抢分秘籍07 平面解析几何（4大题型3大易错）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

抢分秘籍07 平面解析几何 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】圆与方程 【题型二】 椭圆 【题型三】双曲线 【题型四】 抛物线 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：求轨迹时忽视限制条件致错 易错点二：对双曲线定义的理解不透彻致错 易错点三：忽视抛物线焦点所在轴而丢解致误 题型与分值：在上海高考中，圆锥曲线的考查题型涵盖填空题、选择题和解答题。在试卷中一般占 10 - 20 分左右，比如 2024 年秋考的第 7 题和第 20 题、2024 年春考的第 8 题和第 20 题都涉及圆锥曲线内容。 考点分布 小题方面：常考圆锥曲线的基本性质，如椭圆、双曲线的离心率，通过给出相关方程或几何条件，让考生判断离心率的取值范围，以此考查对概念的理解。也会考查圆锥曲线标准方程的求解，比如已知双曲线的渐近线方程和一些几何特征，要求写出双曲线的标准方程；或者考查直线与圆锥曲线相交后的弦长计算等。 解答题方面：具有较强的综合性，常与直线、向量、函数等知识深度融合。可能会给出椭圆方程和一条直线方程，要求判断直线与椭圆的位置关系，若相交，进而计算弦长、三角形面积，又或者探究是否存在某定点，使某些条件成立。 能力要求：圆锥曲线的知识点主要考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等数学学科素养。并且试题结构更加灵活和科学，注重考查学生的应变能力和基础知识，强化思维灵活性，突出素养导向和创新能力 注重数形结合思想的运用，比如在分析圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系时，结合图形可以更直观地理解问题，找到解题思路。 掌握设而不求的方法，在处理直线与圆锥曲线相交问题时，设出交点坐标，但不直接求解，而是通过韦达定理等方法来表示相关量，从而简化运算。 对于一些定点、定值问题，可先通过特殊情况找出定点或定值，再进行一般性的证明；对于最值与范围问题，则可通过建立目标函数，利用函数的性质或不等式等方法来求解。 【题型一】圆与方程 1.求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 2.求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 3.与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 4．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 5．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 6.判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 7.弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 8.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 1．（2025·上海普陀·二模）设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定直线与圆的位置关系，表示出直线的斜率，数形结合，根据直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系，得到的关系，求出离心率的取值范围，即可进行判断. 【详解】如图： 因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：. 因为点到直线：的距离为：， 所以直线与圆相切. 又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点， 所以直线的斜率为：. 又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：. 又. 即. 故选：D 2．在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【分析】 对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑. 【详解】对于①，取直线, 则对于任意的，有， 故圆均在直线的下方， 而对任意的，有， 故圆均在直线的上方， 而当时，表示原点，它在直线的下方， 故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧. 所以①成立. 对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为 当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立. 故选：B 3．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】对于①，注意到， 则可想到当时满足题意；对于②，设， 则，后由可得，利用三角函数知识可得，据此可判断命题正误. 【详解】 ，则当时，，， ， 即当时，恒成立，则①是真命题； 设， 则， 又， 则. 因， 则， 则，令， 则， 即， 则 ，其中， ，则， 因，则 ， 则， 则，故②是真命题. 故选：A. 【点睛】关键点睛：对于命题①，关键为注意到； 对于命题②，难点在于确定的范围，为此首先将看作整体，随后将从相关等式中分离出来，最后利用三角函数的值域确定范围. 4．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 5．（2024·上海奉贤·三模）已知正方体的棱长为，，，…，为正方形边上的个两两不同的点．若对任意的点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为 ． 【答案】8 【分析】先确定当线与平面所成角大小均为时，，满足的条件，同理当直线与平面所成角大小均为时，，满足的条件，再考虑如何作出，即可. 【详解】如图： 设，为正方形的两个点，且满足直线与平面所成的角为，过作于，连接，则为线与平面所成的角，是. 所以. 所以在平面内，以为圆心，为半径做圆，取为圆上一点，过作圆的切线，切线与正方形边的交点即为，. 又，所以与平面所成的角为，所以以为圆心，为半径做圆，做该圆的切线，与正方形边的交点即为，. 如图： 因为，所以与相离，两圆有4条公切线，与正方形的边有8个交点. 在这8个点中，任选一个点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：本题的关键是弄清楚，点的作法.先根据直线与平面所成角的概念，判断，应满足的条件，以后的问题就好想多了. 6．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 【题型二】 椭圆 1.椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 2.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 3.根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＋＝λ或＋＝λ(a>b>0，λ>0)． 4.求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． 5.与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是基本不等式． 1．直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的性质结合，求出直线的斜率，再根据的坐标得出直线的斜率，从而得出的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，则， 所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为， 过作的垂线，则为的中点， ，，则， 又，所以是的中点， 所以直线的斜率， ，则， . 故选：D.    2．（2024·上海杨浦·一模）中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为 .（精确到0.01） 【答案】 【分析】根据椭圆上点到焦点距离最小值为，到焦点距离最大值为，列式运算得解. 【详解】设变轨前的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为， 变轨后的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为， 由题意可得，化简得， 即，解得（负值舍去）. 故答案为：. 3．（2025·上海杨浦·二模）如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为 .厘米. 【答案】21 【分析】根据给定条件，确定椭圆的长短半轴长，再利用椭圆离心率求法列式计算得解. 【详解】依题意，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的短半轴长， 当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的长半轴长，则， 由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得， 所以之间的距离为21厘米. 故答案为：21 4．已知椭圆的左右焦点分别为、，圆与抛物线的准线相切，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，且为抛物线与椭圆的一个交点，若的面积为，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据圆与抛物线准线相切求出的值，进而得到椭圆的右焦点坐标，再结合的面积求出交点的纵坐标，代入抛物线方程求出横坐标，最后将交点坐标代入椭圆方程，结合椭圆的性质求出离心率． 【详解】抛物线的准线方程为． 已知圆与抛物线的准线相切，则圆心到准线的距离等于圆的半径，即，解得或（舍去）．    因为抛物线的焦点坐标为，把代入可得焦点坐标为，又因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以椭圆的右焦点，则（为椭圆的半焦距）． 设，因为的面积为，且，根据三角形面积公式，可得，即，解得． 把代入抛物线方程，可得，即，解得． 因为点在椭圆上，所以，又因为，代入上式可得： 设（），则，通分可得：，即 解得（舍去）或，即，则． 根据椭圆的离心率公式，可得． 故答案为：． 5．（2024·上海·三模）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点. (1)求椭圆的离心率； (2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标； (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)； (3)存在直线或满足题意 【分析】（1）根据椭圆方程直接求，即可得离心率； （2）由垂直的向量表示化简，结合点在椭圆上即可求出点坐标，再联立直线与椭圆可得B点坐标； （3）由直线方程得出，分别求出三角形面积，根据面积相等建立方程求出即可得解. 【详解】（1）由椭圆方程知，，， 所以， 所以离心率. （2），，设，且. 所以，， ，， 又在椭圆上，满足，即， ，解得，即. 所以直线：， 联立，解得或， 所以； （3）设，，，， 直线：， 联立，得. 则，. 直线的方程：，令得纵坐标； 直线的方程：，令得的纵坐标. 则， 若，即， ， ，， 代入根与系数的关系，得，解得. 存在直线或满足题意. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法: （1）利用弦长以及点到直线的距离公式，表示出三角形的面积; （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或的形式求解. 6．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解. （2）求出以线段为直径的圆方程，再与椭圆方程联立，按求出方程组的交点坐标即可. （3）设，表示出点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，建立的关系，进而建立不等式求解. 【详解】（1）依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. （2）由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 7．已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点. (1)求椭圆的标准方程; (2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是，MN的中点为 【分析】（1）根据题意列方程，再结合，解方程得到，，，即可得到椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程得到+，，根据直线AB、AC的方程得、，结合韦达定理化简得+，则MN中点坐标可得. 【详解】（1）由题意得，，又， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为； （2）设，， 因为直线经过且与椭圆交于BC两点，所以直线BC的斜率一定存在， 故设直线BC的方程为：，其中， 由得：， ，得； +，， 又因为直线AB的方程:，得， 同理 由+= = = 故MN的中点为. 8．已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由点在椭圆上求出椭圆参数，即可得方程； （2）（i）设，结合及点在椭圆上求得，即可得直线方程；（ii）设直线方程联立椭圆，应用韦达定理及得到，再分类讨论求直线所过的定点，注意直线斜率不存在的情况，进而求弦长最小值. 【详解】（1）由题意，知PF与x轴垂直，， 令，解得，即，解得或（舍去）， 故，椭圆C的标准方程为． （2）（i）当直线AB斜率不存在时，设， 则，， 由，知，又，解得或1（舍去）， 故直线AB的方程为； （ii）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立椭圆C的方程，得， 设，由韦达定理知， 于是， 由知， ， 若，则直线AB为，直线AB恒过定点，不合题意， 若，则直线AB为，直线AB过定点， 当直线AB斜率不存在时，直线AB也过点， 于是直线AB恒过定点， 当直线AB与OM垂直时，圆心O到直线AB的距离最大，为， 故直线AB被圆O所截得的弦的长度的最小值为．    9．椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. (1)求椭圆E的方程； (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆过点，离心率为，列式解得的值即得； （2）由题意设，，根据及直线与交于点F，知C，D分别是的中点,得，将代入椭圆的方程，消去即可得F点的轨迹方程 （3）分直线的斜率存在与不存在两种情况计算，斜率存在时利用联立方程求出，再求得点到直线的距离，结合即可求得为定值 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆E的方程为. （2）由题意设，则 ∵，直线与交于点F. ∴C，D分别是的中点,设 则 ∵，在椭圆E：上， ∴， 由，得， 整理得 将①代入，得，即 所以F点的轨迹方程为. （3）若直线的斜率不存在，则，则, 若直线的斜率存在，设 设，，，则 由在椭圆上，在上 两式相减，整理得， 由（2）知、在椭圆上， 则， 两式相减，得 化简得 整理，得，∴ 由得，所以 到直线的距离 ∴. ∵，∴ 所以的面积为定值. 10．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）首先求出，再代入即可得到答案； （2）设，计算得，结合其在椭圆上，代入化简即可得，同理，则得到斜率比值； （3）设直线，联立椭圆方程得到，则得到的坐标，再计算得，，设，计算化简得，则得到定点坐标. 【详解】（1）由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. （2）设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. （3）设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 11．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆半长轴长与半短轴长的平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作椭圆的两条切线，两切线斜率之积为，求的轨迹方程； (3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的正整数解.例如：求二元二次方程的正整数解，通过，先找到该方程的初始正整数解，记此解对应的点为，进一步可得点.设由“循环构造法”得到方程的正整数解对应的点列为：，其中，，记，试判断，是否为定值?若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)（且）. (3)是，且为定值 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）分析可知，切线斜率存在且不为零，设过点的切线方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，由可得出关于的一元二次方程，设两切线的斜率分别为、，可知、为关于的一元二次方程的两根，结合韦达定理化简可得出点的轨迹方程； （3）计算得出，分析可得，求出的方程，即为点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出，结合平面向量数量积的定义化简可得出的值. 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为. （2）（i）当切线斜率不存在或为零时，不满足题意； （ii）当切线斜率存在且不为零时，设点， 设过点的切线方程为，即， 联立得， 由，得， 可得出关于的二次方程①， 方程①有两个不等根，则，且，可得， 设过点的两条切线的斜率分别为、，可得，整理可得， 又因为且，以及，可得且， 即且， 所以，点的轨迹方程为（且）. （3）因为，所以， ， 因为二项式与的展开式中不含的项相等，含的项互为相反数， 所以， 则， 所以， 直线的方程为，则即为点到直线的距离， 所以， ， 故为定值. 12．（2025·上海浦东新·二模）已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用离心率公式计算即可； （2）先求出，得到直线的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可； （3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点重合），算出和直线的斜率.接着设出点的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可. 【详解】（1）由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 （2）由题，，，所以，直线的方程为， 设的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. （3）由题，设的方程为， 由题意，且， 任取上一点（不与点重合），则，. 设，则， 直线的方程为，故， 代入得， 因为，解得， 由对称性，不妨设，代回直线方程可解得， 而点位于上，所以 ，为上任一点，所以为定值，化简得. 设，为上任一点，即有解. 整理得，， 解得，所以 . 故的长轴长. 13．已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，是椭圆上一点，的最大值是最小值的3倍. (1)求椭圆的离心率； (2)若点不与椭圆的顶点重合，过作的切线，与轴交于点，求； (3)已知，是上两个不同的点，过分别作直线，与相切，与的交点为，若，求动点的轨迹方程. （附：椭圆以点为切点的切线方程为） 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）出最大值与最小值，列出关于的齐次式求离心率即可； （2）直接写出点处的切线方程，求出点坐标，利用向量数量积求余弦值，代入计算即可； （3）求出椭圆标准方程，设，表示出直线方程，将用韦达定理表示，得到的方程即为所求. 【详解】（1）设，则， ，所以最大值为，最小值为， 所以，解得，即椭圆的离心率为. （2）设点，，则， 椭圆在点处的切线方程为. 令，可得，即， ， . ， ； （3）因为，所以，，，的方程为. 设，，， 则椭圆在点处的切线方程分别为，， 则，，故直线的方程为. 联立可得， ，，则. 因为，所以，解得， 化简可得， 故动点的轨迹方程为. 【题型三】 双曲线 1.求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 2.渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0. 3.在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2. 4.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)． 1．如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆及双曲线定义，结合等腰直角三角形，计算求解离心率. 【详解】    设左焦点为，则，，，， 在中用勾股定理，化简得， 所以 所以，所以. 故选:C. 2．已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】椭圆和双曲线的基本性质，并利用离心率定义列出关系式，利用函数求出最值即可. 【详解】设椭圆的焦点为，双曲线的焦点为， 根据椭圆、双曲线、正方形的对称性可知， 两曲线位于第一象限的公共点为， 则， 所以， 所以， 即， 当且仅当时取等号. 故选：A 3．（2024·上海金山·二模）已知双曲线(，)，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的对称性可得，两点一定在双曲线上，然后再判断另一个点，求出双曲线方程，再根据离心率公式即可得解. 【详解】根据双曲线的对称性可得，两点一定在双曲线上， 若在双曲线上， 则，方程组无解，故不在双曲线上， 则在双曲线上， 则，解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 4．（2024·上海·三模）如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从M到A、B两地修建公路费用都是10万元/km，从M到C修建公路的费用为20万元/km．选择合适的点M，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 万元（精确到0.01） 【答案】85.83 【分析】由题意根据双曲线定义确定M轨迹，再由双曲线定义结合图象当三点共线时求出最小值. 【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示： ，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支. 故，，，，故轨迹方程为：. 由题意修建的三条公路总费用 ， 由图形可知，当三点共线，即在点处时，有最小值， 由题意，所以， 所以. 故答案为： 5．（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 【答案】 【分析】由抛物线得定义过点作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得，再在中由余弦定理可得，接着利用双曲线的定义可求，最后利用共焦点求得. 【详解】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，    则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 故答案为： 6．（2025·上海宝山·二模）已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. (1)当直线过点，且时，求的周长； (2)已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； (3)已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）由双曲线的定义，根据整体思想，可得答案； （2）由斜率之和为零，可得倾斜角的大小，从而求得直线方程，利用三角形面积公式，可得答案； （3）分斜率存在与不存在两种情况，表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，结合题意建立方程，可得答案. 【详解】（1） 根据双曲线定义得：，， 两式相加得，即， 由已知得，所以的周长为， （2） 设直线的倾斜角分别为， 由已知得，不妨设，则， 则可求得，， 所以直线解得， 直线解得， 所以的面积为. （3）设，由知 若直线斜率不存在，则，此时与点重合，不符题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， ， 化简得，即， 解得，则点的坐标为. 7．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【答案】(1)的方程为；的方程为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由离心率结合，可求出，即可求出双曲线的方程，再由抛物线焦点到准线的距离为1，求出，即可抛物线的方程； （2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可； （3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解； 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 又因为离心率为，所以，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． 因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以， 所以抛物线的方程为． （2）证明：设，不妨设为渐近线为渐近线， 直线的方程为， 联立方程，解得， 所以 同理可得，所以 由于直线的斜率，因此，所以， 所以平行四边形的面积为， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以平行四边形的面积为; （3）设， 因为函数的导数为，所以直线的方程为， 由于在直线上，则， 同理，所以均满足方程， 所以直线的方程为， 联立方程，得，所以， 则， 又因为到直线的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当为时取最小值， 所以面积最小值为． 8．已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交于两点. (1)若离心率时，求的渐近线方程； (2)若，点在第一象限且为等腰三角形，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求出，进而求出渐近线方程； （2）由为等腰三角形对底边进行分类讨论，求出点的轨迹并与双曲线联立即可解得的坐标； （3）设点，根据双曲线对称性可得，对直线斜率分类讨论并与双曲线联立，由数量积的坐标表示可得，即求出结果. 【详解】（1）由题意得， 则，， 所以渐近线方程为. （2）当时，双曲线， 其中，， 因为为等腰三角形， 当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去； 当以为底时，若点P在第一象限时，，所以这样的点不存在； 当以为底时，，设，其中， 则有，解得，即； 综上，点的坐标为.    （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则直线的斜率， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有，得， 显然，其中， 则①，②，   ， 则，又，， 则， 即， 将①②代入有， 即， 化简得， 所以，代入到，得，所以， 且， 解得，又因为，则， 所以. 9．已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）， 【分析】（1）由点到直线距离公式结合题意可得，据此可得答案； （2）（ⅰ）设切线的方程为，由圆心到切线的距离，可得，再将切线方程与双曲线方程联立，由韦达定理结合可得，据此可完成证明； （ⅱ）方法1，注意到，由（ⅰ）可得，据此可得答案； 方法2，设切线与圆的切点为，则可得，据此可得答案； 方法3，由题可得，又设切线与圆的切点为，由，结合，可得，由基本不等式可得，据此可得答案. 【详解】（1）解：由于双曲线的右焦点为，所以. 双曲线的渐近线方程为，即为， 由于点到的一条渐近线的距离为，则. 解得所以的方程为. （2）（ⅰ）证明：显然圆的切线的斜率存在， 设切线的方程为， 由于切线不平行的渐近线，则. 由圆心到切线的距离，得. 由消去得， 由题意知.设， 则， 而 . 则， 则. 所以，即. （ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为，则， . 由（ⅰ）得， 又， 则. 当时，. 此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为. 解法2：由（ⅰ）同理可得， 所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为， 则. 在中，， 在中，， 则， 当时，，即的面积的最小值为3. 此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为. 解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为， 则. 在中，， 在中，， 由于，则， 根据基本不等式得， 得，则，即的面积的最小值为3. 当且仅当等号成立， 根双曲线的对称性知，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为.    【题型四】抛物线 1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 3．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，准线x＝－与x轴相交于点P，过焦点F的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为原点，α为AB与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：|AB|＝|x1－x2|，|AB|＝|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝. 1．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点，动点满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据动点满足的条件，得到其轨迹方程，再利用点到直线的距离公式求出的最小值. 【详解】设点，由及，得， 即，又，消去得， 的最小值即为点到直线的距离， 由已知得，而，故的最小值为. 故选：C. 2．（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 【答案】 【分析】由抛物线得定义过点作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得，再在中由余弦定理可得，接着利用双曲线的定义可求，最后利用共焦点求得. 【详解】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，    则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 故答案为： 3．为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ． 【答案】5 【分析】利用抛物线定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离即可. 【详解】因为抛物线，所以其焦点，准线方程为， 根据抛物线定义可知，又因为直线l方程为， 所以 故答案为：5.    4．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求. 【详解】设， 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为， 故答案为：. 5．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得到，即可求解； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解； （3）由（2）结合两点斜率公式即可求解. 【详解】（1）由题意知，所以抛物线方程为. （2） 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. （3）设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 6．设抛物线的焦点为，过的直线交于A，B两点（在第一象限），当垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)过且与垂直的直线交于，两点（在第一象限），直线与直线和分别交于P，Q两点. （i）当的斜率为时，求； （ii）是否存在以为直径的圆与轴相切？若存在，求，的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）不存在，理由见解析 【分析】（1）先求出直线的方程，代入，求出A，B的坐标，从而求出值，即可求出的方程； （2）（i）先求出直线的方程，再让直线和抛物线联立组成方程组，得到A，B的坐标，同理得到的坐标，进而得到直线，的方程，再令求出P，Q两点的坐标，即可求出， （ii）方法一：设直线的方程为，再让直线和抛物线联立组成方程组，根据韦达定理得到，同理得到，再由直线的方程求出，，得到，再利用，列出方程，通过方程无解说明圆不存在；方法二：设直线的方程为，再让直线和抛物线联立组成方程组，根据韦达定理得到，，再利用，列出方程，推导得到和的关系，从而得到，进而得到，从而说明圆不存在. 【详解】（1）设各点坐标分别为，，，，其中，. 由题意可知，当轴时，直线的方程为， 将代入，可得，， 所以，，所以C的方程为； （2） （i）依题意，直线的方程为，即， 由得， 故，，则，. 直线的方程为，即， 由得， 故，，则，. 所以直线的方程为，令得， 直线的方程为，令得， 所以； （ii）方法一：设直线的方程为，不妨设. 由得，，同理. 直线的方程为，即 令得. 由于，，所以. 从而的中点恒为，以为直径的圆与轴相切等价于. 若，则. 由得，， 故， ， 所以， 不妨如图设点的分布，可知， 所以， 所以， 因此，回代得， 而判别式，该方程无解， 从而不存在以为直径的圆与轴相切； 方法二：设直线的方程为，其中. 由得， ，. 因为，所以，. 从而. 令得. 故. 当且仅当时，等号成立， 同理，而P，Q分别在第一、第四象限， 故，从而不存在以为直径的圆与轴相切. 7．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）存在，4条. 【分析】（1）根据已知有点在抛物线上，代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设，，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，导数的几何意义求点处切线方程，且，进而得到、，易得，即可证； （ii）连接，由（i）得，则有四边形为平行四边形，再由且，结合已知及导数研究根的个数，即可得. 【详解】（1）当直线轴时，则点在抛物线上，故， 所以抛物线方程为； （2）（i）由题设，直线的斜率存在且不为0，设，则斜率， 若，，联立，得， 所以，， 由，则，故点处切线斜率为， 所以对应切线方程为， 令，故， 由，令，则，故， 所以， 所以，即，所以； （ii）连接，由（i）得，，则， 又，所以轴，即四边形为平行四边形， 所以 ， 若四边形的面积为，则，整理得， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 又，所以使， 在上，在上单调递减， 在上，在上单调递增， 而，，存在使， 所以在上有两个零点，为和，即在上有2个不同根， 由对称性，四边形的面积为的直线共有4条. 8．（2025·上海崇明·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．    (1)若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； (2)若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； (3)若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用抛物线的定义可求出点的值，由此可求出点的坐标； （2）设，则，根据点在轴上，可求出的值，可得出点的坐标，可求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果； （3）分析可知，直线斜率必然存在，设其方程为，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据可得出关于的等式，消去即可得出结果. 【详解】（1）设，因为点在抛物线上， 所以点到抛物线的焦点的距离等于它到抛物线的准线的距离， 所以，则，所以，故点的坐标是. （2）设，则，由题意，所以， 所以点的坐标为，则， 所以，直线的方程为，即直线的方程为， 所以原点到直线的距离为. （3）设，若直线的斜率不存在时，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线斜率必然存在，设其方程为， 代入中，得， 设、，则，， 因为，且， 所以， 显然，，则， 所以 故，即． 由题意，得，因此. 9．（2025·上海徐汇·二模）已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 【答案】(1)坐标为，距离为 (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）由抛物线的标准方程的定义即可得到焦点坐标和点到准线的距离； （2）设的方程为，与相交于，联立直线与抛物线方程，可得，又，得到关于的等式，同理可得，取倒数相加可求得其为定值； （3）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立即可得点坐标，则可求得，再利用角平分线的性质得，由此可求得点的轨迹为一个挖去了两个点的圆，且圆心在直线上，进而得到面积的最大值. 【详解】（1）由已知可得，即， 所以点的坐标为，点到准线的距离为； （2）由已知可知直线的斜率均存在且不等于并过点， 设的方程为，则的斜率为，设与相交于， 由得，则，， ，同理可得， 所以； （3）由已知可得直线的方程为， 由，解得，， 不妨令， 则，， 在中，， 在中，， 由及得 设点，于是， 整理得， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上（除去与直线的两个交点）， 因为圆心在直线上，则点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 10．一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D. (1)求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程 (2)四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. (3)过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值. 【答案】(1)椭圆方程为，抛物线的方程为 (2)四边形GCBD的面积存在最小值，最小值为8； (3) 【分析】（1）设椭圆方程为，，分两种情况，得到椭圆方程为，并根据焦点坐标得到，求出； （2）先得到直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为，求出四边形GCBD的面积为8，再求出当直线的斜率存在，设直线的方程为， 分别与和联立得到两根之和，两根之积，求出弦长，表达出四边形面积，换元得到，结合函数单调性得到，从而求出最小值； （3）联立直线和得到点M的坐标，并得到点坐标，由得到，并变形得到，结合，得到方程，求出答案. 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，， 设椭圆方程为，， 若椭圆的短半轴长与的焦距长相等， 即，此时不合要求， 若椭圆的短半轴长与椭圆的焦距长相等， 即，解得，满足要求， 故椭圆方程为； 椭圆的焦点为，故，解得， 故； （2）显然当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，当直线的斜率不存在时， 直线的方程为，此时直线为， 中，令得，故， 此时，， 设四边形GCBD的面积为，， 当直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立得， 设，则， 故， 故， 直线，与椭圆联立得， 恒成立， 设，则， 由弦长公式得 ， 设四边形GCBD的面积为， ， 令，则， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 故， 故四边形GCBD的面积存在最小值，最小值为8. （3）由题意得，故直线，联立得 ，设，则， 故，， 故，， 中，令得，故， ， 又，设，故，解得， 所以， 由得， 即，， 即， 其中，， 故，解得， 故的值为 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 11．抛物线的焦点为，为上一点，的纵坐标为，点在轴上，轴，线段的中点为，且轴． (1)求的方程； (2)已知为上三个不同的点，点在第一象限． （ⅰ）若点在原点，，，点的横坐标满足，求． （ⅱ）在中，内角所对的边分别为，且满足，，的重心在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先求出点的横坐标，由轴，可得，进而可求出，即可得解； （2）（ⅰ）设，，由，可得，即可求出的关系，设的中点为，由，可得，即可求出的关系，再求出的范围即可得解； （ⅱ）先根据求出，再根据结合余弦定理求出，从而可求出，即可得出的关系，设重心，，，，的中点为，求出点的坐标，求出直线的方程，联立方程，利用韦达定理求出，，再利用弦长公式求出，进而可求出，即可得解. 【详解】（1）将代入的方程，得，所以， 所以，解得， 故的方程为； （2）（ⅰ）设，，则， 因为，所以， 即，① 又的中点为，所以，， 由，得，与①联立可得． 又，则， 令，则， 设方程的两根分别为， 得，， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 又，，即， 所以； （ⅱ）由，得， 即，即， 即，所以， 又，所以，所以， 所以， 即，所以， 所以为等腰三角形， 设重心，，，，的中点为， 则由，得，， 直线的斜率， 由，即，可知， 所以，即，即， 所以， 则， 所以直线的方程为，即， 联立，整理得， 则，， 所以， 由，得，解得， 所以， 故点的坐标为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 12．已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设. (1)求的值； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求的面积. 【答案】(1) (2)， (3)16 【分析】（1）将代入抛物线方程即可求解； （2）由点在抛物线上，可得，且，将直线的方程与抛物线方程联立可得出，根据等差数列的定义和通项公式即可求出的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前项和即可； （3）求出直线的方程，可求出，并求出点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为点在抛物线上，则，解得. （2）由可知，， 因为点在抛物线上，则，且， 过，，且斜率为的直线， 联立方程，消去可得， 解得或， 因，故，即， 故数列是以首项为2，公差为4的等差数列，所以， 又，所以， 所以 所以，又是关于的递增函数，故， 的取值范围是. （3）由（2）可知：，，， 直线的方程为， 即， 点到直线的距离为，， 所以的面积为. 【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法： （1）定义法：（常数）数列为等差数列； （2）等差中项法：数列为等差数列； （3）通项公式法：（为常数，）数列为等差数列； 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 13．已知抛物线为上一点. (1)证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切. (2)若动直线与相交于两点，点满足（为坐标原点），且直线的斜率之和为. （i）求的方程； （ii）过点作的切线，若，求的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用抛物线的定义可证明结论. （2）（i）设.由表示直线的方程，可得，根据求出的值可得结果. （ii）设的中点为，通过计算可说明三点共线，且为线段的中点，转化的面积可得结果. 【详解】（1）由题可知点为的焦点，设为点，抛物线的准线方程为. ∵为上一点，∴由抛物线的定义得等于点到的准线的距离， ∴以为圆心且过点的圆与的准线相切. （2） 设. （i）当时，点关于轴对称，点， 直线关于轴对称，成立. 当时，由得，直线的方程为， 将点的坐标代入，可得，则. 联立直线与的方程，可得， ∴. ∵， ∴， 化简可得，则， 由得，，由得， 故的方程为. （ii）设直线， 与的方程联立，可得， 由，得， 由得，，故点. 设的中点为， ∵， ∴，故. ∵，∴三点共线，且为线段的中点， ∴的面积为的面积的， 由为的中点得，的面积为的面积的， ∴的面积为的面积的. ∵， ∴. ∵点到直线的距离， ∴， 当且仅当时等号成立，故的面积的最小值为. 易错点一：求轨迹时忽视限制条件致错 【典型例题】已知点，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）. 特别提醒：若设定点，，动点满足且，那么动点在椭圆上，因为，在椭圆上，而点不能与重合，因而轨迹中需要去掉，两点，方程中需要注明或，若忽视此点求解时就容易出错，特别是本题若不注意，则，，就会错选. 【解析】由题意可知，，整理可得，则，故由，得，所以，所以，故选. 【答案】 易错点二：对双曲线定义的理解不透彻致错 【典型例题】已知点，若，则点的轨迹为（ ）. 特别提醒：平面内动点到两定点，距离差的绝对值等于定值，若，则动点的轨迹是以为焦点的双曲线；若，则动点的轨迹是分别以为起点的两条射线；若无轨迹.特别地，若取消绝对值符号，则是双曲线一支或一条射线或无轨迹，因此解题时需要做出正确判断. 【解析】因为，，所以，因为，所以点的轨迹为一条射线.故选. 【答案】 【变式练习】已知的顶点.若的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是（ ） 特别提醒：（1）双曲线定义用集合语言可叙述为： 点集； （2）分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点，当时，表示双曲线的右支或下支；当时，表示双曲线的左支或上支. 【解析】如图， ，，，所以.根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），则，顶点的轨迹方程为.故选 【答案】 易错点三：忽视抛物线焦点所在轴而丢解致误 【典型例题】顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为（ ） 特别提示：求抛物线的标准方程时，若焦点所在坐标轴不确定，需分类讨论，因而设抛物线方程为或，进而求出标准方程，谨防不讨论而导致丢解的情况. 【解析】对于直线方程，令，得，令，得，所以抛物线的焦点为或 当焦点为时，设抛物线方程为，则，所以，此时抛物线的标准方程为 当焦点为时，设抛物线方程为，则，所以，此时抛物线的标准方程为. 故所求抛物线的标准方程为或 故选. 【答案】 【变式练习】已知抛物线 C 的焦点在直线 x+2y+3=0 上，则抛物线 C 的标准方程为 特别提醒：求抛物线的标准方程时，若焦点所在坐标轴不确定，需分类讨论，因而设抛物线方程为或，进而求出标准方程，谨防不讨论而导致丢解的情况. 【解析】已知抛物线的焦点在直线上，当焦点在轴上时，令，解得，焦点坐标为，设抛物线的方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为. 当焦点在轴上时，令，解得，焦点坐标为，设抛物线的方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为. 综上抛物线 C 的标准方程为 或 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抢分秘籍07 平面解析几何 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】圆与方程 【题型二】 椭圆 【题型三】双曲线 【题型四】 抛物线 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：求轨迹时忽视限制条件致错 易错点二：对双曲线定义的理解不透彻致错 易错点三：忽视抛物线焦点所在轴而丢解致误 题型与分值：在上海高考中，圆锥曲线的考查题型涵盖填空题、选择题和解答题。在试卷中一般占 10 - 20 分左右，比如 2024 年秋考的第 7 题和第 20 题、2024 年春考的第 8 题和第 20 题都涉及圆锥曲线内容。 考点分布 小题方面：常考圆锥曲线的基本性质，如椭圆、双曲线的离心率，通过给出相关方程或几何条件，让考生判断离心率的取值范围，以此考查对概念的理解。也会考查圆锥曲线标准方程的求解，比如已知双曲线的渐近线方程和一些几何特征，要求写出双曲线的标准方程；或者考查直线与圆锥曲线相交后的弦长计算等。 解答题方面：具有较强的综合性，常与直线、向量、函数等知识深度融合。可能会给出椭圆方程和一条直线方程，要求判断直线与椭圆的位置关系，若相交，进而计算弦长、三角形面积，又或者探究是否存在某定点，使某些条件成立。 能力要求：圆锥曲线的知识点主要考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等数学学科素养。并且试题结构更加灵活和科学，注重考查学生的应变能力和基础知识，强化思维灵活性，突出素养导向和创新能力 注重数形结合思想的运用，比如在分析圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系时，结合图形可以更直观地理解问题，找到解题思路。 掌握设而不求的方法，在处理直线与圆锥曲线相交问题时，设出交点坐标，但不直接求解，而是通过韦达定理等方法来表示相关量，从而简化运算。 对于一些定点、定值问题，可先通过特殊情况找出定点或定值，再进行一般性的证明；对于最值与范围问题，则可通过建立目标函数，利用函数的性质或不等式等方法来求解。 【题型一】圆与方程 1.求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 2.求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 3.与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 4．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 5．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 6.判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 7.弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 8.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 1．（2025·上海普陀·二模）设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 3．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 4．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 5．（2024·上海奉贤·三模）已知正方体的棱长为，，，…，为正方形边上的个两两不同的点．若对任意的点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为 ． 6．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【题型二】 椭圆 1.椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 2.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 3.根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＋＝λ或＋＝λ(a>b>0，λ>0)． 4.求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． 5.与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是基本不等式． 1．直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海杨浦·一模）中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为 .（精确到0.01） 3．（2025·上海杨浦·二模）如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为 .厘米. 4．已知椭圆的左右焦点分别为、，圆与抛物线的准线相切，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，且为抛物线与椭圆的一个交点，若的面积为，则椭圆的离心率为 ． 5．（2024·上海·三模）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点. (1)求椭圆的离心率； (2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标； (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 6．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 7．已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点. (1)求椭圆的标准方程; (2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由. 8．已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 9．椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. (1)求椭圆E的方程； (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值. 10．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 11．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆半长轴长与半短轴长的平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作椭圆的两条切线，两切线斜率之积为，求的轨迹方程； (3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的正整数解.例如：求二元二次方程的正整数解，通过，先找到该方程的初始正整数解，记此解对应的点为，进一步可得点.设由“循环构造法”得到方程的正整数解对应的点列为：，其中，，记，试判断，是否为定值?若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 12．（2025·上海浦东新·二模）已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 13．已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，是椭圆上一点，的最大值是最小值的3倍. (1)求椭圆的离心率； (2)若点不与椭圆的顶点重合，过作的切线，与轴交于点，求； (3)已知，是上两个不同的点，过分别作直线，与相切，与的交点为，若，求动点的轨迹方程. （附：椭圆以点为切点的切线方程为） 【题型三】 双曲线 1.求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 2.渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0. 3.在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2. 4.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)． 1．如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（   ）    A． B． C． D． 2．已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2024·上海金山·二模）已知双曲线(，)，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 ． 4．（2024·上海·三模）如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从M到A、B两地修建公路费用都是10万元/km，从M到C修建公路的费用为20万元/km．选择合适的点M，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 万元（精确到0.01） 5．（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 6．（2025·上海宝山·二模）已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. (1)当直线过点，且时，求的周长； (2)已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； (3)已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 7．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 8．已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交于两点. (1)若离心率时，求的渐近线方程； (2)若，点在第一象限且为等腰三角形，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 9．已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程. 【题型四】抛物线 1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 3．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，准线x＝－与x轴相交于点P，过焦点F的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为原点，α为AB与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：|AB|＝|x1－x2|，|AB|＝|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝. 1．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点，动点满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 3．为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ． 4．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 5．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 6．设抛物线的焦点为，过的直线交于A，B两点（在第一象限），当垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)过且与垂直的直线交于，两点（在第一象限），直线与直线和分别交于P，Q两点. （i）当的斜率为时，求； （ii）是否存在以为直径的圆与轴相切？若存在，求，的方程；若不存在，请说明理由. 7．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由． 8．（2025·上海崇明·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．    (1)若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； (2)若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； (3)若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式． 9．（2025·上海徐汇·二模）已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 10．一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D. (1)求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程 (2)四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. (3)过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值. 11．抛物线的焦点为，为上一点，的纵坐标为，点在轴上，轴，线段的中点为，且轴． (1)求的方程； (2)已知为上三个不同的点，点在第一象限． （ⅰ）若点在原点，，，点的横坐标满足，求． （ⅱ）在中，内角所对的边分别为，且满足，，的重心在轴上，求点的坐标． 12．已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设. (1)求的值； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求的面积. 13．已知抛物线为上一点. (1)证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切. (2)若动直线与相交于两点，点满足（为坐标原点），且直线的斜率之和为. （i）求的方程； （ii）过点作的切线，若，求的面积的最小值. 易错点一：求轨迹时忽视限制条件致错 【典型例题】已知点，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）. 易错点二：对双曲线定义的理解不透彻致错 【典型例题】已知点，若，则点的轨迹为（ ）. 【变式练习】已知的顶点.若的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是（ ） 易错点三：忽视抛物线焦点所在轴而丢解致误 【典型例题】顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为（ ） 【变式练习】已知抛物线 C 的焦点在直线 x+2y+3=0 上，则抛物线 C 的标准方程为 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$