精品解析：江西省宜春市高安市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度下学期期中质量监测 九年级数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中最大的是（ ） A. —1 B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据正负数比较大小的法则比较出各数的大小即可． 【详解】解：2＞＞0＞-1， 故选D. 【点睛】本题考查了有理数大小比较，解题的关键是熟练的掌握有理数的相关知识点. 2. 小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答． 【详解】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据单项式除以单项式，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式的法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 4. 学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是指将一组数据从小到大或者从大到小重新排列后，最中间的那个数；一组数据中出现次数最多的数叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 根据题意，由中位数、平均数、方差、众数的定义，判断即可． 【详解】解：根据题意，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的那个数不变，即不变的是中位数，故B正确． 故选：B． 5. 点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的图象的对称轴为轴，得到，进而得到函数关系式为，得到，进而得到，利用二次函数的性质，求最值即可．解题的关键是根据对称轴求出二次函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为轴， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为； 故选D． 6. 如图是由三个全等的菱形拼接成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（　　） A. 3种 B. 6种 C. 8种 D. 10种 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形）判断即可． 【详解】解：如图，把菱形A平移到①或②或⑤或⑥的位置可得轴对称图形． 把菱形B平移到③或④或⑤或⑦的位置可得轴对称图形．共有8种方法． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的定义，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．理解轴对称的定义和菱形是轴对称图形是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果在实数范围内有意义，那么的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可得 ， 解得． 故答案为：． 8. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 【答案】3（a﹣1）2． 【解析】 【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 9. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解． 【详解】解：由方程可知 ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理可简便运算． 10. 公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则____________． 【答案】4.125 【解析】 【分析】先把化为，再根据近似公式得出，然后进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：化为， 由近似公式得到 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握近似公式是解题的关键． 11. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于_______． 【答案】57°##57度 【解析】 【分析】由矩形的性质得，由折叠的性质得到相等的角，再根据图形找到角之间的关系，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ， 由折叠的性质得：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质；熟练掌握折叠题目中找出相等的角是解题的关键． 12. 如图，反比例函数y=（x＞0）的图象与直线AB交于点A（2，3），直线AB与x轴交于点B（4，0），过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是______． 【答案】（2，）或（2，）或（6，-） 【解析】 【分析】先将A点的坐标代入反比例函数求得k的值，然后将x=4代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点C的坐标；然后结合图象分类讨论以A、B、C、D为顶点的平行四边形，如图所示，找出满足题意的D的坐标即可． 【详解】解：把点A（2，3）代入y=（x＞0）得：k=xy=6， 故该反比例函数解析式为：y=． ∵点B（4，0），BC⊥x轴， ∴把x=4代入反比例函数y=，得 y=． 则C（4，）． ①如图，当四边形ACBD为平行四边形时，AD∥BC且AD=BC． ∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，）， ∴点D的横坐标为2，yA-yD=yC-yB，故yD=． 所以D（2，）． ②如图，当四边形ABCD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′=CB． ∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，）， ∴点D的横坐标为2，yD′-yA=yC-yB，故yD′=． 所以D′（2，）． ③如图，当四边形ABD″C为平行四边形时，AC=BD″且AC∥BD″． ∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，）， ∴xD″-xB=xC-xA即xD″-4=4-2，故xD″=6． yD″-yB=yC-yA即yD″-0=-3，故yD″=-． 所以D″（6，-）． 综上所述，符合条件的点D的坐标是：（2，）或（2，）或（6，-）． 故答案为（2，）或（2，）或（6，-）． 【点睛】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，解答本题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的四则混合运算，熟练掌握法则是关键． （1）利用算术平方根、零指数幂和负整数指数幂计算即可； （2）先计算括号内的分式加法，再计算除法即可． 【详解】（1）原式 （2）原式． 14. 解不等式组：，并在数轴上表示解集． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 原不等式组的解集为； 不等式组的解集在数轴上的表示如图所示． 15. 如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（不要求写出画法）． （1）在图1中，画出一个以为边的矩形； （2）在图2中，试在上画出点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是综合运用矩形的判定与性质、正多边形的性质准确画图． （1）根据已知条件可知是轴对称图形，利用轴对称的性质可知，连接得到的四边形即为以为边的矩形； （2）连接交于，连接交于，连接并延长交于点，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，矩形即为所求． 【小问2详解】 解：如图，点即为所求． 理由如下：根据题意可得， ∴， ∴， 根据作图和正多边形的性质可知， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，，过点B的直线与y轴交于点D，过点B作直线交x轴于点E． （1）求点D的坐标． （2）求直线的解析式． 【答案】D（0，-1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由已知得B点坐标（1，2），代入相应函数解析式得到n的值，点D为直线与y轴的交点，因此得出答案； （2）由四边形OABC是矩形，所以BA⊥OE，再由直线BD⊥直线BE，推出，求出AE，得到点E坐标，再用待定系数法即可求出答案． 【详解】解：（1）由题意知OA=1，AB=2， 则B点坐标为（1，2） 代入，得2=3+n，解得n=-1 ∴过点B的直线BD解析式为，当x=0时，y=-1， ∴点D的坐标为（0，-1） （2）如图，直线BD交x轴于点F ∵直线BD解析式为 ∴当y=0时，x= ∴点F的坐标为（，0），FA= ∵四边形OABC是矩形 ∴BA⊥OE,∠FAB=∠BAE =90° ∴∠ABE+∠AEB=90° ∵直线BD⊥直线BE， ∴∠FBA+∠ABE=90°即∠AEB=∠FBA ∴，则 ∴AE=6，OE=7 ∴点E坐标为（7，0） 设直线BE的解析式为，代入点B、点E坐标得： ，解得 ∴直线的解析式为： 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求解方法（待定系数法），一次函数与坐标轴轴的交点坐标，另外由垂直找到相似三角形得出线段的长度进而求出点的坐标，熟练的掌握一次函数解析式的求解方法，以及利用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17. “唱响红色主旋律，不忘初心担使命．”为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精神风貌．南昌市某校举办了“红五月”大合唱展演活动．九年级学生准备选择A．《龙的传人》、B．《祖国有我》、C．《东方红》、D．《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均等． （1）选中《龙的传人》是_________事件，选中《唱支山歌给党听》是___________事件（填“不可能”、“必然”或“随机”）； （2）请你用列举法、列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求“选中《祖国有我》和《东方红》”的概率． 【答案】（1）随机，不可能 （2） 【解析】 【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念求解即可； （2）画树状图，这次选择所有等可能的结果共有种，其中“选中《祖国有我》和《东方红》”的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 选中《龙的传人》是随机事件，选中《唱支山歌给党听》是不可能事件； 故答案为：随机，不可能 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 从树状图可以看出，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中选中《祖国有我》和《东方红》的结果：即、，有2种， （选中《祖国有我》和《东方红》）． 【点睛】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件和不可能事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 太原市某校积极开展中学社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿队伍，每名学生最多选择一个队伍．为了解学生的选择意向，随机抽取七年级（1）（2）（3）（4）四个班，共名学生进行调查，将调查得到的数据进行整理，绘制成如图所示两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： （1）求扇形统计图中，交通监督所占的百分比； （2）求（4）班选择环境保护志愿者队伍的学生人数，补全折线统计图； （3）若该校共有人，请你估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍的人数． 【答案】（1）交通监督所占的百分比为；（2）（4）班选择环境保护志愿者队伍的学生人数为人；补全折线统计图见解析；（3）估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍人数为人． 【解析】 【分析】（1）由折线统计图可以算出4个班交通监督的总人数，除以调查总人数再乘以100%即可得到答案； （2）由已知条件可以算出4个班选择环境保护的总人数，减去前面3个班选择环境保护的总人数，即可得到4班选择环境保护的人数，然后可以补全折线统计图； （3）用1减去“环境保护”、“交通监督”及“都不选择”三项的总比例，再乘以学校总人数即可． 【详解】（1） 所以交通监督所占的百分比为 （2）（人），60-15-14-16=15（人） 据此可以补全折线统计图如下： 答：（4）班选择环境保护志愿者队伍的学生人数为15 人． （3）=1140（人） 答：估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍人数为人． 【点睛】本题考查折线统计图、扇形统计图及用样本估计总体的综合应用，灵活运用各统计图数据间的关系及用样本估计总体的方法求解是解题关键． 19. 布艺手袋因环保时尚，成为学生一族的新宠．某商店准备购进甲、乙两种布艺手袋，已知用150元购进甲种布艺手袋的数量与用200元购进乙种布艺手袋的数量相同，乙种布艺手袋单个的进价比甲种布艺手袋单个的进价多5元． （1）求甲、乙两种布艺手袋单个的进价； （2）若商店一次性购进甲、乙两种布艺手袋300个，要使总费用不超过5100元，最少要购进多少个甲种布艺手袋? 【答案】（1）甲种布艺手袋的进价为15元/个，乙种布艺手袋的进价为20元/个． （2）最少要购进180个甲种布艺手袋 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程和不等式是关键． （1）设甲种布艺手袋进价为元个，则乙种布艺手袋进价为元个．用150元购进甲种布艺手袋的数量与用200元购进乙种布艺手袋的数量相同，据此列方程解方程并检验即可； （2）设该商店购进个甲种布艺手袋，则购进个乙种布艺手袋．根据总费用不超过5100元列不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种布艺手袋进价为元个，则乙种布艺手袋进价为元个． 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 故甲种布艺手袋的进价为15元/个，乙种布艺手袋的进价为20元/个． 【小问2详解】 设该商店购进个甲种布艺手袋，则购进个乙种布艺手袋． 根据题意，得， 解得， 的最小值为180． 故最少要购进180个甲种布艺手袋． 20. 如图所示，某款机械人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座（计算的最后结果保留一位小数．） （1）若上臂与水平面平行，．计算点A到地面的距离． （2）如图2，在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，计算这时点A到地面的距离？（参考数据；，） 【答案】（1）点A到地面的距离为 （2） 【解析】 【分析】（1）过点C作，垂足为M，在中，由，即可得出的值，进而可得的值； （2）过点作垂直于地面，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，求出，，，根据三角函数的定义可求出，，求出点A到地面的距离的长，即可解决问题． 本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图1，过点作，垂足为M， 则在中，， ，， ∴， ∴， ， 点A到地面的距离为； 【小问2详解】 解：如图2，过点作垂直于地面，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， 则四边形是矩形， ∴，， ，， ，，， ∴， ， 点A到地面的距离为． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，交于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接．根据切线的性质得出，结合，得出，从而得出．根据等腰三角形的性质得出，即可得，即可证明． （2）先证明，求出，勾股定理求出，从而得．再根据，得出，即可求出，，根据勾股定理即可求出，． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 是的切线， ， 又， ， ， ． ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，， ， ∴， ， ， ， ． ， ， ，， ， ． 【点睛】该题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 在平面直角坐标系中，已知直线：，抛物线的顶点为，与轴交于点，． （1）试说明点在直线上． （2）将直线向上平移4个单位长度得到直线，若直线经过点，求直线的解析式． （3）将直线向下平移得到直线，直线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且点的纵坐标为． ①若四边形为菱形，求的值； ②若直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小，求点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入一次函数解析式，进行判断即可； （2）令，求出点坐标，利用平移规则求出的解析式，将点坐标代入，求出直线的解析式． （3）①求出的长，根据菱形的边长相等，列出方程进行求解即可；②设直线的解析式为，令，根据抛物线开口向上，直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小，得到直线与抛物线有且只有一个交点，得到，得到，平移得到，进而得到，求出的值，进而求出的值，进一步求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：， ． ∵当时，， 点在直线上． 【小问2详解】 令， 解得，． 点的坐标为． 由平移可得直线的解析式为． 将代入． 得，解得． 直线的解析式为． 【小问3详解】 ①点的纵坐标为，， ． 若四边形为菱形，则． ， ， 或0（舍去）． ②设直线的解析式为， 令，则． 抛物线开口向上，直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小． ， 解得． ． 由平移可得， ，解得， ． 由，得， 解得， 点的横坐标为， 将代入，得， 点的坐标为． 六、（本大题共12分） 23. 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． 【初步探索】 （1）如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是_____． 【类比探究】 （2）如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． ①请写出，，之间的数量关系，并证明； ②若，，求的长． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，，，，点、为中不在同一边上的两点，且点为所在边的中点，若以、、、为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出，两点之间的距离． 【答案】（1）； （2）①． 证明：，． ， ． 四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，． ， ． ． ，． ． ②； （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，则，证明，即可得到结论； （2）①证明，则，，即可得到结论；②利用直角三角形的性质和勾股定理进行解答即可； （3）分两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图（1），过点作于点，则． 矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，， 是等腰直角三角形， ， ． ， 即． 故答案为： （2）①略 ②在中，，． ∴． ，， ． （3），，， ． 由题意，得点，均不可能在边上，故分两种情况讨论． a．当点在边上，点在边上，且四边形为“可等垂四边形”时，如图（2），则． 设点为它的“等垂点”，连接，，过点作于点，则． 同理（2）可得， ，． 设，则． ∵， ， ， 即， 解得， ． b．当点在边上，点在边上，且四边形为“可等垂四边形”时，如图（3），则． 设点为它的“等垂点”，连接，，过点作于点，则， ， ， ，， ． 同理可证，． ， ． 连接，则． 综上，，两点之间的距离为或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，读懂题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期中质量监测 九年级数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中最大的是（ ） A. —1 B. C. 0 D. 2 2. 小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于（ ） A. B. 5 C. D. 6. 如图是由三个全等的菱形拼接成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（　　） A. 3种 B. 6种 C. 8种 D. 10种 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果在实数范围内有意义，那么的取值范围是______． 8. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 9. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 10. 公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则____________． 11. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于_______． 12. 如图，反比例函数y=（x＞0）的图象与直线AB交于点A（2，3），直线AB与x轴交于点B（4，0），过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）化简： 14. 解不等式组：，并在数轴上表示解集． 15. 如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（不要求写出画法）． （1）在图1中，画出一个以为边的矩形； （2）在图2中，试在上画出点，使． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，，过点B的直线与y轴交于点D，过点B作直线交x轴于点E． （1）求点D的坐标． （2）求直线的解析式． 17. “唱响红色主旋律，不忘初心担使命．”为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精神风貌．南昌市某校举办了“红五月”大合唱展演活动．九年级学生准备选择A．《龙的传人》、B．《祖国有我》、C．《东方红》、D．《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均等． （1）选中《龙的传人》是_________事件，选中《唱支山歌给党听》是___________事件（填“不可能”、“必然”或“随机”）； （2）请你用列举法、列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求“选中《祖国有我》和《东方红》”的概率． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 太原市某校积极开展中学社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿队伍，每名学生最多选择一个队伍．为了解学生的选择意向，随机抽取七年级（1）（2）（3）（4）四个班，共名学生进行调查，将调查得到的数据进行整理，绘制成如图所示两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： （1）求扇形统计图中，交通监督所占的百分比； （2）求（4）班选择环境保护志愿者队伍的学生人数，补全折线统计图； （3）若该校共有人，请你估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍的人数． 19. 布艺手袋因环保时尚，成为学生一族的新宠．某商店准备购进甲、乙两种布艺手袋，已知用150元购进甲种布艺手袋的数量与用200元购进乙种布艺手袋的数量相同，乙种布艺手袋单个的进价比甲种布艺手袋单个的进价多5元． （1）求甲、乙两种布艺手袋单个的进价； （2）若商店一次性购进甲、乙两种布艺手袋300个，要使总费用不超过5100元，最少要购进多少个甲种布艺手袋? 20. 如图所示，某款机械人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座（计算的最后结果保留一位小数．） （1）若上臂与水平面平行，．计算点A到地面的距离． （2）如图2，在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，计算这时点A到地面的距离？（参考数据；，） 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，交于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，已知直线：，抛物线的顶点为，与轴交于点，． （1）试说明点在直线上． （2）将直线向上平移4个单位长度得到直线，若直线经过点，求直线的解析式． （3）将直线向下平移得到直线，直线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且点的纵坐标为． ①若四边形为菱形，求的值； ②若直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小，求点的坐标． 六、（本大题共12分） 23. 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． 【初步探索】 （1）如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是_____． 【类比探究】 （2）如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． ①请写出，，之间的数量关系，并证明； ②若，，求的长． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，，，，点、为中不在同一边上的两点，且点为所在边的中点，若以、、、为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出，两点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $