专题11.1 不等式（3大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题11.1 不等式（3大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【要点提示】 （1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． （2）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3）有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【知识点2】不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 【要点提示】 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． （2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 【要点提示】 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；（2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【知识点3】不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）． 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）． 【要点提示】 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： （1）不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． （2）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘（或除以）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点与题型目录 【考点一】概念——不等式定义 【题型1】认识不等式..........................................................3 【题型2】列不等式............................................................4 【考点二】不等式的解集 【题型3】不等式的解集........................................................5 【题型4】不等式解集的应用....................................................6 【考点三】不等式的基本性质 【题型5】判断不等式的变形是否正确............................................8 【题型6】天平中的不等式基本性质..............................................9 【题型7】不等式基本性质的应用...............................................10 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型8】链接中考...........................................................13 【题型9】拓展延伸...........................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念——不等式定义 【题型1】认识不等式 【例1】（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 根据不等式的定义解答即可． 解：A、不是不等式，故A选项不符合题意； B、不是不等式，故B选项不符合题意； C、是不等式，故C选项符合题意； D、不是不等式，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了不等式，用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐个分析即可． 解：①是等式，②是不等式，③是不等式，④是不等式，⑤是代数式，不是不等式，⑥是不等式， 故不等式有4个， 故答案为：4． 【变式2】（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】等式有②，不等式有①③④⑥ 【分析】表示相等关系的式子叫等式，用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫不等式，再逐个判断即可． 解：等式有②； 不等式有①；③；④；⑥； 综上，等式有②，不等式有①③④⑥． 【点拨】本题考查了等式和不等式的定义，能熟记等式和不等式定义是解此题的关键． 【题型2】列不等式 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： （1）a与1的差是非负数； （2）a的2倍比a与3的和小； （3）x的一半与3的差不大于2； （4）x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． （1）根据非负数即列不等式即可． （2）根据题意直接列出不等式即可． （3）根据不大于即列不等式即可． （4）根据题意直接列出不等式即可． 解：（1）解：a与1的差是非负数即 （2）解：a的2倍比a与3的和小即 （3）解：x的一半与3的差不大于2即 （4）解：x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差即 【变式1】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）我校男子跑的原记录是，在去年的校田径运动会上小刚的跑的成绩是，打破了该项记录，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是明确题中的不等量关系．根据小刚的跑的成绩打破了该项记录，即可列出不等式． 解：由题意得，． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·浙江台州·期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是路程、速度、时间之间关系及用不等式表示范围，先求出要在内通过时的速度，再根据按照当前时速行驶能通过下一路口求出此时速度，即可解决． 解：， 当距离下一路口时，以速度通过需要的时间为：， 要在内通过， 小车的速度至少为， 因为导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口， 则小车当前行驶速度的取值范围是． 【考点二】不等式的解集 【题型3】不等式的解集 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【答案】不正确，理由见分析 【分析】本题考查了不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．据此判断即可． 解：这句话说的不正确，只是该不等式解集的一部分．如：是不等式的解，但未包含在内，所以这句话不正确． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的子集．例如：不等式是不等式的子集． 请写出不等式的一个子集： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的解集，根据定义写一个任意一个解都是不等式的一个解的不等式即可． 解：∵的任意一个解都是不等式的一个解， ∴不等式的一个子集为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型4】不等式解集的应用 【例4】（2024八年级·全国·竞赛）定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． （1）求的值； （2）若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据，，以及关于的不等式恰有2个正整数解，即可得到答案； 此题考查了二元一次方程组的应用、求不等式的解集等知识，读懂题意，正确列出方程组和理解新定义是解题的关键． 解：（1）解：由得到， ， 解得 （2）由题意可得，， ∵，，，关于的不等式恰有2个正整数解， ∴. 【变式1】（23-24七年级下·山东济宁·期末）某小区便利店负责人上午买回来30千克黄瓜，价格为每千克元，下午他又买回来20千克黄瓜，价格为每千克元，后来他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱，其原因是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列不等式及解不等式，根据题意列不等式，解出不等式的解集，即可得到答案． 解：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是：， 他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱， 则， 解得：， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点三】不等式的基本性质 【题型5】判断不等式的变形是否正确 【例5】（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】此题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质逐项进行判断，即得答案． 解：A. 若，则，∴A正确；     B. 若，则当时，，∴B不正确； C. 若，则，∴C正确； D. 若，则，∴D正确． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·河南新乡·期中）下列不等式变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的基本性质对各选项进行计算，并作出正确的判断． 解：A．由，不等式两边都加上，不等号的方向不变，所以原式说法正确，故该选项符合题意； B． 由，不等式两边都乘以，不等号的方向改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； C． 由，不等式两边都乘以2，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； D．不等式两边都乘以，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）若，用“”或“”填空： （1）     （2）     （3）     （4） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据不等式的基本性质解答即可． 解：， ； ， ； ， ， ； ， ； 故答案为：，，，． 【题型6】天平中的不等式基本性质 【例7】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，天平右盘中的每个砝码的质量是克，左盘中的每个小立方体的质量是克，则可以得到不等式（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质即可求解． 解：依题意，得，即． 故选：C． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量m（克）的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确列出关于m不等式组是解题关键． 根据题意，可列不等式组，求解即可． 解：根据题意，得 解得． 故选D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）将物体P，Q，R，S放在天平上，静止后情况如图所示．它们质量的大小关系是 ． 【答案】 【分析】先根据图示可得不等式组，求解即可． 本题考查了不等式的性质，解题关键是不等式组中出现的等式也可类似解方程组的方法，使用代入法求解． 解：根据图示可知 ， 由①②得④， 把④代入③得， ∴． 故答案为：． 【题型7】不等式基本性质的应用 【例8】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义表示不超过的最大整数，如，，定义 （1）当时， ； （2）当时，的范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了新定义、代数式求值、不等式的性质等知识点，灵活运用知识成为解题的关键． （1）直接运用新定义求解即可； （2）分、、三种情况，分别根据新定义和不等式的性质求解即可． 解：解（1）有题意可得：当时，． ∴当时，． 故答案为：． （2）当时： 当时，． 将代入，可得． ∵， ∴，即． 当时，． 将代入，可得． 当时，． 将代入，可得． ∵， ∴，即． 综上，y的取值范围为或． 答案为或． 【变式1】（2025·河北邯郸·模拟预测）嘉琪同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． （1）若开始输入为，请你根据程序列出算式并计算出输出结果； （2）嘉琪发现将一个小于的数输入，得到的结果总是正数．请验证这个结论． 【答案】（1）；；（2）见分析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，不等式的性质，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）首先用开始输入的数乘，求出积是多少；然后用所得的积除以2，求出商是多少；最后用所得的商减去即可． （2）这个数是x，得出程序的结果为，再令，代入验证即可． 解：（1）解： ； （2）解：设这个数是x，则， ， ， ，即得到的结果总是正数． 【变式2】（2025·上海黄浦·二模）已知、、三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的基本性质等知识点，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 利用数轴得出三个实数的大小关系，利用不等式的基本性质逐项判断即可． 解：根据数轴可知， A、根据不等式的基本性质，则 ， ∴，故该选项正确，不符合题意； B、根据不等式的基本性质，则， ，故该选项正确，不符合题意； C、由数轴可得，，， ，故该选项错误，符合题意； D、由数轴可知，，， ，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型8】链接中考 【例1】（2023·北京·中考真题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可． 解：得，则， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变． 【例2】（2021·山西·中考真题）（1）计算：． （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的； ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】（1）6；（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二： 【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可； （2）根据不等式的性质3判断并计算即可． 解：（1）解：原式 ． （2）①乘法分配律（或分配律） ②五  不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）； 任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：． 【点拨】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键． 【题型9】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·重庆·开学考试）若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“同差数”，最小的“同差数”为 ．交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以余数为，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，列代数式，整式的加减，不等式的性质，熟练根据题意进行列式，并根据题意得出等式是解题的关键．根据题中定义即可得出最小的“同差数”；设，则，根据题意，得出，且，，，，，，列式求出，利用与的差为一个两位数且为完全平方数，结合，的取值范围得出，则可得，，则可表示为，利用除以余数为，结合分离整数法得出是的整数倍，结合，的取值范围得出或或，分别求解判断是否合理即可， 解：的千位数字最小为，百位最小为， 由千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数， 则的十位数字最小为，个位最小为， 则最小的“同差数”为， 故答案为：； 设，则， 根据题意，得，且，，，，，， 则， 则，， 则， ∵与的差为一个两位数且为完全平方数， ∴，且是完全平方数， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵除以余数为， ∴是整数， ∴是的整数倍， 由题意可得，， ∴， ∴或或， 结合，的取值范围， 当时，即， 解得：， 此时； 当时，即， 解得：（，舍）或， 此时； 当时，即， 解得：（，舍）； 综上所述，或，最大值为， 故答案为：． 【例2】（21-22七年级下·江西赣州·阶段练习）对于不等式且当时，当时， 请根据以上信息，解答下列问题： （1）解关于x的不等式： （2）解关于x的不等式其解集中无正整数解，求k的取值范围 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意列出一元一次不等式求解即可； （2）根据题意列出一元一次不等式求解，并根据解集中无正整数解求出k的取值范围即可. 解：（1）解：∵，， ∴， 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： （2）∵， ∴ 移项合并得：； 当，即时，解得：（可以取遍所有正整数，不合题意）； 当，即时，化简得（恒成立，可以取遍所有正整数，不合题意）； 当，即时，解得：， ∵解集中无正整数解， ∴， 去分母得：，（，不等号改变方向） 解得：． 【点拨】本题考查解一元一次不等式与不等式的性质，掌握解一元一次不等式的一般步骤与不等式的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.1 不等式（3大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【要点提示】 （1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． （2）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3）有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【知识点2】不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 【要点提示】 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． （2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 【要点提示】 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；（2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【知识点3】不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）． 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）． 【要点提示】 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： （1）不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． （2）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘（或除以）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点与题型目录 【考点一】概念——不等式定义 【题型1】认识不等式..........................................................3 【题型2】列不等式............................................................3 【考点二】不等式的解集 【题型3】不等式的解集........................................................3 【题型4】不等式解集的应用....................................................4 【考点三】不等式的基本性质 【题型5】判断不等式的变形是否正确............................................4 【题型6】天平中的不等式基本性质..............................................4 【题型7】不等式基本性质的应用................................................5 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型8】链接中考............................................................6 【题型9】拓展延伸............................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念——不等式定义 【题型1】认识不等式 【例1】（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 【变式2】（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 【题型2】列不等式 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： （1）a与1的差是非负数； （2）a的2倍比a与3的和小； （3）x的一半与3的差不大于2； （4）x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差． 【变式1】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）我校男子跑的原记录是，在去年的校田径运动会上小刚的跑的成绩是，打破了该项记录，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江台州·期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 【考点二】不等式的解集 【题型3】不等式的解集 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的子集．例如：不等式是不等式的子集． 请写出不等式的一个子集： ． 【题型4】不等式解集的应用 【例4】（2024八年级·全国·竞赛）定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． （1）求的值； （2）若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 【变式1】（23-24七年级下·山东济宁·期末）某小区便利店负责人上午买回来30千克黄瓜，价格为每千克元，下午他又买回来20千克黄瓜，价格为每千克元，后来他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱，其原因是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【考点三】不等式的基本性质 【题型5】判断不等式的变形是否正确 【例5】（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25七年级下·河南新乡·期中）下列不等式变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）若，用“”或“”填空： （1）     （2）     （3）     （4） 【题型6】天平中的不等式基本性质 【例7】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，天平右盘中的每个砝码的质量是克，左盘中的每个小立方体的质量是克，则可以得到不等式（   ） A．2 B． C． D． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量m（克）的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）将物体P，Q，R，S放在天平上，静止后情况如图所示．它们质量的大小关系是 ． 【题型7】不等式基本性质的应用 【例8】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义表示不超过的最大整数，如，，定义 （1）当时， ； （2）当时，的范围是 ． 【变式1】（2025·河北邯郸·模拟预测）嘉琪同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． （1）若开始输入为，请你根据程序列出算式并计算出输出结果； （2）嘉琪发现将一个小于的数输入，得到的结果总是正数．请验证这个结论． 【变式2】（2025·上海黄浦·二模）已知、、三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型8】链接中考 【例1】（2023·北京·中考真题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2021·山西·中考真题）（1）计算：． （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的； ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【题型9】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·重庆·开学考试）若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“同差数”，最小的“同差数”为 ．交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以余数为，则满足条件的的最大值为 ． 【例2】（21-22七年级下·江西赣州·阶段练习）对于不等式且当时，当时， 请根据以上信息，解答下列问题： （1）解关于x的不等式： （2）解关于x的不等式其解集中无正整数解，求k的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $$