精品解析：贵州省黔西南州兴仁市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

贵州省兴仁市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用交集定义计算即可. 【详解】因为集合，那么. 故选：B. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为，若，由不等式的性质知，，即可以推出， 若，则有，所以，得到，即可以推出， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 3. 已知实数，则的最小值是（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即， 所以的最小值是. 故选：B. 4. 当时，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用指数函数单调性解不等式得出函数定义域. 【详解】函数满足， 所以，因单调递增，所以， 所以函数定义域为. 故选：D. 6. 已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，设幂函数的解析式为，代入点，解得，得到幂函数的解析式，即可求解． 【详解】解：由题意，设幂函数的解析式为， 又由幂函数过点，代入得，解得，即， 所以， 故选：B． 7. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由零点存在定理即可求解. 【详解】易知是上的增函数，又，，所以的零点所在区间是． 故选：A. 8. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值判断. 【详解】因为， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D； 因为，所以排除C， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合，集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，再结合集合交并运算判断AB；确定命题真假判断CD. 【详解】对于AB，，则，，A错误，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误. 故选：BC 10. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】推导出，在等式中，令可求得的值，在等式中，令可求得的值，可判断A选项；由函数的周期性结合函数在上的单调性可判断B选项；利用函数的单调性与对称性可知，函数在区间上单调递减，可判断C选项；在等式中，令，可得出，再由可判断D选项. 【详解】因为，所以， 所以. 因为，取，得. 因为，取，得， 又，所以，故A正确； 由在区间上单调递减，得， 又，且，所以，故B正确； 因为，所以函数的图象关于点对称， 因为函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递减， 因为，则，所以，故C错误； 由，取，得， 又，所以，故D正确 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 和不是同一函数 B. C. “”是“关于不等式的解集为”的充分不必要条件 D. 如果实数，满足，则不等式恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同一函数的概念可判断A；利用指数幂的运算可判断B；关于的不等式的解集为，即不等式的解集为，则，求得，根据充分条件与必要条件的概念可判断C；利用作差法可判断D. 【详解】的定义域为，的定义域为，则与不是同一函数，故A正确； ，而，从而，故B错误； 关于的不等式的解集为，即不等式的解集为， 则，解得， 而“”是“”充分不必要条件，故C正确； 当时，，从而，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 __________ 【答案】 【解析】 【分析】化根式为分数指数幂即可列式计算得答案. 【详解】依题意，，而， 则，而，解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数关于点中心对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由对称中心求得，再通过诱导公式可求的值. 【详解】令，可得：，结合， 令，可得，得，解得， 所以， 所以 . 故答案为：. 14. 函数的值域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先换元，再利用三角变换，将函数转化为关于的二次函数，再求值域. 【详解】设，因为，所以， 则， ， 当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值， 所以函数的值域是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 ∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 16. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. （1）当时，求的值； （2）设的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. 【小问2详解】 如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 17. 安溪作为世界藤铁工艺之都，孕育了藤铁家居工艺企业2200多家，加工点3000多个，从业人员15万人，产品出口到世界60多个国家和地区.为了更好地发展，某公司投入2百万资金，设计开发了，两种工艺品.现公司拟投入资金开展生产，经市场调查与预测，生产工艺品的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1百万元，公司获得毛收入0.25百万元；生产工艺品的毛收入（百万元）关于投入的资金（百万元）的函数为，其图象如图所示. （1）分别求生产，两种工艺品的毛收入（百万元）关于投入资金（百万元）的函数关系式； （2）公司计划投入80百万元资金用于生产，两种工艺品，则如何安排，使公司所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1），，，， （2）投入百万元生产工艺品，投入百万元生产工艺品，公司所获利润最大，最大利润为19百万元. 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式； （2）设投入百万元生产工艺品，则得到利润表达式，利用二次函数的性质求出最值即可. 【小问1详解】 因为生产工艺品的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以， 即生产工艺品毛收入（百万元）与投入资金（百万元）的函数关系式为， 对于生产工艺品的，因为函数图像过点， 所以 ，解得，所以， 即生产工艺品的毛收入（百万元）与投入的资金（百万元）的函数关系为 ， 【小问2详解】 设投入百万元生产工艺品，则投入百万元生产工艺品，则公司所获利润 ， 所以当，即百万元时， 即投入百万元生产工艺品，投入百万元生产工艺品，公司所获利润最大，最大利润为19百万元. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期及的值； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，直线与函数的图象分别交于，两点，求的最大值. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）整理可得，进而可得的最小正周期及的值； （2）根据三角函数图象变换求函数的解析式； （3）根据题意结合三角恒等变换整理可得，结合正弦函数有界性分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 所以的最小正周期为；. 【小问2详解】 将函数图象的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到， 再向左平移个单位长度得到函数. 【小问3详解】 由题意可知：两点的坐标为， 可得 ， 因为，则，可得， 所以在时的最大值为. 19. 已知函数的表达式为，且（）. （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1），偶函数 （2）上单调递减，在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，求解的解析式，按照求解实数a的值即可；再根据奇偶性的定义判断与的关系即可得奇偶性； （2）分离函数，用定义即可判断的单调性； （3）再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 【小问1详解】 ， 故，即． ，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. 【小问2详解】 在上单调递减．在上单调递增．下面证明： 设，，且.计算： 因为，，且，所以，，，. 那么，即，所以. 根据函数单调性的定义可知，函数在上单调递减. 又因为是偶函数，所以在上单调递增． 【小问3详解】 因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省兴仁市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，那么（ ） A B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知实数，则的最小值是（ ） A. B. C. 6 D. 5 4. 当时，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 4 7. 函数零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合，集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. ， D. ， 10. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 和不是同一函数 B. C. “”是“关于的不等式的解集为”的充分不必要条件 D. 如果实数，满足，则不等式恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 __________ 13. 已知函数关于点中心对称，则________． 14. 函数的值域是__________. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. （1）当时，求的值； （2）设的面积为，求的最大值. 17. 安溪作为世界藤铁工艺之都，孕育了藤铁家居工艺企业2200多家，加工点3000多个，从业人员15万人，产品出口到世界60多个国家和地区.为了更好地发展，某公司投入2百万资金，设计开发了，两种工艺品.现公司拟投入资金开展生产，经市场调查与预测，生产工艺品的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1百万元，公司获得毛收入0.25百万元；生产工艺品的毛收入（百万元）关于投入的资金（百万元）的函数为，其图象如图所示. （1）分别求生产，两种工艺品的毛收入（百万元）关于投入资金（百万元）的函数关系式； （2）公司计划投入80百万元资金用于生产，两种工艺品，则如何安排，使公司所获利润最大，最大利润是多少？ 18. 已知函数. （1）求的最小正周期及的值； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，直线与函数的图象分别交于，两点，求的最大值. 19. 已知函数表达式为，且（）. （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$