精品解析：广西贵港市平南县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025年春季期八年级期中教学质量检测 数学试题 （考试时间120分钟，赋分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 我国有56个民族，各民族的传统服饰图案各具特色．下列图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则（　　） A. B. C. D. 3. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 3 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，台风过后，同学们发现学校一棵树在距离地面处折断了，倒下部分与地面形成了的夹角，这棵树原来的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，6 B. 7，8，10 C. 3，4，5 D. 1，1，2 7. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（ ） A. B. C. D. 9. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为，画射线，则平分．做法中用到证明与全等的理由是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（ ） A. ，两边高线的交点处 B. ，两边中线的交点处 C. ，两边垂直平分线的交点处 D. ，两角的平分线的交点处 11. 如图，某同学利用几何画板作图发现：在矩形中，是上的一个动点，过点分别作两条对角线的垂线，垂足分别是E，F，不管怎么移动点，的值都保持不变．若，，则的值为（ ） A. B. C. 12 D. 24 12. 如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（ ） A. B. C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 试写出一组勾股数___________________． 14. 一个多边形的内角和等于，则这个多边形是___________边形． 15. 如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为_____． 16. 如图，在正方形和正方形中，点在上．若，，点是的中点，则的长是_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17. 如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长． 18. 已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 19. 如图，在中，． （1）用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求证：． 20. 如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 21. 《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中记录“出入相补法”原理如下：如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点作，垂足为，延长至点，使，连接，延长至点，使，连接，则四边形的面积等于的面积． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 22. 如图，数学兴趣小组成员将的对角线向两个方向延长，且使，分别连接，，，． （1）求证：； （2）对角线向两边延长到什么情况时，四边形是矩形？请说明理由． 23. 【知识运用】 （1）如图1，是的一条中位线，求证：，． 【知识迁移】 （2）如图2，是的一条中位线，点是内的一点，将点分别绕点，旋转得到点和，连接，求线段与的位置关系和数量关系，并给出证明过程． 【知识拓展】 （3）如图3，在中，，，，D，E分别是边的中点，点在内，将点分别绕着点，旋转得到点和，分别连接，，，，利用（2）所得的结论，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期八年级期中教学质量检测 数学试题 （考试时间120分钟，赋分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 我国有56个民族，各民族的传统服饰图案各具特色．下列图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是关键． 【详解】解：A、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意； B、选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，选项符合题意； C、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意； D、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意． 故选：B． 2. 在中，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理．利用三角形的内角和定理计算即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 故选：B． 3. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，即可求的度数． 此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，且， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，台风过后，同学们发现学校一棵树在距离地面处折断了，倒下部分与地面形成了的夹角，这棵树原来的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，正确求出的长是解题的关键． 如图：由含角的直角三角形的性质得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，根据题意得：，， ， ， ，即这棵树在折断前的高度是6米． 故选：B． 6. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，6 B. 7，8，10 C. 3，4，5 D. 1，1，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键．先计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于，则是直角三角形，否则就不能围成直角三角形． 【详解】解：A、，故不能围成直角三角形，此选项错误； B、，故不能围成直角三角形，此选项错误； C、，能围成直角三角形，此选项正确； D、，故不能围成直角三角形，此选项错误． 故选：C． 7. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是正五边形的性质，熟记正五边形性质是解题的关键． 根据正五边形的性质的，，再利用等腰三角形的性质求出，进而可求出的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ∴． 故选B． 8. 如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理中的数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半．先确定是的中位线，则． 【详解】解：点，是和的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 9. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为，画射线，则平分．做法中用到证明与全等的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了学生的观察能力和判定直角三角形全等的定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．根据直角三角形全等的判定定理，可证． 【详解】在和中， ， ， 平分． 故选：D． 10. 如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（ ） A. ，两边高线的交点处 B. ，两边中线的交点处 C. ，两边垂直平分线的交点处 D. ，两角的平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线上的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等成为解题的关键． 直接根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴灯应该安装在，两角的平分线的交点处． 故选：D． 11. 如图，某同学利用几何画板作图发现：在矩形中，是上的一个动点，过点分别作两条对角线的垂线，垂足分别是E，F，不管怎么移动点，的值都保持不变．若，，则的值为（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接．由矩形的两边，，可求得，然后由，求得答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形的两边，， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 12. 如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，先证明得出，则可证明四边形是菱形得出，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O， ∵将沿折叠，使点与点A重合， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，解得：，即的边上的高是． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 试写出一组勾股数___________________． 【答案】3、4、5（答案不唯一）． 【解析】 【详解】解：最常见的勾三股四弦五，勾股数为3，4，5． 故答案为：3、4、5（答案不唯一）． 14. 一个多边形的内角和等于，则这个多边形是___________边形． 【答案】九 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；设这个多边形的边数是n，利用多边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】设这个多边形的边数是n，则有， 化简得， 解得， 这个多边形是九边形． 故答案为：九． 15. 如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线的定义和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行四边形是解题的关键． 根据三等分点可得E、F分别是线段的中点可得且， 如图：过D作，则四边形是平行四边形可得、，再证明可得，再根据三角形中位线的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵ E、F是的三等分点， ∴，即点F是的中点，点E是的中点， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴且， 如图：过D作，则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 16. 如图，在正方形和正方形中，点在上．若，，点是的中点，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 如图，连接，根据正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后说明运用勾股定理可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形中， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴ ∵点是的中点， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17. 如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，等角对等边确定与的关系，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 18. 已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 【答案】没有超速 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 由勾股定理可得，再根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断即可解答． 【详解】解：汽车没有超速，理由如下： 依题意，由勾股定理可得：，，， ． ∴， ∴． ∴汽车没有超速． 19. 如图，在中，． （1）用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求证：． 【答案】（1） 作图如图所示，为所求作的角平分线 （2） 证明：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的判定，角平分的定义，掌握角平分线的尺规作图基本步骤及角平分线的定义性质是解决的关键； （1）根据角平分线的尺规作图步骤，以为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧使其交于点，连接并延长与交于点，则即为所求； （2）根据角平分线的定义可以得到，即可证明； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） 证明：，垂足为D，，垂足为， 在和中， （）. ； （2） 证明：由（1）可知， ， ，点是的中点， ， ， 又， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）先由全等三角形的性质得，再根据直角三角形的性质得，进而得，，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中记录“出入相补法”原理如下：如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点作，垂足为，延长至点，使，连接，延长至点，使，连接，则四边形的面积等于的面积． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：点D，E分别是的中点， ． 在和中，，，， ． ． 同理可得：． ． （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先证明可得，同理可得：，再根据等量代换即可证明结论； （2）先证明是的中位线可得，进而证明四边形为矩形． 可求得矩形的面积，最后说明即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点D，E分别是的中点， 是的中位线． ． 由（1）可知，，， ，． 四边形为矩形． ．， ． 22. 如图，数学兴趣小组成员将的对角线向两个方向延长，且使，分别连接，，，． （1）求证：； （2）对角线向两边延长到什么情况时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 如图，连接，对角线向两边延长到时（是两对角线的交点），四边形是矩形，理由如下： 连接，与交于点， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识． （1）由平行四边形的性质可得，，推出，进而得到，结合，即可得证； （2）连接，与交于点，由平行四边形的性质可得，结合，以及矩形的判定定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 【知识运用】 （1）如图1，是的一条中位线，求证：，． 【知识迁移】 （2）如图2，是的一条中位线，点是内的一点，将点分别绕点，旋转得到点和，连接，求线段与的位置关系和数量关系，并给出证明过程． 【知识拓展】 （3）如图3，在中，，，，D，E分别是边的中点，点在内，将点分别绕着点，旋转得到点和，分别连接，，，，利用（2）所得的结论，求四边形的面积． 【答案】 （1）证明：如图，延长至点F，使，连接， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，； （2）猜测：，． 如图，连接，，． 点分别绕着点旋转得到点， ，G，D，F三点共线． ． 是的中位线， ． ． ，， ． 同理可得，， ，． 四边形为平行四边形． ，． （3）15 【解析】 【分析】（1）延长至点F，使，连接，证明，得，然后证明四边形为平行四边形，即可解决问题； （2），连接，AG，BF，FH，．由旋转的性质可得，G，D，F三点共线．证明．得到，，则．同理可得，，据此可证明四边形为平行四边形．则，． （3）连接，由（2）的思路结合平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，连接． 由（2）可知，，． ，， ，． ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $