猜押05 广东卷中考数学19～21题（统计的综合，函数的实际应用问题，几何图形操作探究问题，解答题）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（广东专用）

猜押05 广东卷中考数学19-21题（解答题） 猜押考点 1年成都真题 考情分析 押题依据 难度 统计的综合 2024年广东省卷第19题 2024年第19题考查平均数与加权平均数，2023年涉及扇形图分析 2025年模拟卷第19题可能设置“旅游景区评分计算” 中 函数的实际应用问题 2024年广东省卷第20题 2024年第20题考查二次函数的销售问题，2023年涉及抛物线最值 2025年模拟卷第20题可能结合“新能源汽车销量预测” 中 几何图形操作探究问题 2024年广东省卷第21题 2024年第21题考查圆锥综合，2023年涉及圆与相似三角形 2025年模拟卷第21题可能结合“圆的切线与相似三角形” 中 题型一 统计的综合 1．（2025·广东·一模）如图所示，该折线统计图为为初三（六）班两位同学在校运会50米班级选拔赛中的成绩，将这两名同学记为甲与乙，观察该折线统计图并完成下面的设问． (1)完成表格 学生 平均数 中位数 众数 极差 甲 8.6 8.9 乙 1.0 (2)假定你是班长，请你根据上述统计量，并结合你所学的统计学知识，从平均成绩以及稳定性角度出发，从甲、乙中选拔一个同学参加校运会． 2．（2025·广东·一模）神舟十九号航天员乘组于2024年12月17日完成首次出舱活动，用时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．某中学开展“航空航天知识竞赛”活动，九年级有甲、乙两组各10名学生参加比赛（比赛成绩均为整数，满分为10分）．甲组学生的比赛成绩：3，6，6，6，6，6，6，9，9，10．乙组学生的比赛成绩条形统计图如图所示．甲、乙两组学生的比赛成绩统计表如表所示． 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 6 乙 －－ 7 (1)补全条形统计图，统计表中 ， ； (2)求乙组学生比赛成绩的平均数； (3)根据以上数据，你认为甲、乙两组学生在比赛活动中，哪组学生的比赛成绩更好？请说明理由． 3．（2025·广东江门·一模）中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为时都符合标准，其中质量为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，质量分别如下（单位：）： 甲：157，157，159，159，160，161，161，161，162，163 乙：158，158，159，159，159，159，161，162，162，163 分析数据如表： 员工 平均数 中位数 众数 方差 甲 160 160.5 a 3.6 乙 160 b 159 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____． (2)若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由． (3)在此次比赛中，甲员工共包了100个粽子，乙员工共包了104个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数？若以优秀率作为评判标准请判断哪位员工更加优秀？请说明理由． 4．（2025·广东惠州·一模）为积极响应全民阅读号召，助力书香社会建设，同时强化青少年的爱国情怀，某校成功举办了以“阅读红色经典，讲好思政故事”为主题的演讲活动．活动吸引了30名学生踊跃参赛．比赛过程中，七位专业评委依据演讲内容、语言表达、形象风度、综合印象四个维度，对参赛学生进行细致评分．评分规则为：去掉一个最高分与一个最低分后，计算剩余分数的平均值，作为学生在每个维度的成绩（成绩单位为分，满分为100分）．随后，按照特定比例，对演讲内容、语言表达、形象风度、综合印象这四项成绩按照3：2：1：4进行加权计算，从而得出每位学生的最终成绩．现将30名学生的成绩统计情况公布如下． a．30名学生最终成绩频数分布直方图，b．选手小华和小明的四项成绩和最终成绩统计表如下c．七名评委给小明的演讲内容打分分别为87，82，91，95，91，88，93．请根据信息，解答下列问题： （每组包含最小值，不包含最大值） 学生 四项成绩/分 最终成绩/分 演讲内容 语言表达 形象风度 综合印象 小华 97 96 93 94 小明 88 83 80 (1)七名评委给小明的演讲内容打分的这组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，剩余数据的中位数是_____分，平均数是_____分， (2)请计算小明的最终成绩． (3)学校决定根据最终成绩从高到低设立一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖，占比分别为．请你判断小华和小明分别获得几等奖，并说明理由． 5．（2025·广东惠州·一模）随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，人们也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力．某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 b 95 8.2 人工 a 90 c 108.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中：　　， 　　； (2)求a的值； (3)根据数据分析，请你分析机器人和人工操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 96，91，95，90，89，95，95，92，88，89 100，82，75，87，100，93，71，100，83，99 6．（2025·广东珠海·一模）随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，，，，，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在组内的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 96.6 乙 86 86.5 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，________，________； (2)若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． (3)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； 7．（2025·山东济南·一模）近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% (1)填空：______；______，______； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 8．（2025·广东湛江·一模）为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗 文化知识竞赛 ”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20 名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用 x 表示，共分为四组：A.，B.，C.，D．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 m 86 九年级 86.6 88.5 n 八年级抽取的竞赛成绩在 B 组中的数据为：89 ，88 ，86 ，86 ，86 ，86． 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99 ，98 ，96 ，96 ，94 ，92 ，92 ，90 ，90 ，89 ，88 ，88 ，88 ，82， 81 ，77 ，77 ，76 ，73 ，66． 请根据以上信息完成下列问题： (1)填空： ， ，并补全八年级的成绩条形统计图； (2)规定在 90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有 1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 9．（2025·广东珠海·一模）某校团委在八、九年级各抽取名团员开展知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分分．成绩如图所示： 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 九年级竞赛成绩 (1)请通过计算说明哪个年级成绩的平均数比较好？ (2)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的 ， ； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (3)若规定成绩分获一等奖，分获二等奖，分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？ 10．（2025·广东佛山·一模）某射击队进行选手选拔，对甲、乙、丙三名队员连续射击10次的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①甲、乙两名队员射击成绩的频数直方图： ②丙队员射击成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10 ③三名队员命中环数的平均数和中位数如下： 甲 乙 丙 平均数 8 8 中位数 8 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ， ； (2)从甲、乙两名队员射击成绩的频数直方图可知，队员 发挥的稳定性更好；（填“甲”或“乙”） (3)如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为应该推荐哪位队员？请说明理由． 题型二 函数的实际应用问题 11．（2025·广东广州·一模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)__________米/秒，__________秒； (2)求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； (3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 12．（2025·广东深圳·模拟预测）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． (1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 13．（2025·广东江门·一模）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位． (1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m； (2)设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 14．（2025·广东河源·一模）如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 某学习小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 43 46.3 49.6 52.9 56.2 凳面的宽度 248 264.5 281 297.5 314 请你帮助小组解决下列问题： (1)已知y是x的函数，求出该函数关系式． (2)经研究表明，最舒适的凳面宽度为，其中是传统工艺与现代人体工学的理想折中点．现要加工一张凳面宽度为的“四脚八叉凳”，榫眼的位置怎么确定？请说明理由． 15．（2025·山西大同·一模）综合与实践 问题情境：为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究． 建模分析： 第一步：根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分； 第二步：如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 第三步：记录数据，实心球运动的高度与水平距离的部分数据如下表： 1 2 4 6 7 2.25 2.67 3 2.67 2.25 第四步：成绩分析． 问题解决： (1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） (2)求实心球起点处的坐标； (3)当实心球从起点到落地点的水平距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇在此次掷球中是否得满分． 16．（2025·河南驻马店·一模）掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分． 17．（2025·安徽六安·一模）综合实践：投篮研究 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级（2）班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，小玫在点O处起跳，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米．    (1)计算说明小玫初次投篮时能否命中篮筐； (2)该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）． 18．（2025·广东·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图，一般使用边与轴平行的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小设矩形的竖直边与水平边的比为，我们称常数为图形的纵横比举例：如图，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 任务一： 如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ______． 如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为，其目标矩形的纵横比 ______． 任务二：如图和图，排桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于轴对称，最高点与水面的距离为米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式不必写出自变量的取值范围． 任务三：如图和图，高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为，其中点，其目标矩形的纵横比，直接写出的值为______． 19．（2025·广西柳州·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 20．（2025·山西太原·一模）太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 题型三 几何图形操作探究问题 21．（2025·广东珠海·一模）【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，． 【操作探究】如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接（如图2）． (1)当时，求的长度； (2)如图3，当时，求的度数； (3)取的中点O，点P是平面内某个定点，连接，在运动过程中的长是个定值，点P的位置是______，这个定值为______，运动开始后______． 22．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践 【主题】探究顶角为的等腰三角形 【实践操作】步骤1：如图1，在白纸上剪一个顶角为的等腰三角形； 步骤2：如图2，沿图中虚线对折，点恰好与上的点重合； 步骤3：如图3，沿着虚线折叠，点恰好落在上． 【实践探索】 (1)证明：． (2)证明：． (3)若，请直接写出的长． 23．（2025·广东江门·一模）综合与实践 【主题】黄金矩形 【素材】素材一：矩形就是长方形．四个角都是，两组对边平行且相等． 素材二：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 素材三：黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的。 【操作步骤】 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 【第二步】如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图4）就是黄金矩形． 【问题解决】设． (1)求证：矩形是黄金矩形． (2)求证：矩形MNDE也是黄金矩形． 24．（2025·河北·一模）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若，拼接时应将沿平移______． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形． （4）若，，求的长． 25．（2025·河南平顶山·模拟预测）综合与实践 正方形纸片的边长为6，对正方形纸片进行以下操作． 【操作一】如图1，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕． 【操作二】如图2，E为边上的一个动点，将正方形展开后沿直线折叠，使点D的对应点落在上，连接，则的形状为_______，______， 【操作三】如图3，将正方形展开，当动点E与点M重合时，沿折叠，得到点D的对应点，延长交于点P，判断与的数量关系，并说明理由． 【操作四】如图4，将沿继续折叠，点A的对应点为Q，当点E的位置不同时点Q的位置也随之改变，连接．若点Q恰好落在的边上，直接写出的长． 26．（2025·山东日照·一模）综合与实践 [问题背景]： 如图1，在四边形中，，，，连接，，过点作于点，且． （1）求证：． [操作探究]： 如图2，将沿直线方向向右平移一定距离，点，，的对应点分别为点，，，且点与点重合． （2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由； ②求出平移的距离． [拓展创新]： 如图3，在（2）的条件下，将绕点按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边，交于点，． （3）当时，请求出的长． 27．（2025·广东汕头·一模）综合与实践 【动手操作】将一张矩形纸片按如下步骤折叠： 第一步：在矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形沿折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：如图3，折出内侧矩形的对角线，并把折到处． (1)求的值； 【类比操作】 (2)在第二步的基础上，把沿着对折得到，请利用图2画出相应的图形，并求证：的延长线经过点C． 28．（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践． 【主题】用三角形纸片折菱形． 【素材】一张锐角三角形纸片ABC，如题图1． 【要求】以三角形的一个内角作为菱形的一个内角． 【实践操作】 步骤：如图，折叠三角形纸片，使边和边重合，折痕与原相交于点； 步骤：如图，继续折叠折痕，使顶点落到折痕上的点处，折痕与原相交于点； 步骤：如图，展开三角形纸片，两次折痕，相交于点，连接，． 【证明计算】 (1)如图4，求证：四边形是菱形； (2)若，，以为菱形的一个内角，如何折菱形，才能折出一个面积最大的菱形？当菱形面积最大时，求菱形的边长． 29．（2025·吉林·一模）图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，经过格点A，B、C． (1)操作： 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． 步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可） 步骤二：在图1中画的切线． 步骤三：图2中，点D为与网格线的交点，在上画点F，使F是的中点． (2)探究： ①求的长度（结果保留π）． ②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接与交于点N，连接．直接写出的长． 30．（2025·广西·一模）【综合与实践】 【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性． 素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点． 素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形． 【特例感知】 （1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）； （2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________； 【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤： 第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，； 第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处； 第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形． 小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形． 【问题解决】 （3）请你证明小军的上述结论是否正确； （4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押05 广东卷中考数学19-21题（解答题） 猜押考点 1年成都真题 考情分析 押题依据 难度 统计的综合 2024年广东省卷第19题 2024年第19题考查平均数与加权平均数，2023年涉及扇形图分析 2025年模拟卷第19题可能设置“旅游景区评分计算” 中 函数的实际应用问题 2024年广东省卷第20题 2024年第20题考查二次函数的销售问题，2023年涉及抛物线最值 2025年模拟卷第20题可能结合“新能源汽车销量预测” 中 几何图形操作探究问题 2024年广东省卷第21题 2024年第21题考查圆锥综合，2023年涉及圆与相似三角形 2025年模拟卷第21题可能结合“圆的切线与相似三角形” 中 题型一 统计的综合 1．（2025·广东·一模）如图所示，该折线统计图为为初三（六）班两位同学在校运会50米班级选拔赛中的成绩，将这两名同学记为甲与乙，观察该折线统计图并完成下面的设问． (1)完成表格 学生 平均数 中位数 众数 极差 甲 8.6 8.9 乙 1.0 (2)假定你是班长，请你根据上述统计量，并结合你所学的统计学知识，从平均成绩以及稳定性角度出发，从甲、乙中选拔一个同学参加校运会． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、运用方差做决策、求极差 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，极差，熟知相关统计量的意义是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数，极差的定义求解即可； （2）二人平均成绩相同，但是甲成绩波动大，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，乙的平均数为秒， 把甲的成绩按照从低到高排列为，处在第3名和第4名的成绩为秒，秒， ∴甲成绩的中位数为秒， ∵甲成绩为秒的次数最多， ∴甲成绩的众数为秒； 把乙的成绩按照从低到高排列为，处在第3名和第4名的成绩为秒，秒， ∴乙成绩的中位数为秒， ∵乙成绩为秒的次数最多， ∴乙成绩的众数为秒； 甲成绩的极差为，乙成绩的极差为， 填表如下所示： 学生 平均数 中位数 众数 极差 甲 8.6 8.9 8.9 2.3 乙 8.6 8.6 8.6 1.0 （2）解：从平均成绩而言，甲学生与乙学生均为8.6秒，而从稳定性角度而言，显然乙同学波动情况明显优于甲同学，故综合平均成绩与稳定性研判，应选择乙同学． 2．（2025·广东·一模）神舟十九号航天员乘组于2024年12月17日完成首次出舱活动，用时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．某中学开展“航空航天知识竞赛”活动，九年级有甲、乙两组各10名学生参加比赛（比赛成绩均为整数，满分为10分）．甲组学生的比赛成绩：3，6，6，6，6，6，6，9，9，10．乙组学生的比赛成绩条形统计图如图所示．甲、乙两组学生的比赛成绩统计表如表所示． 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 6 乙 －－ 7 (1)补全条形统计图，统计表中 ， ； (2)求乙组学生比赛成绩的平均数； (3)根据以上数据，你认为甲、乙两组学生在比赛活动中，哪组学生的比赛成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)见详解，6，7 (2) (3)乙组学生的比赛成绩更好，理由见详解 【知识点】运用方差做决策、求中位数、求一组数据的平均数、画条形统计图 【分析】本题主要考查了条形统计图，平均数，众数，中位数，方差的概念等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念． （1）利用总数减去已知量求出所求量补全条形图即可，利用众数和中位数的概念求解即可； （2）利用算术平均数的公式或加权平均数的公式求解即可； （3）利用平均数和方差进行对比甲乙两组的成绩，然后描述即可． 【详解】（1）解：7分的人数为：， 补全条形统计图如图2所示， 乙组学生的比赛成绩条形统计图 甲组数据中6出现的次数最多， ， 乙组数据排序后第5位和第6位数据分别为7、7， ∴乙组的中位数为：， 故答案为：，； （2）解：； 所以，乙组学生比赛成绩的平均数为； （3）解：乙组学生的比赛成绩更好．理由如下： ∵，且甲组学生比赛成绩的方差为乙组学生比赛成绩的方差， ∴乙组学生的比赛成绩较为稳定， ∴乙组学生的比赛成绩更好． 3．（2025·广东江门·一模）中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为时都符合标准，其中质量为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，质量分别如下（单位：）： 甲：157，157，159，159，160，161，161，161，162，163 乙：158，158，159，159，159，159，161，162，162，163 分析数据如表： 员工 平均数 中位数 众数 方差 甲 160 160.5 a 3.6 乙 160 b 159 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____． (2)若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由． (3)在此次比赛中，甲员工共包了100个粽子，乙员工共包了104个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数？若以优秀率作为评判标准请判断哪位员工更加优秀？请说明理由． 【答案】(1)，，3 (2)乙，见解析 (3)甲员工所包粽子质量属于“优秀产品”的个数为个，乙员工所包粽子质量属于“优秀产品”的个数为个，甲员工更加优秀，见解析 【知识点】求中位数、求众数、求方差、运用方差做决策 【分析】本题考查了求众数、中位数、方差的应用；样本估计总体； （1）根据众数的定义求出甲的众数，根据中位数的定义求得乙的中位数即可，根据方差的定义求出乙的方差即可； （2）比较两者方差的大小即可； （3）利用样本估计总体求出两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，求出两位员工各自所包粽子的优秀率，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 乙的中位数为第5、6 个数的平均数，， ， 故答案为：，，3； （2）解：乙员工更加优秀，理由如下： 因为乙的方差小于甲的方差， 所以乙所包粽子质量质量比较稳定； （3）解：个， 个， 甲员工所包粽子质量属于“优秀产品”的个数为个，乙员工所包粽子质量属于“优秀产品”的个数为个， 甲员工所包粽子的优秀率为， 乙员工所包粽子的优秀率为， 甲员工所包粽子的优秀率大于乙员工所包粽子的优秀率， 甲员工更加优秀． 4．（2025·广东惠州·一模）为积极响应全民阅读号召，助力书香社会建设，同时强化青少年的爱国情怀，某校成功举办了以“阅读红色经典，讲好思政故事”为主题的演讲活动．活动吸引了30名学生踊跃参赛．比赛过程中，七位专业评委依据演讲内容、语言表达、形象风度、综合印象四个维度，对参赛学生进行细致评分．评分规则为：去掉一个最高分与一个最低分后，计算剩余分数的平均值，作为学生在每个维度的成绩（成绩单位为分，满分为100分）．随后，按照特定比例，对演讲内容、语言表达、形象风度、综合印象这四项成绩按照3：2：1：4进行加权计算，从而得出每位学生的最终成绩．现将30名学生的成绩统计情况公布如下． a．30名学生最终成绩频数分布直方图，b．选手小华和小明的四项成绩和最终成绩统计表如下c．七名评委给小明的演讲内容打分分别为87，82，91，95，91，88，93．请根据信息，解答下列问题： （每组包含最小值，不包含最大值） 学生 四项成绩/分 最终成绩/分 演讲内容 语言表达 形象风度 综合印象 小华 97 96 93 94 小明 88 83 80 (1)七名评委给小明的演讲内容打分的这组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，剩余数据的中位数是_____分，平均数是_____分， (2)请计算小明的最终成绩． (3)学校决定根据最终成绩从高到低设立一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖，占比分别为．请你判断小华和小明分别获得几等奖，并说明理由． 【答案】(1)91分，90分 (2)分 (3)小华获得一等奖，小明获得优秀奖，理由见详解 【知识点】频数分布直方图、求一组数据的平均数、求加权平均数、求中位数 【分析】本题主要考查了中位数，算术平均数，加权平均数，频数直方图等知识点，解题的关键是掌握相关概念． （1）利用中位数和算术平均数的概念进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算公式进行求解即可； （3）先求出各类奖项的人数，根据频数直方图判定出小明和小华的位次范围即可推出他们获得的奖项． 【详解】（1）解：去掉一个最高分和一个最低分后的数据按序排列为：87，88，91，91，93 中位数为：91分， 平均数为：分 故答案为：91分，90分； （2）解：小明的最终成绩为分； （3）解：一等奖人数：（人）， 二等奖人数：（人）， 三等奖人数：（人）， 优秀奖人数：（人）， 由图可知，小华的成绩分，属于95-100分这一栏，共2人，小华分数在前两名， 小华获得一等奖； 由图可知，小明的成绩分，属于80-85分这一栏，比85分高的人数共有： 人，小明的成绩处在19至26名之间， 小明获得优秀奖， 所以，小华获得一等奖，小明获得优秀奖． 5．（2025·广东惠州·一模）随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，人们也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力．某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 b 95 8.2 人工 a 90 c 108.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中：　　， 　　； (2)求a的值； (3)根据数据分析，请你分析机器人和人工操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 96，91，95，90，89，95，95，92，88，89 100，82，75，87，100，93，71，100，83，99 【答案】(1)91.5；100 (2)89 (3)机器人操作在技能方面更有优势，理由见解析 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、运用方差做决策 【分析】本题考查了平均数，方差，中位数和众数，掌握各统计数据的意义和计算方法是关键． （1）根据概念解答即可，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．众数是一组数据中出现次数最多的数值； （2）根据平均数的计算公式即可求解； （3）结合方差和平均数的统计意义即可求解． 【详解】（1）解：机器人技能测试成绩排序为：88，89，89，90，91，92，95，95，95，96， 中位数， 人工技能测试成绩中100分出现的次数最多， 众数； 故答案为：；100． （2）解：， 即的值为89； （3）解：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小， 可以推断机器人操作在技能方面谁更有优势． 6．（2025·广东珠海·一模）随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，，，，，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在组内的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 96.6 乙 86 86.5 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，________，________； (2)若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． (3)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； 【答案】(1)85.5；85；20 (2)510名 (3)乙款人工智能软件更受用户欢迎，理由见解析（答案不唯一） 【知识点】运用方差做决策、求中位数、用样本的某种“率”估计总体相应的“率” 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数，百分比的计算，根据样本估算总体数量的方法，由调查数据作决策的方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求出a、b的值，再求出乙款中C组所占的百分比，然后用1分别减去各组所占的百分比得到m的值； （2）通过比较两款的方差进行判断； （3）用900乘以甲款中D组所占的百分比和1200乘以乙款中D组所占的百分比，然后求它们的和即可． 【详解】（1）解：（1）∵甲款人工智能软件得分数据从小到大排列后排在中间的2个数是85和86， ∴中位数； ∵甲款人工智能软件的所有评分数据中85出现的次数最多， ∴众数， ∵乙款人工智能软件中C组所占的百分比为， ∴， 即； 故答案为：85.5，85，20； （2）∵对甲款人工智能软件非常满意的总用户数（名） 对甲款人工智能软件非常满意的总用户数（名） ∴估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数（名） （3）乙款人工智能软件更受用户欢迎． 理由如下： ∵甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差， ∴乙款人工智能软件比较稳定， ∴乙款人工智能软件更受用户欢迎．． 7．（2025·山东济南·一模）近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% (1)填空：______；______，______； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】(1)87，89，40 (2)七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析 (3)估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 【知识点】求众数、求中位数、条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【详解】（1）解：∵A，B两组人数共有人， ∴七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为86与88的平均数， 由条形统计图可得：， 由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为， ∴， ， 故答案为：87，89，； （2）解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由： 由表格可知，七八年级的平均数相同，七年级学生对当前信息技术的了解的优秀率高于八年级学生对当前信息技术的了解的优秀率； （3）解：由题意可得， （人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 8．（2025·广东湛江·一模）为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗 文化知识竞赛 ”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20 名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用 x 表示，共分为四组：A.，B.，C.，D．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 m 86 九年级 86.6 88.5 n 八年级抽取的竞赛成绩在 B 组中的数据为：89 ，88 ，86 ，86 ，86 ，86． 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99 ，98 ，96 ，96 ，94 ，92 ，92 ，90 ，90 ，89 ，88 ，88 ，88 ，82， 81 ，77 ，77 ，76 ，73 ，66． 请根据以上信息完成下列问题： (1)填空： ， ，并补全八年级的成绩条形统计图； (2)规定在 90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有 1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 【答案】(1)87，88；补全八年级的成绩条形统计图见解析 (2)八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 680 人 【知识点】求众数、求中位数、画条形统计图、有理数四则混合运算 【分析】此题考查条形统计图，求中位数，众数， （1）根据中位数和众数定义解答，求出D组人数并补充条形统计图； （2）用优秀人数除以样本数据，再乘以总人数即可 【详解】（1）解：根据条形统计图和 B 组数据可知，第 10 个数为 88 ，第 11 个数为 86， ∴八年级的中位数为 ∴； 由九年级取的所有学生竞赛成绩数据可知，出现最多的数据为88， ∴九年级的众数为 88， ∴． 故答案为：87 ，88； ∵八年级抽查的学生人数为 20 人， ∴（人）， ∴D 组人数为 2 人， 补全八年级的成绩条形统计图如图： （2）解： （人） 答：八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 680 人． 9．（2025·广东珠海·一模）某校团委在八、九年级各抽取名团员开展知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分分．成绩如图所示： 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 九年级竞赛成绩 (1)请通过计算说明哪个年级成绩的平均数比较好？ (2)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的 ， ； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (3)若规定成绩分获一等奖，分获二等奖，分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？ 【答案】(1)一样好 (2)①，；②见解析 (3)九年级的获奖率高 【知识点】求加权平均数、求中位数、求众数、运用方差做决策 【分析】（）利用加权平均数公式求出两个年级的平均成绩即可判断求解； （）①根据众数和中位数的定义解答即可求解；②根据众数和方差的意义解答即可求解； （）分别求出两个年级的获奖率即可判断求解； 本题考查了折线统计图，平均数、众数、中位数和方差，掌握平均数、众数、中位数和方差的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：八年级成绩的平均数分， 九年级成绩的平均数分， ∴两个年级成绩的平均数一样好； （2）解：①由折线统计图可知，，， 故答案为：，； ②如果从众数角度看，八年级的众数为分，九年级的众数为分，所以应该给九年级颁奖；如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖； （3）解：八年级的获奖率， 九年级的获奖率， ∵， ∴九年级的获奖率高． 10．（2025·广东佛山·一模）某射击队进行选手选拔，对甲、乙、丙三名队员连续射击10次的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①甲、乙两名队员射击成绩的频数直方图： ②丙队员射击成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10 ③三名队员命中环数的平均数和中位数如下： 甲 乙 丙 平均数 8 8 中位数 8 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ， ； (2)从甲、乙两名队员射击成绩的频数直方图可知，队员 发挥的稳定性更好；（填“甲”或“乙”） (3)如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为应该推荐哪位队员？请说明理由． 【答案】(1)8，8 (2)乙 (3)推荐乙，理由见解析 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、运用方差做决策 【分析】本题考查平均数、方差，中位数以及频数直方图，理解中位数、平均数以及方差的定义，掌握中位数、平均数以及方差的计算方法是正确解答的关键． （1）根据算术平均数和中位数的定义进行分析即可； （2）甲、乙两位选手成绩，计算出方差进行判断即可； （3）根据选手的稳定性进行判断即可． 【详解】（1）解：甲选手的10次测试成绩分别为6，6，6，7，8，8，9，10，10，10， 则， 丙队员射击成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10， 则， 故答案为：8，8； （2）∵， ， ∴， 则队员乙发挥的稳定性更好； 故答案为：乙； （3）推荐乙，理由是：三位选手的平均成绩一样，但乙发挥更稳定，推荐乙获胜的把握更大． 题型二 函数的实际应用问题 11．（2025·广东广州·一模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)__________米/秒，__________秒； (2)求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； (3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)4；15 (2) (3)6秒或秒或秒 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据图形计算即可求解； （2）先求得气球乙匀速从55米到100米所用时间为9秒，得到，利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解． 【详解】（1）解：由题意得气球甲的速度为（米/秒）， （秒． 故答案为：4，15； （2）解：由图象知，， 气球乙的速度为（米秒）， ∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒）， ∵（秒）， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得：， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （3）解：如图所示： 由题意，， 设直线所在直线的解析式为， ∴，解得 ∴线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入，得 ，解得， 线段所在直线的函数解析式为； 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）； 当时，由题意得， 解得或， 当时，由题意得， 解得（舍去）或（舍去）， 综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米． 12．（2025·广东深圳·模拟预测）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． (1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9、8元 (2)当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买“哪吒”书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案． （1）设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可； （2）设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张，设这批书签全部售出后获利W元，可以得到所获利润与购买“哪吒”书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可． 【详解】（1）解：设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元， 由题意知： ， 解得， 答：“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9元，8元． （2）解：设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张， 由题意知：， 解得：， 设这批书签全部售出后获利W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，，W有最大值，元． 答：当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元． 13．（2025·广东江门·一模）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位． (1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m； (2)设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决几何问题、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意列出正确的不等式是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出自行车车棚面积为关于车棚宽度AB为的一次函数，再求出自变量的取值范围即可； （3）根据题意可得到不等式组，解不等式组，再结合实际需要进行解答即可． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为：， 由题意得到 解得， ∴ （3）解：不能，理由如下： 由（1）可得： ， 即 整理得到， ∴ 即或 解得， 当时， ∴机动车停车位向外移动1m； 答：有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m 14．（2025·广东河源·一模）如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 某学习小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 43 46.3 49.6 52.9 56.2 凳面的宽度 248 264.5 281 297.5 314 请你帮助小组解决下列问题： (1)已知y是x的函数，求出该函数关系式． (2)经研究表明，最舒适的凳面宽度为，其中是传统工艺与现代人体工学的理想折中点．现要加工一张凳面宽度为的“四脚八叉凳”，榫眼的位置怎么确定？请说明理由． 【答案】(1) (2)榫眼的位置为对称轴两侧处 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． （1）根据题意得到y的变化是匀速的，判断是一次函数，采用待定系数法求解即可； （2）把代入函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，x每增加3.3，y增加16.5，是一个匀速变化的过程，因此y是x的一次函数． 设该函数关系式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴该函数的解析式为． （2）解：当凳面宽度为，即时， ， 解得， ∴榫眼的位置为对称轴两侧处． 15．（2025·山西大同·一模）综合与实践 问题情境：为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究． 建模分析： 第一步：根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分； 第二步：如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 第三步：记录数据，实心球运动的高度与水平距离的部分数据如下表： 1 2 4 6 7 2.25 2.67 3 2.67 2.25 第四步：成绩分析． 问题解决： (1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） (2)求实心球起点处的坐标； (3)当实心球从起点到落地点的水平距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇在此次掷球中是否得满分． 【答案】(1) (2) (3)不得满分 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）将代入，求解即可得出答案； （3）令．则，求解后再比较即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意、得抛物线经过点和，且点为抛物线的顶点． 设实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为． 将代入，得． 解得． ∴实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴实心球起点处的坐标为； （3）解：令，则， 解得（不合题意，舍去）． ∵， 小宇在此次掷球中不得满分． 16．（2025·河南驻马店·一模）掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分． 【答案】(1) (2)没有得满分，见解析 (3)当掷出点的高度至少达到时，可得满分 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． （1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可； （3）把，代入得解析式，求出，再令即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 把代入上式得， 解得． ∴关于的函数表达式为． （2）解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下： 当时，即：， 解得，（舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分． （3）解：可设． 把，代入得，， 求出． ∴． ∴ 答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分． 17．（2025·安徽六安·一模）综合实践：投篮研究 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级（2）班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，小玫在点O处起跳，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米．    (1)计算说明小玫初次投篮时能否命中篮筐； (2)该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）． 【答案】(1)小玫初次投篮时不能命中篮筐 (2) 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）先设抛物线的解析式为，再将点代入求出抛物线的解析式，然后求出当时，的值，由此即可得； （2）先求出向前走了米后抛物线的表达式为，再将点代入计算，结合即可得的值． 【详解】（1）解：由题意得：小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标为， ∴设， ∵这个抛物线经过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 所以小玫初次投篮时不能命中篮筐． （2）解：向前走了米后抛物线的表达式为， ∵此次正好投进一个“空心球”，即此时抛物线经过点， ∴， 解得或， 当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去， 答：的值为． 18．（2025·广东·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图，一般使用边与轴平行的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小设矩形的竖直边与水平边的比为，我们称常数为图形的纵横比举例：如图，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 任务一： 如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ______． 如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为，其目标矩形的纵横比 ______． 任务二：如图和图，排桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于轴对称，最高点与水面的距离为米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式不必写出自变量的取值范围． 任务三：如图和图，高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为，其中点，其目标矩形的纵横比，直接写出的值为______． 【答案】任务一：①，②；任务二：；任务三： 【知识点】根据矩形的性质求线段长、图形问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查反比例函数的综合应用，待定系数法，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． 任务一：①根据新定义得到； ②根据目标矩形的纵横比的定义，得到线段的目标矩形纵横比； 任务二：由题意得到，再用待定系数法求出解析式即可； 任务三：求出，根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：任务一：足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径， 目标矩形的纵横比； 故答案为：； 根据目标矩形的纵横比的定义，线段的目标矩形纵横比； 故答案为：； 任务二：如图： 最高点与水面的距离为米， ， 抛物线目标矩形的纵横比， ， ， 抛物线关于轴对称， ，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 解得， ； 任务三：如图： 根据题意，， 目标矩形的纵横比， ， 解得舍去或， 经检验，是原方程的解； 的值为； 故答案为：． 19．（2025·广西柳州·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【答案】（1），顶点的坐标为；（2）；（3） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(实际问题与二次函数)、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点的坐标为，最后求出结果即可； （3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可． 【详解】解：（1）抛物线经过原点， ． 解得：． 抛物线的解析式为：． 顶点的坐标为； （2）取，， 解得：，， 点的坐标为， 心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点， 设的解析式为：． 经过点， ． 解得：． 的解析式为：． ， 解得： 点的坐标为． ． ． （3）作抛物线的对称轴于点，则， 直线与水平线的夹角为， ． 设点的横坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ． 顶点的坐标为， 点的纵坐标为． 点在抛物线上， ． 解得：． 点的坐标为． ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 20．（2025·山西太原·一模）太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 【答案】（1）一次；；（2）储存8个星期；（3）的值是400，相应的存储星期数为6星期 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）根据题意得y随x的增加而均匀增加，y是x的一次函数，设出一次函数解析式，任意取两对数值代入即可求得相应的函数解析式； （2）销售量储存星期数x，进而根据销售总额销售价格销售量，列出相应的函数解析式，根据函数的开口方向和对称轴求得储存的星期数即可； （3）利润销售总额成本额外支付各种费用，进而根据最大利润为35600元求得合适的k及x的值即可． 【详解】解：（1）根据所给数据可得销售价格y（元/吨）随储存星期数x的增加而均匀增加可得销售价格y（元/吨）是储存星期数x（个）的一次函数， 设y与x之间的函数关系式为：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：一次；； （2）设销售总额为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以． 因为， 所以有最大值， 当时，销售总额最大 答：若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期； （3）设全部售完的销售利润为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以， 因为， 所以有最大值， 由题意，得当时， ， 因为， 所以， 解得，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， 所以，，， 答：的值是400，相应的存储星期数为6星期． 题型三 几何图形操作探究问题 21．（2025·广东珠海·一模）【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，． 【操作探究】如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接（如图2）． (1)当时，求的长度； (2)如图3，当时，求的度数； (3)取的中点O，点P是平面内某个定点，连接，在运动过程中的长是个定值，点P的位置是______，这个定值为______，运动开始后______． 【答案】(1)2 (2)； (3)的中点；1； 【知识点】根据旋转的性质求解、90度的圆周角所对的弦是直径、同弧或等弧所对的圆周角相等、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据题意可得，从而得到当时，点共线，点A，D，C共线，可证得是等边三角形，即可求解； （2）过点A作于点H，根据等腰三角形的性质可得，，从而得到，进而得到，，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质可得，从而得到点O的运动轨迹为以为直径的圆，进而得到点P的位置是的中点，这个定值为，再由，可得点D在为直径的圆上，然后圆周角定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴当时，点共线，点A，D，C共线， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：2; （2）解：如图，过点A作于点H， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵点O是的中点，， ∴，即， ∴点O的运动轨迹为以为直径的圆，如图， ∵运动过程中的长是个定值， ∴点P的位置是的中点，且这个定值为， ∵， ∴点D在为直径的圆上， ∴， 故答案为：的中点；1，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，图形的旋转，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，第（3）问得到点O的运动轨迹为以为直径的圆是解题的关键． 22．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践 【主题】探究顶角为的等腰三角形 【实践操作】步骤1：如图1，在白纸上剪一个顶角为的等腰三角形； 步骤2：如图2，沿图中虚线对折，点恰好与上的点重合； 步骤3：如图3，沿着虚线折叠，点恰好落在上． 【实践探索】 (1)证明：． (2)证明：． (3)若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，得到，由（1）知，，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据折叠的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，设，得到，由（）知，，列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 沿图中虚线对折，点恰好与上的点重合， ，， ， ， ， ； （2）证明：由（1）知， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ； （3）解：沿着虚线折叠，点恰好落在上， ， ， ，， ， ， ， ， 设， ，， 由（2）知，， ∴， 或(不合题意舍去)， ， 故的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23．（2025·广东江门·一模）综合与实践 【主题】黄金矩形 【素材】素材一：矩形就是长方形．四个角都是，两组对边平行且相等． 素材二：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 素材三：黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的。 【操作步骤】 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 【第二步】如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图4）就是黄金矩形． 【问题解决】设． (1)求证：矩形是黄金矩形． (2)求证：矩形MNDE也是黄金矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】本题考查正方形的性质、翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，二次根式的混合运算，理解黄金矩形定义，灵活运用所学知识解决问题是解答的关键． （1）根据正方形的性质、翻折变换、矩形的性质以及勾股定理得到、，再根据黄金矩形的定义即可证得结论； （2）由（1）可求得，再根据黄金矩形的定义即可得出结论. 【详解】（1）证明：根据题意可得，，， ∴， 根据勾股定理可得， ∴ ∴ ∴ ∴矩形是黄金矩形． （2）证明：由（1）知，，， ∴， ∴， 故矩形是黄金矩形． 24．（2025·河北·一模）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若，拼接时应将沿平移______． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形． （4）若，，求的长． 【答案】（1）10；（2），；（3）见解析；（4）的长为． 【知识点】利用菱形的性质求线段长、三角形中位线的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据平移的性质即可求解； （2）由拼接知：是的中位线，，据此求解即可； （3）根据（2）的方法拼接即可； （4）连接，由拼接知，根据菱形的性质求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形，若，拼接时应将沿平移； 故答案为：10； （2），， 由拼接知：，， ∴是的中位线， ∴； ∵拼接图形是矩形， ∴， 由拼接知：， ∴， 故答案为：，； （3）如图，矩形即为所作； （4）连接，由拼接知，设与相交于点， ∵菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平移的性质，图形的拼接，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的性质．灵活运用中位线定理和构造全等三角形是解答本题的关键． 25．（2025·河南平顶山·模拟预测）综合与实践 正方形纸片的边长为6，对正方形纸片进行以下操作． 【操作一】如图1，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕． 【操作二】如图2，E为边上的一个动点，将正方形展开后沿直线折叠，使点D的对应点落在上，连接，则的形状为_______，______， 【操作三】如图3，将正方形展开，当动点E与点M重合时，沿折叠，得到点D的对应点，延长交于点P，判断与的数量关系，并说明理由． 【操作四】如图4，将沿继续折叠，点A的对应点为Q，当点E的位置不同时点Q的位置也随之改变，连接．若点Q恰好落在的边上，直接写出的长． 【答案】[操作二]等边三角形，；[操作三]，见解析；[操作四]或 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据正方形的性质求线段长、勾股定理与折叠问题、等边三角形的判定和性质 【分析】[操作二]由题意得为正方形的对称轴，得出，，，，，由折叠的性质可得，从而推出，即可得出为等边三角形，得到，由勾股定理得出的长即可得解； [操作三]连接，由题意得为正方形的对称轴，得出，，由折叠的性质可得，，证明得出，设，则，，由勾股定理得：，求出的值即可得解； [操作四]分两种情况：当点在上时；当点在上时；分别利用正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形求解即可得出答案． 【详解】解：[操作二]由题意得：为正方形的对称轴，， ，，，，， 由折叠的性质可得， ， 为等边三角形， ， ， ； [操作三]，证明如下： 如图，连接， ， 由题意得：为正方形的对称轴， ，， 由折叠的性质可得，， ， ， ， ， 设，则，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ，， ； [操作四] 如图，当点在上时， ， 在正方形中，，， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ； 如图，当点在上时，   ， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 26．（2025·山东日照·一模）综合与实践 [问题背景]： 如图1，在四边形中，，，，连接，，过点作于点，且． （1）求证：． [操作探究]： 如图2，将沿直线方向向右平移一定距离，点，，的对应点分别为点，，，且点与点重合． （2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由； ②求出平移的距离． [拓展创新]： 如图3，在（2）的条件下，将绕点按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边，交于点，． （3）当时，请求出的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①四边形为菱形，理由见解析；②；（3） 【知识点】证明四边形是菱形、利用平移的性质求解、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平移、旋转的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用“”证明，即可得到结论； （2）①根据平移的性质和菱形的判定即可求解； ②先证明，由相似三角形的性质得到，再由勾股定理求出长度，即可求解； （3）先证明，再通过三角形的面积求出的长，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴；     （2）①四边形是菱形． 理由：由平移的性质，得，． ∴四边形是平行四边形． 由（1），得． ∴四边形是菱形； ②∵， ∴． ∴， 在中，． ∴，解得． ∴平移的距离为； （3）解：∵， ∴，． ∵， ∴，， 由旋转得， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 由旋转的性质，得，． 设，则． 在中，根据勾股定理，．解得． ∴． 27．（2025·广东汕头·一模）综合与实践 【动手操作】将一张矩形纸片按如下步骤折叠： 第一步：在矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形沿折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：如图3，折出内侧矩形的对角线，并把折到处． (1)求的值； 【类比操作】 (2)在第二步的基础上，把沿着对折得到，请利用图2画出相应的图形，并求证：的延长线经过点C． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握矩形的性质和翻折的性质是解题的关键． （1）设，利用矩形的性质和翻折的性质表示出、的长，即可求解； （2）先根据题意画出相应的图形，令的延长线交于点G，连接，由折叠可知，，推出，进而证出四边形是平行四边形，得到，则点G与点C重合，即可证明． 【详解】（1）解：设，则． ∴，． 在中，， ∴． 由折叠可知， ∴． ∴． （2）解：画出相应的图形如图： 证明：令的延长线交于点G，连接． 由折叠可知，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴点G与点C重合，即的延长线经过点C． 28．（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践． 【主题】用三角形纸片折菱形． 【素材】一张锐角三角形纸片ABC，如题图1． 【要求】以三角形的一个内角作为菱形的一个内角． 【实践操作】 步骤：如图，折叠三角形纸片，使边和边重合，折痕与原相交于点； 步骤：如图，继续折叠折痕，使顶点落到折痕上的点处，折痕与原相交于点； 步骤：如图，展开三角形纸片，两次折痕，相交于点，连接，． 【证明计算】 (1)如图4，求证：四边形是菱形； (2)若，，以为菱形的一个内角，如何折菱形，才能折出一个面积最大的菱形？当菱形面积最大时，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是菱形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）根据折叠性质及菱形的判定即可证明； （2）由四边形是菱形，得，，，从而得，进而得当最大时，菱形面积最大，即以的角平分线为菱形的对角线折叠时，所折叠菱形的面积最大，利用菱形的性质及相似三角形的判定及性质可得菱形面积最大时，菱形的边长． 【详解】（1）证明：由折叠可得， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴， ∴当最大时，菱形面积最大，即以的角平分线为菱形的对角线折叠时，所折叠菱形的面积最大， 如图， ∵ ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴，即， ∴， ∴菱形面积最大时，菱形的边长． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定及性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，三角函数的应用，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的判定及性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 29．（2025·吉林·一模）图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，经过格点A，B、C． (1)操作： 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． 步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可） 步骤二：在图1中画的切线． 步骤三：图2中，点D为与网格线的交点，在上画点F，使F是的中点． (2)探究： ①求的长度（结果保留π）． ②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接与交于点N，连接．直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】勾股定理与网格问题、垂径定理的推论、确定圆心(尺规作图)、求弧长 【分析】本题考查圆与网格作图，勾股定理与网格，求弧长； （1）步骤一：在图1、图2、图3中连接，则中点即为圆心O． 步骤二：取圆心右边4格的格点，则，，此时，即为的切线． 步骤三：图2中，连接，根据和竖直方向距离2格得到与中间横线的交点即为线段中点，连接并延长与交点即为，根据垂径定理可得F是的中点． （2）①由图2可得，是等腰直角三角形，则， ，根据F是的中点得到，再求出半径，即可求出的长度； ②连接，则、、三点共线，设与交于点，连接，先证明为等腰直角三角形，再在中求出，最后在中求出． 【详解】（1）解：圆心O，切线，使F是的中点，如图所示： （2）解：①由图2可得，是等腰直角三角形，则， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵半径， ∴的长度为； ②连接，则、、三点共线，设与交于点，连接， 由图可得，，，， ∴， ∴， ∴． 30．（2025·广西·一模）【综合与实践】 【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性． 素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点． 素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形． 【特例感知】 （1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）； （2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________； 【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤： 第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，； 第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处； 第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形． 小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形． 【问题解决】 （3）请你证明小军的上述结论是否正确； （4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明． 【答案】（1）小军选的高跟鞋送给妈妈是合适的；（2）；（3）小军的结论正确，见解析；（4）见解析 【知识点】黄金分割、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、二次根式的混合运算 【分析】（1）如图，计算，，结合选择范围为：，可得答案； （2）由，可得，进一步可得答案； （3）证明，可得，，证明即可； （4）求解正方形的面积为，求解，可得矩形为，可得结论． 【详解】解：（1）如图， ∵小军妈妈的身高是，下半身长．小军选择高跟鞋， ∴，， ∴，， ∵误差在范围内符合题意， ∴选择范围为：， ∴小军选择高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果； （2）∵在黄金矩形中，长， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）∵由对折可得：四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∴，， ∴， ∴矩形为黄金矩形； （4）∵正方形，， ∴正方形的面积为， ∵矩形，， ∴， ∴矩形为， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，矩形的性质，黄金矩形的含义，二次根式的混合运算，理解题意是关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$