精品解析：2025年辽宁省盘锦市兴隆台区八校联考中考一模数学试题

2025年辽宁省初中学业水平考试适应性测试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是某一天这四个城市的最高气温和最低气温（单位：），则这天日温差最小的城市是（ ） A. 杭州 B. 武汉 C. 重庆 D. 拉萨 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 研究表明，某种甲型流感球形病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数据为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A. B. C D. 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 8. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（ ） A. B. C. 是等边三角形 D. 是的中位线 10. 现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 乙出发后用了8分钟追上甲 C. 当乙追上甲时，乙距离小区米 D 当乙到达小区时，甲距离小区米 二、填空题（每题5分，共15分） 11. 不等式的解集为_____________． 12. 在“双减”政策下，某学校规定，学生的学期学业成绩由两部分组成：平时成绩占40%，期末成绩占60%，小颖的平时、期末成绩分别为80分，90分，则小颖本学期的学业成绩为__________． 13. 如图，在菱形中，对角线和交于点O，，，分别以点A、点C为圆心，以的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 14. 如图，第一象限内的两直角边，且斜边顶点、均在的图像上，则点坐标为______． 15. 如图，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点，、分别是轴正半轴，轴正半轴上的动点，，为中点，连接，，，则的最小值为______． 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． （1）设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． （2）当取何值时，才能使储料场面积最大？ 18. 为了解中学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某校在八年级和九年级学生中各随机抽取20名学生进行“垃圾分类”知识检测．成绩分为优秀和良好两个等次，检测成绩满分为50分，30~40分；含30分）为良好：40分以上（含40分）为优秀，现将检测成绩整理和分析如下： 八年级20名学生的成绩为：39，48，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25． 八、九年级成绩分析表 年级 众数 中位数 八年级 43 九年级 44 请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，上表中的值是_____，的值是_____， （2）若八、九年级有1800名学生，估计该校八、九年级成绩为优秀的学生约有多少人？ （3）从图表中可以看出，该校八、九年级均有满分的同学，若需在获得满分的同学中抽取两人参加“垃圾分类”知识宣讲，请用树状图或列表法求两人同在九年级的概率． 19. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进最少要花多少钱？ 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；（精确到） （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且，（点在一条直线上），经测得：，，求线段的长度．（精确到）（参考数据：，，） 21. 如图，以边为直径作，交于点，交于点，连接相交于点，连接，． （1）判断的形状，并证明； （2）若，求的值． 22. 如图1，四边形是矩形，以为圆心长为半径画弧交延长线于点，作交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）将绕点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为、． ①如图2所示，当在线段上时，直线交于点，交于点． （i）求证：； （ⅱ）求证：． ②如图3所示，若，，将沿直线翻折得到，其中点的对应点为点，当旋转至某一位置时，是否存在旋转得到的与关于直线对称？若存在，在图3中画出，连接，并直接写出的长，若不存在，请说明理由． 23. ①我们规定：二次函数与互为中心对称函数； ②定义：表示两个数中的最小值，对于函数和，当时，；当时，，则函数． （1）已知二次函数，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大．则该二次函数的解析式为______，其中心对称函数的解析式为______．并求出当、同时随增大而减小时，的取值范围． （2）在（1）的条件下，求出函数； （3）若宽为3的矩形中，点，矩形与（2）中的函数的图像有三个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省初中学业水平考试适应性测试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是某一天这四个城市的最高气温和最低气温（单位：），则这天日温差最小的城市是（ ） A. 杭州 B. 武汉 C. 重庆 D. 拉萨 【答案】C 【解析】 【分析】根据温差定义，逐一计算，比较大小解答即可． 本题考查了有理数减法的应用，有理数的大小比较，熟练掌握运算和比较大小是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 杭州的温差为：；武汉的温差为：； 重庆的温差为：；拉萨的温差为：； 且， 故重庆的温差最小． 故选：C． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 研究表明，某种甲型流感球形病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数据为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：A，，原计算错误，故本项不符合题意； B，，原计算错误，故本项不符合题意； C，，原计算错误，故本项不符合题意； D，，故本项符合题意； 故选：D． 5. 如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从正面看几何体得到的图形就是主视图． 的主视图是，即可得到答案． 【详解】解：的主视图是 故选：A． 6. 我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 依题意得， 故选：A． 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 8. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用图象可找到图象在轴上方，此时，进而得到关于的不等式的解集． 【详解】一次函数中，要使关于的不等式 即：时，图象在轴上方 由图可知：，则关于的不等式的解集是 故选：C． 9. 如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（ ） A. B. C. 是等边三角形 D. 是的中位线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，掌握知识点的应用是解题的关键．根据尺规作图——作角平分线即可判断A；证明是等边三角形，利用勾股定理求出，即可判断B；由等边三角形的判定即可判断C；根据等边三角形的判定与性质，中位线的定义即可判断D． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴，故A正确； ∵， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故C正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线，故D正确， 故选：B． 10. 现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 乙出发后用了8分钟追上甲 C. 当乙追上甲时，乙距离小区米 D. 当乙到达小区时，甲距离小区米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以逐一判断，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想． 【详解】解：由题图可知，甲先出发2分钟，骑行了600米，8分钟时乙追上甲， ∴乙的平均速度大于甲的平均速度，故A选项不符合题意； 乙出发后用了（分钟）追上甲，故B选项不符合题意； （米/分钟）， ， 解得：（米/分钟）， 当乙追上甲时，骑行了（米）， ∴此时乙距离小区（米），故C选项不符合题意； 乙骑行米所用时间为（分钟）， 则当乙到达小区时，甲骑行了（米）， ∴当乙到小区时，甲与小区的距离为（米），故D选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（每题5分，共15分） 11. 不等式的解集为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】去分母，移项即可得． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握正确解不等式． 12. 在“双减”政策下，某学校规定，学生的学期学业成绩由两部分组成：平时成绩占40%，期末成绩占60%，小颖的平时、期末成绩分别为80分，90分，则小颖本学期的学业成绩为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法计算即可． 【详解】解：她本学期的学业成绩为小颖本学期的学业成绩为： (分)． 故答案为：分． 13. 如图，在菱形中，对角线和交于点O，，，分别以点A、点C为圆心，以的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，根据直角三角形的性质求出、，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，由勾股定理得，， 又∵，， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 14. 如图，第一象限内的两直角边，且斜边顶点、均在的图像上，则点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，一元二次方程的解法，点的平移的性质，设，则，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵第一象限内的两直角边且斜边顶点A、B均在的图象上， ∴设，则， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去），经检验符合题意； ∴，， ∴， 故答案为： 15. 如图，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点，、分别是轴正半轴，轴正半轴上的动点，，为中点，连接，，，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了最值系列里的阿氏圆模型，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握阿氏圆模型，构造相似三角形是解题关键． 通过直角三角形的性质可得点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，过点作以原点为圆心，以为半径的圆，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，取的中点，连接，根据题意，可得、、，即、，推出，证得，得，则当、、三点共线时，取最小值，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：，点为中点， ， 点在以原点为圆心，半径为的圆上运动（第一象限部分不包含坐标轴上的点）， 如图，过点作以原点为圆心，以为半径的圆，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，取的中点，连接， ， 二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、， 令，则， 令，则，解得：或， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 如图，当、、三点共线时，取最小值， 在中，， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则，正确化简各数是解题的关键． （1）直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、零指数幂、二次根式的性质分别化简，进而得出答案； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17. 如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． （1）设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． （2）当取何值时，才能使储料场的面积最大？ 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据线段的和差关系求出，过A作于H，证明四边形是矩形，得出，，求出，根据等角对等边得出，再根据线段的和差关系求出，最后根据梯形的面积公式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵新建墙总长15m，的长为， ∴的长为， 过A作于H， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知： ∵ 抛物线开口向下 抛物线的对称轴为 ∴ 当时，储料场的面积最大． 18. 为了解中学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某校在八年级和九年级学生中各随机抽取20名学生进行“垃圾分类”知识检测．成绩分为优秀和良好两个等次，检测成绩满分为50分，30~40分；含30分）为良好：40分以上（含40分）为优秀，现将检测成绩整理和分析如下： 八年级20名学生的成绩为：39，48，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25． 八、九年级成绩分析表 年级 众数 中位数 八年级 43 九年级 44 请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，上表中的值是_____，的值是_____， （2）若八、九年级有1800名学生，估计该校八、九年级成绩为优秀的学生约有多少人？ （3）从图表中可以看出，该校八、九年级均有满分的同学，若需在获得满分的同学中抽取两人参加“垃圾分类”知识宣讲，请用树状图或列表法求两人同在九年级的概率． 【答案】（1）图见解析；43； （2）1125人 （3） 【解析】 【分析】（1）求出44分人数，补全统计图；根据众数的定义可求出a，根据中位数的定义可求b； （2）用1800乘以八、九年级成绩为优秀的学生比例即可； （3）画出树状图求解即可． 【小问1详解】 解：， 如图， ∵八年级成绩中43分出现的次数最多， ∴． ∵九年级成绩从小到大排列后，排在第10位的是41分，排在第11位的是44分， ∴． 故答案为：43；； 【小问2详解】 解：人； 【小问3详解】 解：用A，B，C表示九年级三名满分同学，用D表示八年级满分的同学， 画树状图如下： 总共有种等可能的结果，其中两名均来自九年级的结果有6种， ∴（两名均来自九年级） 答：两名同学均来自九年级概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，正确画出树状图是解答本题的关键． 19. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】（1）A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 （2）3000元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的3倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． 【小问2详解】 解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，元 答：此次购进最少要花3000元． 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；（精确到） （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且，（点在一条直线上），经测得：，，求线段的长度．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）过作，根据三角函数求出，再根据矩形的性质即可得解； （2）过作，交于P，根据三角函数求出，再根据矩形的性质和等腰三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：过作，垂足为点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为． 【小问2详解】 解：过作，交于P， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长约为． 21. 如图，以的边为直径作，交于点，交于点，连接相交于点，连接，． （1）判断的形状，并证明； （2）若，求的值． 【答案】（1）是等腰三角形，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得出，根据圆周角定理得出，证出，即可得，即是等腰三角形． （2）过点作，垂足为．根据圆周角定理得出，在中，，设，则，根据等腰三角形的性质得出，证明，，即可求解． 【小问1详解】 解：是等腰三角形 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ∵是的直径， ∴， 在中，， 设，则， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 如图1，四边形是矩形，以为圆心长为半径画弧交延长线于点，作交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）将绕点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为、． ①如图2所示，当在线段上时，直线交于点，交于点． （i）求证：； （ⅱ）求证：． ②如图3所示，若，，将沿直线翻折得到，其中点的对应点为点，当旋转至某一位置时，是否存在旋转得到的与关于直线对称？若存在，在图3中画出，连接，并直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2）①（ⅰ）见解析（ⅱ）见解析 ②存在，，图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确运用相关知识解决问题是解答本题的关键． （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，结合可证明四边形是菱形； （2）①（i）证明，，根据可证明； （ii）证明，，根据证明即可； ②根据题意画出，求出，得出，根据勾股定理可求出． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，即； 又∵ ， ∴ 四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：①（i）∵ 四边形是矩形 ∴ ， 由旋转得， ∴ ， ∵ 菱形中，， ∴ ，即， 又∵ ， ∴ ， （ii）由旋转得，， 又 ∵ 菱形中， ，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ②存在，如图，旋转过程中，B是定点，且A、B是一对对应点，即的垂直平分线为对称轴． 如图： ∵，， ∵四边形是矩形，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 23. ①我们规定：二次函数与互为中心对称函数； ②定义：表示两个数中的最小值，对于函数和，当时，；当时，，则函数． （1）已知二次函数，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大．则该二次函数的解析式为______，其中心对称函数的解析式为______．并求出当、同时随增大而减小时，的取值范围． （2）在（1）的条件下，求出函数； （3）若宽为3的矩形中，点，矩形与（2）中的函数的图像有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），，当时，同时随的增大而减小 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质求出a的值，即可得到的解析式，结合二次函数的性质即可解答； （2）联立，求出或，根据定义函数，即可解答； （3）由（2）中函数解析式，画出函数图像，求出最值，结合矩形的性质，设函数的图象与x轴交点为两点（M点在N点左侧），分点在x轴上方和下方，两种情况，结合图形讨论即可． 【小问1详解】 解：二次函数中，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大， ，且， ， ， ， 二次函数的图象关于，且， 二次函数图象开口向下， 当时，随增大而减小； 综上所述，当时，同时随的增大而减小； 【小问2详解】 解：联立 解得：或， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述：； 【小问3详解】 解：由（2）知，， 二次函数的图象关于对称，且， 二次函数图象开口向下， 当时，随增大而增大， ， 当时，随增大而增大， 同理得：当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数在上有一个最小值，最小值为； 设函数的图象与x轴交点为两点（M点在N点左侧）， 当点在x轴上方时，如图， 令，解得或（舍去）； ∴， 同理，令，解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∵宽为3的矩形中，点，， ∴在轴上，，， ∴直线的解析式为， ∵，， 矩形与函数的图像只有一个交点或没有交点， 当点在x轴下方时，如图， 当点重合时，矩形与函数的图像有两个交点， 此时，，即； 如图，当点重合时，矩形与函数的图像有三个交点， 此时，，即； ∴当时，如图，矩形与函数的图像有三个交点， ∴矩形与（2）中的函数的图像有三个交点时，的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质和新定义，二次函数与特殊四边形的综合问题，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 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