精品解析：重庆市綦江区联盟校2025年中考第一次模拟考试数学试题

綦江区联盟校2025年中考第一次模拟考试 九年级数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象经过点，则 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形 与四边形 位似，位似中心是O，若，且四边形 的周长为5，则四边形 的周长为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 5. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 6. 下列命题中的真命题是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 点到直线的距离是点到直线的垂线段 D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形 7. 有机化学中的稠环芳香烧是由若干个苯环组合而成，如图是一组稠环芳香煌的结构简式，其中图①是由3个苯环组成，图②是由6个苯环组成，…，依此规律，图⑩中苯环的个数为（ ） A. 55个 B. 60个 C. 66个 D. 78个 8. 如图，在矩形 中， ，，连接 ，以点C为圆心， 为半径作弧交于点E，连接 ．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形 中，点E、F分别在边 ， 上，连接、交于点P，连接 ， ， ，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在整式之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在 与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过4次操作后，若 ，则所有整式的值之和为15； ③经过7次操作后，将得到128个整式； ④第8次操作后，从左往右第2个整式为： 以上四个结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的撞线上． 11. 据网络平台数据，截至4月3日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》（简称《哪吒2》）票房已超过155亿元，也可记为1550000万元，暂列全球影史票房榜前5．将1550000用科学记数法表示为____________． 12. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是____________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 的长度为_______． 14. 若关于x的不等式组有解且至多有4个偶数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数加的值之和为____________． 15. 如图，是的外接圆， ， 是的切线， ，点E是弧的中点，连接， ，若，，则 _____， ______． 16. 如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“励志数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，， ∴1435是“励志数”．则．那么“励志数”，则_________；已知是“励志数”，（；且a，b，c，d均为整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为________． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2）先化简：，其中a为整数且，再选一个你喜欢的a的值代入求值． 18. 年 月4日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取 名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组： ． ， ．， ．， ．，得分在 分及以上为优秀），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩是： ，，， ， ，， ，，，， ，，，，， ，，，， ． 八年级 名学生竞赛成绩在B组的数据是： ，， ，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 八年级 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的 __________， __________， __________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校八年级有学生人，七年级有学生 人，估计该校七、八年级学生中中华民族优秀传统文化知识为优秀的学生人数总共有多少人？ 19. 在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点 作对角线 的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）已知：如图，在平行四边形 中，连接 ，于点E， 于点F．求证： 且． 证明： ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ． ∴①___________． ∵ ∴②___________． 同理可得，． ∴， 在 和 中， ∴ ∴③_________________． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④_________________． ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________． 20. 孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元． （1）求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ （2）“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值． 21. 如图1，在 中， 为边上的高，，动点P从点B出发，沿 运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x，过点P作交 的边 于点Q，点P，Q的距离为， 的面积与点P运动的路程之比为 （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 22. 小明从家4步行前往公园E，已知点E在点A的正东方向，但是由于 道路施工，小明先沿正北方向走了600米到达B处，再从B处沿北偏东 方向行走600米到达C处，从C处沿正东方向走了500米到达D处，在D处休息了6分钟，最终沿方向到达E处，已知点E在点D的南偏东 方向．小明从家出发的同时，爷爷从家选择另一路线后步行前往E处，已知点F在点A的南偏东 方向，且点F在点E的正南方向．（参考数据：） （1）求 的长度（结果精确到1米）； （2）已知小明步行速度为80米/分钟，爷爷步行速度为70米/分钟，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（结果保留一位小数） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 下方的抛物线上有一动点P，连接，点D是点C关于x轴的对称点，过点D作直线轴，点M为直线 上一动点，轴，垂足为N，连接，当的面积取得最大值时，求点P的坐标以及的最小值； （3）将抛物线沿射线 方向平移个单位长度得到新的抛物线，点E为中点，在新抛物线上存在一点Q使得，请直接写出所有符合条件的Q点的坐标． 24. 如图，在 中，，点D是 边上一点，点E是线段 上一点． （1）如图1，若，且 ，且，求 的长． （2）如图2，若， ，点E是 的中点，连接 ，点F是线段 上一点且，连接 ．用等式表示线段， 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若 平分 ，平分，于点F， 的面积为4，，直接写出 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 綦江区联盟校2025年中考第一次模拟考试 九年级数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题关键是理解无理数的概念． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，为有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是整数，为有理数，不符合题意； D、 是整数，为有理数，不符合题意； 故选：B． 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 3. 若反比例函数的图象经过点，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数，即可求得 的值． 【详解】解： 函数的图象经过点， ， 解得， 故选：D． 4. 如图，四边形 与四边形 位似，位似中心是O，若，且四边形 的周长为5，则四边形 的周长为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．根据相似比等于位似比可得：四边形 的周长：四边形 的周长，据此解答即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵四边形 与四边形 位似，位似中心是 ， ∴四边形 与四边形 的相似比为， ∴四边形 的周长：四边形 的周长， ∵四边形 的周长为5， ∴四边形 的周长为， 故选：B． 5. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算．熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 先将式子化简，再利用相近的数估算化简后式子的值的范围． 【详解】解： ， ，即， ，即， 又 ，， ∴， ∴， 即， 其值2和3之间． 故选C． 6. 下列命题中的真命题是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 点到直线的距离是点到直线的垂线段 D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式性质，绝对值性质，点到直线的距离以及中点四边形的判定定理，根据以上知识逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，当 时，，当时，，当时，，故该选项是假命题，不符合题意； B. 时，或 ，故该选项是假命题，不符合题意； C. 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，故该选项是假命题，不符合题意； D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形，故该选项是真命题，符合题意； 故选：D． 7. 有机化学中的稠环芳香烧是由若干个苯环组合而成，如图是一组稠环芳香煌的结构简式，其中图①是由3个苯环组成，图②是由6个苯环组成，…，依此规律，图⑩中苯环的个数为（ ） A. 55个 B. 60个 C. 66个 D. 78个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由已知图形可得第 个图形苯环的个数为，据此解答即可求解，由已知图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：图①苯环的个数为， 图②苯环的个数为， 图③苯环的个数为， 图④苯环的个数为， ∴第 个图形苯环的个数为， 当 时，， ∴图⑩中苯环的个数为66， 故选：C． 8. 如图，在矩形 中， ，，连接 ，以点C为圆心， 为半径作弧交 于点E，连接 ．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，特殊角的三角函数．熟练掌握矩形的性质，扇形的面积公式，特殊角的三角函数是解题的关键． 利用特殊角的三角函数求出，再根据矩形的性质求出的度数，最后利用阴影部分面积求解即可． 【详解】解：在矩形 中， ，， ， ， ，则． 阴影部分面积 ． 故选A． 9. 如图，正方形 中，点E、F分别在边 ， 上，连接 、交于点P，连接 ， ， ，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先利用正方形性质与已知条件证明 与 全等，得出，即，延长交 的延长线于点 ，利用“ ”证明，得到，结合平行四边形的性质证明 是 的中点，再根据等边对等角得到，最后通过角的等量代换即可求解． 【详解】解：在正方形 中， ，， 又， ， ， 又 ， ， 则在中，，即． 延长交 的延长线于点 ， 在 和中， ， ， ， 正方形 中 ， ，即 是 中点． ， 在中， 是 的中点， ， ， ，， ， 在中，， ． 故选C． 10. 在整式之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在 与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过4次操作后，若 ，则所有整式的值之和为15； ③经过7次操作后，将得到128个整式； ④第8次操作后，从左往右第2个整式为： 以上四个结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，数字类规律探索，根据操作方式找出变化规律是解题的关键．①根据第一次操作后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第四个整式即可判断；②代入 ，求出经过4次操作后所得数据，求和即可判断．③根据操作方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过7次操作后所得整式个数即可判断；④根据操作方式得出每次操作后从左往右第2个整式的规律，然后求出第8次操作后，从左往右的第2个整式即可判断． 【详解】解：第一次操作后：， ，， ∴第二次操作后：，故①正确； 若 ，则初始和为2， 第一次操作后：和为； 第二次操作后：和为； 第三次操作后数为：， 则第三次操作后：和为； 第四次操作后数为：，则 则第四次操作后：和为，故②不符合题意； 第1次操作后有3个整式，第2次操作后有5个整式，第3次操作后有9个整式，第4次操作后有17个整式，由此发现第 次操作后有个整式， ∴第7次操作后，将得到个整式，故③不符合题意； 第1次操作后，从左往右第2个整式为：， 第2次操作后，从左往右第2个整式为：， 第3次操作后，从左往右第2个整式为：， ∴第3次操作后，从左往右第2个整式为：， ∴第8次操作后，从左往右第2个整式为：，故④符合题意， ∴正确的有2个， 故选：B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的撞线上． 11. 据网络平台数据，截至4月3日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》（简称《哪吒2》）票房已超过155亿元，也可记为1550000万元，暂列全球影史票房榜前5．将1550000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的计算，掌握以上知识是关键． 如图所示，过点 作轴于点 ，结合题意得到，，可证，得到，，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作轴于点 ， ∵， ∴，且， ∴，， ∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 若关于x的不等式组有解且至多有4个偶数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数加的值之和为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的求解以及分式方程的求解．熟练掌握不等式组的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键． 先解不等式组得到 的取值范围，根据有解且至多有4个偶数解确定 的范围；再解分式方程，根据解是整数进一步确定 的值，最后求和即可． 【详解】解： 移项可得：， 通分可得：， 两边同时乘以6可得： 解得：； 因为不等式组有解， 所以，即， 又因为不等式组至多有4个偶数解，大于 的偶数有， ，， ， 所以，即， ∴ 对分式方程，方程两边同时乘以， 得到， 解得：． ∵， ∴， ∴， 因为分式方程的解是整数，所以是6的因数， ，，，． 当时，； 当时， ； 当时，（舍去）； 当时， ； 当时， （舍去）； 当时，； 当时， （舍去）； 当时，（舍去）； 所以满足条件的整数为3，1，0，， 所有满足条件的整数加的值之和为． 故答案为：3． 15. 如图，是的外接圆， ， 是的切线， ，点E是弧 的中点，连接 ， ，若，，则 _____， ______． 【答案】 ①. 20 ②. 【解析】 【分析】连接交 于F，根据垂径定理的推论可得，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理得出，求出，则可求出 ；证明，求出，，过D作于H，证明，根据正切的定义可得，则，设，则，，求出，可求，，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交 于F， ∵点E是弧 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴ ， ∵ 是的切线， ∴， 又 ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵ 是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， 过D作于H， 则， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：20，． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，利用正切的定义求出是解题的关键． 16. 如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“励志数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，， ∴1435是“励志数”．则．那么“励志数”，则_________；已知是“励志数”，（；且a，b，c，d均为整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为________． 【答案】 ①. ②. 2655 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是理解清楚“励志数”的定义． 根据“励志数”的定义进行求解即可；由题意可得，从而可求得，再结合恰好能被 8 整除，即能被 8 整除，对当时，当时，分别对此进行分析即可求解． 【详解】解：∵， ∴“励志数” 前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数为 2632， ∴， ∵是“励志数”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵恰好能被 8 整除，，且为整数， ∴能被 8 整除， 即能被 8 整除， 当时，故当时，，则自然数 为： 4117 ； 当时，故当时，，则自然数 为： 1462 ； 当时，，则自然数 为： 2371 ； 当不符合题意，舍去； 当不符合题意，舍去； 综上所述：所有满足条件的自然数 的值为： 4117 或 1462 或 2371 ， 其中最大的数为 4117 ，最小的数为1462，差为2655， 故答案为：，2655． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2）先化简：，其中a为整数且，再选一个你喜欢的a的值代入求值． 【答案】（1） （2），当 时，原式，当 时，原式 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，立方根，零指数幂，特殊三角函数值，负指数幂，绝对值以及分式运算的运算法则．熟练掌握立方根，零指数幂，特殊三角函数值，负指数幂，绝对值以及分式运算的运算法则是解题的关键． （1）先利用立方根，零指数幂，特殊三角函数值，负指数幂，绝对值的运算法则算出各项的值，再进行加减运算即可； （2）先对括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法进行化简，其中有涉及到平方差公式，最后根据给定的 取值范围代入合适的值求解求值即可． 【小问1详解】 解：原式= = ． 【小问2详解】 原式= = = = 由题意， ∴ 或 ， 当 时，原式，当 时，原式． 18. 年 月4日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取 名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组： ． ， ．， ．， ．，得分在 分及以上为优秀），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩是： ，，， ， ，， ，，，， ，，，，， ，，，， ． 八年级 名学生竞赛成绩在B组的数据是： ，， ，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 八年级 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的 __________， __________， __________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校八年级有学生人，七年级有学生 人，估计该校七、八年级学生中中华民族优秀传统文化知识为优秀的学生人数总共有多少人？ 【答案】（1），， （2） 八年级成绩更好． 由表中数据可知，七、八年级成绩的平均数相等，而八年级的方差较小，所以八年级的成绩更稳定，成绩更好； （3）估计该校七、八年级学生中优秀的学生人数总共有人 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数以及扇形统计图的概念以及用样本估计总体．熟练掌握平均数，中位数，众数以及扇形统计图的概念以及用样本估计总体是解题的关键． （1）根据众数，中位数，扇形图统计图的概念求解即可； （2）根据平均数，方差的意义求解即可（答案不唯一）； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：七年级20名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是，故； 八年级名学生竞赛成绩在 组的数据是： ，， ，，，，共7个数据， 八年级 组占，则 组人数为：人．剩余 组， 组共5人，中位数为第 位，第 位的平均数，则第 位，第 位在 组内：； ，则； 故答案为：，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， 计该校七、八年级学生中中华民族优秀传统文化知识为优秀的学生人数总共有人． 19. 在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点 作对角线 的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）已知：如图，在平行四边形 中，连接 ，于点E， 于点F．求证： 且． 证明： ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ． ∴①___________． ∵ ∴②___________． 同理可得，． ∴， 在 和 中， ∴ ∴③_________________． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④_________________． ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________． 【答案】（1） 如图： （2）①；②；③；④；⑤平行且相等 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线作图即可； （2）利用平行四边形的性质证明 ，得到，利用垂线的定义，再根据平行线的性质得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解： 以点 为圆心，任意长度半径画弧，与 相交于两点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，使两弧在 的另一侧相交，最后用直尺连接点 与两弧的交点，得到． 【小问2详解】 证明：∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ． ∴①（两直线平行，内错角相等）． ∵ ∴②（垂线的性质）． 同理可得，． ∴， 在 和 中， ∴ ∴③（全等三角形的性质）． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④（角的等量代换）． ∴． ∴在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤平行且相等． 20. 孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元． （1）求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ （2）“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值． 【答案】（1）康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元 （2）m的值为5 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程或方程组． （1）设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元，根据“购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元”列出方程组，即可解得答案； （2）根据“节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍”可列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元， 由题意，得：， 解得：， 答：康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元． 【小问2详解】 解：依题意得：， 解得： ， 经检验， 是方程的解且符合题意， 答：m的值为5． 21. 如图1，在 中， 为 边上的高，，动点P从点B出发，沿 运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x，过点P作交 的边 于点Q，点P，Q的距离为， 的面积与点P运动的路程之比为 （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2）当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据三角形的高，得，得，得 ，， ，可得，，当时， ，得；当时， ，得；根据，得； （2）根据 时，；时， ， 时，； 时，； 时，；时，；时，；描点，连线，画出函数图象；当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小． （3）由图象看出函数与交于点，函数与交于点，可得不等式的解集． 【小问1详解】 解：在 中， 为 边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 综上所述，，； 【小问2详解】 解：在中， 时，； 时， ， 在中， 时，； 在中， 时，； 时，； 时，； 时，； 画出如图所示函数图象； 由函数图象可知，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小． 【小问3详解】 解：由图象看出与交于点， 函数与交于点， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合．熟练熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质，函数与线段综合，函数与三角形面积综合，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，勾股定理，函数与不等式，是解题的关键． 22. 小明从家4步行前往公园E，已知点E在点A的正东方向，但是由于 道路施工，小明先沿正北方向走了600米到达B处，再从B处沿北偏东 方向行走600米到达C处，从C处沿正东方向走了500米到达D处，在D处休息了6分钟，最终沿方向到达E处，已知点E在点D的南偏东 方向．小明从家出发的同时，爷爷从家选择另一路线后步行前往E处，已知点F在点A的南偏东 方向，且点F在点E的正南方向．（参考数据：） （1）求 的长度（结果精确到1米）； （2）已知小明步行速度为80米/分钟，爷爷步行速度为70米/分钟，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（结果保留一位小数） 【答案】（1） 的长约为1920米 （2）小明先到达公园 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定： （1）延长交于点 ，过点 作于点 ，先解得到，，证明四边形为矩形，得到 ，，进一步证明，则； （2）先解直角三角形求出，则可求出的值，进而计算出小明的时间；解，得到的长，则可求出的值，即可求出爷爷的时间，据此可得答案． 【小问1详解】 解：延长交于点 ，过点 作于点 ， 由题知， 在中，， ， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ，， 在中，， ， （米）， 答： 的长度约为米． 【小问2详解】 解：在中，， 分； 在中，， ∴， ， 分， ∵， ∴小明先到达公园， 答：小明先到达公园． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 下方的抛物线上有一动点P，连接，点D是点C关于x轴的对称点，过点D作直线轴，点M为直线 上一动点，轴，垂足为N，连接，当的面积取得最大值时，求点P的坐标以及的最小值； （3）将抛物线沿射线 方向平移个单位长度得到新的抛物线，点E为 中点，在新抛物线上存在一点Q使得，请直接写出所有符合条件的Q点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据题意求出点B，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）利用抛物线解析式得到，设直线 的解析式为，利用待定系数法求出直线 的解析式，设点，过点 作轴 ，交直线 于点 ，则点，进而得到，再根据，结合二次函数最值求出点P的坐标，作 关于直线 的对称点，连接交直线 于点 ，结合轴对称，平行四边形性质和判定，勾股定理得到的最小值进行求解，即可解题． （3）根据抛物线沿射线 方向平移个单位长度得到新的抛物线，结合解直角三角形，以及勾股定理推出向右平移 个单位，向下平移 个单位得到新的抛物线的解析式，再根据，结合平行线性质，以及相似三角形性质求出直线的解析式，再联立抛物线的解析式求解，即可解题． 【小问1详解】 解： ， ， 又， ，即， 把 坐标代入表达式，则， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解： 抛物线的解析式为； ， 设直线 的解析式为，把代入， ，解得， 直线 的解析式为， 设点，过点 作轴 ，交直线 于点 ，如图， 则点， ∴， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的面积取最大值， ∴， ∴， 作 关于直线 的对称点，连接交直线 于点 ， ， ∵点 是点 关于 轴的对称点， ∴， ∵点 为直线 上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值； 【小问3详解】 解： 抛物线沿射线 方向平移个单位长度得到新的抛物线， 又， ， 则设向右平移个单位，则向下平移个单位， 且有， 解得或（不合题意，舍去）， 向右平移 个单位，向下平移 个单位， ， 点E为 中点， ， 如图，当时，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立与， 解得或（不合题意，舍去）， ， 点的坐标为； 当，与 轴的交点为 ， ， ， ， ， ，， ， ，解得， ， 设直线的解析式为，把代入， ， 解得， 直线的解析式为， 联立与， 整理得， 解得或 （不合题意，舍去）， ， 点的坐标为； 综上所述， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，待定系数法求函数解析式，二次函数面积综合，二次函数最值，轴对称找线段和的最小值，平行四边形性质和判定，勾股定理，二次函数的平移，相似三角形性质和判定，解直角三角形，二次函数与一次函数交点问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 24. 如图，在 中，，点D是 边上一点，点E是线段 上一点． （1）如图1，若，且 ，且，求 的长． （2）如图2，若， ，点E是 的中点，连接 ，点F是线段 上一点且，连接 ．用等式表示线段 ， 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若 平分 ，平分 ，于点F， 的面积为4，，直接写出 的最大值． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 如图，延长 至 ，使，连接 ， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ∵， ∴ 是等边三角形， ∴，， ∴， ∵ 是 的中点， ， 在 和中， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）若，则，结合 ，得出， ，如图1，过点 作 于 ，则，，得出 ，根据，解直角三角形求出，根据，求出，即可求出，勾股定理求出 ，即可求解． （2）如图，连接 ，延长 至 ，使，连接 ，根据，得出，结合 ，得出证明 是等边三角形，得出，，，证明，得出，即可得，证出，，即可证明，即可证出； （3）过点 作 于点于点 ，连接 ，利用角平分线性质得出，再利用，得出，可知当最小时， 最大，过点 作于点 ，利用，可得，点 轨迹为到直线 距离为的定直线 ，即，且距离为，过点 作直线的对称点 ，连接，当依次共线时，取最小值 ，此时，证明 ，证明共线，求出 ，利用即可求解． 【小问1详解】 解：若，则， ∵ ， ， ， 如图1，过点 作 于 ，则， 则， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点 作 于点于点 ，连接 ， ∵ 平分平分， ， ， ∵ 的面积为， ， 则当最小时， 最大， 即当最小时， 最大， 过点 作于点 ， 则， 即， 解得：， 点 轨迹为到直线 距离为的定直线 ，即，且距离为，如图3， 过点 作直线 的对称点，连接， 则， 利用两点之间线段最短，知，当且仅当依次共线时，取最小值，即当依次共线时，最小值为， 当依次共线时，如图4， ， ， 又， ， ， 平分平分 ， 平分， ， 又， ∴共线， 即 是 与l的距离， ， ， ， ， 得， 解得：． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，二次根式，角平分线的性质，勾股定理，将军饮马问题，熟练掌握这些性质和定理，并会利用中点构造全等，利用动点找轨迹，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $