第7章 相交线与平行线(限时训练)-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(人教版2024 河北专用)

补全条形图如图所示， 所以∠DOE=∠COF=70. 嗣杏结果条形图 2.解：因为∠2=2∠，所以∠1=2∠2. 人数 251 20 因为∠3=3∠2，∠1+∠2+∠3=180，所以号∠2+∠2+ 15 10 3∠2=180°， 解得∠2=40，所以∠3=3∠2=120， 0 B 选项 所以∠D)E=∠3=120 7.1.2两条直线垂直(1)】 8102×100=570c名 1.解：因为OE⊥AB, 答：该校学生中每天健身活动总时长不低于1小时的约为 所以∠AOE=90 570名. 因为∠A(0C=∠B)D=45. (4)该校学生健身时间誉遍较短，建议增加健身时间，增强自 所以∠(COE=∠AOE+∠AOC=90°+45°=135. 身体质.（答案不雌一） 2.解：(1)因为EO⊥AB.所以∠AOE=90 【变式训练2】解：(1)1814 因为∠BO=120°， (2)根据(1)求出的b的值，补全频数分布直方图如图所示. 所以∠AOC=180°一∠BOC=60°， 频数 所以∠COE=∠AOC+∠AOE=60°+90°=150°. 20-==---=------ (2)因为EO⊥AB,所以∠AOE=90 16 因为∠E0D=50°， 12 所以∠AOD=∠A(OE+∠EOD=90°+50°=140°， 所以∠BOC=∠AOD=140, 所以““中的数字是140. 7.1.2两条直线垂直(2) 0W00708090100成绩 L.解：因为OF⊥CD,∠OF=54°， 所以∠D0E=90°-54°=36 (31200×14+12=520(人. 60 又因为OE平分∠BOD, 答：“优秀”等级的大约为520人， 所以∠BOD=2∠DOE=72°，所以∠AOC=72 【通模拟】 因为∠COF=90°，所以∠AOF=90°+72°=162 1.C2.C3.A4.25% 2.解：(1)160画图路. 5.解：(1)2 (2)如图①所示，当OE在AB上方时， 72 (2)抽取学生为80÷360 =400(人)， 因为OE⊥OD,所以∠DOE=90. 因为∠BOD=a, 400×16%=64(人). 所以∠A0E=180°-90°-g=90°-a. 故参加“3D打印"兴趣班的同学有64人 (3360*×400-120-64-80-40=86.4. 400 答：参加“无人机”兴趣班所在扇形的圆心角的度数为86.4 【通中考】 6.A 综合与实践白昼时长规律的探究 2 1.B2.D3.B4.小寒 如图②所示，当OE在AB下方时， 限时训练 因为OE⊥OD,所以∠D)E=90,因为∠BOD=a, 所以∠A0E=180°-(90°-a)=90°+4. 7.1相交线 综上所述：∠AOE=90°+a或90°-a. 7.1.1两条直线相交(1) 7.1.3两条直线被第三条直线所截 1.解：根据图示知，∠AOC=∠BOD,即2x=(x十30)°， 1.解：(1)正确. 解得x=30, (2)错误，与∠D互为同旁内角的角有∠C和∠E 所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-2×30°=120 (3)正确. 2.解：(1)8 2.解：题图①中，∠1和∠2是DC,AB两条直线被直线BD所 (2)因为OA平分∠EOC, 哉形成，它们是内错角： 所以∠A0C=∠B0C=号×80=40， ∠3和∠4是AD,BC两条直线被直线BD所截形成，它们是 所以∠BOD=∠A(0C=40°， 内错角. 7.1.1两条直线相交(2) 题图②中，∠1和∠2是DC,AB两条直线被直线BC所截形 1.解：因为∠AOE=40°，所以∠AOF=180°-∠AOE=140°. 成，它们是同旁内角： 因为0X平分∠A0F,所以∠COF=号∠A0F=70, ∠3和∠4是AD,BC两条直线被直线AE所截形成，它们是 同位角。 33 7.2平行线 ∠DCP=180°-∠CPN=180°-150°=30°. 7.2.1平行线的概念 .∠BCP=∠BCD-∠DCP=50°-30°=20° 1.解：(1)如图所示，过直线a外的一点B画直线a的平行线， 2.解：过点B作BF∥AE,如图所示，，CD∥AE 有且只有一条直线与直线a平行. ,.BF∥AECD. (2)过点C画直线：的平行线，它与过点B的平行线平行.理 .∠BCD+∠CBF=180°. 由如下：如图所示，因为b∥ac∥a,所以c∥h. ,BA⊥AE,.∠BAE=90° .∠ABF=90°， ∴.∠ABC+∠BCD=∠BCD+∠CBF+∠ABF=180°+ 90°=270°. C D 2.解：(1)(2)如图所示. (3)11与1：相交形成的角有4个：∠1，∠2，∠3，∠4：∠1= ∠3=∠(0，∠2（∠4）十∠0=180°，所以1，和1：相交形成的 角与∠O相等或互补 7.2.3平行线的性质(2) L,解：把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D 重合，点A落在点G处， .∠G=∠A=90',∠GDE=∠B=90 .∠DFG=70°， ,∴.∠GDF=90°-∠DFG=90°-70°=20° 7.2.2平行线的判定(1) .'∠GDE=∠FDC=90°， ∴.∠FDE=90-∠GDF=70 1.解：∠1=115，∠3=115， .AD//BC. ∴∠1=∠3， ∴a∥c(同位角相等，两直线平行)， .∠DEC=∠FDE=70, ∠2=65°，∠3=115. ∠DEB=10,由折叠，∠BEF=名∠DEB=55 ∴.∠2+∠3=180， 2.解：如图所示，由折叠的性质，可得∠3=∠1=10°， ,,b∥e(同旁内角互补，两直线平行) .6(平行于同一条直线的两条直线平行). 2.解：，'∠COF+∠C=180°， ∴.EFCD. B ∠C=∠B, ..AB//CD. ,纸带对边互相平行，，∠4=∠1十∠3=20°. ∴，ABEF ,AC∥BD, 7.2.2平行线的判定(2) .∠EBD=180°-∠4=160°： 1.解：AB⊥BC,BC⊥CD. 又：CD∥BE, .∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义）. ∴.∠2=180°-∠EBD=180°-160°=20 ,∠1+∠EBC=90°，∠2+∠BCF=90° 7.2.3平行线的性质(3) 义：∠1=∠2（已知）. 1.解：B点在A点的北偏东50°，C点在B点的北偏西20， .∠EBC=∠BCF(等式的性质)， .∠ABC=180°-50°-20°=110°. .BE∥CF(内错角相等，两直线平行). ,CD∥AB.∴∠BCD=∠ABC=110°. 2.解：，CD⊥AB(已知)， 2.解：(1)CD∥AB,∠D=110, .∠1+∠EDC=90(垂直的定义). .∠BOD=∠D=110°. ,∠1+∠2=90（已知）， OE平分∠BOD, .∠EDC=∠2（同角的余角相等）， ,DE∥BC(内错角相等，两直线平行) ∠D0E=号∠B0D=5 7.2.2平行线的判定(3) (2)OF平分∠AOD.理由如下： I.解：∠AME=∠DNF, 'OF⊥OE, ∠AME+∠AMN=∠DNF+∠DNM=18O, .∠FOE=90 .∠AMN=∠DNM. ..∠D0F=90°-55=35 又，MP平分∠AMF,NQ平分∠END :∠AOD=180°-∠BOD=70, ∠PMN=号∠AMN,∠QNM=1 ∠DNM, ∴.∠A0F=70°-35=35°， ∠AOF=∠DOF,∴.OF平分∠AOD. .∠PMN=∠QNM..MP∥NQ 7.2.3平行线的性质(4) 2.解：∠1=78°，∠2=102"， 1.解：∠1=70°，∠D=70°，.∠1=∠D. .∠1+∠2=180°， .AB∥CD. .BD∥CE, :∠2=55，∴∠AED=55 ·∠C=∠ABD 又：AE∥BC,∴∠C=∠AED=55 又，∠C=∠D, 2.解：过点B作BGCD,过点A作AFOE,如图所示 ∴.∠D=∠ABD,.ACDF. ,“AO LOE.∴.∠AOE=90 7.2.3平行线的性质(1) ,AF∥OE,.∠OAF=90 1.解：，ABCD∥PN,.∠BCD=∠ABC=50°， ,∠BA0=138",,∠BAF=138°-90°=48. 34 'BGCD.AF∥OE,CDOE.∴.BG∥AF, 7.4平移(2)】 .∠ABG=∠BAF=48 L.解：由题意得abe,ab.∴∠1+∠2=180. ∠BCD=154°. ∠1=70°，∴∠2=110 .∠CBG=180°-154=26°.∴.∠ABC=∠ABG+∠CBG= :∠ABC=140°， 48°+26=74. .∠4=∠ABC-∠2=30.b∥，∴.∠3=∠4=30. 2.证明：，线段CD是由线段AB平移得到的 ∴.AB∥CD,AD//BC, .∠A+∠B=180°，∠A十∠D=180° ∠B=∠D 0 7.3定义、命题、定理(1) 8.1平方根(1) 1.解：(1)（±0.9）2=0.81 1.解：(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 命题的题设：两个数的绝对值相等：结论：这两个数相等. ∴.0.81的平方根是士√0,81=士0.9. (2)这个命题是假命题 e(±)》-0 反例：6=一61，但6≠一6，是假命题 2.解：(1)如果AD∥BC,∠B=∠C,那么AD平分∠EAC: “品的平方根是±，层=±是 9 如果AD∥BC,AD平分∠EAC,那么∠B=∠C: 如果∠B=∠C,AD平分∠EAC,那么AD∥BC (3)(±11)2=121. (2)如果AD∥BC,∠B=∠C,那么AD平分∠EAC ∴.121的平方根是士√121=士11. 证明：，AD∥BC, (4)√8I=9, .∠DAE=∠B,∠DAC=∠C. ,(士3)2=9 :∠B=∠C,.∠DAE=∠DAC, ∴.√8I的平方根是士√何=士3. AD平分∠EAC.(答案不唯一) 2.解：：-100(x-1)2=(-4)2, 7.3定义、命题、定理(2) 1.解：(1)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那 -1 么这两条直线互相平行 r-1-言或x-1-专解得x-号或-号 (2)b⊥1ab 证明：如图所示.：a⊥1，b⊥1（已知），∠1=∠2=90（垂直 8.1平方根(2) 的定义)， 1.解：(1)，A=62x有平方根， .a%(同位角相等，两直线平行). .6-2x≥0， 解得r3. (2),a+1和2a一7是实数A的平方根， ∴.Da+1+2a-7=0,②4+1=2a-7, 解得a=2或a=8, 则a十1=3或a+1=9.那么A=9或81. 2.解：(1)可以构造3个命题 2.解：(1)数m的两个不相等的平方根为a+2和3a一18， 命题1：如果ABCD,∠B=∠C,那么∠E=∠F .(a+2)+(3a-18)=0, 命题2：如果ABCD,∠E=∠F,那么∠B=∠C .4a=16. 命题3：如果∠E=∠F,∠B=∠C,那么ABCD 解得a=4, (2)构造的3个命题都是真命题 (2)a+2=4+2=6,3a-18=3×4-18=-6, 命题1： ,.m=(士6)2=36，.m的值是36. 证明：：AB∥CD,∴∠B=∠CDF. 8.1平方根(3) ∠B=∠C,∴∠CDF=∠C.∴ACBD, 1.解：(1)x=4,y=25. ,,∠E=∠F,(答案不唯一) (2),:是4的算术平方根 7.4平移(1) g=2, 解：(1)如图所示，△DEF即为所求. ∴.2x+y-5=2×4+25-5×2=23. sr- 0-- - 2.解：1=1分米=0.1m,=2×3.14×10 0.=6.28×10 0.628(秒). 答：小重物来回摆动一次所用的时间是0.628秒， 8.1平方根(4) 1.解：：(2-a)2+b-1=0, .2-4=0,b-1=0, (2)AD∥CF,AD=CF .a=2,b=1, (3)如图所示，CG即为所求 .a十2b=4. :4的算术平方根是2， (4)S=2X(2+4)X4-2×4×1-2×2X3=7 ∴.a十2h的算术平方根为2. ,△ABC的面积为7. 2.解：设长方形的宽为xm,则长为4xm, 35建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.1相交线 7.1.1两条直线相交(1)（答案P33) 1.如图所示，已知直线AB,CD相交于点O,如果∠AOC=2x°，∠BOD=(x十30)°，求∠AOD 的度数. 2.如图所示，直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC. (1)请你数一数，图中有 个小于平角的角. (2)若∠EOC=80°，求∠BOD的度数. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.1.1两条直线相交(2)（答案P33) 1.如图所示，直线CD与EF交于点O,OC平分∠AOF,若∠AOE=40°，求∠DOE的度数. 2.如图所示，已知直线AB,CD,EF相交于点O,∠2=2∠1，∠3=3∠2，求∠DOE的度数. 一七年级下历数学可北空市 1》 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.1.2两条直线垂直(1)（答案P33) 1.如图所示，直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB,已知∠BOD=45°，求∠COE的 度数 45 2.(2024·廊坊月考)如图所示，直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠BOC= (1)若“”表示120，求∠COE的度数， (2)若求得∠EOD=50°，则“”中的数字是多少？ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.1.2两条直线垂直(2)（答案P33 1.如图所示，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF⊥CD,垂足为O,若∠EOF=54°.求 ∠AOF的度数. 2.(2024·北京昌平区期末)如图所示，点O在直线AB上，∠BOC=40°，射线OD在∠BOC内部. (1)如图①所示，当∠BOD=∠COD时，用量角器画出射线OD,则∠AOD的度数 为 (2)如图②所示，当∠BOD=a时，OE⊥OD,垂足为点O,求∠AOE的度数（用含α的式子表示）. D 《2》 优+学帝·课时细 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.1.3两条直线被第三条直线所截（答案P33) 1.如图所示，在一个凹型图形中，下列说法都正确吗？如果不正确，请加以更正 (1)∠H与∠A是同旁内角，∠H与∠G是内错角. (2)与∠D互为同旁内角的角只有∠C (3)图中没有同位角. 2.抽象能方如图所示，∠1和∠2，∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成？它们各 是什么位置关系的角？ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.2 平行线 7.2.1平行线的概念（答案P34) 1.如图所示，直线a,点B,点C (1)过点B画直线a的平行线，能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？ 2.如图所示，在∠AOB内有一点P. (1)过P画11OA. (2)过P画lOB (3)用量角器量一量11与12相交形成的角与∠O的大小有怎样的关系？ B 04 一七年级下历数学可北空司 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.2.2平行线的判定(1)（答案P34) 1.(2024·衡水月考)如图所示，直线a,b,c被直线1所截，量得∠1=115°，∠2=65°，∠3= 115°，试说明：ab. 2.如图所示，已知∠COF+∠C=180°，∠C=∠B.说明AB∥EF的理由. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.2.2平行线的判定(2)（答案P34) 1.推理能方已知：如图所示，AB⊥BC,BC⊥CD且∠1=∠2，试说明：BE∥CF. 2.如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于点D,E是AC上一点，且∠1十∠2=90°. 试说明：DE∥BC. 优+学帝·课时细 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.2.2平行线的判定(3)（答案P34) 1.如图所示，直线AB,CD与直线EF分别相交于点M和N,MP平分∠AMF,VQ平分 ∠END,∠AME=∠DNF,试说明：MP∥NQ. 2.如图所示，∠1=78°，∠2=102°，∠C=∠D.试说明：AC∥DF. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.2.3平行线的性质(1)（答案P34) 1.如图所示，已知AB∥CD∥PN,∠ABC=50°，∠CPN=150°，求∠BCP的度数. 2.模型观念如图所示是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱BA垂直地面AE于点A,当栏 杆达到最高高度时，横栏CD∥AE,求∠ABC十∠BCD的度数. C D 2 一七年夏下历数学可北有司 5 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.2.3平行线的性质(2)（答案P34) 1.如图所示，把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处， ∠DFG=70°，求∠BEF的度数. 2.如图所示，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB,CD,若CD∥BE, ∠1=10°，求∠2的度数. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.2.3平行线的性质(3)（答案P34) 1.如图所示，某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建.已知现有水渠从A地沿 北偏东50°的方向到B地，又从B地沿北偏西20°的方向到C地.现要从C地出发修建一段 新渠CD,使CD∥AB,求∠BCD的度数. 北 50 2.如图所示，CD∥AB,点O在AB上，OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=110° (1)求∠DOE的度数. (2)OF平分∠AOD吗？请说明理由. 《6 优+学帝·课时细 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.2.3平行线的性质(4)（答案P34) 1.如图所示，已知∠1=70°，∠2=55°，∠D=70°，AE∥BC,求∠C的度数. 2.如图所示为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架AO与底座OE垂直，支架AB,BC 为固定支撑杆，当灯体CD与底座OE平行时，∠BAO=138°，∠BCD=154°，求∠B的 度数. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.3定义、命题、定理(1)（答案35） 1.(2024·那台月考)命题：绝对值相等的两个数相等 (1)请将上述命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出这个命题的题设与结论 (2)判断这个命题是真命题还是假命题. 2.如图所示，有如下三个论断：①AD∥BC:②∠B=∠C;③AD平分∠EAC. (1)请从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题. 试用“如果…那么…”的形式写出来.（写出所有的真命题，不用说明理由） (2)请你在上述真命题中选择一个进行证明. 一七年级下历数学可北空司 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.3定义、命题、定理(2)（答案P35) 1.命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 (1)请将此命题改写成“如果…那么…”的形式： (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）. 已知：如图所示，a⊥1， 求证： 2.如图所示，现有以下三个条件：①AB∥CD;②∠B=∠C;③∠E=∠F.请你以其中两个作 为题设，另一个作为结论构造命题. (1)可以构造多少个命题？分别是什么？ (2)你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是 假命题，请举出反例.（证明其中的一个命题即可） 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.4平移(1)（答案P35) 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC三个顶点的位置如图所示， 现将△ABC平移，使点A与点D重合.点E,F分别是点B,C的对应点， (1)请画出平移后的△DEF. (2)连接AD,CF,则这两条线段之间的关系是 (3)画出△ABC的中线CG. -r--1--c--1- (4)求△ABC的面积. - ---★- 《8 优+学溶·课时溜一 建议用时10分钟，实际用时 分钟 7.4平移(2)（答案P35) 1.如图所示，∠ABC=140°，∠1=70°，将直线a平移后得到直线b,直线b经过点B,再将直线 b平移得到直线c.求∠3的度数. b 2.如图所示，将线段AB平移至线段CD,使得A与D对应，B与C对应，连接AD,BC. 求证：∠B=∠D, 建议用时10分钟，实际用时 分钟 8.1平方根(1)（答案P35) 1.求下列各数的平方根： (1)0.81； (2)9 6: (3)121: (4)81. 2.求等式-100(x一1)2=（一4）3中x的值. 一七年级下历数学可北空市 9》