数学活动&特色素养专题1 跨学科专题-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(人教版2024 河北专用)

数学活动（答案P7) 活动1国你有多少种画平行线的方法 【折平行】现有一张长方形纸片ABCD,小明和 1.学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直 小丽分别作平行线 线m外一点P画这条直线的平行线的新方 小明：如图③所示，折出BD,展平后再折叠纸 法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到 片，使点A,C分别落在BD所在直线上的点 的，如图①一①所示.请你观察图①一①，完成 A',C处，展平纸片，得到折痕BM,DN. 下面的填空题和选择题， 小丽：如图④所示，将边MC折至MC‘处，再将 第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕AB 边AD折至A'D'处，使得MC'和A'D'在一条 与直线m之间的位置关系是 直线上，展平纸面，得到折痕MN,EF. 将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③ 所示，得到的折痕CD与第一次折痕之间的位 置关系是 再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次 3 折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线 【证平行】(3)小明发现BM∥DN,小丽发现 m的平行线.从图中可知，小龙画平行线的依 MN∥EF,请你选择一个证明 据有 ①两直线平行，同位角相等：②两直线平行，内 错角相等；③同位角相等，两直线平行：④内错 角相等，两直线平行。 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 2.平行的思考 【画平行】(1)在图①所示的方格纸中，过点P 画直线1，使得(1∥AB,说明所画l1∥AB的理 由.（限用没有刻度的直尺） 活动2设计窗格图案 3.在下列图案中，可以由一个基本图形通过平移 得到的是( ① 【作平行】(2)如图②所示，过P作l2∥AB.(限 用圆规和没有刻度的直尺，保留作图痕迹，不 必写出作法和理由) 一女年望：下能数学划通专用 33 特色素养专题一跨学科专题（答案？） 1.如图所示，推动水桶，以点O为支点，使其向右 倾斜.若在点A处分别施加推力F1,F2,则F 的力臂OA大于F,的力臂OB.这一判断过程 体现的数学依据是( A.垂线段最短 第4题图 第5题图 B.过一点有且只有一 5.某些灯具的设计原理与抛物线有关.如图所 条直线与已知直 示，从点O照射到抛物线上的光线OA,OB等 线垂直 反射后都沿着与POQ平行的方向射出.若 C.两点确定一条直线 ∠AOB=150°，∠OBD=90°，则∠OAC的度 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直 数为( 线平行 A.30 B.40° C.60 D.80 2.(2024·沧州任丘一模)如图所示，一束光线与 6.如图①所示，汽车前灯的反光装置相当于凹面 水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB 镜，有了它，射出的光可看作平行光.现对此进 上支放一个平面镜CD,使这束光线经过平面 行逆向分析，如图②所示，两条平行光线11,1 镜反射后成水平光线射出（∠1=∠2），则平面 通过凹面镜反射后反射光线会聚于焦点F,。 镜CD与地面AB的夹角∠DCA的度数等 是过焦点F的一条辅助线，根据图中信息，下 于() 列判断错误的是( A.30°B.45 C.50° D.60 a ② 第2题图 第3题图 A.l1∥ B.l1∥l2 3.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所 C.L:// D.∠1=45 示，重力G的方向竖直向下，支持力F,的方向 7.教材P21习题7.2T14变式如图所示，潜望镜的 与斜面垂直，摩擦力F。的方向与斜面平行.若 两个镜片都是与水平面成45°角放置的，光线 斜面的坡角a=25°，则摩擦力F,与重力G方 水平射入，经镜子反射时，∠1=∠5，∠2= 向的夹角3的度数为() ∠6，求证：a%. A.155°B.125°C.115° D.65 4.光线在不同介质中的传播速度是不同的，当光 线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率 相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是 平行的，如图所示，若∠1=48°，∠2-158°，则 ∠3的度数为( A.70 B.100° C.110° D.120 优种学秦说的进4.解：如图所示 11.解：(1)，△DEF是由△ABC沿箭头方向平移得到的， ,.∠DFE=∠ACB=70° (2)△DEF是由△ABC沿箭头方向平移得到的， ..DF=AC=10 cm,BC=EF=6 cm, 。B ∴.BE=BC+CE=8cm, ∴B点移动的距离为8cm. 5.A解析：A.垂线段装短， 12.解：(1)证明：：DE平分∠ADC,∠ADE=∠2. 。平行四边形的另一边一定大于6m '∠1=∠2，.∠1=∠ADE,.ADBC. :2×(10+6)=32(m), (2)由(1)知AD∥BC, .周长一定大于32m,故符合题意 ,.∠A+∠B=180° B.周长=2×(10十6)=32(m),故不符合题意 又∠B=80°，∴.∠A=100° C.周长=2×(10十6)=32(m),故不符合题意. 13.解：(1)命题1：：ABCD,AMEN,∴∠BAM=∠CEN; D.周长=2×(10十6)=32(m),故不符合题意 命题2：，AB∥CD,∠BAM=∠CEN,∴.AM∥EN: 6.解：(1)如图所示，三角形DEF即为所求. 命题3：AM∥EN,∠BAM=∠CEN,∴.ABCD. (2)三角形ABC可先向右平移4个单位长度，再向下平移 (2)答案不唯一，如：证明命题1：，'ABCD,',∠BAE=∠CEA. 1个单位长度，或先向下平移1个单位长度，再向右平移4个 :AM∥EN,.∠3=∠4，.∠BAE-∠3=∠CEA-∠4， 单位长度，（答案不唯一） 即∠BAM=∠CEN. 数学活动 1.垂直垂直C 2.解：(1)如图①所示，直线11即为所求。 理由：如图①所示，取格点G,作直线PG,观察图形可知 AB⊥PG,PQ⊥PG,.PQ∥AB. 7.解：(1)CF∥BECF=BE (2)由平移可得：AD=BE, .CF=BE.CF=2BD.'.BE=AD=2BD. AB=AD+BD=3BD=6,..BD=2, 2 .AD=BE=4,∴，AE=AD+BE十BD=4十4十2=10. (2)如图②所示，直线1：即为所求 阶段检测二（7.2.3~7.4) (3)如题图③所示. 1.A2.A3.C4.B5.B6.B '四边形ABCD是长方形，∴.AB∥CD,,∠ABD=∠CDB 7.如果两数同号，那么这两个数的积是正数 由翻折可知，∠ABM=∠DBM,∠CDN=∠BDN, 8.80解析：如图所示，过点E作EF∥AB, .∠DBM=∠NDB,∴.BM∥DN AB//CD, G A 如题图④所示，设∠CMN=∠NMC'=x, ,.ABCD∥EF、 3 :∠C=∠D'=90°，∴∠D'FC=∠CMC'=2x. ∴.∠FEG=180°-∠1= :EB∥FC,EA'∥FD,.∠BEA'=∠CFD'=2x 30°，∠FEH=180°- D :∠A'EF+∠EFD'=180°， ∠2=70°， H ,.∠3=180°-∠FEG-∠FEH=80°， ∴号180-2z)+∠EFC+2z-180 9.12 .∠EFC=90°-x. 10.①②③④解析：如图所示，①∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90， ∠1=∠3，故①结论正确. :∠CNM=90°-x '∠EFC=∠CNM, ②：∠2=30°，÷∠1=90°-∠2=60°， ∴.MN∥EF ∴∠E=∠1=60°，.AC∥DE. 3.C 故②结论正确， ③∠2=45°，∠3=90°-∠2=45°， 特色素养专题一跨学科专题 ∴.∠3=∠B=45°，.BC∥AD.故③结论正确. 1.A2.A3.C ④∠4=∠C, 4.A解析：过折射点作CD∥AB,如图所示。 ∴.AC∥DE,∴.∠EFA+∠CAF=180°， ∠1=48°，∠2=158°， ∴∠EFA=90°，.∠2+∠E=90°， .∠1=∠ACD=48°， ,.∠2=90°-∠E=90°-60°=30° .∠DCE=158°-48°=110 故④结论正确」 .AB∥EF,ABCD, .EF//CD. ∠DCE+∠CEF=180, .∠CEF=180°-110°=70 'CE∥DF, .∠3=∠CEF=70. 5.C 6.D解析：如图所示，由题意，得 ∠c0E=7∠B0E=号×138=69， 1 11,故A正确. ,'∠DCF=∠CFE ∴∠A0D=180°-∠A0E-∠C0E=180°-42°-69° .l12,故B正确. 180°-111°=69° l2l,故C正确 (2)OE⊥OF,理由如下： ,∠EFB不一定等于45°， 设∠DOF=x,∠COE=y,则∠AOE=2x,∠BOE=2y. .∠1不一定等于45，故D错误 :∠AOE+∠BOE=180°， 7.证明：：潜望镜的两个镜片都是与水平面成45°角放置的， .2x+2y=180°， .∠1=∠2. .x+y=90°，即∠DOF+∠COE=90° ∠1=∠5，∠2=∠6， :∠EOF+∠DOF+∠COE=180°， ∴∠1=∠5=∠2=∠6，∴.∠3=∠4，a/6 .∠EOF=90°， 本章综合提升 ∴.OE⊥OF. 【本章知识归纳】 【例3】解：存在.分三种情况： 1.(1)互补相等(2)①唯一②最短2.(1)F(2)Z 如图①所示，AB与CD在EF的两侧时， (3)U3.不相交4.有且只有5.(1)相等(2)相等 .∠BAF=110°，∠DCF=60°， (3)互补(4)平行(5)平行6.(1)相等(2)相等 ∴∠ACD=180°-60°-(3)°=120°-(3)°，∠BAC=110°-t° (3)互补 要使AB//CD,则∠ACD=∠BAC, 7.(1)完全相同(2)平行相等8.关键顺次9.判断 即120°-3t°=110°一t°，解得t=5. 10.(1)已知(2)推出11.(1)成立证明(2)一定成立 此时(180°-60)÷3=40，.0<1<40. 举反例 如图②所示，CD旋转到与AB都在EF的右侧时 【思想方法归钠】 ∠DCF=360°-(3)°-60°=300°-(3)°，∠BAC=110°-t°， 【例1】解：如图所示，将黑条平移到边缘，则白色部分的边长为 要使AB∥CD,则∠DCF=∠BAC, 1.8-0.2×2=1.4(米)， 即300°一(3t)°=110°-t°，解得t=95. 白色部分的面积为1.4×1.4=1.96（平方米）. 此时(360°一60)÷3=100，.40<t<100. 如图③所示，CD旋转到与AB都在EF的左侧时， ∠DCF=(3t)°-(180°-60°+180)=(3)°-300°， ∠BAC=t°-110°， 要使AB∥CD,则∠DCF=∠BAC, 即(3t)°-300°=t°-110°，解得t=95,此时t>110, 95<110..此情况不存在. 综上所述，4为5秒或95秒时，CD与AB平行. E E 【变式训练1】解：如图所示，利用平移，把楼梯横竖向上向左平 移，构成一个长方形，长、宽分别为6米，4米， ,∴，地毯的长度为6+4=10（米），地毯的面积为10×2 20(平方米)， .买地毯至少需要20×40=800（元） D 【变式训练3】解：根据题意，‘秒后，PM转过(3)°，QN转过 (2t)°， 如图①所示，当PA∥QB时， 6米 【例2】解：(1)：∠AOC=40°， .∠AOD=180°-∠AOC=140° 则∠APM=∠BQM=180°-∠NQB,即31=180-2t, OE平分∠AOD, 解得1=36： ∠D0E=号∠A0D=70 如图②所示，当PC∥QD时， D (2)∠AOE:∠BOD=7:4, .设∠AOE=7x,∠BOD-4x. OE平分∠AOD, ∴.∠AOD=2∠AOE=14x. ∠AOD+∠BOD-180°， 则∠CPQ=∠PQD=180°-∠NQD,即3t-180=180-2t. .14x十4x=180°， 解得t=72: ∴.x=10°，.∠AOD=14x=140 如图③所示，当PE∥QF时， 【变式训练2】解：(1)：∠FOD=21°，∠AOE=2∠FOD, .∴.∠AOE=42°， .∠B0E=180°-∠A0E=180°-42°=138. :OC平分∠BOE, 3 8