点（点位于点左侧），连接，其中，，求的度数． 65．（23-24七年级下·江西赣州·期末）我们定义：如图1，直线a，b被直线c所战（a，b，c不交于同一点），若直线a，c所成的四个角中有一个角与直线b，c所成的四个角中的一个角相等，如，则称直线c是直线a，b的等角线． 【初步感知】 （1）如图2，在图①，②，③中，直线c是直线a，b的等角线的是___________（填序号）； 【探究应用】 （2）如图3，点E，F分别为长方形ABCD的边AD，BC的点，且点E不与点A，D重合，点F不与点B，C重合，将长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点的位置，的延长线交直线BC于点G． 图3               备用图 ①直线AB，EF，中，直线___________是直线与直线BC的等角线，并请说明理由； ②直线与直线BC交于点G，随着折痕EF的变动，当直线EG是直线AB，BC的等角线时，求的度数（提示：三角形的内角和为）． 压轴满分题十四、平行线的性质与判定综合应用 66．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图1，已知点是外一点，连接，． (1)已知，求的度数． (2)如图2，已知，试说明：． (3)如图3，已知，点在点的右侧，，．平分，平分，，交于点，点在与两条平行线之间，求． 67．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）已知：如图1，点B在上，． (1)求证：； (2)如图2，平分，过点C作于点F． ①补全图形； ②若，设，，求x，y之间的数量关系． 68．（24-25七年级下·广东东莞·期中）【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：； 【类比探究】 （）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系； 【学以致用】 （）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数． 69．（24-25七年级下·河北唐山·期中）（1）【感知】如图1，，点在直线与之间，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整． 证明：如图1，过点作， ，（___________①___________） （已知），（辅助线作法）， ，（②） ___________③___________，（___________④___________） ， ； （2）【探究】当点在如图2的位置时，其他条件不变，则___________度； （3）【应用】如图3，延长线段交直线于点，已知，，直接写出的度数． 70．（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求． （1）按照小明的思路，求度数； 问题迁移： （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由． 压轴满分题十五、平行模型的综合问题 71．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 72．（23-24七年级下·福建厦门·期末）将一把直尺和一副三角板如图放置，三角板的直角边，与直尺的一边分别相交于点，，连接交于点，．三角板的初始位置点与点重合，将三角板从点出发沿射线方向平移，平移过程中边始终在边所在直线上．    (1)当三角板位于初始位置时，简化抽象出如图所示的模型．已知，，，，若平分，求的度数； (2)如图，在点从点平移到点的过程中，若，过点分别向，作垂线，垂足分别是点，，探究线段，，的关系，并证明． 73．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2) 如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 74．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）（1）感知发现：在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当∥时，可以得到结论：在学习逆命题时，发现原命理是真命题，逆命题不一定是真命题，于是兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：∥，请写出证明过程． 利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题： （2）综合与实践:在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图已知两直线，且∥和直角三角形，，，创新小组的同学发现，说明理由． （3）实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出答案． 75．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 压轴满分题十六、平移的综合应用 76．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上． （1）将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，补全△A′B′C′； （2）若连结AA′、BB′，则这两条线段之间的关系是 　 　（数量关系及位置关系）；四边形AA′B′B的面积为 　 　． 77．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全； (2)连接，则这两条线段之间的关系是__________； (3)画出的中线AE． 78．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是，，将三角形进行平移后，点的对应点为，点的对应点是，点的对应点是． (1)画出平移后的三角形并写出，的坐标； (2)写出由三角形平移得到三角形的过程； (3)求出三角形的面积． 79．（23-24七年级下·广西玉林·期中）如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 80．（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点． (1)以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 　 　； (2)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 　 　，长方形的面积为 　 　； (3)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 　 　（线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？ 压轴满分题十七、平面直角坐标系中面积综合 81．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，已知点，，， (1)求出点的坐标；（提示：根据面积求） (2)在轴上存在一点，使得三角形的面积是三角形的面积的3倍，请求出点的坐标． 82．（24-25七年级下·广东汕头·期中）长方形的位置如图所示，点的坐标为，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位；点同时从点出发向点移动，速度为每秒2个单位，设运动时间用表示． (1)直接写出点、的坐标； (2)证明在点、移动过程中，四边形的面积一直保持不变． 83．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）综合与实践 【问题背景】 在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）求的面积． 【解决问题】 （2）若，，，求四边形的面积． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标． 【拓展延伸】 （4） 在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 84．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中有两点，现将点A向上平移7个单位长度，得到对应点C，连接，交x轴于点M，连接． (1)如图1，点C的坐标是_______； (2)如图1，与x轴的位置关系是_______； (3)如图2，P是线段上的一个动点（不与点A，M，C重合），连接，，请你探究三个角之间的数量关系，并说明理由． 85．（24-25七年级下·天津和平·期中）如图1，点，且满足．         (1)直接写出M、N的坐标：M________，N________； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①当时，求的面积； ②当时． （Ⅰ）用代数式表示的面积和； （Ⅱ）求证：； ③如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点G为的角平分线上一点，且满足，请将图2补全，并直接写出、、之间的数量关系． 1．（2025·山西吕梁·二模）关于x的不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为1．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）某班学生最喜欢的一项球类运动的统计表和扇形统计图如图所示，其中统计表不小心被撕掉一部分，下列推断不正确的是（   ） A．足球所在扇形的圆心角度数为 B．该班喜欢乒乓球的人数占总人数的 C．m与n的和为52 D．该班喜欢羽毛球的人数不超过13人 4．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第n次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则n的值为（   ） A．504 B．505 C．2021 D．2025 6．（2025·河北保定·一模）点在数轴上的位置如图所示，设点对应的数为，若，则符合条件的的整数值为 ． 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，若点A的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 9．（2025·江苏盐城·一模）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上．已知，，则的度数为 ． 10．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，所得的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受到启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形，请你仿照上面的探究方法，比较 ．（填“”或“”或“”） 11．（24-25七年级下·北京·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定， (1)___，___，___； (2)___． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）高远中学要了解全校学生对不同类别电视节目的喜爱情况，围绕“在体育、新闻、动画、娱乐四类电视节目中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图．其中最喜欢娱乐类电视节目的人数占被抽取人数的．请你根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，抽取的学生共有多少名？ (2)通过计算补全条形统计图； (3)如果全校共有3000名学生，请你估计全校学生中最喜欢体育类电视节目的学生有多少名？ 13．（24-25七年级下·陕西延安·期中）园林部门为了对某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游景区有树龄百年以上的古松树4棵（分别用表示），古槐树6棵（分别用表示）．为了加强对这些古树的保护，园林部门根据该旅游景区示意图（如图所示），建立适当的平面直角坐标系，将4棵古松树的位置用坐标表示为． (1)根据建立的平面直角坐标系，写出6棵古槐树的位置所对应的坐标； (2)已知在的北偏西，115米处，试用表示方向的角和距离描述相对于的位置． 14．（24-25七年级下·重庆潼南·期中）根据以下素材，完成任务 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的型打印机与型打印机的购买清单，如表所示： 型数量（台） 型数量（台） 总费用（元） 2023年 10 20 26000 2024年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家咨询，得知今年型打印机单价不变，型打印机打八折优惠． 问题解决 任务一 计算商品单价 （1）若2023年与2024年购进的型与型打印机的单价不变，求购进型打印机与型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 （2）总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 15．（24-25七年级下·吉林·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$