精品解析：山东省青岛市市北区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题　

八年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明：本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中 ，是中心对称图形的是（ ） A. B.     C.     D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：、是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需要明确小于号对应的数轴表示规则，包括空心圆圈和方向． 【详解】解：在数轴上表示不等式的解集时，步骤如下： ①先找到数字对应的点， ∵是（不包含）， ∴在这个点画空心圆圈； ②再根据“小于向左”的原则，将空心圆圈左边的区域表示出来． A、是的表示，不符合题意； B、是的表示（实心圆点且向右），不符合题意； C、在处画空心圆圈，且向左表示，符合的解集表示，符合题意； D、是的表示（实心圆点且向左），不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题关键是掌握数轴的表示规则． 3. 如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查钟面圆心角的求法，解题的关键是知道钟面刻度将圆心角分为了12份． 将圆心角分为12份求出2份即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故选C． 4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作、的垂线交点为画射线，判断依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由垂线的定义可知和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据判定． 【详解】解：由题意可知，和都是直角三角形， 在和中， ， 满足斜边相等和一组直角边相等，因此， 故选：D． 5. 已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 6. 用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ） A. 两个锐角都大于45° B. 两个锐角都小于45° C. 两个锐角都不大于45° D. 两个锐角都等于45° 【答案】A 【解析】 【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 【详解】解：∵一个直角三角形有两个锐角， ∴用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°”时，应该假设两个锐角都大于45°  ． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况． 7. 如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点．分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时， ∵在矩形中，，，， ∴， 由折叠性质可得：，，，则点在上， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴，则， 如图，当时， ∴， 由折叠性质可得：， ∴四边形为正方形， ∴，则， 综上，或1， 故选．C． 8. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9 若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是不等式的基本性质，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；据此解答即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 10. 命题：“如果，那么”的逆命题是______．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题的概念，真假命题的概念，理解命题的相关概念是解决此题的关键；先根据题意交换题设和结论得到逆命题，再根据绝对值的概念得到结果即可； 【详解】解：由题意可知：逆命题为如果，那么， 绝对值相等的两个数，有可能相等也有可能互为相反数，故逆命题为假命题； 故答案为：假命题. 11. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成A，两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形相关性质求出对应边的长度． 连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故答案为：． 12. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象交点和一元一次不等式的问题的应用，数形结合思想是关键．结合图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可得：两直线的交点横坐标为， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 13. 如图，直角△ABC沿着点B到点C方向平移到△DEF的位置，AB=4，DH=1，平移距离为2，则阴影部分的面积是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】由题意易得阴影部分面积等于梯形的面积，由已知即可计算出此梯形的面积，从而求得阴影部分的面积． 【详解】解：由平移的性质得：，，， ∵ 而， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 14. 关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，即可得出的取值范围． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∵不等式组有3个整数解， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键． 15. 在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质和证明三角形全等是解题的关键． 过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解． 【详解】如图，过D作,交于M，，交延长线于N， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16. 如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作，交的延长线于点，连接、，如下结论：①；②；③平分；④；⑤，正确的有_____（填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】由题意易得是等腰直角三角形，然后通过证明，则有，进而根据三角形的中线、勾股定理可进行求解 【详解】解：∵，，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴；故①正确． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确． ∵， ∴是的中线，如果是角平分线，则， 但， 显然矛盾，故③错误． ④正确．在中，， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴垂直平分， ∴，故④正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故⑤正确． 综上所述：正确的有①②④⑤； 故答案为①②④⑤． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本题满分72分；共有9道小题） 17. 如图，已知：，点是上一点． 求作：，使，且点到边、的距离均相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图——角平分线和过直线外一点的垂线，熟练掌握作法是解题的关键 作的角平分线，过点作角平分线的垂线，交于点，即为所求 【详解】解：如图所示：即为所求. 18. 解不等式(组)： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）依次去括号，移项，合并同类项即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 解不等式①得 解不等式②得 不等式组的解集为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．将以为旋转中心逆时针旋转，得到． （1）点的对应点的坐标是_____； （2）将沿轴对称后得到，画出对称后对应的；如果将和看成一个轴对称图形，请直接写出它的对称轴满足的函数关系式_____． 【答案】（1） （2）图形见解析， 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质，画轴对称图形，求一次函数的解析式，解题的关键是数形结合． （1）根据旋转的特点作出，即可求解； （2）作出和的对称轴直线，利用待定系数法求解即可 ． 【小问1详解】 解：如图，点的对应点的坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，和的对称轴直线过点和， 设对称轴直线的解析式为，将代入得：， ， 和的对称轴直线的解析式为， 故答案为：． 20. 小明要从甲地到乙地，两地相距1800米，已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？ 【答案】至少跑步3.75分钟． 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式的应用，法一：设小明跑步分钟，则步行分钟，两地相距1800米，据此列不等式，解不等式即可得到答案；法二：设小明跑步x米，则步行米，他要在不超过15分钟的时间从甲地到达乙地，据此列不等式，解不等式即可． 【详解】法一：设小明跑步分钟，则步行分钟，由题意得 解得 至少跑步3.75分钟 法二：设小明跑步x米，则步行米，由题意得 解得 （分钟） 至少跑步3.75分钟 21. 如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是． （1）请判断供水管道与是否符合铺设要求； （2）求的长及的长． 【答案】（1）符号要求，理由见解析； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据勾股定理的逆定理判定与是否垂直即可； （2）根据等面积法求出，再利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：符号要求，理由如下： 在中，，，， ，， ， 是直角三角形，， ，符合要求； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ，，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：． 22. 如图，是的角平分线，与交于点，过点分别作，，交、于点、，连接，交于点． （1）试说明垂直平分； （2）若，，则的长为多少？ 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，，根据公共边，即可证明得出，根据三线合一即可证明垂直平分； （2）根据三角形内角和可得，根据含度角的直角三角形的性质得出，在中，则，根据，得出，即可求解． 【小问1详解】 （1）解：平分，，， ， 又 （） ， 又平分， 垂直平分； 【小问2详解】 ， 在中，， 平分 ， ， ， ， 在中，， ∴， ∴， 由（1）知垂直平分， ， 在中，， ， ， 又， ， ， 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 某文具店准备购进、两种钢笔进行销售，这两种钢笔的进价和售价如下表． 种 种 进价（元/支） 10 15 售价（元/支） 15 25 （1）现计划购进、两种钢笔共900支，且种钢笔的数量不超过种钢笔数量的一半．若种钢笔按售价的八折出售，种钢笔按售价的九折出售．该文具店怎样进货才能使两种钢笔全部售出后获利最大，最大利润是多少？ （2）某学校需要购买一批该文具店的两种笔作为奖品，其中种笔支，种笔200支，文具店给出以下两种方案： 方案一：所有笔均按售价的八折出售； 方案二：种钢笔按售价的七折出售，种钢笔按售价的九折出售． 学校采购员应选择哪种方案对学校来说花费最少？请说明理由． 【答案】（1）该文具店进A种钢笔600支，购进B种钢笔300支获利最大，最大利润是3450元； （2）当时选方案一，时选方案二，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查一次函数在实际问题中的应用以及一元一次不等式、方程的运用．解题关键是根据题目条件准确列出利润函数和费用函数，通过分析函数性质、比较函数值大小来求解最值和确定方案选择． 设购进种钢笔数量为支，得出种钢笔数量表达式，根据数量关系列不等式确定取值范围，依据进价、售价折扣算出两种钢笔单支利润，列出总利润关于的函数表达式，根据一次函数性质，结合取值范围，求出利润最大时的值及最大利润． （2）分别依据两种方案的折扣及A、B两种笔的数量，列出方案一费用和方案二费用关于m的表达式，通过分别令、、，求解相应方程和不等式，根据m取值确定费用最少的方案． 【小问1详解】 解：设购进种钢笔支，则购进种钢笔（）支 由题意， 解得 利润 ， 随增大而减小 时，最大，最大=3450元， 此时支； ∴该文具店进A种钢笔600支，购进B种钢笔300支获利最大，最大利润是3450元 【小问2详解】 解；方案一费用， 方案二费用 当时，， 当时，， 当时，， ∵为正整数， ∴当时选方案一， 时选方案二． 24. 在综合实践课上，同学们探究三角形旋转和平移的问题： 问题提出： 如图①，已知是等边三角形，点在边上，以线段为边作等边，将绕顶点逆时针旋转，如图②，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段． 猜想探究： （1）如图②，与相等吗？请说明理由； （2）如图③，连接，，，请直接判断是哪种特殊的三角形：_____三角形． 探究迁移： （3）如图④，若和都是等腰直角三角形，且，，点在边上，将绕顶点逆时针旋转，如图⑤，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段，连接，，，则是什么特殊的三角形？请证明你的结论． 【答案】（1），理由见解析；（2）等边；（3）是等腰直角三角形，证明见解析； 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得，运用平移性质得，则，则代入，化简得出，即可作答． （2）与（1）同理得，再证明，，然后根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，即可作答． （3）与（2）同理证明，得，，故，因为为等腰直角三角形，，所以，即可作答． 【详解】解：（1）， 理由和为等边三角形, ， ， 平移， ， ， ， ， ； （2）是等边三角形，过程如下： 和为等边三角形, ，， ， 平移， ，， ，， ， ， ； ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （3）是等腰直角三角形，理由： 由（2）知， 平移， ， 又， ， ∵，，， ∴； ，， ， 即， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形． 25. 如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点A、点． （1）点在轴上，若是等腰三角形，请借助手中的工具，在备用图1中探究发现：符合条件的点有哪几个？请分别用、、……依次表示符合条件的点，并直接写出它们的坐标； （2）动点以1个单位/s速度从原点出发、动点以2个单位/s的速度从点出发，、都按顺时针方向沿的三边运动，则经过几秒后，点与点第一次在的哪条边上相遇？并指出相遇点在这条边的什么位置； （3）若点是内的一点，请直接写出的取值范围_____． 【答案】（1），，，； （2）经过8秒，点与第一次在边上相遇，相遇点离A点1个单位； （3）． 【解析】 【分析】（1）先求出点A、B坐标及，再分（在左右两侧）、、三种情况，根据等腰三角形性质及坐标运算确定轴上点的坐标． （2）设相遇时间为，根据点、的速度和起始位置，得出相遇时比多走的路程为的周长，据此列方程求解时间，再根据点运动路程确定相遇位置． （3）根据点在内的条件，分别列出点E横坐标大于0、纵坐标大于0以及点E在直线下方的不等式，联立求解得出的取值范围． 【小问1详解】 ∵直线与轴、轴分别相交于点A、点． 当时，， 解得， ∴点坐标为； 当时，， ∴点坐标为． 在中，，， ， 当时 若点在点左侧， ∵，点坐标为，则点横坐标为， ∴的坐标为； 若点在点右侧， ∵，则点横坐标为， ∴的坐标为． 当时 ∵（为坐标原点），且， ∴， ∴的坐标为． 当时 设点坐标为，则，． 由可得， 解得， ∴坐标为． 综上，符合条件的点C的坐标为，，，； 【小问2详解】 设经过秒后，点与点第一次相遇． ∵点从原点出发，速度是个单位/s；点从点出发，速度是个单位/s，三边长，，， ∴比多走的路程为． ∴， 解得． 运动的路程为，，， ∴经过秒，点与点第一次在边上相遇，相遇点离点个单位． 【小问3详解】 已知点是内的一点， ∴点的横坐标大于，即，．纵坐标大于，即，，点在直线的下方， 把的坐标代入的右边式子， ∵在直线下方， ∴， 解得． 综合以上三个条件，． ∴m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中直线与坐标轴交点坐标求解、等腰三角形存在性问题、动点相遇问题以及点与三角形位置关系相关知识，解题关键是分别利用直线方程性质、等腰三角形分类讨论思想、动点运动路程关系和点与直线位置关系来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明：本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中 ，是中心对称图形的是（ ） A. B.     C.     D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作、的垂线交点为画射线，判断依据是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 6. 用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ） A. 两个锐角都大于45° B. 两个锐角都小于45° C. 两个锐角都不大于45° D. 两个锐角都等于45° 7. 如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（ ） A 1 B. 3 C. 1或 D. 1或3 8. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若，则________（填“”“”或“”）． 10. 命题：“如果，那么”的逆命题是______．（填“真命题”或“假命题”） 11. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成A，两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为_____． 12. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 13. 如图，直角△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=4，DH=1，平移距离为2，则阴影部分的面积是___________． 14. 关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是______． 15. 在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积_____． 16. 如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作，交的延长线于点，连接、，如下结论：①；②；③平分；④；⑤，正确的有_____（填写序号）． 三、解答题（本题满分72分；共有9道小题） 17. 如图，已知：，点是上一点． 求作：，使，且点到边、的距离均相等． 18. 解不等式(组)： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．将以为旋转中心逆时针旋转，得到． （1）点的对应点的坐标是_____； （2）将沿轴对称后得到，画出对称后对应的；如果将和看成一个轴对称图形，请直接写出它的对称轴满足的函数关系式_____． 20. 小明要从甲地到乙地，两地相距1800米，已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？ 21. 如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是． （1）请判断供水管道与是否符合铺设要求； （2）求的长及的长． 22. 如图，是角平分线，与交于点，过点分别作，，交、于点、，连接，交于点． （1）试说明垂直平分； （2）若，，则的长为多少？ 23. 某文具店准备购进、两种钢笔进行销售，这两种钢笔进价和售价如下表． 种 种 进价（元/支） 10 15 售价（元/支） 15 25 （1）现计划购进、两种钢笔共900支，且种钢笔的数量不超过种钢笔数量的一半．若种钢笔按售价的八折出售，种钢笔按售价的九折出售．该文具店怎样进货才能使两种钢笔全部售出后获利最大，最大利润是多少？ （2）某学校需要购买一批该文具店的两种笔作为奖品，其中种笔支，种笔200支，文具店给出以下两种方案： 方案一：所有笔均按售价的八折出售； 方案二：种钢笔按售价的七折出售，种钢笔按售价的九折出售． 学校采购员应选择哪种方案对学校来说花费最少？请说明理由． 24. 在综合实践课上，同学们探究三角形旋转和平移的问题： 问题提出： 如图①，已知等边三角形，点在边上，以线段为边作等边，将绕顶点逆时针旋转，如图②，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段． 猜想探究： （1）如图②，与相等吗？请说明理由； （2）如图③，连接，，，请直接判断是哪种特殊的三角形：_____三角形． 探究迁移： （3）如图④，若和都是等腰直角三角形，且，，点在边上，将绕顶点逆时针旋转，如图⑤，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段，连接，，，则是什么特殊三角形？请证明你的结论． 25. 如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点A、点． （1）点在轴上，若是等腰三角形，请借助手中的工具，在备用图1中探究发现：符合条件的点有哪几个？请分别用、、……依次表示符合条件的点，并直接写出它们的坐标； （2）动点以1个单位/s的速度从原点出发、动点以2个单位/s的速度从点出发，、都按顺时针方向沿的三边运动，则经过几秒后，点与点第一次在的哪条边上相遇？并指出相遇点在这条边的什么位置； （3）若点是内的一点，请直接写出的取值范围_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $