第8章 相交线与平行线综合提升-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(青岛版2024)

本章综合提升（答案P8) 本章知识明纳 定义：如果两条直线只有 公共点称这两条直线为相交线 相 邻补角：如果两个角有公共顶，点，且有一条 ,另一边 互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角 线 定义：两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 对顶角 性质：对顶角 定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是 那么就称这两条直线互相垂直 作垂线的方法：一靠、二过、三作线 (1同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直 性虞 2连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 的长度 相交线与 同位角：被截线的同侧，戴线的同旁 三线入角 内错角：被截线之间，戴线的两旁 线截两线，只看位置 平行线 同旁内角：被截线之间裁线的同旁 平行线的定义：在同一平面内， 的两条直线 画法：一放、二靠、三推、四画 平行线和它的画法 基本了过直线外一点 一条直线与这条直线平行 性质平行于同一条直线的两条直线 平行线 同位角 两直线平行 平行线的判定 内错角 两直线平行 同旁内角 两直线平行 两直线平行，同位角 平行线的性质 两直线平行，内错角 两直线平行，同旁内角 思想方法小纳 ,仔链接本章 在本章中，在计算角的度数时，若已知 1.方程思想 角之间的关系，通过列方程求解可使计算更 方程思想方法就是指把所研究数学问题中 简便。 的已知量与未知量之间的等量关系转化为方程 (组)，从而达到解决数学问题的一种思维方法。 【例1】已知一个角比它的邻补角的 还少 20°，则这个角的度数是 42 优十学课阴渔 【变式训练1】 为一个比较熟悉、比较容易的问题，达到解决原 如图所示，点D在射线BE上，AD∥BC, 问题的目的. ∠ADE:∠DBC=7:2,求∠ADB的度数， 行链接亦章 本章在解决相关问题的过程中，常常把 问题向平行线转化，通过作辅助线，应用平 行线的性质和判定进行计算或说明. 【例3】如图所示，直线AB∥CD,∠C= 45°，AE⊥CE,则∠1= 2.数形结合思想 “的链橙体章 在本章中，往往是借助几何图形发现角 之间的数量关系，根据角的和差倍分、邻补 A45 角、对顶角、垂直、平行等关系进行计算或 【变式训练3】 证明， (2024·聊城东昌府区期中)如图所示是一 【例2】(2024·南充中考)如图所示，两个 款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN 平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1= 垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行 时，∠DEF=120°，∠BCD=110°，则∠CDE的 ∠2=40°，则∠3的度数为( 度数为 SSSSB8BN88835855888 A.80° B.90° C.100° D.120° 【变式训练2】 (2024·菏泽邪城期中)已知：如图所示， 通模拟 ∠BAC+∠GCA=180°，∠1=∠2，试说明： 1.(多选题)（游坊安丘期中）以下说法正确的 ∠E=∠F. 有() A.如果a仍，ae,那么bc B.相等的角是对顶角 C.如果两条直线被第三条直线所截，那么同位 角相等 D.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫作点到直线的距离 2.(2024·菏泽成武期中)如图所示，直线a,b,c, 3.转化思想 d两两相交，图中共有对顶角( 通过对条件、结论的转化，使问题化难为易， A.9对 化生为熟，化未知为已知，最终求得问题的解答， B.10对 这个过程体现了转化的思想方法.可以说，任何 C.11对 一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，化归 D.12对 一七华级下带数学过 43 3.(2024·聊城阳谷期中)如图所示，直线AB∥ 旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光 CD,点P是直线AB上一个动点，当点P的 线角度，在调节过程中，最外侧光线CD,CE 位置发生变化时，△PCD的面积( 组成的∠DCE始终保持不变.现调节台灯，使 A.始终不变 外侧光线CD∥MN,CE∥BA,若∠BAO= B.向右移动变小 158°，则∠DCE=( C.向左移动变小 D.向左移动先变小，再变大 4.(多选题)(2024·離坊昌乐期中)如图所示，下 列选项能推出AD∥BC的条件是( A.∠3=∠4 2 B.∠1=∠2 A.58 B.68 C.∠4+∠BCD=180°，且∠D=∠4 C.32° D.22° D.∠3+∠5=180 8.(2024·菏泽定陶区期中)如图所示，计划把河 水引到水池A中，先作AB⊥CD,垂足为B, 然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样 设计的依据是 ::-: D 第4题图 第5题图 5.(2024·菏泽巨野期中)如图所示，直线AB, CD交于点O,OT⊥AB于点O,CE∥AB交 第8题图 第9题图 CD于点C,若∠ECO=30°，则∠DOT等 9.(2024·滩坊潍城区期中)如图所示，点O在直 于() 线AB上，∠AOC=118°，OC⊥OD,OE平分 A.30 B.45° C.60° D.120° ∠BOC,则∠DOE的度数为 6.(2024·泰安肥城期中)把一张对边互相平行 10.(潍坊昌乐期中)如图所示，AB∥CD,∠1 的纸条按如图所示方式折叠，EF是折痕，若 120°，∠3=150°，则∠2 度 ∠EFB=32°，则下列结论正确的有( (1)∠CEF=32°； (2)∠AEC=148°； (3)∠BGE=64°： (4)∠BFD=116°. 第10题图 第11题图 A.1个 B.2个 11.(2024·菏泽巨野期中)如图所示，AF∥CD, C.3个 D.4个 BD平分∠EBF,且BC⊥BD,下列结论： 7.(2024·聊城冠县期中)如图所示是一盏可调 ①BC平分∠ABE:②AC∥BE;③∠CBE+ 节台灯及其示意图.固定支撑杆AO垂直底座 ∠D=90°；④∠DEB=2∠BCD.其中正确结 MN于点O,AB与BC是分别可绕点A和B 论为 (只填写序号) 优十学编课阴通 12.(2024·聊城东昌府区期中)如图所示，直线 AB,CD相交于点O,OM⊥AB. (1)若∠1=∠2，试说明：ON⊥CD. (2)若∠1=∠B0C,求∠B0D的度数. 第14题图 第15题图 15.(2024·东营中考)已知，直线a∥b,把一块含 有30°角的直角三角板如图所示放置，∠1= 30°，三角板的斜边所在直线交b于点A,则 ∠2=() A.50° B.60° C.70° D.80° 16.(枣庄中考)如图所示，一束太阳光线平行照 射在放置于地面的正六边形上，若∠1=44°， 则∠2的度数为( 13.(2024·聊城莘县期中)如图所示，若AB∥ CD,EF与AB,CD分别相交于E,F,EP⊥ EF,∠EFD的平分线与EP相交于点P,且 ∠BEP=40°，求∠P的度数. A.14 B.16 C.24 D.26 17.(2024·潍坊中考)一种路灯的 B 示意图如图所示，其底部支架 AB与吊线FG平行，灯杆CD 与底部支架AB所成锐角a 15°.顶部支架EF与灯杆CD 所成锐角B=45°，则EF与FG 所成锐角的度数为( A.60° B.55° C.50° D.45 18.(威海中考)某些灯具的设计原理与抛物线有 关.如图所示，从点O照射到抛物线上的光线 OA,OB等反射后都沿着与PQ平行的方向 射出.若∠AOB=150°，∠OBD=90°，则 通中考 ∠OAC= 14.(2024·北京中考)如图所示，直线AB和CD 相交于点O,OE⊥OC.若∠AOC=58°，则 ∠EOB的大小为( A.29 B.32 C.45 D.58 一七年级不带数学加 45即∠3=360°-∠1-∠2. 本章综合提升 【本章知识归纳】 一个公共边相等直角有且只有垂线段 垂线段不相交有且只有平行相等相等 互补相等相等互补 【思想方法归纳】 【例1】30 3.a+B-y=90° 【变式训练1】 4.解：在△BEF中，∠B+∠E十∠BFE=180° 解：因为AD∥BC, 因为∠D=∠B十∠E, 所以∠ADB=∠DBC 所以∠D+∠BFE=180° 又因为∠AFE+∠BFE=180°， 因为∠ADE:∠DBC=7:2, 所以∠D=∠AFE, 所以∠ADE:∠ADB=7:2. 所以ABCD. 设∠ADE=7x,∠ADB=2x, 5.解：如图所示，过点E作EF∥AB, 因为∠ADE+∠ADB=180°， 所以∠B+∠BEF=180°. 所以7x十2x=180°，解得x=20°， 因为ABCD,EF∥AB, 即∠ADB=40° 所以EFCD, 【例2】C 所以∠D+∠DEF=180°， 【变式训练2】 所以∠B+∠BEF=∠D+∠DEF, 解：因为∠BAC+∠GCA=180°， 即∠D-∠B=∠BED 所以AB∥DG, 所以∠BAC=∠DCA. A 因为∠1=∠2， 所以∠BAC-∠1=∠DCA-∠2， 即∠EAC=∠FCA, 6.解：ABCD. 所以AECF, 理由如下：如图所示，过点E作EF∥AB, 所以∠E=∠F. 因为∠ABE=120°， 【例3】135 所以∠BEF=180°-120°=60° 【变式训练3】100 因为∠BEC=95°， 【通模拟】 所以∠FEC=95°-60°-35. 1.AD 2.D 3.A 4.ACD 5.C 6.C 7.B 因为∠DCE=35°， 所以∠FEC=∠DCE, 8.垂线段最短9.5910.9011.①③④ 所以EFCD, 12.解：(1)因为OM⊥AB, 所以AB∥CD. 所以∠AOM=∠BOM=90°， 所以∠1+∠AOC=90° 因为∠1=∠2， 所以∠2+∠AOC=90°， 即∠CON=90°， 所以ON⊥CD. 特色素养专题（一）跨学科专题 1.A2.B3.C4.B5.C6.B7.D (2)因为∠1-∠B0C, 8.105°9.30°10.45°11.82 12.解：(1)60°-32°=28°， 所以∠BOM=3∠1=90. 即光的传播方向改变了28° 解得∠1=30°， (2)射入光线OE与射出光线FG平行，理由如下： 所以∠BOD=90°-30°=60 因为AB∥CD, 13.解：如图所示，因为EP⊥EF, 所以∠AEF=∠DFE. 所以∠PEM=90°，∠PEF=90. 又因为∠OEA=∠DFG, 因为∠BEP=40°， 所以∠OEA+∠AEF=∠DFG+∠DFE, 所以∠BEM=∠PEM-∠BEP=90°-40°=50°. 即∠OEF=∠GFE, 因为ABCD, 所以OE∥FG. 所以∠BEM=∠EFD=50° (3)55 因为FP平分∠EFD, 所以∠EFP=名∠EFD=25, 把①代人②，得2(y+1)-y=3,解得y=1. 把y=1代人①，得x=2, 所以∠P=90°-25°=65. x=2, 则原方程组的解是 y=1. (2)原方程组整理，得=3x-5,① 5x+2y=23,② 把①代人②，得5x十2(3x-5)=23,解得x=3. 把x=3代人①，得y=4,则原方程组的解 【通中考】 是/r=3, y=4. 14.B15.B16.B17.A18.60 9.A10.B11.C 第9章二元一次方程组 12.3-213.414.315.11 9.1认识二元一次方程组 16.解：(1) /2x+y=1,① 1.B2.83.14. x=1 y=3 5.C6.A7.D x-y=2.② 由②，得x=y+2③， &a16 将③代人①，得2(y+2)+y=1, 解得y=一1， 9.③10.A11.A12.D13.D14.D 将y=-1代入③，得x=1, 15.x十y=20(答案不唯一) 16.-117.2024-118.7 故原方程组的解为任=1， y=-1. 19解：下-L, x=2, x=3, x=4, 3(x-y)=2x,① ly=16,y=12,y=8,y=4. (2)Xx-1 20.解：依题意，得m-2一2=1，解得m=5或-1. 2 =y.② 又因为m一3≠0，m十1≠0， 所以m=5. 将②代入①，得3(x-2）=2x③， 21.解：把y=-3代入3x十5y=-3,得x=4. 解得x=3, 因为关于x,y方程的二元一次方程3x+5y=-3 将x=3代人②，得y=1, 和3y-2ax=a+2有相同的解， 所以3×(-3)-2aX4=a+2.解得a=- 故原方程组的解为下=3， y=1. 91 22.解：(1)设销售甲器械x台，乙器械y台 n得0 根据题意，得2x十5y=24. 因为x,y表示器械台数，所以x≥0且为整数，y≥ 由①，得x=y+5,③ 0且为整数，故满足上述条件的x,y的值为 将③代人②，得4(y+5)一3y+k-0, 任=2或=或 =12, 去括号，得4y十20-3y十k=0,解得y=一k一20. y=4 y=2y=0. 将y=一k-20代入③，得x=一k-15. 所以销售方案有三种. 将x=-k-15,y=-k-20代入3x一2y=0,得 方案一：销售甲器械2台，乙器械4台， 3(-k-15)-2(-k-20)=0, 方案二：销售甲器械7台，乙器械2台： 去括号，得-3k一45十2k十40=0，解得k=一5. 方案三：销售甲器械12台，不销售乙器械. 18.解：(1)C (2)设销售甲器械的利润为a万元，则销售乙器械 (2)根据题意知， y十3红=30：符合题意（答案不 的利润为3a万元. 2y+3x=3② 方案一的利润为2a+4×3a-14a(万元)： 唯一) 方案二的利润为7a+2×3a=13a(万元)； 由①，得y=3-3x③， 方案三的利润为12a万元. 将③代人②，得2(3-3x)+3x=3, 所以选择(1)中的方案一更好些。 解得x=1, 9.2解二元一次方程组 将x=1代人③，得y=0, 第1课时用代入消元法解二元一次方程组 故原方程组的解为 x=1, 1.B2.B3.C4.C5.A6.167.1 ly=0. 8.解：(1)2=y+1,① 第2课时用加减消元法解二元一次方程组 2x-y=3,② 1.C2.A3.C4.A 9