精品解析：山东省青岛市即墨区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中诊断性测试七年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右．将0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. B. C. D. 4. 下列成语所描述的事件中是必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 只手遮天 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 5. 已知，则的余角比的补角少（ ） A. B. C. D. 6. 如图，不能判定AB∥CD的是（ ） A. ∠B＝∠DCE B. ∠A＝∠ACD C. ∠B+∠BCD＝180° D. ∠A＝∠DCE 7. 正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是（　　） A B. C. D. 8. 若，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由x的取值而定 9. 如图，直线，于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C、D的对应点分别为、．若，用含的式子可以将表示为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共．6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：_____． 12. 用力转动如图所示的甲转盘和乙转盘，甲转盘转到阴影部分的概率___________乙转盘转到阴影部分的概率．（填“>”、“<”或“=”） 13. 小明同学抛一枚硬币10次，其中8次正面朝上，2次反面朝上，则第11次抛正面朝上的概率为___________． 14. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时、会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若，则与的度数和是___________°． 15. 已知，则___________． 16. 如图，直线，点在上，点在上，点在，之间，和的角平分线相交于点的角平分线交的反向延长线于点．则下列结论： ①； ②； ③若，则； ④． 其中正确的是___________．（只填写序号） 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：直线，点是直线外一点．求作：直线，使经过点，且． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）（用乘法公式计算）． 19 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，该菜商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“铅笔”的次数 68 144 207 414 落在“铅笔”的频率 （1）计算并完成表格； （2）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是___________．（结果保留小数点后一位） 21. 已知：如图，，．求证：． 证明：因为， 根据___________， 所以______________________， 根据___________， 所以． 因， 所以， 即， 根据___________， 所以______________________， 根据___________， 所以． 22. 如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个而标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． （1）任意掷这枚骰子，掷出“6”的概率是多少？ （2）任意掷这枚骰子，掷出“3的倍数”的概率是多少？ （3）任意掷这枚骰子，掷出“奇数”和掷出“偶数”的概率哪个大？ 23. 某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一座长方形健身广场，其设计方案及数据如图所示．已知广场内区为长方形的成年人活动场所，区为圆形的儿童活动场所，其余地方为绿化带． （1）求绿化带面积； （2）求整座健身广场的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 24. 如图，已知，，，分别为垂足，是上一点，且 （1）试判断与有怎么的位置关系？说说你的理由； （2）若，求的度数． 25. 数形结合是重要的数学思想和方法，许多等式可以用图形解释．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． 【初步应用】 （1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法1：___________；方法2： ___________； （2）请写出代数式这三个代数式之间的等量关系：___________ 【拓展延伸】 （3）若，则的值为___________ 【类比迁移】 （4）如图③，它验证等式为___________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中诊断性测试七年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘除，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘除的运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算正确，符合题意； 故选：D． 2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右．将0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：将0.00003用科学记数法表示为 故选：C 3. 下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短解题． 【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； C中能用垂线段最短进行解释，符合题意； D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意； 故选：C． 4. 下列成语所描述事件中是必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 只手遮天 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握确定事件和随机事件是解题的关键．根据事件的分类逐项分析即可判断． 【详解】解：A、旭日东升是必然事件，符合题意； B、只手遮天是不可能事件，不符合题意； C、水中捞月是不可能事件，不符合题意； D、刻舟求剑是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 5. 已知，则的余角比的补角少（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查余角，补角，的余角为，补角为，计算即可解答． 【详解】解：∵的余角为，补角为， ∴． 即∠1的余角比∠1的补角少． 故选：C 6. 如图，不能判定AB∥CD的是（ ） A. ∠B＝∠DCE B. ∠A＝∠ACD C. ∠B+∠BCD＝180° D. ∠A＝∠DCE 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】解：由∠B＝∠DCE，根据同位角相等两直线平行，即可判断AB∥CD． 由∠A＝∠ACD，根据内错角相等两直线平行，即可判断AB∥CD． 由∠B+∠BCD＝180°，根据同旁内角互补两直线平行，即可判断AB∥CD． 故A，B，C不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7. 正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的面积的比值即可解决问题； 【详解】∵由图可知，黑色方砖2块，共有9块方砖， ∴黑色方砖在整个地板中所占的面积的比值＝， ∴米粒停在黑色区域的概率是． 故选B． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 8. 若，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由x的取值而定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可． 【详解】解：， ， ∵ ， ， ∴． 故选：A． 9. 如图，直线，于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形构造平行线的辅助线是解题的关键．过点作，根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，得到，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 10. 如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C、D的对应点分别为、．若，用含的式子可以将表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质得，，再由平行线的性质得到，从而有，即可得出结果． 【详解】解：由长方形纸带ABCD及折叠性质可得：，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记折叠的性质． 第II卷 二、填空题（本大题共．6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了逆用积的乘方，有理数的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键． 将转化为即可． 【详解】解：， 故答案为：8． 12. 用力转动如图所示的甲转盘和乙转盘，甲转盘转到阴影部分的概率___________乙转盘转到阴影部分的概率．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】= 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．根据题意分别计算甲、乙转盘转到阴影部分的概率，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，甲转盘阴影部分的面积是甲转盘面积的， 甲转盘转到阴影部分的概率为， 同理，乙转盘转到阴影部分的概率为， 甲转盘转到阴影部分的概率=乙转盘转到阴影部分的概率． 故答案为：=． 13. 小明同学抛一枚硬币10次，其中8次正面朝上，2次反面朝上，则第11次抛正面朝上的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．根据抛硬币正面朝上与反面朝上出现的可能性即可求解． 【详解】解：抛一枚硬币，正面朝上与反面朝上出现的可能性相同， 其概率是这个事件本身属性，与抛掷次数无关， 所以抛正面朝上的概率为． 故答案为：． 14. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时、会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若，则与的度数和是___________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得，结合，计算即可， 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据平行线的性质，得， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 15. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解代数式的值，综合提公因式与公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，再整体代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为： 16. 如图，直线，点在上，点在上，点在，之间，和角平分线相交于点的角平分线交的反向延长线于点．则下列结论： ①； ②； ③若，则； ④． 其中正确是___________．（只填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】过点P作，得证．故①正确；同理可证，故②错误；设的交点为G，利用平行线的性质，解答即可． 【详解】解：过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故①正确； 同理可证，． ∵和的角平分线相交于点， ∴， ∴， ， 故②错误； 设的交点为G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的角平分线交的反向延长线于点． ∴， ∴, 则, 故③正确； ∵ ∴， ∴； ∵， ∴， ∵的角平分线交的反向延长线于点． ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴． 故④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，角的平分线应用，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：直线，点是直线外一点．求作：直线，使经过点，且． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握平行线的判定定理与尺规作角的方法是解题的关键．先过点作直线交于，然后根据尺规作角得到，即可得到直线． 【详解】解：如图所示，直线即为所求： 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）（用乘法公式计算）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据，解答即可； （2）根据多项式除以单项式的计算法则解答即可； （3）根据整式的乘除运算解答即可； （4）根据利用平方差公式解答即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式，多项式除以单项式；零指数幂，负整数指数幂，整式的乘法，熟练掌握相关公式及运算法则是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简与求值、平方差公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．先利用平方差公式和整式的运算法则化简，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 代入，原式． 20. 如图，该菜商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“铅笔”的次数 68 144 207 414 落在“铅笔”的频率 （1）计算并完成表格； （2）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是___________．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了频数、频率统计表、用频率估计概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据频数与频率之间的关系即可完成表格； （2）利用频率的稳定值估计概率即可． 【小问1详解】 解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 完成表格如下： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“铅笔”的次数 68 144 207 284 350 414 落在“铅笔”的频率 【小问2详解】 解：由表格得，落在“铅笔”的频率稳定在附近， 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是． 21. 已知：如图，，．求证：． 证明：因为， 根据___________， 所以______________________， 根据___________， 所以． 因为， 所以， 即， 根据___________， 所以______________________， 根据___________， 所以． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质与判定即可证明． 【详解】证明：因为， 根据同旁内角互补，两直线平行， 所以， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 因为， 所以， 即， 根据内错角相等，两直线平行， 所以， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，内错角相等． 22. 如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个而标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． （1）任意掷这枚骰子，掷出“6”的概率是多少？ （2）任意掷这枚骰子，掷出“3的倍数”的概率是多少？ （3）任意掷这枚骰子，掷出“奇数”和掷出“偶数”的概率哪个大？ 【答案】（1） （2） （3）掷出“偶数”的概率较大． 【解析】 【分析】本题主要考查概率知识，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的计算公式，先求出标有“6”的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （2）找到“3的倍数”的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （3）根据标有“偶数”的面数之和与总面数的比即可求得掷出“偶数”的概率和掷出“奇数”的概率，再比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个而标有“4”，5个面标有“5”，其余的而标有“6”． ∴标有“6”的面数为5面， ∴掷出“6”的概率是； 【小问2详解】 解：∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面， ∴掷出“3的倍数”的概率是； 【小问3详解】 解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”， ∴掷出“偶数”的概率是； ∴掷出“奇数”的概率是； ∵， ∴掷出“偶数”的概率较大． 23. 某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一座长方形健身广场，其设计方案及数据如图所示．已知广场内区为长方形的成年人活动场所，区为圆形的儿童活动场所，其余地方为绿化带． （1）求绿化带的面积； （2）求整座健身广场的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、整式四则运算的应用，理解题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据绿化带的面积健身广场的面积成年人活动场所的面积儿童活动场所的面积，即可求解； （2）分别计算健身广场的面积和成年人活动场所的面积，再将结果相除即可． 【小问1详解】 解：由题意得，绿化带的面积 ， 绿化带的面积为． 【小问2详解】 解：健身广场的面积， 成年人活动场所面积， ， 整座健身广场的面积是成年人活动场所面积的倍． 24. 如图，已知，，，分别为垂足，是上一点，且 （1）试判断与有怎么的位置关系？说说你的理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，判定； （2）根据得到，结合得到，判定，继而得到． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：与的位置关系为，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 数形结合是重要的数学思想和方法，许多等式可以用图形解释．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． 【初步应用】 （1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法1：___________；方法2： ___________； （2）请写出代数式这三个代数式之间的等量关系：___________ 【拓展延伸】 （3）若，则的值为___________ 【类比迁移】 （4）如图③，它验证的等式为___________ 【答案】（1）； （2） （3）52 （4） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，理解题意，利用图形的面积和边长的关系建立等量关系是解题的关键． （1）方法1：阴影部分面积为小正方形的面积；方法2：大正方形面积减去4个小长方形面积，即可解答； （2）利用（1）中两种不同的方法表示的是同一个图形的面积，即可得出答案； （3）根据绝对值和完全平方的非负性得到，，结合（2）中得到的等量关系即可求解； （4）分别用两种方法表示出长方形的面积，根据面积相等即可得出等式． 【小问1详解】 解：方法1： 由图②可得，阴影部分的面积是边长为的正方形的面积， 阴影部分的面积为； 方法2： 由图②可得，拼成的正方形边长为，每个小长方形的面积为， 阴影部分的面积为； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：根据阴影部分面积相等可得，． 故答案为：． 【小问3详解】 解：， ，， ，， ． 故答案为：52． 【小问4详解】 解：大长方形的面积为， 各个小长方形的面积之和为， 根据面积相等可得，， 验证的等式为． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$