第06讲：计数原理【十二大题型】-2025年高考数学考前核心考点题型三轮冲刺精讲精练（新高考地区）

第06讲：计数原理 【题型归纳】 · 题型1：两个计数原理综合 · 题型2：捆绑法 · 题型3：插空法 · 题型4：特殊元素法 · 题型5：间接法 · 题型6：隔板法 · 题型7：定序问题 · 题型8：不平均分组问题 · 题型9：平均（部分）分组问题 · 题型10：特殊位置法 · 题型11：染色问题 · 题型12：排数问题 【题型探究】 题型1：两个计数原理综合 1．（2025·全国·模拟预测）如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ） A．24 B．48 C．60 D．84 2．（2025·云南·一模）如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（    ） A．400 种 B．460 种 C．480 种 D．496 种 3．（2025·辽宁·一模）数学家欧拉把“哥尼斯堡七桥问题（如图①，如何才能走过这七座桥，且每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？）”转化为能否一笔画出图②的问题.定义若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点，否则称为奇点.连通图可以一笔画出的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（要想一笔画成，若有奇点，起点和终点只能在奇点），因此“哥尼斯堡七桥问题”是无解的.借助上述内容一笔画完成图③的不同路径方法有 种. 题型2：捆绑法 4．（2025·河北邯郸·二模）6个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·模拟预测）某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 6．（2025·江西新余·模拟预测）毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位，他们要求要站在同一行相邻的位置，则不同的排列方式共有（   ）种． A．200 B．300 C．400 D．600 题型3：插空法 7．（2025·山东聊城·模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 8．（2024高三·全国·专题练习）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（    ） A．48种 B．40种 C．32种 D．24种 9．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 题型4：特殊元素法 10．（2025·河南·模拟预测）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，且丙不是最后两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（   ） A．524种 B．564种 C．624种 D．664种 11．（2025·广西·三模）某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．32 12．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型5：间接法 13．（2025·宁夏吴忠·一模）在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有（    ） A．141种 B．144种 C．147种 D．149种 14．（2025·陕西咸阳·二模）2025年有双春年之寓意，双春年是指在一个农历年中出现两个立春节气的现象.这是由于农历和阳历之间的差异造成的，为了使农历与季节变化相适应，农历中会设置闰月，2025年有闰六月，从而导致一年中出现两个立春.在传统文化中，双春年通常被认为是非常吉利的年份，双字寓意着好事成双，在这一年做任何事都会有好兆头.那么，用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为（   ） A．294 B．297 C．298 D．300 15．（2025高三·全国·专题练习）多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有不同的，现从中共选取12个流行语，包括“i人/e人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴胺××”“情绪价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”“质疑××，理解××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台公布的“2023年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12个流行语中选择4个不同的流行语，则至多包含2个“最热流行语”的选法共有（    ） A．482种 B．462种 C．392种 D．270种 题型6：隔板法 16．（2025·江苏泰州·二模）2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 17．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 18．（2025·安徽·模拟预测）现将12个相同的小球全部放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（    ） A．24种 B．35种 C．56种 D．70种 题型7：定序问题 19．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 20．（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 21．（22-23高三上·贵州贵阳·阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（    ） A．24种 B．40种 C．60种 D．84种 题型8：不平均分组问题 22．（24-25高三下·海南省直辖县级单位）文昌中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级5名同学到A、B、C三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲不去A号服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．68种 B．98种 C．100种 D．120种 23．（24-25高三上·湖南永州）在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（    ） A．38 B．42 C．50 D．56 24．（24-25高三上·山西大同·期末）五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟､古城华严寺､北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有（    ） A．360 B．640 C．1350 D．1440 题型9：平均（部分）分组问题 25．（2025·湖南娄底·二模）长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 26．（2025高三·全国·专题练习）北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．540 27．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（   ） A．180 B．360 C．450 D．540 题型10：特殊位置法 28．（2025·广东惠州·一模）2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（   ） A．9种 B．12种 C．15种 D．18种 29．（2025·湖北·二模）甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 30．（2025·湖南·二模）甲､乙､丙､丁､戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有（    ） A．36种 B．48种 C．54种 D．64种 题型11：染色问题 31．（2025·辽宁·模拟预测）树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．54 D．56 32．（2025高三·全国·专题练习） 《尚书》中的五行理论在中医和哲学中有着广泛的应用．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（    ） A．960 B．1020 C．2150 D．3125 33．（2024·全国·模拟预测）如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（    ） A． B． C． D． 题型12：排数问题 34．（2025·四川自贡·二模）现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 35．（2025·安徽六安·模拟预测）用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（   ） A．48个 B．60个 C．72个 D．120个 36．（24-25高三上·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·山东聊城·模拟预测）中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（    ） A．30种 B．60种 C．72种 D．114种 2．（2025·江西鹰潭·二模）2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 3．（2025·安徽·模拟预测）2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．180种 D．300种 4．（2025·全国·模拟预测）昆明以其多样的民族文化和独特的地方美食闻名.现有一名游客计划在三天内品尝完过桥米线、汽锅鸡、烧饵块、鲜花饼这4种特色美食，每天至少选择1种（当天选择的种类不分先后顺序）.若三天后他恰好品尝完所有4种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（   ） A．18 B．24 C．36 D．42 5．（2025·山西·二模）甲组有2名男生，3名女生；乙组有3名男生，2名女生.若从甲、乙两组中各选2名学生，选出的4人中恰有1名女生的选法种数为（    ） A．24 B．25 C．30 D．36 6．（2025·四川达州·模拟预测）某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为（   ） A．150 B．180 C．240 D．300 8．（2025·河南郑州·二模）某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河南焦作·二模）为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北保定·一模）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．120 B．240 C．300 D．320 二、填空题 11．（2025·广东清远·二模）一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有 种．（用数字作答） 12．（2025·广东湛江·二模）4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有 种． 13．（2025·四川泸州·模拟预测）某班举行中国民族音乐晚会，晚会安排了1个吹奏节目，2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打击乐节目，安排演出顺序时，要求2个弹拨节目不能相邻，且吹奏节目排在最前或最后，不同的排法种数为 .（用具体数字作答） 14．（24-25高三下·山东聊城）某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为 .（用数字作答） 15．（2025·山东·模拟预测）现有第19届亚运会、第9届亚冬会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”“滨滨”“妮妮”卡片各一张，将这5张卡片贴在墙上，贴成上下两行，第一行2张，第二行3张，则“滨滨”和“妮妮”卡片在不同行的不同贴法的种数为 ．（用数字作答） 16．（2025·贵州遵义·模拟预测）某市举行数学“”节竞赛活动，某学校有7名数学成绩优秀的学生，其中4名男生3名女生，该学校需从中选派3人组成代表队参赛，其中男生甲和女生乙至少有一人入选，不同的选派方法共有 种（数字作答）． 17．（2025·江西·模拟预测）近两年，智能网联汽车逐步进入大众视野，调研数据显示，中国消费者关注度最高的前6名智能网联车技术分别为V2X（车与人、车、路、云平台）的信息交互技术、车联网通信技术、环境感知技术、云计算技术、整车通项技术、物联网技术，某科技自媒体博主准备连续6天分别对这6项技术进行科普，每天只科普一项技术，每项技术只科普1天，则车联网通信技术与云计算技术在相邻两天进行科普，且信息交互技术不在最后一天科普的安排方法种数为 .（用数字作答） 18．（2025·青海海东·二模）甲、乙等5名学生到这三个公司实习，要求每个公司至少有1人去实习，且每人只能到1个公司实习，则甲去公司实习的不同情况有 种.（用数字作答） 19．（2025·江苏·一模）在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同，颜色互不相同的小球．某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），假设每次摸到球的情况等可能，第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色．则“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为 ． 20．（2025·四川成都·二模）成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 种. 21．（2025·江西九江·一模）如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 22．（2024·甘肃白银·一模）在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有共7个点（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则的度数为 ；若将这7个点用17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲：计数原理 【题型归纳】 · 题型1：两个计数原理综合 · 题型2：捆绑法 · 题型3：插空法 · 题型4：特殊元素法 · 题型5：间接法 · 题型6：隔板法 · 题型7：定序问题 · 题型8：不平均分组问题 · 题型9：平均（部分）分组问题 · 题型10：特殊位置法 · 题型11：染色问题 · 题型12：排数问题 【题型探究】 题型1：两个计数原理综合 1．（2025·全国·模拟预测）如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ） A．24 B．48 C．60 D．84 【答案】D 【分析】利用分步计数乘法原理与分类加法计数原理可求解. 【详解】根据牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，故可转化为有公共点的4个区域，如图所示： 1号小方格可以从4种颜色的染料中任取一种涂色，有4种不同的涂法. ①当2号，3号小方格涂不同颜色的染料时，有种不同的涂法，4号小方格有2种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. ②当2号，3号小方格涂相同颜色的染料时，有3种不同的涂法，4号小方格也有3种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. 综上，由分类加法计数原理，可得共有种不同的涂法. 故选：D. 2．（2025·云南·一模）如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（    ） A．400 种 B．460 种 C．480 种 D．496 种 【答案】C 【分析】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色，当使用3种颜色时，和涂一种颜色，利用分类加法、分步乘法计数原理即可求解. 【详解】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色， 当使用4种颜色时，有6种涂法，有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法， 所以共有种方法； 当使用3种颜色时，和涂一种颜色，共有6种涂法， 有5种涂法，有4种涂法， 所以共有种方法； 所以不同的涂法共有种. 故选：. 3．（2025·辽宁·一模）数学家欧拉把“哥尼斯堡七桥问题（如图①，如何才能走过这七座桥，且每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？）”转化为能否一笔画出图②的问题.定义若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点，否则称为奇点.连通图可以一笔画出的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（要想一笔画成，若有奇点，起点和终点只能在奇点），因此“哥尼斯堡七桥问题”是无解的.借助上述内容一笔画完成图③的不同路径方法有 种. 【答案】 【分析】做出图形，两个奇点和分别做起点，求出与之间的途径的情况，再求出一笔完成的画法，，进而可得出答案. 【详解】如图，两个奇点和分别做起点，有两种情况， 与之间有三种途径：①，②，③， 其中一笔完成有种画法：， ， ， 若做起点，从出发有三种不同的路径能到达，从返回有两种不同的路径， 所以不同路径方法有种. 故答案为：. 【点睛】易错点点睛：求解分类、分步计数原理需要注意以下几点： （1）处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准； （2）分类时要满足要满足两个条件：①类与类之间要互斥（保证不重复）；②总数要完备（保证不遗漏），也就是要确定一个合理的分类标准； （3）分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续型. 题型2：捆绑法 4．（2025·河北邯郸·二模）6个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出共有种情况，再利用捆绑法和插空法结合古典概型概率公式求出和，最后利用条件概率公式求出结果即可. 【详解】我们先把6个不同的芯片全排列，共有种情况， 设甲，乙两个芯片不相邻为，丙、丁相邻为， 当甲，乙两个芯片不相邻时，先对除了甲、乙两个芯片的其它芯片全排列， 其它芯片全排列共有种情况，产生了个空， 将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有种情况， 由分步乘法计数原理得此时共有种情况， 在该条件下，我们将丙，丁进行全排列，共有种情况， 将丙丁整体和除了甲乙以外的芯片全排列，共有种情况，产生了个空， 将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有种情况， 由分步乘法计数原理得此时共有种情况， 故，， 则由条件概率公式得，故D正确. 故选：D. 5．（2025·河北·模拟预测）某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】将，捆绑，先排同学，再将其余同学（看做一个整体）全排列. 【详解】根据题意，因为，两名同学相邻，所以有种， 又因为同学不站在两端，所以有种，其他同学（看做一个整体）进行排列有种， 所以不同的排列方式种数为. 故选：B. 6．（2025·江西新余·模拟预测）毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位，他们要求要站在同一行相邻的位置，则不同的排列方式共有（   ）种． A．200 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【分析】先确定特殊元素的位置，再利用排列、组合安排其他人的位置，根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】不妨将这9名挚友的身高从矮到高排序为1，2，3，4，5，6，7，8，9， 小郅同学最高，只能排在最后一行，小豪同学与之相邻，将其看作一个整体，共有种排法， 又由于小豪同学身高排第4，即从矮到高排第6，所以其前方只能站序号为1，2，3，4，5的同学， 从中选两名同学有种选法，选完之后让同学们由高到矮站位就行； 剩下的位置中任选两人站在小郅同学前面，剩余3人在最后一列按高矮顺序站位即可， 所以有种选法， 故共有种选法． 故选：C. 题型3：插空法 7．（2025·山东聊城·模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 【答案】C 【分析】利用不相邻问题插空，特殊元素法间接去求解即可. 【详解】马术比赛和跑步比赛不相邻的情况为：种， 马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况为：种， 故不同的比赛方式共有种. 故选：C. 8．（2024高三·全国·专题练习）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（    ） A．48种 B．40种 C．32种 D．24种 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理，捆绑法，插空法求解即可. 【详解】第1步：先将相邻的进行“捆绑”排列， 首先排，由题意可将两人看作一个整体，先站到正中间，共有种站法； 第2步：将不能相邻的插入合适的位置进行排列， 其次再排，因为两人不能相邻，所以只能排到的两侧， 若在左侧，则有种站法，此时只能在右侧，有种站法， 共种站法，同理在的右侧，在左侧，有种站法， 故共有8种站法； 第3步：将剩下的进行排列并计算所求， 剩下的有种站法，所以不同的站法共有种． 故选：C. 9．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 【答案】D 【分析】先排红色棋子，再将黑色棋子插空，求出答案. 【详解】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择， 3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择， 则同色棋子不相邻的排列方式有种. 故选：D 题型4：特殊元素法 10．（2025·河南·模拟预测）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，且丙不是最后两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（   ） A．524种 B．564种 C．624种 D．664种 【答案】C 【分析】分两种情况：甲、乙占据前两名和丙在前两名求解，然后再根据分类加法原理可求得结果. 【详解】若甲、乙占据前两名，则所有的情况有种， 若丙在前两名，则从甲、乙中选1人和丙排在前2名，故所有的情况有种， 故共有种． 故选：C 11．（2025·广西·三模）某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【分析】由题意，分甲单独与组队两种情况，利用特殊元素优先法以及分组分配的思想，可得答案. 【详解】当甲单独一人进行现场报道时，甲有种选择，再将乙、丙、丁分配到其他两个地方， 情况数为，则此时总的情况数为； 当甲与人组队进项现场报道时，先从乙、丙、丁中选出一人与甲组队，则情况数为， 再在跳高、跳远选一个去进行现场报道，则情况数为， 最后剩下的两人安排去其他两个地方，则情况数为， 所以此时总的情况数为； 综上，符合题意的情况数为. 故选：C. 12．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论. 【详解】满足条件的报名方法可分为两类： 第一类：甲单独参加某项比赛， 先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种， 再将余下人，安排到与下的三个项目， 由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名， 故满足条件的报名方法有, 所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种， 第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛， 先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法， 再安排余下三人，有种方法， 所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种， 所以满足条件的不同的报名方法共有种方法. 故选：C. 题型5：间接法 13．（2025·宁夏吴忠·一模）在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有（    ） A．141种 B．144种 C．147种 D．149种 【答案】A 【分析】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得. 【详解】如下图，共有10个点任选4个有种， 每个侧面的6个点都共面，任选4个有种，共4个面，则有60种共面情况， 如分别构成一个平面，有3种， 如分别构成一个平面，有6种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取4个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：A 14．（2025·陕西咸阳·二模）2025年有双春年之寓意，双春年是指在一个农历年中出现两个立春节气的现象.这是由于农历和阳历之间的差异造成的，为了使农历与季节变化相适应，农历中会设置闰月，2025年有闰六月，从而导致一年中出现两个立春.在传统文化中，双春年通常被认为是非常吉利的年份，双字寓意着好事成双，在这一年做任何事都会有好兆头.那么，用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为（   ） A．294 B．297 C．298 D．300 【答案】B 【分析】利用间接法可求用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数. 【详解】用2025，66，2，0，2，5这6个数的全排列为，又0排在首位有排法， 又有2个2，它位之间的排序有种排法， 当2，0，2，5这4个以2025这种顺序与66和2025排序有， 所以用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为. 故答案为：. 15．（2025高三·全国·专题练习）多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有不同的，现从中共选取12个流行语，包括“i人/e人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴胺××”“情绪价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”“质疑××，理解××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台公布的“2023年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12个流行语中选择4个不同的流行语，则至多包含2个“最热流行语”的选法共有（    ） A．482种 B．462种 C．392种 D．270种 【答案】B 【分析】利用组合的定义和分类加法求解即可. 【详解】解法一：由题意可知，可以分三类： 第一类，不包含“最热流行语”，有（种）不同的选法； 第二类，包含1个“最热流行语”，有（种）不同的选法； 第三类，包含2个“最热流行语”，有（种）不同的选法． 综上，至多包含2个“最热流行语”共有（种）不同的选法． 解法二：正难则反， 从12个流行语中选择4个不同的流行语共有（种）不同的选法， 包含3个“最热流行语”有（种）不同的选法， 包含4个“最热流行语”有（种）不同的选法． 所以至多包含2个“最热流行语”共有（种）不同的选法． 故选：B． 题型6：隔板法 16．（2025·江苏泰州·二模）2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 【答案】C 【分析】根据给定条件，选择一个分会场获5个名额，再将余下6个名额利用隔板法分到另外3个分会场即可. 【详解】依题意，选择一个分会场获取5个名额，有种方法， 再将余下的6个名额分配到另三个分会场，用隔板法有种， 所以名额分配的不同种数为. 故选：C 17．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 【答案】A 【分析】分析可知原题意相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，再对应到具体三个人，利用隔板法分析求解. 【详解】先将卡片分为符合条件的三份， 由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张， 若分得的卡片超过一张，则必须是连号， 相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共种情况， 再对应到三个人有种情况，则共有种法. 故选：A． 18．（2025·安徽·模拟预测）现将12个相同的小球全部放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（    ） A．24种 B．35种 C．56种 D．70种 【答案】B 【分析】先在每个盒子中分别放入一个小球，剩余的个小球采用隔板法即可. 【详解】先在每个盒子中分别放入一个小球则剩余个小球， 只需保证个盒子中分别再放入至少个小球，则采用隔板法可得有种放法. 故选择：B 题型7：定序问题 19．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对箱子进行编号，根据定序问题解法得到答案. 【详解】如下图所示，对集装箱进行编号， 则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走， 4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走， 根据定序问题用除法得到不同取法的种数为， 故选：C.    20．（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 【答案】C 【分析】结合捆绑法与全排列，并消除和的顺序即可求解. 【详解】站在一起有种， 将看成一个整体与进行全排列，共有种， 同时要求在的左边，共有种． 故选：. 21．（22-23高三上·贵州贵阳·阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（    ） A．24种 B．40种 C．60种 D．84种 【答案】B 【分析】先求出五个节目的全排列有种情况，要求甲、乙、丙有两种固定的出场顺序，则除以甲乙丙的全排列，再乘以固定的顺序种类即可得到结果. 【详解】五个元素的全排列数为，由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲” 2种排法，所以满足条件的排法有. 故选：B． 题型8：不平均分组问题 22．（24-25高三下·海南省直辖县级单位）文昌中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级5名同学到A、B、C三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲不去A号服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．68种 B．98种 C．100种 D．120种 【答案】C 【分析】第一步先按和确定分组，第二步将含有同学甲的一组安排到B或C服务点，即可求解. 【详解】将5名同学按和分组分别有种和种分法， 再将含有同学甲的一组安排到B、C服务点，最后安排另两组，安排方法有种， 所以不同的安排方法共有（种）. 故选：C 23．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（    ） A．38 B．42 C．50 D．56 【答案】C 【分析】根据参加接待工作的人数分类讨论，先分组再分配，结合排列组合即可求解. 【详解】（1）如果参加接待工作只有一人，则只能为甲， 再把其余4人分组有两类情况：和. 把4人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法， 所以不同分配方法种数是. （2）如果参加接待工作有2人，则除了甲之外，还需要再安排一人有种情况， 再把其余3人分组成，有种分组方法， 再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法， 所以不同分配方法种数是. （3）如果参加接待工作有3人，则除了甲之外，还需要再安排两人有种情况， 再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 综上，不同的志愿者分配方案的种数是. 故选：C. 24．（24-25高三上·山西大同·期末）五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟､古城华严寺､北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有（    ） A．360 B．640 C．1350 D．1440 【答案】C 【分析】根据题意按照或分类分组，结合排列组合求出种类，最后相加即可. 【详解】解析：将2名金牌导游分配到3个景区，有种分配方法， 若每个风景区都要有银牌导游，则将银牌导游分成三组，各组人数分别为或. 当银牌导游分成三组的人数为时，此时共有种； 当银牌导游分成三组的人数为时，此时共有种分配方法. 所以不同分配方法有种. 故选:C. 题型9：平均（部分）分组问题 25．（2025·湖南娄底·二模）长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 【答案】A 【分析】将6种美食平均分成3组，再排到3天去品尝即可. 【详解】将6种美食平均分成3组，有种不同的分法， 该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法， 所以这三天他选择美食的不同选法种数为种. 故选：A 26．（2025高三·全国·专题练习）北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．540 【答案】B 【分析】解法一：分析每天游客的选择可能性，结合分步乘法计数原理运算求解；解法二：利用分堆法，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】解法一：该游客第一天从6种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第二天从剩余的4种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第三天只能品尝最后剩余的2种美食，有种选法． 故该游客在这三天中选择美食的不同选法种数为； 解法二：先将6种美食平均分成3组，有种不同的分法， 该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法， 所以这三天他选择美食的不同选法种数为． 故选：B. 27．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（   ） A．180 B．360 C．450 D．540 【答案】D 【分析】分类考虑前往每个景区的人数，求出每种情况的方案数，即可得答案. 【详解】由题意，当每个景区都有2名同学前往时，此时方案有种； 当按分别有1，2，3名同学前往景区时，此时方案有种； 当按分别有1，1，4名同学前往景区时，此时方案有种； 故不同方案的种数为（种）， 故选：D 题型10：特殊位置法 28．（2025·广东惠州·一模）2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（   ） A．9种 B．12种 C．15种 D．18种 【答案】D 【分析】运用分类加法计数原理，分为甲入选和甲不入选两种情况． 【详解】运用分类加法计数原理，若甲不入选，有（种）安排方法； 若甲入选，则有（种）安排方法， 所以共有（种）不同的安排方法． 故选：D． 29．（2025·湖北·二模）甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 【答案】B 【分析】按照B项工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【详解】安排B项工作的人数分为两类， 第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法， 再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法， 若D项工作安排一人，则有种方法， 所以B项工作仅安排1人共种方法， 第二类，B项工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 故选：B. 30．（2025·湖南·二模）甲､乙､丙､丁､戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有（    ） A．36种 B．48种 C．54种 D．64种 【答案】C 【分析】由排列数计算，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】分三步完成：冠军有种可能，乙的名次有种可能，余下3人有种可能， 所以5人的名次排列有（种）不同情况， 故选：C. 题型11：染色问题 31．（2025·辽宁·模拟预测）树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．54 D．56 【答案】C 【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列组合，计算求解. 【详解】若只用2种不同的颜色，则正反面的上下区域同色，中间区域涂剩下的一种颜色即可，所以有种涂色方法. 若用3种不同的颜色，当正反面都只用2种颜色时，有种涂色方法； 当正面用2种颜色，反面用3种颜色时，则在正面未用的颜色不能涂在反面的中间，所以有种涂色方法； 同理，当正面用3种颜色，反面用2种颜色时，也有种涂色方法； 当正反两面都用3种颜色时，有种涂色方法. 所以共有54种不同的涂色方法. 故选：C. 32．（2025高三·全国·专题练习） 《尚书》中的五行理论在中医和哲学中有着广泛的应用．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（    ） A．960 B．1020 C．2150 D．3125 【答案】B 【分析】问题化为五个区域，有5种不同的颜色供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题． 【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件． 五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题，如下图示， 分为以下两类情况： 第一类：三个区域涂三种不同的颜色， 第一步涂区域，从5种不同的颜色中选3种按序涂在不同的3个区域上，则有种涂色方法， 第二步涂区域，由于颜色不同，则有3种涂色方法， 第三步涂区域，由于颜色不同，则有3种涂色方法， 由分步乘法计数原理，得共有种涂色方法； 第二类：三个区域涂两种不同的颜色，由不能涂同一种颜色，则涂同一种颜色，或涂同一种颜色， 若涂一种颜色， 第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色， 即从5种不同的颜色中选2种按序涂在不同的2个区域上，则有种涂色方法， 第二步涂区域，由于颜色相同，则有4种涂色方法， 第三步涂区域，由于颜色不同，则有3种涂色方法， 由分步乘法计数原理，得共有种涂色方法． 若涂一种颜色，与涂一种颜色的方法数相同， 所以，第二类共有种涂色方法． 由分类加法计数原理知，不同的涂色方法共有种． 故选：B 33．（2024·全国·模拟预测）如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由排列组合以及分类加法计数原理求解个数，即可由古典概型概率公式求解. 【详解】使用4种颜色给四个区域涂色，有种涂法； 使用3种颜色给四个区域涂色，共有种涂法； （使用3种颜色给四个区域涂色有两类情况：①区域A与区域C涂同一种颜色，区域B与区域D涂另外2种颜色； ②区域B与区域D涂同一种颜色，区域A与区域C涂另外2种颜色） 使用2种颜色给四个区域涂色，共有种不同的涂法． 所以所有的涂色方法共有（种），故使用2种颜色给四个区域涂色的概率为． 故选：B 题型12：排数问题 34．（2025·四川自贡·二模）现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：利用有重复元素的排列数公式分别计算总排列数和符合条件的排列数，求得概率；方法二：只考虑两个2的位置可能情况和相邻的情况种数，得到概率. 【详解】方法一： 给定的数字是1，2，2，3，3，3，其中有一个1，两个2，三个3，总共有6个数字，因此总排列数为：. 符合条件的排列数（两个2恰好相邻的情况）： 将两个2视为一个整体（即“超级元素”），这样剩下的元素为1，3，3，3和这个“超级元素”，共5个元素. 其中三个3是重复的，因此符合条件的排列数为：，所以符合条件的排列数除以总排列数：. 方法二： 考虑两个2的位置组合，共有种可能的位置组合，其中相邻的位置对数为5种，概率为：， 因此，数字2，2恰好相邻的概率为. 故选：D. 35．（2025·安徽六安·模拟预测）用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（   ） A．48个 B．60个 C．72个 D．120个 【答案】B 【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，可得答案. 【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为， 若五位数的个位不为零，而个位仅有两种选择，万位有种选择，其情况数为， 所以五位数为偶数的情况数为. 故选：B 36．（24-25高三上·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 【答案】C 【分析】分同一个数字出现3次和两个数字出现两次，第三个数字出现1次两种情况，求出各个情况数，相加得到答案. 【详解】同一个数字出现3次时，其他两个数字进行插空， 故有种情况， 有两个数字出现两次，第三个数字出现1次时，此时有种情况， 以两个1，两个2，一个3为例， 若两个1出现在万位和百位，此时2可以在千位和十位或千位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和十位，此时2可以在千位和个位或百位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和个位，此时2只能在千位和十位，有1种情况， 若两个1出现在千位和十位，此时2可以在万位和百位或万位和个位或百位和个位，有3种情况， 若两个1出现在千位和个位，此时2可以在万位和百位或万位和十位，有2种情况， 若两个1出现在百位和个位，此时2可以在万位和十位或千位和十位，有2种情况， 故有种情况， 所以，共有种情况， 综上，这样的五位数共有种. 故选：C 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·山东聊城·模拟预测）中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（    ） A．30种 B．60种 C．72种 D．114种 【答案】B 【分析】根据题意，先从5人中选出三人，在把选出的3人，分配到三个舱内，剩余的2人出仓完成任务，结合排列数和组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，从5人中选出三人，共有中选法， 则把选出的3人，分配到三个舱内，剩余的2人出仓完成任务， 共有种不同的安排方案. 故选：B． 2．（2025·江西鹰潭·二模）2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】D 【分析】分类求出满足小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式. 【详解】若小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影， 有两人看《哪吒》，则有种方案，有一人看《哪吒》电影，则有种方案， 即满足小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案. 故选：D. 3．（2025·安徽·模拟预测）2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．180种 D．300种 【答案】B 【分析】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2，进行求解． 【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2． 当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法； 当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法， 所以不同的安排方法有种． 故选:B. 4．（2025·全国·模拟预测）昆明以其多样的民族文化和独特的地方美食闻名.现有一名游客计划在三天内品尝完过桥米线、汽锅鸡、烧饵块、鲜花饼这4种特色美食，每天至少选择1种（当天选择的种类不分先后顺序）.若三天后他恰好品尝完所有4种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（   ） A．18 B．24 C．36 D．42 【答案】C 【分析】先部分平均分组，再排列，利用分步乘法计数原理得解. 【详解】先将4种美食平均分成3组，有种不同的分法， 该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法， 所以这三天他选择美食的不同选法种数为， 故选：C. 5．（2025·山西·二模）甲组有2名男生，3名女生；乙组有3名男生，2名女生.若从甲、乙两组中各选2名学生，选出的4人中恰有1名女生的选法种数为（    ） A．24 B．25 C．30 D．36 【答案】A 【分析】由组合数的定义，结合分类加法计数原理解题即可. 【详解】恰有1名女生分两类.第一类：甲组选1名女生，1名男生，乙组选2名男生，有种选法； 第二类：甲组选2名男生，乙组选1名女生1名男生，有种选法， 所以，由分类加法计数原理可知共有24种选法. 故选：A 6．（2025·四川达州·模拟预测）某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 【答案】A 【分析】分甲单独一人执勤对练赛场馆或集体项目场馆，甲和另一个人一起执勤对练赛场馆或集体项目场馆，甲和另两人一起执勤对练赛场馆或集体项目场馆，共六种情况求解即可. 【详解】由题意，分以下六种情况： 第一种情况，甲单独一人执勤对练赛场馆，则剩下的四个人可以分成一个人和三个人两组,或分成每组两个人,所以共有（种）方案； 第二种情况，甲单独一人执勤集体项目比赛场馆，则乙只能分配到个人赛场馆， 若只有乙一个人分配到个人赛场馆，剩下的三个人分配到对练赛场馆，则有1种情况； 若乙和另外一人分配到个人赛场馆，则有种情况； 若乙和另外两人分配到个人赛场馆，则有种情况； 所以共有（种）方案； 第三种情况，甲和另外一人执勤对练赛场馆，则剩下的三个人分成一个人和两个人两组，分配到个人赛场馆和集体项目比赛场馆， 所以共有（种）方案； 第四种情况，甲和另外一人执勤集体项目比赛场馆，若甲和乙执勤集体项目比赛场馆，则有种情况； 若甲和乙以外的一人执勤集体项目比赛场馆，则有种情况； 共有（种）方案； 第五种情况，甲和另外两人执勤对练赛场馆，则剩下的三个人分成一个人和两个人两组，分配到个人赛场馆和集体项目比赛场馆， 所以共有（种）方案； 第六种情况，甲和另外两人执勤集体项目比赛场馆，则乙只能分配到个人赛场馆， 若只有乙一个人分配到个人赛场馆，剩下的两个人分配到对练赛场馆，则有种情况； 若乙和另外一人分配到个人赛场馆，则有种情况； 所以共有（种）方案. 所以一共有（种）不同的分配方案. 故选：A. 7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为（   ） A．150 B．180 C．240 D．300 【答案】A 【分析】先按照两种比例进行分组，再将分好的三组进行工作分配，最后按照两种计数原理计算即可. 【详解】按照1:1:3的比例分组，共有种分组方法， 按照2:2:1的比例分组，共有种分组方法， 将分好的三组安排除“炉火”活计之外的三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是. 故选：A 8．（2025·河南郑州·二模）某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分教师人数为或两种情况讨论，根据古典概型结合排列数、组合数运算求解. 【详解】将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校， 若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种； 若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种， 故不同的安排方法共有种. 将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，甲、乙安排在同一个学校， 若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种； 若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种， 故不同的安排方法共有种. 所以所求事件的概率为. 故选：A. 9．（2025·河南焦作·二模）为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列，求出六个节目演出的方法数和曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出方法数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】因为歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，有种排法， 又六个节目演出，共有种排法， 由古典概率公式可知，所求概率为， 故选：A. 10．（2025·河北保定·一模）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．120 B．240 C．300 D．320 【答案】D 【分析】通过先确定中间的涂色情况，再依次确定其他部分的涂色情况，利用分步乘法原理计算总方案数. 【详解】先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分，都有4种选色.由分步乘法计数原理得不同的涂色方案种数为. 故选：D. 二、填空题 11．（2025·广东清远·二模）一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有 种．（用数字作答） 【答案】9450 【分析】结合题意先分三类，每类由乘法原理结合组合数计算，再由分步加法原理求和. 【详解】 质点第10秒末到达点共跳了10次，可分三类情况讨论： 第一类，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有种； 第二类，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有种； 第三类，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有种； 根据分类计数原理得，共有（种）． 故答案为：9450. 12（2025·广东湛江·二模）4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有 种． 【答案】408 【分析】先排医生，分两类，医生甲不站在医生的最左端和医生甲站在医生的最左端，再将2名护士插空，即可求解. 【详解】若医生甲不站在医生的最左端则有种不同的站法， 若医生甲站在医生的最左端，则有种不同的站法，故不同的站法共有种． 故答案为：408. 13．（2025·四川泸州·模拟预测）某班举行中国民族音乐晚会，晚会安排了1个吹奏节目，2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打击乐节目，安排演出顺序时，要求2个弹拨节目不能相邻，且吹奏节目排在最前或最后，不同的排法种数为 .（用具体数字作答） 【答案】144 【分析】根据分布计数原理以及不相邻问题插空法研究得到答案. 【详解】吹奏节目排在最前或最后，共有2种排法； 剩余2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打击乐节目，要求2个弹拨节目不能相邻， 所以排列非弹拨节目，共有种排法，其非弹拨节目3个，形成4个空， 再排放个弹拨节目，共有排法，因为弹拨节目有顺序，所以弹拨节目插入方式共有种排法， 所以除吹奏外，排列方式共有种； 所以不同的排法种数为， 故答案为：144. 14．（24-25高三下·山东聊城）某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为 .（用数字作答） 【答案】96 【分析】由分类加法原理，利用捆绑法与插空法，可得答案. 【详解】当丁没有被选中时，不同的演出顺序种数为； 当丁被选中且排在第一位时，不同的演出顺序种数为； 当丁被选中且排在第二位时，不同的演出顺序种数为. 综上，不同的演出顺序种数为. 故答案为：. 15．（2025·山东·模拟预测）现有第19届亚运会、第9届亚冬会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”“滨滨”“妮妮”卡片各一张，将这5张卡片贴在墙上，贴成上下两行，第一行2张，第二行3张，则“滨滨”和“妮妮”卡片在不同行的不同贴法的种数为 ．（用数字作答） 【答案】72 【分析】先确定“滨滨”和“妮妮”的位置，再对其余三张卡片进行全排列，最后根据分步乘法计数原理计算出不同贴法的种数. 【详解】“滨滨”和“妮妮”卡片在不同行，分两种情况讨论： 若“滨滨”在第一行，“妮妮”在第二行，从第一行的个位置中选个给“滨滨”，有种选法；从第二行的个位置中选个给“妮妮”，有种选法.根据分步乘法计数原理，此时共有种贴法. 若“滨滨”在第二行，“妮妮”在第一行，从第二行的个位置中选个给“滨滨”，有种选法；从第一行的个位置中选个给“妮妮”，有种选法.根据分步乘法计数原理，此时共有种贴法. 所以“滨滨”和“妮妮”卡片在不同行的贴法共有种.   在确定“滨滨”和“妮妮”的位置后，还剩下张卡片，这张卡片进行全排列，有种排法.可得种排法. 根据分步乘法计数原理，完成“滨滨”和“妮妮”卡片在不同行的贴法需要分两步，第一步确定“滨滨”和“妮妮”的位置，有12种贴法；第二步对其余三张卡片进行全排列，有种排法.所以不同贴法的种数为种. 故答案为：72. 16．（2025·贵州遵义·模拟预测）某市举行数学“”节竞赛活动，某学校有7名数学成绩优秀的学生，其中4名男生3名女生，该学校需从中选派3人组成代表队参赛，其中男生甲和女生乙至少有一人入选，不同的选派方法共有 种（数字作答）． 【答案】25 【分析】男生甲和女生乙至少有一人入选包含仅选甲不选乙， 仅选乙不选甲及同时选甲和乙三种情况，分别列式再求和即可. 【详解】由题意，男生甲和女生乙至少有一人入选包含三种情况： ①仅选甲不选乙，从剩余5人中选2人，种， ②仅选乙不选甲，同理，种， ③同时选甲和乙，从剩余5人中选1人，种， 所以不同的选派方法共有种. 故答案为：25. 17．（2025·江西·模拟预测）近两年，智能网联汽车逐步进入大众视野，调研数据显示，中国消费者关注度最高的前6名智能网联车技术分别为V2X（车与人、车、路、云平台）的信息交互技术、车联网通信技术、环境感知技术、云计算技术、整车通项技术、物联网技术，某科技自媒体博主准备连续6天分别对这6项技术进行科普，每天只科普一项技术，每项技术只科普1天，则车联网通信技术与云计算技术在相邻两天进行科普，且信息交互技术不在最后一天科普的安排方法种数为 .（用数字作答） 【答案】192 【分析】采用捆绑法和特殊元素优先法，结合排列组合公式来求解安排方法的种数. 【详解】因为车联网通信技术与云计算技术要在相邻两天进行科普，所以可将这两项技术“捆绑”在一起，看作一个元素.对车联网通信技术与云计算技术进行内部排列，它们之间的排列顺序有种， 由于信息交互技术不在最后一天科普，那么信息交互技术可安排在前天中的任意一天，所以信息交互技术的安排方法有种. 将车联网通信技术与云计算技术看作一个整体后，除信息交互技术外，还剩下项技术以及这个整体，共个元素. 对这个元素进行全排列，排列方法有种， 根据分步乘法原理知道，满足条件的安排方法种数为（种）. 故答案为：192. 18．（2025·青海海东·二模）甲、乙等5名学生到这三个公司实习，要求每个公司至少有1人去实习，且每人只能到1个公司实习，则甲去公司实习的不同情况有 种.（用数字作答） 【答案】 【分析】分公司有名学生种情况，根据分类加法计数原理得到答案. 【详解】若公司只有甲名学生，则另外名学生到两个公司， 若两个公司各有名学生，则有种， 若两个公司有一个有名学生，另一个有名学生，则有种， 若公司有名学生，则有种， 若公司有名学生，则有种 根据分类加法计数原理，共有种. 故答案为：. 17．（2025·江苏·一模）在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同，颜色互不相同的小球．某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），假设每次摸到球的情况等可能，第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色．则“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为 ． 【答案】 【分析】应用分步乘法原理及分类加法原理结合组合数的运算，最后结合古典概型计算求解. 【详解】某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1个小球，则每次摸球的情况有种； 所以先后两次任意摸取小球共有种情况； 两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的情况有： 第一次摸取1个球，第二次摸取4个球，情况共有种； 第一次摸取2个球，第二次摸取3个球，情况共有种； 第一次摸取3个球，第二次摸取2个球，情况共有种； 第一次摸取4个球，第二次摸取1个球，情况共有种； 所以两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的概率为. 故答案为：. 20．（2025·四川成都·二模）成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 种. 【答案】88 【分析】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况，由排列组合以及分类加法计数原理即可求解. 【详解】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况： ①甲，乙有且只有1人在主会场，需要在除甲，乙外的四人中选两人去主会场， 剩下的三人去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案； ②甲，乙都不在主会场，从甲，乙外的四人中选三人去主会场， 再将甲，乙安排去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人去一个分会场， 剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案. 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的安排方案. 故答案为：88. 21．（2025·江西九江·一模）如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 【答案】 【分析】根据相邻原则把9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区，然后由题意分别按各类中的两个保持灯区最终仍处于“点亮”状态，由此求得方法数，再求得总的方法数，最后由概率公式计算概率． 【详解】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法． 与相邻的灯区为；与相邻的灯区为，故将9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区．若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区． ①若先后按下的是两个灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法．故灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为． 故答案为：． 22．（2024·甘肃白银·一模）在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有共7个点（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则的度数为 ；若将这7个点用17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为 . 【答案】 6 5880 【分析】通过新定义，结合组合数即可求解. 【详解】如图，将这7个点均用线段两两相连，有条线段，每个点的度数均为6. 若将这7个点用17条线段两两相连，则需要在21条线段的基础上删除4条线段.因为这7个点的度数均大于2，则与每个点连接的线段最多删掉3条， 所以不同的图形的数量为. 故答案为：6；5880. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$